Entraînez-vous sur la représentation paramétrique des droites dans l'espace, niveau Terminale Spécialité Maths.
Exercices sur la représentation paramétrique des droites dans l'espace : détermination d'une représentation, identification de points et vecteurs directeurs, positions relatives de droites.
Revoyons ensemble les points essentiels sur Représentation Paramétrique d'une Droite avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
La représentation paramétrique d'une droite dans l'espace $\mathscr{E}_3$ est une manière d'exprimer les coordonnées de chaque point de la droite en fonction d'un paramètre réel, souvent noté $t$. Imaginez que $t$ représente le temps, et que la représentation paramétrique décrit la position d'un point se déplaçant le long de la droite au cours du temps.
Pour chaque valeur du paramètre $t$, on obtient un point unique sur la droite. En faisant varier $t$ sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, on décrit l'ensemble de tous les points de la droite.
Pour définir une droite dans l'espace, et donc sa représentation paramétrique, deux éléments sont indispensables :
Un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant à la droite. Ce point sert de point de départ, d'ancrage pour la droite.
Un vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ non nul. Ce vecteur donne la direction de la droite. Il indique comment se déplacer à partir du point $A$ pour parcourir la droite.
Si une droite $\Delta$ passe par le point $A(x_A, y_A, z_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, alors sa représentation paramétrique est donnée par le système d'équations :
$$\left\{ \begin{array}{rcl}x &=& at+x_A \\ y &=& bt+y_A \\ z &=& ct+z_A \end{array} \right.,\ t \in \mathbb{R}$$
Dans ce système :
$x, y, z$ sont les coordonnées d'un point quelconque $M$ de la droite $\Delta$.
$x_A, y_A, z_A$ sont les coordonnées du point $A$ (point connu appartenant à $\Delta$).
$a, b, c$ sont les composantes du vecteur directeur $\vec{u}$.
$t$ est le paramètre réel. Chaque valeur de $t$ correspond à un point unique sur la droite.
Pour trouver une représentation paramétrique d'une droite, vous devez identifier :
Un point $A$ appartenant à la droite : L'énoncé peut vous le donner directement, ou vous devrez le déterminer à partir d'autres informations.
Un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite :
Si on vous donne un point et un vecteur directeur : Vous avez directement les éléments nécessaires pour écrire la représentation paramétrique.
Si on vous donne deux points $A$ et $B$ de la droite : Vous pouvez prendre $\overrightarrow{AB}$ (ou $\overrightarrow{BA}$) comme vecteur directeur. Calculer les composantes de $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}$. Puis, vous pouvez choisir $A$ (ou $B$) comme point appartenant à la droite et $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur pour écrire la représentation paramétrique.
La représentation paramétrique est très utile pour :
Vérifier si un point appartient à une droite : Pour vérifier si un point $P(x_P, y_P, z_P)$ appartient à la droite, il faut tester s'il existe une valeur du paramètre $t$ qui vérifie le système d'équations :
$$\left\{ \begin{array}{rcl}x_P &=& at+x_A \\ y_P &=& bt+y_A \\ z_P &=& ct+z_A \end{array} \right.$$
Si vous trouvez une valeur de $t$ qui satisfait les trois équations, alors le point $P$ appartient à la droite.
Déterminer un vecteur directeur : Dans la représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{rcl}x &=& at+x_A \\ y &=& bt+y_A \\ z &=& ct+z_A \end{array} \right.,\ t \in \mathbb{R}$, le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Donnez une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ de $\mathscr{E}_3$ définie par:
a) $A(-1,-2,1)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\2\\-3 \end{pmatrix}$.
b) $A(1,0,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 4 \end{pmatrix}$.
c) $A(17,37,0)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\1\\0 \end{pmatrix}$.
d) $A(100;2,4;-\frac{1}{3})$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} \sqrt{\pi} \\ 3\times 10^2 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$.
e) $A(2,3,4)$ et $B(-2,6,5)$.
f) $A(6,-2,1)$ et $B(1,2,-1)$.
g) $A(5,7,0)$ et $B(0,1,2)$.
h) $A(1,2,3)$ et $B(-2,2,2)$.
i) $A(0,-1,1)$ et $B(0,2,1)$.
j) $A(2,0,4)$ et $B(1,0,3)$.
k) $A(1,-1,0)$ et $B(0,2,0)$.
l) $A(0,0,3)$ et $B(0,0,-2)$.
Donnez un vecteur directeur et deux points des droites dont les représentations paramétriques sont données:
a) $\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 3t+1 \\ y &=& 2t-3 \\ z &=& -4t+2 \end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
b) $\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& -2t+2 \\ y &=& t-2 \\ z &=& 6t+3 \end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
c) $\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 1 \\ y &=& -t-3 \\ z &=& t+2 \end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$
d) $\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 2t \\ y &=& 3t-3 \\ z &=& 4 \end{array} \right.,\ t\in\mathbb{R}$