Entraînez-vous à la recherche de primitives avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les Primitives avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Définition : Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ si et seulement si, pour tout $x$ appartenant à $I$, $F'(x) = f(x)$.
Unicité à une constante près : Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est donné par les fonctions de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle quelconque.
Il est essentiel de connaître les primitives des fonctions de référence. Voici un tableau récapitulatif :
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ (avec $n \neq -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ | $\ln(x) + C$ |
| $\frac{1}{x}$ sur $]-\infty; 0[$ | $\ln(-x) + C$ |
| $\mathrm{e}^x$ | $\mathrm{e}^x + C$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0; +\infty[$ | $2\sqrt{x} + C$ |
La recherche de primitives respecte la linéarité :
Primitive d'une somme : La primitive d'une somme de fonctions est la somme des primitives de chacune de ces fonctions. Soit deux fonctions $f$ et $g$ admettant des primitives sur un intervalle $I$, alors une primitive de $f+g$ sur $I$ est une primitive de $f$ plus une primitive de $g$.
Primitive d'un produit par une constante : La primitive du produit d'une fonction par une constante est le produit de cette constante par une primitive de la fonction. Soit une fonction $f$ admettant une primitive sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel, alors une primitive de $kf$ sur $I$ est $k$ fois une primitive de $f$.
Pour trouver des primitives de fonctions plus complexes, il est crucial de reconnaître certaines formes spécifiques et d'appliquer les formules associées :
Forme $u'(x) [u(x)]^n$ (avec $n \neq -1$) : une primitive est $\frac{1}{n+1} [u(x)]^{n+1} + C$.
Forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ : une primitive est $\ln|u(x)| + C$.
Forme $u'(x) \mathrm{e}^{u(x)}$ : une primitive est $\mathrm{e}^{u(x)} + C$.
Forme $\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ : une primitive est $2\sqrt{u(x)} + C$.
Forme $\cos(ax+b)$ : une primitive est $\frac{1}{a}\sin(ax+b) + C$.
Forme $\sin(ax+b)$ : une primitive est $-\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C$.
Forme $\mathrm{e}^{ax+b}$ : une primitive est $\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax+b} + C$.
Il est essentiel de préciser l'intervalle sur lequel on cherche une primitive. Certaines fonctions, comme $\frac{1}{x}$ ou $\ln(x)$, ont des domaines de définition restreints, et leurs primitives doivent être définies sur les mêmes intervalles ou des intervalles compatibles.
Par exemple, la primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln|x| + C$. Le domaine de définition de $\frac{1}{x}$ est $]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$, et $\ln|x|$ est définie sur le même domaine. On précisera donc l'intervalle, par exemple sur $]0; +\infty[$, une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x) + C$.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Déterminez une primitive de la fonction $f$ (sans se préoccuper des domaines de définition).
a) $f(x)=5(5x-1)^3$. b) $f(x)=\cos(x)\sin^2(x)$. c) $f(x)=-\mathrm{e}^{-x} \left( \mathrm{e}^{-x}+1 \right)^4$.
d) $f(x)= \dfrac{2x+2}{x^2+2x+3}$. e) $f(x)=\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}$. f) $f(x)= \dfrac{-10x\mathrm{e}^{-5x^2}}{\mathrm{e}^{-5x^2}}$
Vérifiez que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
a) $f(x) = 5x^2 - 2x - 5$ et $(E): y' = 10x - 2$. b) $f(x) = 1 - e^{-2x+1}$ et $(E): y' = 2e^{-2x+1}$.
c) $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ et $(E): y' = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$. d) $f(x) = \cos(x)$ et $(E): y' = -\sin(x)$.Déterminez une primitive de la fonction $f$ sur $I$.
a) $f(x)=x^2-3x+7$ et $I=\mathbb{R}$. b) $f(x)=x^3+x-12$ et $I=\mathbb{R}$. c) $f(x)=x^6+3x^5-x^4$ et $I=\mathbb{R}$.
d) $f(x)=0,1x^4+\frac{x^2}{10}-\frac{x}{100}$ et $I=\mathbb{R}$. e) $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}$ et $I=]0,+\infty[$. f) $f(x)=\frac{5}{x^4}-\frac{4}{x^5}$ et $I =]0,+\infty[$.
g) $f(x)= \frac{1}{2x}+\frac{x}{2}$ et $I=]0,+\infty[$. h) $f(x)=\frac{1}{3x^2}-\frac{3x^2}{2}+\frac{2}{3}$ et $I=\mathbb{R}$. i) $f(x)=10(2x+1)^4$ et $I=\mathbb{R}$.
j) $f(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ et $I=\left] -\frac{1}{3},+\infty\right[$. k) $f(x)=\frac{-1}{2(x-2)^3}$ et $I=]2,+\infty[$. l) $f(x)= \frac{2}{2x-6}$ et $I=]3,+\infty[$.
m) $f(x)=-\sin(-x)$ et $I=\mathbb{R}$. n) $f(x)=2\cos(2x+1)$ et $I=\mathbb{R}$. o) $f(x)=-3\sin(x)\cos^2(x)$ et $I=\mathbb{R}$.
p) $f(x)=3\mathrm{e}^{3x+1}$ et $I=\mathbb{R}$. q) $f(x)=2x\mathrm{e}^{x^2}$ et $I=\mathbb{R}$. r) $f(x)=6\mathrm{e}^x\left( \mathrm{e}^x+2 \right)^5$ et $I=\mathbb{R}$.
s) $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+3}$ et $I=\mathbb{R}$.