Entraînez-vous au calcul d'aires sous les courbes et entre deux courbes avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Revoyons ensemble les points essentiels sur Aire Sous les Courbes et Entre Deux Courbes avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
L'aire sous une courbe représente la mesure de la surface délimitée par la courbe d'une fonction positive, l'axe des abscisses (axe des x), et deux droites verticales définissant un intervalle sur l'axe des x.
Pour une fonction $f(x)$ continue et positive sur un intervalle $[a, b]$, l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ est donnée par l'intégrale définie de $f(x)$ de $a$ à $b$.
Si $f(x) \geq 0$ sur l'intervalle $[a, b]$, alors l'aire $\mathcal{A}$ sous la courbe de $f$ sur $[a, b]$ est donnée par :
$$\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx$$
Cette intégrale représente la somme des aires de rectangles infinitésimaux sous la courbe, permettant de calculer l'aire exacte.
L'aire entre deux courbes, disons $C_f$ et $C_g$ représentatives des fonctions $f(x)$ et $g(x)$, sur un intervalle $[a, b]$, est la mesure de la surface comprise entre ces deux courbes et limitée verticalement par les droites $x=a$ et $x=b$.
Pour calculer cette aire, on considère la différence entre les fonctions, en valeur absolue pour toujours obtenir une aire positive.
L'aire $\mathcal{A}$ entre les courbes de $f(x)$ et $g(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$ est donnée par :
$$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$
Il est crucial de déterminer laquelle des fonctions est supérieure à l'autre sur l'intervalle $[a, b]$ pour éliminer la valeur absolue ou découper l'intégrale en plusieurs parties si l'ordre change.
Signe de la fonction : Pour l'aire sous une courbe, si $f(x)$ est négative sur une partie de $[a, b]$, l'intégrale calculera une "aire négative". L'aire géométrique est alors la valeur absolue de l'intégrale sur cette partie.
Fonction supérieure et inférieure : Pour l'aire entre deux courbes, il est essentiel de déterminer si $f(x) \geq g(x)$ ou $g(x) \geq f(x)$ sur l'intervalle d'intégration pour correctement évaluer $|f(x) - g(x)|$.
Unités d'aire : L'aire calculée est une surface, exprimée en "unités d'aire". Si les axes sont gradués en centimètres, l'aire sera en cm², etc.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Calculez l'aire sous la courbe de la fonction $f(x) = x^2$ entre $x=0$ et $x=2$.
L'aire $\mathcal{A}$ sous la courbe de $f(x) = x^2$ entre $x=0$ et $x=2$ est donnée par l'intégrale définie : $$\mathcal{A} = \int_0^2 x^2 \, dx$$
Pour calculer cette intégrale, nous trouvons d'abord une primitive de $f(x) = x^2$, qui est $F(x) = \frac{1}{3}x^3$. Ensuite, nous évaluons $F(x)$ aux bornes de l'intégration : $$\mathcal{A} = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$
Conclusion : L'aire sous la courbe de $f(x) = x^2$ entre $x=0$ et $x=2$ est $\boxed{\frac{8}{3}}$ unités d'aire.
Calculez l'aire sous la courbe de la fonction $f(x) = \cos(x)$ entre $x=0$ et $x=\frac{\pi}{2}$.
L'aire $\mathcal{A}$ sous la courbe de $f(x) = \cos(x)$ entre $x=0$ et $x=\frac{\pi}{2}$ est donnée par l'intégrale définie : $$\mathcal{A} = \int_0^{\pi/2} \cos(x) \, dx$$
Une primitive de $f(x) = \cos(x)$ est $F(x) = \sin(x)$. Évaluons $F(x)$ aux bornes de l'intégration : $$\mathcal{A} = \left[\sin(x)\right]_0^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$$
Conclusion : L'aire sous la courbe de $f(x) = \cos(x)$ entre $x=0$ et $x=\frac{\pi}{2}$ est $\boxed{1}$ unité d'aire.
Calculez l'aire sous la courbe de la fonction $f(x) = e^x$ entre $x=0$ et $x=1$.
L'aire $\mathcal{A}$ sous la courbe de $f(x) = e^x$ entre $x=0$ et $x=1$ est donnée par l'intégrale définie : $$\mathcal{A} = \int_0^1 e^x \, dx$$
Une primitive de $f(x) = e^x$ est $F(x) = e^x$. Évaluons $F(x)$ aux bornes de l'intégration : $$\mathcal{A} = \left[e^x\right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$$
Conclusion : L'aire sous la courbe de $f(x) = e^x$ entre $x=0$ et $x=1$ est $\boxed{e - 1}$ unités d'aire.
Soient $f(x) = x^2 - \frac{3}{x}$ et $g(x) = x^2$ définies sur $\mathbb{R}_+^*$. Calculez l'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x = \frac{1}{2}$ et $x = 2$.
Pour calculer l'aire entre deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur un intervalle $[a, b]$, nous utilisons la formule : $$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$
Ici, $f(x) = x^2 - \frac{3}{x}$ et $g(x) = x^2$. Commençons par déterminer le signe de $g(x) - f(x)$ sur $\mathbb{R}_+^*$. $$g(x) - f(x) = x^2 - \left(x^2 - \frac{3}{x}\right) = x^2 - x^2 + \frac{3}{x} = \frac{3}{x}$$
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\frac{3}{x} > 0$. Donc, sur l'intervalle $[\frac{1}{2}, 2]$, $g(x) \geqslant f(x)$, ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$. Par conséquent, $|g(x) - f(x)| = g(x) - f(x) = \frac{3}{x}$.
L'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x = \frac{1}{2}$ et $x = 2$ est donnée par : $$\mathcal{A} = \int_{1/2}^2 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1/2}^2 \frac{3}{x} \, dx$$
Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la primitive de $\frac{1}{x}$ qui est $\ln|x|$. Comme nous travaillons sur $\mathbb{R}_+^*$, $|x| = x$. $$\mathcal{A} = 3 \int_{1/2}^2 \frac{1}{x} \, dx = 3 [\ln(x)]_{1/2}^2 = 3 (\ln(2) - \ln(\frac{1}{2}))$$
En utilisant la propriété $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$, nous avons $\ln(\frac{1}{2}) = -\ln(2)$. $$\mathcal{A} = 3 (\ln(2) - (-\ln(2))) = 3 (\ln(2) + \ln(2)) = 3 (2\ln(2)) = 6\ln(2)$$
Finalement, l'aire du domaine est $6\ln(2)$ unités d'aire.
Soient $f(x) = 3x^2 - 7x + 2$ et $g(x) = x^2 - 5x + 6$ définies sur $\mathbb{R}$. Calculez l'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.
Pour calculer l'aire entre deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, nous devons d'abord déterminer les intervalles où $f(x) \geqslant g(x)$ et $g(x) \geqslant f(x)$ sur l'intervalle $[1, 3]$. Pour cela, étudions le signe de la différence $f(x) - g(x)$.
Calculons $f(x) - g(x)$: $$f(x) - g(x) = (3x^2 - 7x + 2) - (x^2 - 5x + 6) = 3x^2 - 7x + 2 - x^2 + 5x - 6 = 2x^2 - 2x - 4$$
Factorisons le trinôme $2x^2 - 2x - 4$. On peut factoriser 2 : $2(x^2 - x - 2)$. Recherchons les racines de $x^2 - x - 2 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. Les racines sont : $$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$
Donc, $x^2 - x - 2 = (x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)$. Ainsi, $f(x) - g(x) = 2(x + 1)(x - 2)$.
Étudions le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[1, 3]$ :
- Sur $[1, 2]$, $x - 2 \leqslant 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f(x) - g(x) \leqslant 0$, ce qui signifie $g(x) \geqslant f(x)$.
- Sur $[2, 3]$, $x - 2 \geqslant 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f(x) - g(x) \geqslant 0$, ce qui signifie $f(x) \geqslant g(x)$.
L'aire $\mathcal{A}$ est donc donnée par la somme de deux intégrales : $$\mathcal{A} = \int_1^2 |f(x) - g(x)| \, dx + \int_2^3 |f(x) - g(x)| \, dx = \int_1^2 (g(x) - f(x)) \, dx + \int_2^3 (f(x) - g(x)) \, dx$$ $$\mathcal{A} = -\int_1^2 (f(x) - g(x)) \, dx + \int_2^3 (f(x) - g(x)) \, dx$$
Calculons la primitive de $f(x) - g(x) = 2x^2 - 2x - 4$: $$F(x) = \int (2x^2 - 2x - 4) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x$$
Calculons la première intégrale : $$-\int_1^2 (f(x) - g(x)) \, dx = -[F(x)]_1^2 = -(F(2) - F(1)) = F(1) - F(2)$$ $$F(2) = -\frac{20}{3}, F(1) = -\frac{13}{3}$$ $$F(1) - F(2) = \frac{7}{3}$$
Calculons la deuxième intégrale : $$\int_2^3 (f(x) - g(x)) \, dx = [F(x)]_2^3 = F(3) - F(2)$$ $$F(3) = -3$$ $$F(3) - F(2) = \frac{11}{3}$$
Finalement, l'aire totale est : $$\mathcal{A} = \frac{7}{3} + \frac{11}{3} = 6$$
L'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$ est de 6 unités d'aire.
Soit $f(x) = x - 3 + e^{-2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Question 1 : Asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
Pour montrer que la droite $\mathcal{D}: y = x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$, nous devons calculer la limite de la différence $f(x) - (x - 3)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et vérifier si cette limite est égale à 0.
Calculons $f(x) - (x - 3)$: $$f(x) - (x - 3) = (x - 3 + e^{-2x}) - (x - 3) = x - 3 + e^{-2x} - x + 3 = e^{-2x}$$
Calculons la limite de $e^{-2x}$ lorsque $x \to +\infty$. $$\lim_{x \to +\infty} e^{-2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{2x}} = 0$$ Car $\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty$.
Puisque $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 3)] = 0$, la droite $\mathcal{D}: y = x - 3$ est bien asymptote à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.
Question 2 : Position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{D}$.
Pour étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{D}$, nous devons étudier le signe de la différence $f(x) - (x - 3) = e^{-2x}$.
Nous savons que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{-2x} > 0$ car la fonction exponentielle est toujours strictement positive.
Donc, $f(x) - (x - 3) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est toujours située au-dessus de $\mathcal{D}$.
Question 3 : Aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{D}$, $x = 1$ et $x = \ln(2)$.
L'aire du domaine limité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \ln(2)$ est donnée par l'intégrale de la différence positive entre les fonctions sur l'intervalle $[1, \ln(2)]$. Comme $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{D}$, la différence positive est $f(x) - (x - 3) = e^{-2x}$.
$$\mathcal{A} = \int_1^{\ln(2)} [f(x) - (x - 3)] \, dx = \int_1^{\ln(2)} e^{-2x} \, dx$$
Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la primitive de $e^{-2x}$ qui est $-\frac{1}{2}e^{-2x}$. $$\mathcal{A} = \left[-\frac{1}{2} e^{-2x}\right]_1^{\ln(2)} = -\frac{1}{2} \left[e^{-2x}\right]_1^{\ln(2)} = -\frac{1}{2} (e^{-2\ln(2)} - e^{-2 \cdot 1}) = -\frac{1}{2} (e^{\ln(2^{-2})} - e^{-2}) = -\frac{1}{2} (e^{\ln(\frac{1}{4})} - e^{-2})$$ $$\mathcal{A} = -\frac{1}{2} (\frac{1}{4} - e^{-2}) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) \cdot e^{-2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} e^{-2} = \frac{1}{2e^2} - \frac{1}{8}$$
L'aire du domaine est $\frac{1}{2e^2} - \frac{1}{8}$ unités d'aire.
CNED 2000 page 117
Calculez $K = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2t-1) \sin(t) \ dt$.
Pour calculer l'intégrale $K = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2t-1) \sin(t) \ dt$, nous allons utiliser la méthode d'intégration par parties (IPP). La formule d'intégration par parties est : $$\int u(t) v'(t) \ dt = [u(t) v(t)] - \int u'(t) v(t) \ dt$$
Choisissons les fonctions $u(t)$ et $v'(t)$ de manière appropriée. Un choix judicieux ici est de prendre : $$u(t) = 2t - 1 \quad \text{et} \quad v'(t) = \sin(t)$$ Car la dérivée de $u(t)$ simplifiera l'expression.
Calculons les dérivées et primitives nécessaires : $$u'(t) = \frac{d}{dt}(2t - 1) = 2$$ $$v(t) = \int \sin(t) \ dt = -\cos(t)$$
Appliquons la formule d'IPP : $$K = \int_0^{\frac{\pi}{6}} (2t-1) \sin(t) \ dt = \left[ (2t-1) (-\cos(t)) \right]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2 (-\cos(t)) \ dt$$ $$K = \left[ -(2t-1) \cos(t) \right]_0^{\frac{\pi}{6}} + 2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(t) \ dt$$
Calculons le terme $[-(2t-1) \cos(t)]_0^{\frac{\pi}{6}}$ : $$\left[ -(2t-1) \cos(t) \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = -\left(2\cdot\frac{\pi}{6} - 1\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \left( -(2\cdot 0 - 1) \cos(0) \right)$$ $$= -\left(\frac{\pi}{3} - 1\right) \frac{\sqrt{3}}{2} - \left( -(-1) \cdot 1 \right) = -\left(\frac{\pi}{3} - 1\right) \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$ $$= -\frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$
Calculons le terme $2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(t) \ dt$ : $$2 \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(t) \ dt = 2 [\sin(t)]_0^{\frac{\pi}{6}} = 2 \left( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$
Additionnons les deux termes pour obtenir $K$ : $$K = \left( -\frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) + 1 = -\frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$
Réarrangeons l'expression pour une forme plus esthétique : $$K = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$
Finalement, la valeur de l'intégrale est $K = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = x^2 - 4x$ et $g(x) = -x^2 + 2x$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$.
1. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Calculons la différence $f(x) - g(x) = (x^2 - 4x) - (-x^2 + 2x) = 2x^2 - 6x = 2x(x - 3)$.
Sur $[1, 3]$, $x \ge 1 > 0$ et $x - 3 \le 0$, donc $f(x) - g(x) \le 0$, d'où $g(x) \ge f(x)$.
Sur $[3, 4]$, $x > 0$ et $x - 3 \ge 0$, donc $f(x) - g(x)ge 0$, d'où $f(x) \ge g(x)$.
2. Calculer les intégrales :
$$\mathcal{A} = \int_1^3 (g(x) - f(x)) dx + \int_3^4 (f(x) - g(x)) dx$$
$$\int (g(x) - f(x)) dx = \int (6x - 2x^2) dx = 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C$$
$$\int_1^3 (g(x) - f(x)) dx = [3x^2 - \frac{2}{3}x^3]_1^3 = (27 - 18) - (3 - \frac{2}{3}) = 9 - \frac{7}{3} = \frac{20}{3}$$
$$\int_3^4 (f(x) - g(x)) dx = [\frac{2}{3}x^3 - 3x^2]_3^4 = (\frac{2}{3}64 - 48) - (18 - 27) = \frac{128}{3} - 48 + 9 = \frac{128 - 117}{3} = \frac{11}{3}$$
3. Aire totale :
$$\mathcal{A} = \frac{20}{3} + \frac{11}{3} = \frac{31}{3}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\frac{31}{3}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2$.
1. Trouver les points d'intersection :
$\sqrt{x} = x^2 \Leftrightarrow x = x^4 \Leftrightarrow x^4 - x = 0 \Leftrightarrow x(x^3 - 1) = 0$. Les solutions sont $x=0$ et $x=1$.
2. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[0, 1]$, $\sqrt{x} \ge x^2$.
3. Calculer l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{1}{3}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\frac{1}{3}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = \frac{1}{x^2}$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$.
1. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[1, 2]$, $x^2 \ge x > 0$, donc $0 < x \le x^2$. En inversant, $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x^2} > 0$. Donc $f(x) \ge g(x)$.
2. Calculer l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_1^2 (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = [\ln|x| + \frac{1}{x}]_1^2 = (\ln 2 + \frac{1}{2}) - (\ln 1 + 1) = \ln 2 + \frac{1}{2} - 1 = \ln 2 - \frac{1}{2}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\ln 2 - \frac{1}{2}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \sin(x)$ et $g(x) = \cos(x)$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi}{2}$.
1. Trouver les points d'intersection :
$\sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Sur $[0, \frac{\pi}{2}]$, seule solution $x = \frac{\pi}{4}$.
2. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[0, \frac{\pi}{4}]$, $\cos x \ge \sin x$. Sur $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$, $\sin x \ge \cos x$.
3. Calculer les intégrales :
$$\mathcal{A} = \int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) dx$$
$$\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$$
$$\int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 + \sqrt{2}$$
4. Aire totale :
$$\mathcal{A} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{2\sqrt{2} - 2}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = x^3 - 6x$ et $g(x) = -2x^2 + 2x$.
1. Trouver les points d'intersection :
$x^3 - 6x = -2x^2 + 2x \Leftrightarrow x^3 + 2x^2 - 8x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 + 2x - 8) = 0$. Racines : $x=0, x=2, x=-4$.
2. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[-4, 0]$, $f(x) \ge g(x)$. Sur $[0, 2]$, $g(x) \ge f(x)$.
3. Calculer les intégrales :
$$\mathcal{A} = \int_{-4}^0 (f(x) - g(x)) dx + \int_0^2 (g(x) - f(x)) dx$$
$$\int (f(x) - g(x)) dx = \int (x^3 + 2x^2 - 8x) dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 + C$$
$$\int_{-4}^0 (f(x) - g(x)) dx = [\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 4x^2]_{-4}^0 = 0 - (64 - \frac{128}{3} - 64) = \frac{128}{3}$$
$$\int_0^2 (g(x) - f(x)) dx = -[\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 4x^2]_0^2 = -((4 + \frac{16}{3} - 16) - 0) = 12 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}$$
4. Aire totale :
$$\mathcal{A} = \frac{128}{3} + \frac{20}{3} = \frac{148}{3}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\frac{148}{3}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = x^2 - 2x + 1$ et $g(x) = -x + 1$.
1. Trouver les points d'intersection :
Pour trouver les bornes d'intégration, nous cherchons les points d'intersection des courbes de $f$ et $g$ en résolvant $f(x) = g(x)$ : $$x^2 - 2x + 1 = -x + 1$$ $$x^2 - x = 0$$ $$x(x - 1) = 0$$ Les solutions sont $x=0$ et $x=1$. Ces valeurs seront nos bornes d'intégration.
2. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur l'intervalle $[0, 1]$, nous devons déterminer quelle fonction est supérieure à l'autre. Choisissons un point dans l'intervalle, par exemple $x = 0.5$. $$f(0.5) = (0.5)^2 - 2(0.5) + 1 = 0.25 - 1 + 1 = 0.25$$ $$g(0.5) = -(0.5) + 1 = 0.5$$ Puisque $g(0.5) > f(0.5)$, nous avons $g(x) \ge f(x)$ sur $[0, 1]$.
3. Calculer l'intégrale :
L'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par les courbes de $f$ et $g$ est donnée par : $$\mathcal{A} = \int_0^1 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_0^1 ((-x + 1) - (x^2 - 2x + 1)) \, dx$$ $$\mathcal{A} = \int_0^1 (-x + 1 - x^2 + 2x - 1) \, dx = \int_0^1 (-x^2 + x) \, dx$$
Calculons l'intégrale : $$\mathcal{A} = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \left(-\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2\right) - \left(-\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2\right)$$ $$\mathcal{A} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6}$$
Conclusion : L'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $g$ est $\boxed{\frac{1}{6}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$ et les droites d'équation $x=-1$ et $x=1$.
1. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur l'intervalle $[-1, 1]$, comparons $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$. Pour $x \ge 0$, $x \ge -x$, donc $e^x \ge e^{-x}$. Pour $x < 0$, $|x| > |-x|$, donc $e^{|x|} > e^{|-x|}$ n'aide pas. Testons $x=0$, $e^0 = 1$, $e^{-0} = 1$. Testons $x=1$, $e^1 = e \approx 2.7$, $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.37$. Testons $x=-1$, $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.37$, $e^{-(-1)} = e^1 = e \approx 2.7$. Il semble que $f(x) = e^x \ge g(x) = e^{-x}$ sur $[-1, 1]$. Vérifions : $e^x \ge e^{-x} \Leftrightarrow x \ge -x \Leftrightarrow 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$. Donc $e^x \ge e^{-x}$ pour $x \ge 0$ et $e^{-x} \ge e^x$ pour $x \le 0$. Nous devons séparer l'intégrale en deux parties.
2. Calculer les intégrales :
$$\mathcal{A} = \int_{-1}^0 (e^{-x} - e^x) dx + \int_0^1 (e^x - e^{-x}) dx$$
$$\int_{-1}^0 (e^{-x} - e^x) dx = [-e^{-x} - e^x]_{-1}^0 = (-e^0 - e^0) - (-e^{-(-1)} - e^{-1}) = (-1 - 1) - (-e - e^{-1}) = -2 + e + \frac{1}{e}$$
$$\int_0^1 (e^x - e^{-x}) dx = [e^x + e^{-x}]_0^1 = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{-0}) = (e + \frac{1}{e}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$$
3. Aire totale :
$$\mathcal{A} = (-2 + e + \frac{1}{e}) + (e + \frac{1}{e} - 2) = 2e + \frac{2}{e} - 4 = 2(e + \frac{1}{e} - 2)$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{2e + \frac{2}{e} - 4}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ et $g(x) = \frac{x^3}{1+x^2}$. Indication : Étudier la parité des fonctions.
1. Étudier la parité des fonctions :
$f(-x) = \frac{-x}{1+(-x)^2} = -\frac{x}{1+x^2} = -f(x)$. $f$ est impaire.
$g(-x) = \frac{(-x)^3}{1+(-x)^2} = -\frac{x^3}{1+x^2} = -g(x)$. $g$ est impaire.
La différence $g(x) - f(x) = \frac{x^3 - x}{1+x^2}$ est aussi impaire.
2. Trouver les points d'intersection :
$\frac{x}{1+x^2} = \frac{x^3}{1+x^2} \Leftrightarrow x = x^3 \Leftrightarrow x^3 - x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 1) = 0$. Racines : $x = -1, 0, 1$.
3. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[0, 1]$, tester $x = 0.5$. $f(0.5) = \frac{0.5}{1.25} = 0.4$. $g(0.5) = \frac{0.125}{1.25} = 0.1$. Donc $f(x) \ge g(x)$ sur $[0, 1]$. Par imparité, sur $[-1, 0]$, $g(x) \ge f(x)$.
4. Calculer l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_{-1}^0 (g(x) - f(x)) dx + \int_0^1 (f(x) - g(x)) dx = 2 \int_0^1 (f(x) - g(x)) dx$$
$$\mathcal{A} = 2 \int_0^1 (\frac{x}{1+x^2} - \frac{x^3}{1+x^2}) dx = 2 \int_0^1 \frac{x(1 - x^2)}{1+x^2} dx = 2 \int_0^1 \frac{x - x^3}{1+x^2} dx$$
On pose $u = 1+x^2, du = 2x dx$. $x^2 = u-1, x = \frac{du}{2x} = \frac{du}{2\sqrt{u-1}}$. $$\int \frac{x - x^3}{1+x^2} dx = \int \frac{x(1 - x^2)}{1+x^2} dx = \int (\frac{x}{1+x^2} - \frac{x^3}{1+x^2}) dx$$ $$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)$$ $$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int \frac{x^3+x-x}{1+x^2} dx = \int (x - \frac{x}{1+x^2}) dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)$$ $$\int (\frac{x}{1+x^2} - \frac{x^3}{1+x^2}) dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) - (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)) = \ln(1+x^2) - \frac{1}{2}x^2$$
$$\mathcal{A} = 2 [\ln(1+x^2) - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = 2 [(\ln(2) - \frac{1}{2}) - (\ln(1) - 0)] = 2 \ln 2 - 1$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{2\ln 2 - 1}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \ln(x)$ et $g(x) = (\ln(x))^2$.
1. Trouver les points d'intersection :
$\ln x = (\ln x)^2 \Leftrightarrow (\ln x)^2 - \ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x (\ln x - 1) = 0$. Solutions : $\ln x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\ln x = 1 \Rightarrow x = e$.
2. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[1, e]$, tester $x = 2$. $\ln 2 \approx 0.69$. $(\ln 2)^2 \approx 0.48$. Donc $\ln x \ge (\ln x)^2$ sur $[1, e]$.
3. Calculer l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_1^e (\ln x - (\ln x)^2) dx = \int_1^e \ln x dx - \int_1^e (\ln x)^2 dx = I_1 - I_2$$
On a calculé $I_1 = 1$ et $I_2 = e - 2$ dans l'exercice précédent.
$$\mathcal{A} = I_1 - I_2 = 1 - (e - 2) = 3 - e$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{3 - e}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = 2-x$ et l'axe des abscisses.
1. Trouver les points d'intersection :
Intersection de $f$ et $g$: $\sqrt{x} = 2-x \Leftrightarrow x = (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$. Racines $x=1, x=4$. $x=4$ est exclue car $2-x = -2 < 0 \ne \sqrt{x} > 0$. Donc $x=1$. Point $(1, 1)$.
Intersection de $g$ et axe des abscisses : $2-x = 0 \Leftrightarrow x = 2$. Point $(2, 0)$.
Intersection de $f$ et axe des abscisses : $\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Point $(0, 0)$.
2. Découper le domaine :
De $x=0$ à $x=1$, on est sous $\sqrt{x}$. De $x=1$ à $x=2$, on est sous $2-x$.
3. Calculer les intégrales :
$$\mathcal{A} = \int_0^1 \sqrt{x} dx + \int_1^2 (2-x) dx$$
$$\int_0^1 \sqrt{x} dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = \frac{2}{3}$$
$$\int_1^2 (2-x) dx = [2x - \frac{1}{2}x^2]_1^2 = (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$
4. Aire totale :
$$\mathcal{A} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\frac{7}{6}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes d'équation $y^2 = 2px$ et $x^2 = 2py$, $p>0$.
1. Exprimer $y$ en fonction de $x$ pour les deux courbes :
$y^2 = 2px \Rightarrow y = \pm \sqrt{2px}$. On prend la partie supérieure $f(x) = \sqrt{2px}$.
$x^2 = 2py \Rightarrow y = \frac{x^2}{2p}$. On a $g(x) = \frac{x^2}{2p}$.
2. Trouver les points d'intersection :
$\sqrt{2px} = \frac{x^2}{2p} \Leftrightarrow 2px = \frac{x^4}{4p^2} \Leftrightarrow 8p^3 x = x^4 \Leftrightarrow x^4 - 8p^3 x = 0 \Leftrightarrow x(x^3 - 8p^3) = 0$. Racines $x=0, x=2p$.
3. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[0, 2p]$, $\sqrt{2px} \ge \frac{x^2}{2p}$.
4. Calculer l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_0^{2p} (\sqrt{2px} - \frac{x^2}{2p}) dx = [\sqrt{2p} \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{6p}x^3]_0^{2p} = \sqrt{2p} \frac{2}{3}(2p)^{3/2} - \frac{1}{6p}(2p)^3$$
$$\mathcal{A} = \sqrt{2p} \frac{2}{3} 2p \sqrt{2p} - \frac{1}{6p} 8p^3 = \frac{4p \cdot 2p}{3} - \frac{8p^2}{6} = \frac{8p^2}{3} - \frac{4p^2}{3} = \frac{4p^2}{3}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\frac{4p^2}{3}}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes d'équation $y = |\ln x|$ et $y = 1$.
1. Exprimer $x$ en fonction de $y$ et identifier les bornes :
$y = |\ln x|$. Si $y = 1$, $|\ln x| = 1$. Donc $\ln x = 1$ ou $\ln x = -1$. $x = e$ ou $x = e^{-1}$. Bornes $y=0$ (axe des x) et $y=1$.
Si $\ln x > 0$, $y = \ln x \Rightarrow x = e^y$. Si $\ln x < 0$, $y = -\ln x = \ln(x^{-1}) \Rightarrow x = e^{-y}$.
2. Découper l'aire en deux parties :
De $y=0$ à $y=1$, on a deux parties, à gauche et à droite de l'axe des y. On va calculer l'aire à droite, pour $x \ge 1$ (donc $\ln x \ge 0$, $y = \ln x \Rightarrow x = e^y$) et multiplier par 2 par symétrie (en fait non, pas de symétrie par rapport à l'axe des y, mais symétrie par rapport à l'axe des x si on considère $\pm |\ln x|$). On calcule l'aire entre $x = e^{-y}$ et $x = e^y$ et $y=0, y=1$.
$$\mathcal{A} = \int_0^1 (e^y - e^{-y}) dy = [e^y + e^{-y}]_0^1 = (e + e^{-1}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{e + \frac{1}{e} - 2}$ unités d'aire.
Calculer l'aire du domaine délimité par la parabole $y = x^2$ et la droite $y = x+2$.
1. Trouver les points d'intersection :
$x^2 = x+2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1) = 0$. Racines $x = -1, x = 2$.
2. Identifier la fonction supérieure et inférieure :
Sur $[-1, 2]$, $x+2 \ge x^2$ (tester avec $x = 0$). Donc $g(x) = x+2 \ge f(x) = x^2$.
3. Calculer l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_{-1}^2 (g(x) - f(x)) dx = \int_{-1}^2 (x+2 - x^2) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{-1}^2$$
$$\mathcal{A} = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = -\frac{8}{3} + 6 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$
Conclusion : L'aire est $\boxed{\frac{9}{2}}$ unités d'aire.