Entraînez-vous sur les variables aléatoires, lois de probabilité, espérance et variance avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Exercices pour maîtriser les concepts de variables aléatoires, lois de probabilité, espérance et variance.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les Variables aléatoires et lois de probabilité avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue possible d'une expérience aléatoire un nombre réel. Elle permet de quantifier les résultats d'une expérience aléatoire.
On distingue principalement deux types de variables aléatoires :
- Les variables aléatoires discrètes : elles prennent un nombre fini ou dénombrable de valeurs isolées (souvent des entiers). Exemples : nombre de faces Piles lors de lancers de pièces, nombre de boules rouges tirées, etc.
- Les variables aléatoires continues : elles peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle réel. Exemples : taille, poids, durée de vie, etc. (non abordé ici).
Dans ces exercices, nous nous concentrerons sur les variables aléatoires discrètes.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$ est l'ensemble des probabilités $P(X=x_i)$ pour toutes les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre $X$.
Elle peut être présentée sous forme de tableau :
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valeurs } x_i & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline \text{Probabilités } P(X=x_i) & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \hline \end{array} $$
Où $p_i = P(X=x_i)$ et $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$. La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles doit toujours être égale à 1.
L'espérance mathématique (ou moyenne) $E(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est la valeur moyenne que l'on s'attend à obtenir si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.
Elle est calculée par la formule :
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n $$
Dans le contexte des jeux de hasard, l'espérance permet de déterminer si un jeu est équitable ($E(X) = 0$), favorable au joueur ($E(X) > 0$) ou défavorable au joueur ($E(X) < 0$).
La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs de la variable aléatoire $X$ autour de son espérance $E(X)$.
Elle est calculée par la formule :
$$ V(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2 $$
Où $E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(X=x_i)$.
L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance :
$$ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $$
L'écart-type est une autre mesure de la dispersion, exprimée dans la même unité que la variable aléatoire $X$.
Certaines expériences aléatoires suivent des lois de probabilité particulières. En Terminale, on rencontre principalement :
| Loi | Description | Paramètres | Espérance | Variance |
|---|---|---|---|---|
| Loi de Bernoulli | Modélise une expérience avec deux issues possibles : succès (1) ou échec (0). | $p$ : probabilité de succès | $p$ | $p(1-p)$ |
| Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ | Nombre de succès lors de $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli. | $n$ : nombre d'épreuves, $p$ : probabilité de succès | $np$ | $np(1-p)$ |
| Loi uniforme discrète $\mathcal{U}(\{x_1, \cdots, x_k\})$ | Chaque valeur parmi un ensemble fini $\{x_1, \cdots, x_k\}$ a la même probabilité. | Ensemble de valeurs $\{x_1, \cdots, x_k\}$ | $\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} x_i$ (moyenne des valeurs) | $\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} x_i^2 - (E(X))^2$ |
Note : La loi hypergéométrique est également importante mais moins fréquemment abordée dans les exercices de base.
Pour mieux comprendre, voici des exemples concrets pour chaque loi avec leur loi de probabilité sous forme de tableau :
Loi de Bernoulli :
Exemple : Lancer d'une pièce de monnaie équilibrée. Succès = obtenir Pile (P), Échec = obtenir Face (F). Variable aléatoire $X$ = gain associé : Pile = 1€, Face = 0€.
| Valeurs de $X$ | 0 (Face) | 1 (Pile) |
|---|---|---|
| Probabilités | 0.5 | 0.5 |
Loi binomiale :
Exemple : On lance une pièce de monnaie équilibrée 3 fois de suite. On compte le nombre de Piles obtenus. Variable aléatoire $X$ = nombre de Piles.
| Valeurs de $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 |
Loi uniforme discrète :
Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces. Variable aléatoire $X$ = résultat du dé.
| Valeurs de $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilités | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Loi de Bernoulli :
Exemple : Lancer d'une pièce de monnaie équilibrée. Variable aléatoire $X$ = gain associé : Pile = 1€, Face = 0€.
| Valeurs de $X$ | 0 (Face) | 1 (Pile) |
|---|---|---|
| Probabilités | 0.5 | 0.5 |
Espérance : $E(X) = (0 \times 0.5) + (1 \times 0.5) = 0.5$.
Interprétation : En moyenne, sur un grand nombre de lancers, le gain moyen sera de 0.5€ par lancer.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. $E(X^2) = (0^2 \times 0.5) + (1^2 \times 0.5)$
= $0.5$. Donc $V(X) = 0.5 - (0.5)^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.25} = 0.5$.
Interprétation : L'écart-type mesure la dispersion des gains autour de la moyenne de 0.5€. Une valeur de 0.5 indique une dispersion modérée.
Loi binomiale :
Exemple : On lance une pièce de monnaie équilibrée 3 fois de suite. Variable aléatoire $X$ = nombre de Piles.
| Valeurs de $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 |
Espérance : $E(X) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$.
Interprétation : En moyenne, sur 3 lancers de pièce, on obtiendra 1.5 Piles.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. $E(X^2) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8})$
= $\frac{0+3+12+9}{8} = \frac{24}{8} = 3$. Donc $V(X) = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.75} \approx 0.866$.
Interprétation : L'écart-type indique une dispersion autour de la moyenne de 1.5 Piles, typiquement d'environ 0.87 Pile. Cela signifie que le nombre de piles observé lors de 3 lancers variera généralement d'environ 0.87 autour de la moyenne de 1.5.
Loi uniforme discrète :
Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces. Variable aléatoire $X$ = résultat du dé.
| Valeurs de $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilités | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Espérance : $E(X) = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6}) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$.
Interprétation : En moyenne, sur un grand nombre de lancers de dé, le résultat moyen sera de 3.5.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
$E(X^2) = (1^2 \times \frac{1}{6}) + (2^2 \times \frac{1}{6}) + (3^2 \times \frac{1}{6}) + (4^2 \times \frac{1}{6}) + (5^2 \times \frac{1}{6}) + (6^2 \times \frac{1}{6}) $
= $\frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17$. Donc $V(X) = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.92$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx \sqrt{2.92} \approx 1.71$.
Interprétation : L'écart-type indique une dispersion autour de la moyenne de 3.5. Avec un écart-type d'environ 1.7, les résultats des lancers de dé ont tendance à s'écarter de la moyenne de 3.5, en général d'environ 1.7 unités.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Un joueur mise 3€ et lance un dé équilibré.
- S'il obtient un 6, il gagne 10€ (en plus de récupérer sa mise).
- S'il obtient un 5, il gagne 5€ (en plus de récupérer sa mise).
- Sinon, il ne gagne rien (il perd sa mise).
Soit $Y$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
2. Calculer l'espérance $E(Y)$. Le jeu est-il équitable ?
Un joueur lance deux pièces de monnaie équilibrées.
- Si il obtient deux Piles, il gagne 5€.
- Si il obtient Pile et Face, il gagne 2€.
- Si il obtient deux Faces, il perd 4€.
Soit $U$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de $U$.
2. Calculer l'espérance $E(U)$ et la variance $V(U)$.
Dans un jeu, une roue est divisée en secteurs de couleurs : 2 secteurs rouges, 3 secteurs bleus, 5 secteurs verts. On mise 2€ et on fait tourner la roue.
- Si le secteur rouge sort, on gagne 5€ (en plus de récupérer sa mise).
- Si le secteur bleu sort, on ne gagne rien (on récupère sa mise).
- Si le secteur vert sort, on perd sa mise.
Soit $W$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
1. Déterminer la loi de probabilité de $W$.
2. Calculer l'espérance $E(W)$. Le jeu est-il équitable ?
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On effectue deux tirages successifs **sans remise**. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules rouges tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$.
Une entreprise possède deux machines, machine A et machine B, pour produire des pièces. La machine A produit 60% de la production totale, et la machine B produit 40%. Le taux de pièces défectueuses pour la machine A est de 3%, et pour la machine B de 5%. On choisit une pièce au hasard dans la production totale. Soit $D$ l'événement "la pièce est défectueuse". Soit $A$ l'événement "la pièce a été produite par la machine A" et $B$ l'événement "la pièce a été produite par la machine B".
Soit $Z$ la variable aléatoire qui vaut 1 si la pièce est défectueuse et 0 sinon.
1. Calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse, $\mathbb{P}(D)$.
2. Déterminer la loi de probabilité de $Z$.
3. Calculer l'espérance $E(Z)$. Que représente cette valeur ?