Exercices : Positions relatives dans l'espace (sans figure)

Correction :

Réponse : Non, elles ne sont pas nécessairement parallèles entre elles.

Explication : Deux droites parallèles à un même plan peuvent être :

- Parallèles entre elles : Imaginez deux lignes tracées sur une feuille de papier (le plan $(P)$) ; elles sont parallèles au plan et peuvent être parallèles entre elles.

- Sécantes : Considérez un plan horizontal $(P)$. Prenez une droite $(d_1)$ dans ce plan. Prenez une autre droite $(d_2)$ qui coupe $(d_1)$ dans le plan $(P)$ mais n'est pas confondue avec $(d_1)$. Les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont bien parallèles au plan $(P)$ (car incluses dedans), mais elles sont sécantes.

- Non coplanaires (gauches) : Imaginez le plan horizontal $(P)$. Prenez une droite $(d_1)$ dans ce plan. Prenez une droite $(d_2)$ parallèle au plan $(P)$ mais située strictement au-dessus du plan, et orientée de manière à ne pas être parallèle à $(d_1)$. Ces deux droites ne se rencontreront jamais et ne seront pas parallèles, elles seront gauches, tout en étant parallèles au même plan $(P)$.

Conclusion : Deux droites parallèles à un même plan peuvent être parallèles, sécantes ou gauches. Elles ne sont donc pas nécessairement parallèles entre elles.

Correction :

Réponse : Les plans $(P_1)$ et $(P_2)$ sont parallèles.

Explication :

Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, cela signifie que la droite $(d)$ est orthogonale à la fois à $(P_1)$ et à $(P_2)$.

Imaginez une droite verticale $(d)$. Si un plan $(P_1)$ est perpendiculaire à $(d)$, il sera horizontal. Si un autre plan $(P_2)$ est aussi perpendiculaire à la même droite $(d)$, il sera également horizontal. Deux plans horizontaux sont parallèles.

Plus formellement, supposons que $(P_1)$ et $(P_2)$ ne soient pas parallèles, alors ils seraient sécants selon une droite $(\delta)$. Si $(P_1)$ est perpendiculaire à $(d)$, alors toute droite de $(P_1)$ est perpendiculaire à $(d)$, donc $(\delta)$ est perpendiculaire à $(d)$. De même, si $(P_2)$ est perpendiculaire à $(d)$, alors $(\delta)$ est perpendiculaire à $(d)$. La droite $(\delta)$ serait donc perpendiculaire à $(d)$ et contenue dans deux plans différents perpendiculaires à $(d)$, ce qui est impossible sauf si $(P_1)$ et $(P_2)$ sont le même plan, ou si $(P_1)$ et $(P_2)$ sont parallèles. Si ils étaient sécants, l'intersection $(\delta)$ ne pourrait pas être perpendiculaire à $(d)$ en tout point de $(\delta)$, ce qui crée une contradiction avec la perpendicularité de $(d)$ à chaque plan.

Conclusion : Si deux plans $(P_1)$ et $(P_2)$ sont perpendiculaires à une même droite $(d)$, alors ils sont parallèles.

Correction :

Réponse : La droite $(d)$ est parallèle au plan $(P)$ (au sens large, c'est-à-dire strictement parallèle ou incluse dans le plan).

Explication :

Si une droite $(d)$ est parallèle à une droite $(\delta)$ contenue dans un plan $(P)$, cela signifie que $(d)$ a la même direction que $(\delta)$, et donc que la direction de $(d)$ est une direction du plan $(P)$.

Imaginez une droite $(\delta)$ sur une feuille de papier $(P)$. Si vous prenez une autre droite $(d)$ qui a la même direction que $(\delta)$, alors $(d)$ sera soit sur la feuille (incluse dans $(P)$), soit au-dessus ou en-dessous de la feuille, mais toujours parallèle à celle-ci.

Si $(d)$ intersectait le plan $(P)$ en un point, alors en ce point d'intersection, la direction de $(d)$ ne serait pas parallèle à une direction de $(P)$ sauf si $(d)$ était incluse dans $(P)$. Or, nous savons que $(d)$ a la direction de $(\delta)$ qui est une direction de $(P)$.

Conclusion : Si une droite $(d)$ est parallèle à une droite $(\delta)$ incluse dans un plan $(P)$, alors $(d)$ est parallèle au plan $(P)$. Elle peut être strictement parallèle ou incluse dans $(P)$.

Correction :

Réponse : La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(P)$.

Explication :

Deux droites sécantes $(d_1)$ et $(d_2)$ définissent un plan unique $(P)$. Si une droite $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(d_1)$, elle est orthogonale à toutes les directions de $(d_1)$. De même, si $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(d_2)$, elle est orthogonale à toutes les directions de $(d_2)$.

Puisque $(\Delta)$ est perpendiculaire à deux droites sécantes de $(P)$, et que ces droites définissent le plan $(P)$, alors $(\Delta)$ est perpendiculaire à toutes les directions possibles dans le plan $(P)$.

Par définition, une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan. Ici, $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(d_1)$ et $(d_2)$ qui sont sécantes et incluses dans $(P)$.

Conclusion : La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(P)$ défini par les droites sécantes $(d_1)$ et $(d_2)$.

Correction :

Réponse : La droite $(d)$ est sécante au plan $(P_2)$.

Explication :

Si deux plans $(P_1)$ et $(P_2)$ sont parallèles distincts, cela signifie qu'ils ne se coupent jamais et ne sont pas confondus. Si une droite $(d)$ est sécante à $(P_1)$, cela signifie qu'elle n'est pas parallèle à $(P_1)$ et la coupe en un point $A$.

Imaginez deux feuilles de papier parallèles $(P_1)$ et $(P_2)$. Si vous percez la première feuille $(P_1)$ avec un crayon (la droite $(d)$), le crayon devra nécessairement traverser la seconde feuille $(P_2)$ si vous le prolongez suffisamment, car $(P_2)$ est parallèle à $(P_1)$ et se situe "après" $(P_1)$ par rapport au point d'entrée du crayon dans $(P_1)$.

Plus formellement, si $(d)$ était parallèle à $(P_2)$, alors $(d)$ serait parallèle aux deux plans parallèles $(P_1)$ et $(P_2)$. Or, $(d)$ est sécante à $(P_1)$, donc elle ne peut pas être parallèle à $(P_2)$. La seule autre possibilité est que $(d)$ soit sécante à $(P_2)$.

Conclusion : Si une droite $(d)$ est sécante à un plan $(P_1)$ et que $(P_1)$ est parallèle à un autre plan $(P_2)$, alors $(d)$ est nécessairement sécante au plan $(P_2)$.