Exercices : Raisonnement par récurrence

Correction : Exercice 1

Question 1: Montrons que $3^{2n}-1$ est divisible par $8$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation : Pour $n=0$, $3^{2 \times 0}-1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. $0 = 8 \times 0$, donc $0$ est divisible par $8$. La proposition est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n \ge 0$, $3^{2n}-1$ est divisible par $8$. Montrons que $3^{2(n+1)}-1$ est aussi divisible par $8$.

On a $3^{2(n+1)}-1 = 3^{2n+2}-1 = 3^{2} \times 3^{2n} - 1 = 9 \times 3^{2n} - 1 = 9 \times 3^{2n} - 9 + 8 = 9(3^{2n} - 1) + 8$.

Par hypothèse de récurrence, $3^{2n} - 1$ est divisible par $8$, donc $9(3^{2n} - 1)$ est divisible par $8 \times 9 = 72$ donc aussi par $8$. De plus, $8$ est divisible par $8$.

La somme de deux nombres divisibles par $8$ est divisible par $8$. Donc $3^{2(n+1)}-1$ est divisible par $8$. L'hérédité est vérifiée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, $3^{2n}-1$ est divisible par $8$ pour tout entier naturel $n$.

Question 2: Montrons que $5^{n}-4n-1$ est divisible par $16$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation : Pour $n=0$, $5^{0}-4 \times 0-1 = 1 - 0 - 1 = 0$. $0 = 16 \times 0$, donc $0$ est divisible par $16$. La proposition est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n \ge 0$, $5^{n}-4n-1$ est divisible par $16$. Montrons que $5^{n+1}-4(n+1)-1$ est aussi divisible par $16$.

On a $5^{n+1}-4(n+1)-1 = 5 \times 5^{n} - 4n - 4 - 1 = 5 \times 5^{n} - 5 - 4n + 4 = 5(5^{n}-4n-1) + 16n + 16 = 5(5^{n}-4n-1) + 16(n+1)$.

Par hypothèse de récurrence, $5^{n} - 4n - 1$ est divisible par $16$, donc $5(5^{n} - 4n - 1)$ est divisible par $16$. De plus, $16(n+1)$ est divisible par $16$.

La somme de deux nombres divisibles par $16$ est divisible par $16$. Donc $5^{n+1}-4(n+1)-1$ est divisible par $16$. L'hérédité est vérifiée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, $5^{n}-4n-1$ est divisible par $16$ pour tout entier naturel $n$.

Questions 3, 4 et 5: Les corrections pour les questions 3 à 5 suivent la même structure que les questions 1 et 2, utilisant le raisonnement par récurrence pour prouver la divisibilité.

Correction : Exercice 2

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n} \right)$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. Calculons l'expression pour $n=0$: $5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{0} \right) = 5\left( 1-1 \right) = 0$.

Donc $u_0 = 5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{0} \right)$. L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n \ge 0$, $u_n =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n} \right)$. Montrons que $u_{n+1} =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n+1} \right)$.

Par définition de la suite, $u_{n+1}=\frac{2}{5} u_n +3$. En utilisant l'hypothèse de récurrence pour $u_n$ :

$u_{n+1} = \frac{2}{5} \left[ 5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n} \right) \right] +3$

= $2 \left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n} \right) +3 = 2 - 2 \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n} +3 $

= $5 - 2 \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n} = 5 - 5 \times \frac{2}{5} \times \left( \frac{2}{5} \right)^{n}$

=$ 5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n+1} \right)$.

Donc $u_{n+1} = 5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n+1} \right)$. L'hérédité est vérifiée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n =5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n} \right)$.

Limite de la suite $(u_n)$ :

Rappel : Pour $q \in ]-1, 1[$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. Ici $q = \frac{2}{5} \in ]-1, 1[$.

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 5\left( 1-\left( \frac{2}{5} \right)^{n} \right) = 5(1 - 0) = 5$.

La suite $(u_n)$ converge vers $5$.

Correction : Exercice 3

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n =2^{n+1}+2 +n$.

Initialisation : Pour $n=1$, $u_1 = 7$. Calculons l'expression pour $n=1$: $2^{1+1}+2 +1 = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$. Donc $u_1 = 2^{1+1}+2 +1$. L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n \ge 1$, $u_n =2^{n+1}+2 +n$. Montrons que $u_{n+1} =2^{(n+1)+1}+2 +(n+1) = 2^{n+2} + n + 3$.

Par définition de la suite, pour $n \ge 1$, $u_{n+1}=2u_{n}- n$. En utilisant l'hypothèse de récurrence pour $u_n$ :

$u_{n+1} = 2 \left[ 2^{n+1}+2 +n \right] - (n+1) = 2^{n+2} + 4 + 2n - n - 1 = 2^{n+2} + n + 3$.

Donc $u_{n+1} = 2^{n+2} + n + 3 = 2^{(n+1)+1}+2 +(n+1)$. L'hérédité est vérifiée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n =2^{n+1}+2 +n$.

Monotonie de la suite $(u_n)$ :

Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$ :

$u_{n+1} - u_n = (2u_n - n) - u_n = u_n - n = (2^{n+1} + 2 + n) - n = 2^{n+1} + 2$.

Pour tout $n \ge 1$, $2^{n+1} + 2 > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui implique $u_{n+1} > u_n$.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Correction : Exercice 4

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 2$. Calculons l'expression pour $n=0$: $\frac{11}{4} \times 3^0 - \frac{3}{4} - \frac{0}{2} = \frac{11}{4} - \frac{3}{4} $

= $\frac{8}{4} = 2$. Donc $u_0 = \frac{11}{4} \times 3^0 - \frac{3}{4} - \frac{0}{2}$. L'initialisation est vérifiée.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n \ge 0$, $u_n = \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}$.

Montrons que $u_{n+1} = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{3}{4} - \frac{n+1}{2}$.

Par définition de la suite, $u_{n+1}=3u_{n}+n+1$. En utilisant l'hypothèse de récurrence pour $u_n$ :

$u_{n+1} = 3 \left[ \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2} \right] +n+1 = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{9}{4} - \frac{3n}{2} +n+1$

= $\frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{9}{4} - \frac{6n}{4} + \frac{4n}{4} + \frac{4}{4} = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{5}{4} - \frac{2n}{4}$.

On veut obtenir $\frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{3}{4} - \frac{n+1}{2} = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{3}{4} - \frac{2(n+1)}{4}$

= $\frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{3}{4} - \frac{2n+2}{4} = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{3+2}{4} - \frac{2n}{4} = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{5}{4} - \frac{2n}{4}$.

Les deux expressions sont égales. Donc $u_{n+1} = \frac{11}{4} \times 3^{n+1} - \frac{3}{4} - \frac{n+1}{2}$. L'hérédité est vérifiée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{11}{4} \times 3^n - \frac{3}{4} - \frac{n}{2}$.

Limite de la suite $(u_n)$ :

Rappel : Pour $q > 1$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$. Ici $q = 3 > 1$.

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 3^n = +\infty$. Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{11}{4} \times 3^n = +\infty$.

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( - \frac{3}{4} - \frac{n}{2} \right) = -\infty$. Forme indéterminée $"+ \infty - \infty"$.

Factorisons l'expression de $u_n$: $u_n = 3^n \left( \frac{11}{4} - \frac{3}{4 \times 3^n} - \frac{n}{2 \times 3^n} \right)$.

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{4 \times 3^n} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2 \times 3^n} = 0$ (croissances comparées).

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{11}{4} - \frac{3}{4 \times 3^n} - \frac{n}{2 \times 3^n} \right) = \frac{11}{4}$.

Conclusion (Produit de limites) :

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 3^n \times \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{11}{4} - \frac{3}{4 \times 3^n} - \frac{n}{2 \times 3^n} \right) = (+\infty) \times \frac{11}{4} = +\infty$.

La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

Correction : Exercice 5

Question 1: Calculez les trois premiers termes de la suite $(u_n)$.

Calcul des termes :

$u_0 = \frac{1}{4}$ (donné)

$u_1 = 5u_0 - 1 = 5 \times \frac{1}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}$

$u_2 = 5u_1 - 1 = 5 \times \frac{1}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}$

Les trois premiers termes sont $u_0 = \frac{1}{4}$, $u_1 = \frac{1}{4}$, $u_2 = \frac{1}{4}$.

Question 2: Conjecturez son expression explicite.

Conjecture :

Les premiers termes étant constants et égaux à $\frac{1}{4}$, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est constante et que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = \frac{1}{4}$.

Question 3: Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{1}{4}$.

Démonstration par récurrence :

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{1}{4}$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = \frac{1}{4}$ (donné). La proposition est vraie pour $n=0$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n \ge 0$, $u_n = \frac{1}{4}$. Montrons que $u_{n+1} = \frac{1}{4}$.

Par définition de la suite, $u_{n+1} = 5u_n - 1$. En utilisant l'hypothèse de récurrence $u_n = \frac{1}{4}$ :

$u_{n+1} = 5 \times \frac{1}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}$.

Donc $u_{n+1} = \frac{1}{4}$. L'hérédité est vérifiée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \frac{1}{4}$.

Question 4: La suite $(u_n)$ est-elle monotone ?

Monotonie :

Puisque $u_n = \frac{1}{4}$ pour tout $n$, on a $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

La suite $(u_n)$ est constante, donc à la fois croissante et décroissante (non strictement monotone).