Exercices : Étude de fonctions trigonométriques

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction sinus est définie pour tout nombre réel $x$. Ainsi, la fonction $f(x) = 2\sin(x) + 1$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudierons cette fonction sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

La fonction sinus est $2\pi$-périodique, c'est-à-dire que $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par conséquent : $f(x + 2\pi) = 2\sin(x + 2\pi) + 1 = 2\sin(x) + 1 = f(x)$. La fonction $f$ est donc $2\pi$-périodique.

Pour la parité, calculons $f(-x) = 2\sin(-x) + 1 = -2\sin(x) + 1$. Comme $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$, la fonction $f$ n'est ni paire ni impaire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $f(x)$ : $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin(x) + 1) = 2\frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(1) = 2\cos(x) + 0 = 2\cos(x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $f'(x) = 0$ sur $[0, 2\pi]$ : $2\cos(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = 0$. Les solutions dans $[0, 2\pi]$ sont $x = \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{3\pi}{2}$.

Étudions le signe de $f'(x) = 2\cos(x)$ sur $[0, 2\pi]$ :

Sur $[0, \frac{\pi}{2}[$, $\cos(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est croissante.

Sur $]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}[$, $\cos(x) < 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est décroissante.

Sur $]\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, $\cos(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est croissante.

4. Variations de $f$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $f$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$f(0) = 2\sin(0) + 1 = 2 \times 0 + 1 = 1$.

$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3$.

$f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 2 \times (-1) + 1 = -1$.

$f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + 1 = 2 \times 0 + 1 = 1$.

Description des variations : La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}]$, puis décroissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, et enfin croissante sur l'intervalle $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. Elle admet un maximum local en $x = \frac{\pi}{2}$ de valeur 3, et un minimum local en $x = \frac{3\pi}{2}$ de valeur -1.

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction cosinus est définie pour tout nombre réel, donc $g(x) = \cos(2x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$.

2. Périodicité et parité :

Pour la périodicité, considérons $g(x + T) = \cos(2(x+T)) = \cos(2x + 2T)$. Pour que $g(x+T) = g(x)$, il faut $2T = 2\pi k$ pour un entier $k$. La plus petite période positive est obtenue pour $k=1$, donc $2T = 2\pi$, ce qui donne $T = \pi$. La fonction $g$ est $\pi$-périodique.

Pour la parité, $g(-x) = \cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x) = g(x)$. La fonction $g$ est paire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $g(x)$ : $g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \times \frac{d}{dx}(2x) = -2\sin(2x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $g'(x) = 0$ sur $[-\pi, \pi]$ : $-2\sin(2x) = 0 \Leftrightarrow \sin(2x) = 0$. Sur $[-\pi, \pi]$, $2x \in [-2\pi, 2\pi]$. Les solutions pour $\sin(2x) = 0$ sont $2x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$, ce qui donne $x = -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi$.

Étudions le signe de $g'(x) = -2\sin(2x)$ sur $[-\pi, \pi]$ :

Sur $[-\pi, -\frac{\pi}{2}[$, $2x \in [-2\pi, -\pi[$, $\sin(2x) > 0$, donc $g'(x) < 0$. La fonction $g$ est décroissante.

Sur $]-\frac{\pi}{2}, 0[$, $2x \in [-\pi, 0[$, $\sin(2x) < 0$, donc $g'(x) > 0$. La fonction $g$ est croissante.

Sur $]0, \frac{\pi}{2}[$, $2x \in [0, \pi[$, $\sin(2x) > 0$, donc $g'(x) < 0$. La fonction $g$ est décroissante.

Sur $]\frac{\pi}{2}, \pi]$, $2x \in [\pi, 2\pi]$, $\sin(2x) < 0$, donc $g'(x) > 0$. La fonction $g$ est croissante.

4. Variations de $g$ sur $[-\pi, \pi]$ :

Calculons les valeurs de $g$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$g(-\pi) = \cos(-2\pi) = 1$.

$g(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\pi) = -1$.

$g(0) = \cos(0) = 1$.

$g(\frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.

$g(\pi) = \cos(2\pi) = 1$.

Description des variations : La fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$, puis croissante sur l'intervalle $[-\frac{\pi}{2}, 0]$, puis décroissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}]$, et enfin croissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. Elle admet des maximums locaux en $x = -\pi, 0, \pi$ de valeur 1, et des minimums locaux en $x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ de valeur -1.

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction sinus est définie sur $\mathbb{R}$, donc $h(x) = \sin^2(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, \pi]$.

2. Périodicité et parité :

Pour la périodicité, $\sin^2(x + \pi) = (\sin(x + \pi))^2 = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$. La fonction $h$ est $\pi$-périodique.

Pour la parité, $h(-x) = \sin^2(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) = h(x)$. La fonction $h$ est paire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $h(x)$ : $h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2\sin(x) \times \frac{d}{dx}(\sin(x)) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $h'(x) = 0$ sur $[0, \pi]$ : $\sin(2x) = 0$. Sur $[0, \pi]$, $2x \in [0, 2\pi]$. Les solutions pour $\sin(2x) = 0$ sont $2x = 0, \pi, 2\pi$, ce qui donne $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$.

Étudions le signe de $h'(x) = \sin(2x)$ sur $[0, \pi]$ :

Sur $[0, \frac{\pi}{2}[$, $2x \in [0, \pi[$, $\sin(2x) > 0$, donc $h'(x) > 0$. La fonction $h$ est croissante.

Sur $]\frac{\pi}{2}, \pi]$, $2x \in [\pi, 2\pi]$, $\sin(2x) < 0$, donc $h'(x) < 0$. La fonction $h$ est décroissante.

4. Variations de $h$ sur $[0, \pi]$ :

Calculons les valeurs de $h$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$h(0) = \sin^2(0) = 0^2 = 0$.

$h(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1^2 = 1$.

$h(\pi) = \sin^2(\pi) = 0^2 = 0$.

Description des variations : La fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}]$, puis décroissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. Elle admet un maximum local en $x = \frac{\pi}{2}$ de valeur 1, et des minimums locaux en $x = 0, \pi$ de valeur 0.

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction cosinus est définie sur $\mathbb{R}$, donc $k(x) = \cos(x) - \frac{1}{2}$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

Période $T = 2\pi$. Paire car $k(-x) = k(x)$.

3. Dérivée et variations :

$k'(x) = -\sin(x)$. Points critiques : $k'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, \pi, 2\pi$ sur $[0, 2\pi]$.

Signe de $k'(x) = -\sin(x)$ : négative sur $]0, \pi[$, positive sur $]\pi, 2\pi[$.

4. Variations de $k$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $k$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$k(0) = \cos(0) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$k(\pi) = \cos(\pi) - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

$k(2\pi) = \cos(2\pi) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Description des variations : La fonction $k$ est décroissante sur l'intervalle $[0, \pi]$, croissante sur l'intervalle $[\pi, 2\pi]$. Maximums en $x = 0, 2\pi$, minimum en $x = \pi$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$, donc $l(x) = 3\sin(x) - \cos(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

Période $T = 2\pi$. Ni paire ni impaire.

3. Dérivée et variations :

$l'(x) = 3\cos(x) + \sin(x)$. Points critiques : $\tan(x) = -3 \Leftrightarrow x = \arctan(-3) + \pi \approx 1.89$ et $x = \arctan(-3) + 2\pi \approx 5.03$ sur $[0, 2\pi]$. Notons $\alpha \approx 1.89$ et $\beta \approx 5.03$.

Signe de $l'(x)$ : positive sur $[0, \alpha] \cup [\beta, 2\pi]$, négative sur $[\alpha, \beta]$.

4. Variations de $l$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $l$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle (valeurs approchées) :

$l(0) = 3\sin(0) - \cos(0) = -1$.

$l(\alpha) \approx 3\sin(1.89) - \cos(1.89) \approx 3.16$.

$l(\beta) \approx 3\sin(5.03) - \cos(5.03) \approx -3.16$.

$l(2\pi) = 3\sin(2\pi) - \cos(2\pi) = -1$.

Description des variations : La fonction $l$ est croissante sur l'intervalle $[0, \alpha]$ et $[\beta, 2\pi]$, décroissante sur l'intervalle $[\alpha, \beta]$. Maximum local en $x = \alpha$, minimum local en $x = \beta$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Définie sur $\mathbb{R}$ car $2-\cos(x) \neq 0$. Étude sur $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

Période $T = 2\pi$. Impaire car $m(-x) = -m(x)$.

3. Dérivée et variations :

$m'(x) = \frac{2\cos(x) - 1}{(2 - \cos(x))^2}$. Points critiques : $\cos(x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ sur $[0, 2\pi]$.

Signe de $m'(x)$ : positive sur $[0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, 2\pi]$, négative sur $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$.

4. Variations de $m$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $m$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$m(0) = \frac{\sin(0)}{2 - \cos(0)} = \frac{0}{2 - 1} = 0$.

$m(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{2 - \cos(\frac{\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}/2}{2 - 1/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$m(\frac{5\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{5\pi}{3})}{2 - \cos(\frac{5\pi}{3})} = \frac{-\sqrt{3}/2}{2 - 1/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$m(2\pi) = \frac{\sin(2\pi)}{2 - \cos(2\pi)} = \frac{0}{2 - 1} = 0$.

Description des variations : La fonction $m$ est croissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{3}]$ et $[\frac{5\pi}{3}, 2\pi]$, décroissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$. Maximum local en $x = \frac{\pi}{3}$, minimum local en $x = \frac{5\pi}{3}$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Définie sur $\mathbb{R}$. Étude sur $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

Non périodique. Ni paire ni impaire.

3. Dérivée et variations :

$n'(x) = 1 - \sin(x)$. Point critique : $\sin(x) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}$ sur $[0, 2\pi]$.

Signe de $n'(x) = 1 - \sin(x)$ : toujours positive ou nulle sur $\mathbb{R}$.

4. Variations de $n$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $n$ aux bornes de l'intervalle et au point critique :

$n(0) = 0 + \cos(0) = 1$.

$n(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

$n(2\pi) = 2\pi + \cos(2\pi) = 2\pi + 1$.

Description des variations : La fonction $n$ est croissante sur $[0, 2\pi]$. Pas de maximum ni minimum locaux sur $]0, 2\pi[$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Définie sur $\mathbb{R}$. Étude sur $[-\pi, \pi]$.

2. Périodicité et parité :

Non périodique. Impaire car $p(-x) = -p(x)$.

3. Dérivée et variations :

$p'(x) = \cos(x) - 1$. Point critique : $\cos(x) = 1 \Leftrightarrow x = 0$ sur $[-\pi, \pi]$.

Signe de $p'(x) = \cos(x) - 1$ : toujours négative ou nulle sur $\mathbb{R}$.

4. Variations de $p$ sur $[-\pi, \pi]$ :

Calculons les valeurs de $p$ aux bornes de l'intervalle et au point critique :

$p(-\pi) = \sin(-\pi) - (-\pi) = \pi$.

$p(0) = \sin(0) - 0 = 0$.

$p(\pi) = \sin(\pi) - \pi = -\pi$.

Description des variations : La fonction $p$ est décroissante sur $[-\pi, \pi]$. Pas de maximum ni minimum locaux sur $]-\pi, \pi[$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Définie sur $\mathbb{R}$. Étude sur $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

Période $T = 2\pi$. Ni paire ni impaire.

3. Dérivée et variations :

$q'(x) = \cos(x) - \sin(x)$. Points critiques : $\tan(x) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ sur $[0, 2\pi]$.

Signe de $q'(x) = \cos(x) - \sin(x)$ : positive sur $[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{5\pi}{4}, 2\pi]$, négative sur $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$.

4. Variations de $q$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $q$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$q(0) = \sin(0) + \cos(0) = 1$.

$q(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.

$q(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\sqrt{2}$.

$q(2\pi) = \sin(2\pi) + \cos(2\pi) = 1$.

Description des variations : La fonction $q$ est croissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{4}]$ et $[\frac{5\pi}{4}, 2\pi]$, décroissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$. Maximums locaux en $x = \frac{\pi}{4}$, minimum local en $x = \frac{5\pi}{4}$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$, donc $r(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, \pi]$.

2. Périodicité et parité :

On remarque que $r(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$. La fonction $r$ est donc $\pi$-périodique (période de $\cos(2x)$ est $\frac{2\pi}{2} = \pi$).

Pour la parité, $r(-x) = \cos^2(-x) - \sin^2(-x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = r(x)$. La fonction $r$ est paire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $r(x) = \cos(2x)$ : $r'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -2\sin(2x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $r'(x) = 0$ sur $[0, \pi]$ : $-2\sin(2x) = 0 \Leftrightarrow \sin(2x) = 0$. Sur $[0, \pi]$, $2x \in [0, 2\pi]$. Les solutions pour $\sin(2x) = 0$ sont $2x = 0, \pi, 2\pi$, ce qui donne $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$.

Étudions le signe de $r'(x) = -2\sin(2x)$ sur $[0, \pi]$ :

Sur $[0, \frac{\pi}{2}[$, $2x \in [0, \pi[$, $\sin(2x) > 0$, donc $r'(x) < 0$. La fonction $r$ est décroissante.

Sur $]\frac{\pi}{2}, \pi]$, $2x \in [\pi, 2\pi]$, $\sin(2x) < 0$, donc $r'(x) > 0$. La fonction $r$ est croissante.

4. Variations de $r$ sur $[0, \pi]$ :

Calculons les valeurs de $r$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$r(0) = \cos^2(0) - \sin^2(0) = 1^2 - 0^2 = 1$.

$r(\frac{\pi}{2}) = \cos^2(\frac{\pi}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 - 1^2 = -1$.

$r(\pi) = \cos^2(\pi) - \sin^2(\pi) = (-1)^2 - 0^2 = 1$.

Description des variations : La fonction $r$ est décroissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}]$, puis croissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. Elle admet des maximums locaux en $x = 0, \pi$ de valeur 1, et un minimum local en $x = \frac{\pi}{2}$ de valeur -1.

Correction :

1. Domaine de définition :

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$, donc $s(x) = \sin(x) \cos(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, \pi]$.

2. Périodicité et parité :

On remarque que $s(x) = \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$. La fonction $s$ est donc $\pi$-périodique (période de $\sin(2x)$ est $\frac{2\pi}{2} = \pi$).

Pour la parité, $s(-x) = \sin(-x) \cos(-x) = (-\sin(x))(\cos(x)) = -\sin(x)\cos(x) = -s(x)$. La fonction $s$ est impaire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $s(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$ : $s'(x) = \frac{1}{2} \times 2\cos(2x) = \cos(2x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $s'(x) = 0$ sur $[0, \pi]$ : $\cos(2x) = 0$. Sur $[0, \pi]$, $2x \in [0, 2\pi]$. Les solutions pour $\cos(2x) = 0$ sont $2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$, ce qui donne $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

Étudions le signe de $s'(x) = \cos(2x)$ sur $[0, \pi]$ :

Sur $[0, \frac{\pi}{4}[$, $2x \in [0, \frac{\pi}{2}[$, $\cos(2x) > 0$, donc $s'(x) > 0$. La fonction $s$ est croissante.

Sur $]\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}[$, $2x \in ]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}[$, $\cos(2x) < 0$, donc $s'(x) < 0$. La fonction $s$ est décroissante.

Sur $]\frac{3\pi}{4}, \pi]$, $2x \in ]\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, $\cos(2x) > 0$, donc $s'(x) > 0$. La fonction $s$ est croissante.

4. Variations de $s$ sur $[0, \pi]$ :

Calculons les valeurs de $s$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$s(0) = \sin(0) \cos(0) = 0 \times 1 = 0$.

$s(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$.

$s(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{2}$.

$s(\pi) = \sin(\pi) \cos(\pi) = 0 \times (-1) = 0$.

Description des variations : La fonction $s$ est croissante sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{4}]$, puis décroissante sur l'intervalle $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$, et enfin croissante sur l'intervalle $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$. Elle admet un maximum local en $x = \frac{\pi}{4}$ de valeur $\frac{1}{2}$, et un minimum local en $x = \frac{3\pi}{4}$ de valeur $-\frac{1}{2}$.

Correction :

1. Domaine de définition :

Les fonctions cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$, donc $t(x) = 2\cos(x) + \cos(2x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

Les fonctions $\cos(x)$ et $\cos(2x)$ sont $2\pi$-périodiques, donc $t(x) = 2\cos(x) + \cos(2x)$ est $2\pi$-périodique.

Pour la parité, $t(-x) = 2\cos(-x) + \cos(2(-x)) = 2\cos(x) + \cos(2x) = t(x)$. La fonction $t$ est paire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $t(x)$ : $t'(x) = \frac{d}{dx}(2\cos(x) + \cos(2x)) = -2\sin(x) - 2\sin(2x) = -2\sin(x) - 4\sin(x)\cos(x) = -2\sin(x)(1 + 2\cos(x))$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $t'(x) = 0$ sur $[0, 2\pi]$ : $-2\sin(x)(1 + 2\cos(x)) = 0 \Leftrightarrow \sin(x) = 0$ ou $1 + 2\cos(x) = 0$.

$\sin(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, \pi, 2\pi$.

$1 + 2\cos(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

Les points critiques dans $[0, 2\pi]$ sont $0, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$.

Étudions le signe de $t'(x) = -2\sin(x)(1 + 2\cos(x))$ sur $[0, 2\pi]$.

Sur $]0, \frac{2\pi}{3}[$, $\sin(x) > 0$ et $\cos(x) > -\frac{1}{2} \Rightarrow 1+2\cos(x) > 0$, donc $t'(x) < 0$. La fonction $t$ est décroissante.

Sur $]\frac{2\pi}{3}, \pi[$, $\sin(x) > 0$ et $\cos(x) < -\frac{1}{2} \Rightarrow 1+2\cos(x) < 0$, donc $t'(x) > 0$. La fonction $t$ est croissante.

Sur $]\pi, \frac{4\pi}{3}[$, $\sin(x) < 0$ et $\cos(x) < -\frac{1}{2} \Rightarrow 1+2\cos(x) < 0$, donc $t'(x) < 0$. La fonction $t$ est décroissante.

Sur $]\frac{4\pi}{3}, 2\pi[$, $\sin(x) < 0$ et $\cos(x) > -\frac{1}{2} \Rightarrow 1+2\cos(x) > 0$, donc $t'(x) > 0$. La fonction $t$ est croissante.

4. Variations de $t$ sur $[0, 2\pi]$ :

Calculons les valeurs de $t$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$t(0) = 2\cos(0) + \cos(0) = 3$.

$t(\frac{2\pi}{3}) = 2\cos(\frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{3}{2}$.

$t(\pi) = 2\cos(\pi) + \cos(2\pi) = -1$.

$t(\frac{4\pi}{3}) = 2\cos(\frac{4\pi}{3}) + \cos(\frac{8\pi}{3}) = -\frac{3}{2}$.

$t(2\pi) = 2\cos(2\pi) + \cos(4\pi) = 3$.

Description des variations : La fonction $t$ est décroissante sur l'intervalle $[0, \frac{2\pi}{3}]$, puis croissante sur l'intervalle $[\frac{2\pi}{3}, \pi]$, puis décroissante sur l'intervalle $[\pi, \frac{4\pi}{3}]$, et enfin croissante sur l'intervalle $[\frac{4\pi}{3}, 2\pi]$. Elle admet des maximums locaux en $x = 0, 2\pi$ de valeur 3, des minimums locaux en $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ de valeur $-\frac{3}{2}$, et un maximum local en $x = \pi$ de valeur -1.

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction $u(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ est définie si $\cos(x) \neq 0$. Sur $[0, 2\pi]$, $\cos(x) = 0$ pour $x = \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{3\pi}{2}$. Le domaine de définition est donc $D_u = [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$.

2. Périodicité et parité :

La fonction cosinus est $2\pi$-périodique, donc $u(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ est $2\pi$-périodique.

Pour la parité, $u(-x) = \frac{1}{\cos(-x)} = \frac{1}{\cos(x)} = u(x)$. La fonction $u$ est paire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $u(x) = (\cos(x))^{-1}$: $u'(x) = -(\cos(x))^{-2} \times (-\sin(x)) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $u'(x) = 0$. Le dénominateur n'annule jamais sur le domaine de définition, donc on résout $\sin(x) = 0$. Les solutions dans $D_u \cap [0, 2\pi]$ sont $x = 0, \pi, 2\pi$.

Étudions le signe de $u'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$ sur $D_u \cap [0, 2\pi]$. Le dénominateur $\cos^2(x)$ est toujours positif, donc le signe dépend de $\sin(x)$.

Sur $]0, \frac{\pi}{2}[$, $\sin(x) > 0$, donc $u'(x) > 0$. La fonction $u$ est croissante.

Sur $]\frac{\pi}{2}, \pi[$, $\sin(x) > 0$, donc $u'(x) > 0$. La fonction $u$ est croissante.

Sur $]\pi, \frac{3\pi}{2}[$, $\sin(x) < 0$, donc $u'(x) < 0$. La fonction $u$ est décroissante.

Sur $]\frac{3\pi}{2}, 2\pi[$, $\sin(x) < 0$, donc $u'(x) < 0$. La fonction $u$ est décroissante.

4. Variations de $u$ sur $D_u \cap [0, 2\pi]$ :

Calculons les limites aux bornes et les valeurs aux points critiques :

$u(0) = \frac{1}{\cos(0)} = 1$.

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} u(x) = +\infty$.

$\lim_{x \to (\pi/2)^+} u(x) = -\infty$.

$u(\pi) = \frac{1}{\cos(\pi)} = -1$.

$\lim_{x \to (3\pi/2)^-} u(x) = -\infty$.

$\lim_{x \to (3\pi/2)^+} u(x) = +\infty$.

$u(2\pi) = \frac{1}{\cos(2\pi)} = 1$.

Description des variations : La fonction $u$ est croissante sur les intervalles $[0, \frac{\pi}{2}[$ et $[\pi, \frac{3\pi}{2}[$, et décroissante sur les intervalles $]\frac{\pi}{2}, \pi]$ et $]\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. Elle a des asymptotes verticales en $x = \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{3\pi}{2}$. Elle admet des minimums locaux en $x = 0$ et $x = 2\pi$ de valeur 1, et un maximum local en $x = \pi$ de valeur -1.

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction tangente est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$. L'intervalle d'étude est $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, qui est bien inclus dans le domaine de définition de $\tan(x)$.

2. Périodicité et parité :

La fonction $v(x) = \tan(x) - x$ n'est pas périodique car $x$ n'est pas périodique.

Pour la parité, $v(-x) = \tan(-x) - (-x) = -\tan(x) + x = -(\tan(x) - x) = -v(x)$. La fonction $v$ est impaire.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $v(x)$ : $v'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(x) - x) = \frac{d}{dx}(\tan(x)) - \frac{d}{dx}(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \tan^2(x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $v'(x) = 0$ sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ : $\tan^2(x) = 0 \Leftrightarrow \tan(x) = 0$. La seule solution dans $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ est $x = 0$.

Étudions le signe de $v'(x) = \tan^2(x)$ sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Comme un carré est toujours positif ou nul, $v'(x) = \tan^2(x) \ge 0$. La dérivée est toujours positive ou nulle, et s'annule seulement en $x = 0$.

Sur $]-\frac{\pi}{2}, 0[$, $v'(x) > 0$. La fonction $v$ est strictement croissante.

Sur $]0, \frac{\pi}{2}[$, $v'(x) > 0$. La fonction $v$ est strictement croissante.

4. Variations de $v$ sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ :

Calculons les limites aux bornes et la valeur au point critique :

$\lim_{x \to (-\pi/2)^+} v(x) = \lim_{x \to (-\pi/2)^+} (\tan(x) - x) = -\infty$.

$v(0) = \tan(0) - 0 = 0$.

$\lim_{x \to (\pi/2)^-} v(x) = \lim_{x \to (\pi/2)^-} (\tan(x) - x) = +\infty$.

Description des variations : La fonction $v$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Elle n'admet ni maximum ni minimum local sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Elle tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $-\frac{\pi}{2}$ par valeurs supérieures, et vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $\frac{\pi}{2}$ par valeurs inférieures. Il y a un point où la dérivée s'annule en $x = 0$, mais la fonction reste croissante.

Correction :

1. Domaine de définition :

La fonction cosinus est définie sur $\mathbb{R}$, donc $w(x) = \cos^3(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Nous étudions la fonction sur l'intervalle $[0, \pi]$.

2. Périodicité et parité :

Période $T = 2\pi$. Paire car $w(-x) = w(x)$.

3. Dérivée et variations :

Calculons la dérivée de $w(x) = (\cos(x))^3$ : $w'(x) = 3(\cos(x))^2 \times \frac{d}{dx}(\cos(x)) = 3\cos^2(x) \times (-\sin(x)) = -3\sin(x)\cos^2(x)$. Pour trouver les points critiques, nous résolvons $w'(x) = 0$ sur $[0, \pi]$ : $-3\sin(x)\cos^2(x) = 0 \Leftrightarrow \sin(x) = 0$ ou $\cos^2(x) = 0$.

$\sin(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, \pi$.

$\cos^2(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}$.

Les points critiques dans $[0, \pi]$ sont $0, \frac{\pi}{2}, \pi$.

Étudions le signe de $w'(x) = -3\sin(x)\cos^2(x)$ sur $[0, \pi]$. Le terme $\cos^2(x) \ge 0$ et $-3 < 0$, donc le signe dépend de $-\sin(x)$.

Sur $]0, \frac{\pi}{2}[$, $\sin(x) > 0$, donc $w'(x) < 0$. La fonction $w$ est strictement décroissante.

Sur $]\frac{\pi}{2}, \pi[$, $\sin(x) > 0$, donc $w'(x) < 0$. La fonction $w$ est strictement décroissante.

4. Variations de $w$ sur $[0, \pi]$ :

Calculons les valeurs de $w$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :

$w(0) = \cos^3(0) = 1^3 = 1$.

$w(\frac{\pi}{2}) = \cos^3(\frac{\pi}{2}) = 0^3 = 0$.

$w(\pi) = \cos^3(\pi) = (-1)^3 = -1$.

Description des variations : La fonction $w$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0, \pi]$. Elle admet un maximum local en $x = 0$ de valeur 1, et un minimum local en $x = \pi$ de valeur -1. La fonction décroît de 1 à -1 sur l'intervalle $[0, \pi]$, en passant par 0 en $x = \frac{\pi}{2}$.