Entraînez-vous sur les principes fondamentaux du dénombrement : additif et multiplicatif, avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Maîtrisez les bases du dénombrement avec ces exercices conçus pour éclaircir et renforcer votre compréhension des principes additif et multiplicatif.
Revoyons ensemble les points essentiels sur Principes additifs et multiplicatifs avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Le principe additif s'applique lorsque vous devez faire un choix parmi des ensembles disjoints, c'est-à-dire des options qui s'excluent mutuellement. Si vous avez $n_1$ façons de faire une première chose ET $n_2$ façons de faire une deuxième chose, et que vous ne pouvez faire que l'une OU l'autre (mais pas les deux en même temps), alors le nombre total de façons de faire l'une de ces choses est la somme des possibilités.
En termes plus formels : Si vous avez $k$ ensembles disjoints $E_1, E_2, ..., E_k$ avec respectivement $n_1, n_2, ..., n_k$ éléments, alors le nombre d'éléments dans l'union de ces ensembles ($E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_k$) est la somme de leurs cardinaux :
$$ |E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_k| = |E_1| + |E_2| + ... + |E_k| = n_1 + n_2 + ... + n_k $$
Exemple : Si vous devez choisir un dessert parmi 3 gâteaux au chocolat, 2 tartes aux fruits et 4 crèmes glacées, vous avez au total $3 + 2 + 4 = 9$ choix possibles.
Le principe multiplicatif intervient lorsque vous devez effectuer une série de choix successifs et indépendants. Si pour la première étape, vous avez $n_1$ options, et pour chacune de ces options, vous avez $n_2$ options pour la deuxième étape, et ainsi de suite jusqu'à la $k$-ième étape avec $n_k$ options, alors le nombre total de combinaisons possibles est le produit des nombres d'options à chaque étape.
Formellement : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, et qu'il y a $n_1$ résultats possibles pour la 1ère étape, $n_2$ pour la 2ème, ..., $n_k$ pour la $k$-ième, alors le nombre total de résultats possibles pour l'expérience est le produit :
$$ N = n_1 \times n_2 \times ... \times n_k $$
Exemple : Pour composer un menu avec 2 entrées, 3 plats principaux et 2 desserts, vous avez $2 \times 3 \times 2 = 12$ menus différents possibles.
Il est crucial de bien distinguer quand appliquer le principe additif et quand utiliser le principe multiplicatif. Voici un tableau récapitulatif pour vous aider :
| Principe | Situation typique |
|---|---|
| Additif | Choix OU : Sélectionner un élément parmi plusieurs catégories disjointes (choisir un livre de type A OU de type B OU de type C). |
| Multiplicatif | Choix ET : Effectuer plusieurs étapes successives indépendantes (choisir une entrée ET un plat ET un dessert). |
En résumé :
Principe Additif : "OU" $\rightarrow$ On additionne les possibilités.
Principe Multiplicatif : "ET" $\rightarrow$ On multiplie les possibilités.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Vous devez choisir un livre à lire pendant les vacances. Dans votre bibliothèque, vous avez 5 romans policiers, 3 romans de science-fiction et 2 biographies. Combien de choix de livres avez-vous au total ?
Un restaurant propose un menu où vous devez choisir une entrée parmi 3 options et un plat principal parmi 4 options. Combien de menus différents pouvez-vous composer ?
Pour composer un bouquet, un fleuriste propose :
3 types de fleurs : roses, tulipes, œillets
2 tailles de bouquets : petit, grand
4 couleurs dominantes : rouge, jaune, blanc, rose
Combien de bouquets différents le fleuriste peut-il composer ?
Dans une course automobile, 20 voitures sont au départ. On s'intéresse aux 3 premières voitures à franchir la ligne d'arrivée. Combien y a-t-il dePodiums possibles si l'on considère l'ordre d'arrivée des 3 premières voitures ?
Pour un digicode, on utilise un code à 4 chiffres. Chaque chiffre peut être choisi parmi les chiffres de 0 à 9.
1. Combien de codes différents peut-on former si chaque chiffre peut être utilisé plusieurs fois ?
2. Combien de codes différents peut-on former si chaque chiffre doit être différent des précédents ?
3. Combien de codes différents peut-on former si le premier chiffre doit être un chiffre pair et les autres chiffres peuvent être quelconques (répétitions autorisées) ?