Découvrez les exercices de niveau Terminale Spécialité Maths sur les sommes de variables aléatoires.
Les exercices suivants portent sur la somme de variables aléatoires indépendantes, leur espérance et leur variance.
Revoyons ensemble les points essentiels sur Somme de variables aléatoires avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Lorsque vous additionnez deux ou plusieurs variables aléatoires, vous créez une nouvelle variable aléatoire. Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires, alors leur somme $S = X + Y$ est également une variable aléatoire. Cette notion est fondamentale pour analyser des phénomènes aléatoires combinés.
En particulier, dans le cadre d'échantillonnage, on considère souvent la somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.).
L'espérance de la somme de variables aléatoires possède une propriété très importante : la linéarité de l'espérance. Cette propriété est valable quelles que soient les variables aléatoires, même si elles ne sont pas indépendantes.
Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$, l'espérance de leur somme est :
$$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$
Plus généralement, pour une somme de $n$ variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ :
$$\mathbb{E}(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \mathbb{E}(X_1) + \mathbb{E}(X_2) + \dots + \mathbb{E}(X_n)$$
Pour la variance, la propriété d'additivité est conditionnée à l'indépendance des variables aléatoires. Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes, alors la variance de leur somme est la somme de leurs variances :
$$\mathbb{V}(X + Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y)$$
De même, pour une somme de $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1, X_2, \dots, X_n$ :
$$\mathbb{V}(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \mathbb{V}(X_1) + \mathbb{V}(X_2) + \dots + \mathbb{V}(X_n)$$
Si de plus, les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ sont identiquement distribuées et ont la même variance $\mathbb{V}(X)$, alors :
$$\mathbb{V}(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = n \times \mathbb{V}(X)$$
La moyenne d'échantillon, souvent notée $M_n$ ou $\bar{X}_n$, est une variable aléatoire obtenue en calculant la moyenne arithmétique d'un échantillon de taille $n$ de variables aléatoires i.i.d. $X_1, X_2, \dots, X_n$ issues d'une même loi.
Elle est définie par :
$$M_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$
Grâce aux propriétés de l'espérance et de la variance, on peut déterminer l'espérance et la variance de la moyenne d'échantillon en fonction de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X$ dont est issu l'échantillon :
Espérance de la moyenne d'échantillon : $$\mathbb{E}(M_n) = \mathbb{E}(X)$$
Variance de la moyenne d'échantillon (pour variables indépendantes) : $$\mathbb{V}(M_n) = \frac{\mathbb{V}(X)}{n}$$
Écart-type de la moyenne d'échantillon (pour variables indépendantes) : $$\sigma(M_n) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$$
La loi de probabilité de la somme de variables aléatoires dépend des lois des variables que l'on somme. Dans certains cas, on peut identifier précisément la loi de la somme :
Somme de variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre : Si $X_1, \dots, X_n$ suivent des lois de Bernoulli $\mathcal{B}(1, p)$ indépendantes, alors leur somme $S = X_1 + \dots + X_n$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
Somme de variables normales indépendantes : La somme de variables aléatoires normales indépendantes suit également une loi normale. Si $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ et $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ sont indépendantes, alors $X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$.
Théorème Central Limite : Pour un grand nombre $n$ de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, la loi de leur somme (et de leur moyenne) peut être approchée par une loi normale, même si les variables de départ ne suivent pas une loi normale. Ce théorème est fondamental en statistique.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
On étudie la marche aléatoire d'une particule se déplaçant sur les points d'abscisses entières d'un axe gradué d'origine $O$. La particule est à l'origine au temps $0$ et se déplace de chaque unité de temps d'une unité vers la droite avec la probabilité $\frac{1}{2}$ ou d'une unité vers la gauche avec la probabilité $\frac{1}{2}$. On suppose les déplacements de la particule indépendants les uns des autres. Pour tout entier naturel $k$ non nul on note $X_k$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si le $k$-ième déplacement a lieu vers la droite et qui vaut $-1$ dans le cas contraire. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $S_n$ l'abscisse de la particule à l'instant $n$.
a) Donnez, pour tout entier naturel non nul $k$ l'espérance et la variance de $X_k$. b) Pour tout entier naturel non nul $n$, exprimer $S_n$ en fonction de certaines des variables $X_k$. c) En déduire l'espérance et la variance de $S_n$.
La masse en grammes d'un paquet de café est donnée par une variable aléatoire $C$ d'espérance $250$ et de variance $4$. Soit $L$ la variable aléatoire donnant la masse en grammes d'un lot de deux paquets. On suppose les masses des deux paquets indépendantes entre elles. Déterminez $\mathbb{E}(L)$ et $\mathbb{V}(L)$.
Une machine remplit des pots de yaourts dont la masse en grammes est une variable aléatoire $Y$ d'espérance $125$ et d'écart-type $1,2$. On suppose que les remplissages des pots sont indépendants.
a) Exprimez la masse d'un lot de $16$ comme la variable aléatoire somme $S_{16}$ d'un échantillon de $16$ pots. b) Déterminez l'espérance de $S_{16}$. c) Montrez que l'écart-type de $S_{16}$ est $4,8$.
Une machine produit des joints dont l'épaisseur définit une variable aléatoire $X$ d'espérance $2$ mm et d'écart-type $0,1$ mm. Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$.
a) Déterminez l'espérance de $M_n$. b) Calculez l'écart-type de $M_{100}$ puis de $M_{10000}$.
Dans une population d'adultes la variable aléatoire $X$ associe à chaque individu sa glycémie en milligrammes par $100$ millilitres. On suppose que $X$ a pour espérance $92$ et pour écart-type $7$. Soit $M_{400}$ la variable aléatoire d'un échantillon de taille $400$ de la variable aléatoire $X$. Déterminez l'espérance et l'écart-type de $M_{400}$.
Sur des paquets de cartes à collectionner il est écrit que 20% des paquets comportent une et une seule carte rare.
a) Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ qui à chaque paquet associe le nombre de cartes rares. b) On achète 12 paquets: le nombre de cartes rares de ce lot est modélisé par un échantillon de taille 12 de la variable aléatoire $C$, noté $(C_1, \dots, C_{12})$. Expliquez pourquoi il est plausible d'affirmer que les variables aléatoires formant cet échantillon sont indépendantes. c) Déterminez la loi de probabilité de $L=C_1+ \dots +C_{12}$.
d) A-t-on plus de 50% de chance d'avoir récupéré 4 cartes rares?
Afin de mieux sécuriser les achats en ligne, certaines cartes bancaires ont un cryptogramme dynamique: ce code de sécurité qui figure au dos de la carte change chaque heure de manière «aléatoire»: chaque cryptogramme est composé de trois chiffres et les combinaisons de trois chiffres identiques, comme 111 ou 888 sont exclues.
a) Combien de cryptogrammes différents la carte bancaire peut-elle générer?
b) Combien de cryptogrammes comporte deux fois le même chiffre?
c) On note $D$ la variable aléatoire valant $1$ si le cryptogramme comportent deux fois le même chiffre et $0$ sinon. Établissez la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$.
d) $(D_1, \dots, D_{24})$ est un échantillon de taille $24$ de la variable aléatoire $D$ et $S=D_1+ \dots + D_{24}$. Calculez $\mathbb{P}(S \geqslant 2)$.
On réalise des semis dans des pots séparés et cultivés dans les mêmes conditions et on constate qu'ils survivent au bout de 2 mois dans 78% des cas.
a) On note $V$ la variable aléatoire qui à chaque semis associe 1 s'il est vivant au bout de deux mois et 0 sinon. Établissez la loi de $V$.
b) 500 semis ont été plantés. on les modélise par un échantillon $(V_1, \dots V_{500})$ de taille 500 de $V$ et on note $S=V_1+ \dots +V_{500}$. Déterminez la loi de probabilité de $S$.
c) Calculez la probabilité $\mathbb{P}(S>400)$ et interprétez ce résultat.