Exercices : Propriétés Algébriques du Logarithme Népérien

Correction :

a) Équation $2\mathrm{e}^x-3=0$ :

On isole le terme exponentiel :

$2\mathrm{e}^x = 3$

$\mathrm{e}^x = \frac{3}{2}$

On applique la fonction logarithme népérien aux deux membres :

$\ln(\mathrm{e}^x) = \ln\left(\frac{3}{2}\right)$

Formule de cours : $\ln(\mathrm{e}^x) = x$

$\boxed{x = \ln\left(\frac{3}{2}\right)}$

b) Équation $\mathrm{e}^{-x+1}-1=0$ :

On isole le terme exponentiel :

$\mathrm{e}^{-x+1} = 1$

On applique la fonction logarithme népérien aux deux membres :

$\ln(\mathrm{e}^{-x+1}) = \ln(1)$

Formule de cours : $\ln(1) = 0$

$-x+1 = 0$

$\boxed{x = 1}$

c) Équation $\mathrm{e}^{2x}=4$ :

On applique la fonction logarithme népérien aux deux membres :

$\ln(\mathrm{e}^{2x}) = \ln(4)$

$2x = \ln(4)$

Formule de cours : $\ln(a^n) = n\ln(a)$ et $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$

$2x = 2\ln(2)$

$\boxed{x = \ln(2)}$

d) Équation $\left( 2 \mathrm{e}^x-1 \right)\left( \mathrm{e}^x+5 \right)=0$ :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Soit $2 \mathrm{e}^x-1 = 0$ ou $\mathrm{e}^x+5 = 0$.

Pour $2 \mathrm{e}^x-1 = 0$ :

$2 \mathrm{e}^x = 1$

$\mathrm{e}^x = \frac{1}{2}$

$x = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Pour $\mathrm{e}^x+5 = 0$ :

$\mathrm{e}^x = -5$

Cette équation n'a pas de solution car $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Donc la seule solution est $\boxed{x = \ln\left(\frac{1}{2}\right)}$

e) Équation $-5\mathrm{e}^x-10=0$ :

$-5\mathrm{e}^x = 10$

$\mathrm{e}^x = -2$

Cette équation n'a pas de solution car $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Donc, $\boxed{\text{pas de solution}}$

f) Équation $7-\mathrm{e}^{5x-2}=0$ :

$\mathrm{e}^{5x-2} = 7$

$5x-2 = \ln(7)$

$5x = 2 + \ln(7)$

$\boxed{x = \frac{2 + \ln(7)}{5}}$

g) Équation $\mathrm{e}^{-3x}-1=0$ :

$\mathrm{e}^{-3x} = 1$

$-3x = \ln(1) = 0$

$\boxed{x = 0}$

h) Équation $\mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^x-9 \right)=0$ :

$\mathrm{e}^x = 0$ ou $\mathrm{e}^x-9 = 0$.

$\mathrm{e}^x = 0$ n'a pas de solution car $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$\mathrm{e}^x-9 = 0 \Rightarrow \mathrm{e}^x = 9 \Rightarrow x = \ln(9) = \ln(3^2) = 2\ln(3)$

$\boxed{x = 2\ln(3)}$

i) Équation $\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x=0$ :

On factorise par $\mathrm{e}^x$ :

$\mathrm{e}^x (\mathrm{e}^x + 3) = 0$

$\mathrm{e}^x = 0$ ou $\mathrm{e}^x + 3 = 0$.

$\mathrm{e}^x = 0$ n'a pas de solution.

$\mathrm{e}^x + 3 = 0 \Rightarrow \mathrm{e}^x = -3$ n'a pas de solution.

Donc, $\boxed{\text{pas de solution}}$

Correction :

a) Équation $\ln(x)=3$ :

On utilise la fonction exponentielle pour "annuler" le logarithme :

$\mathrm{e}^{\ln(x)} = \mathrm{e}^3$

Formule de cours : $\mathrm{e}^{\ln(x)} = x$

$\boxed{x = \mathrm{e}^3}$

b) Équation $\ln(x)=-7$ :

$\mathrm{e}^{\ln(x)} = \mathrm{e}^{-7}$

$\boxed{x = \mathrm{e}^{-7}}$

c) Équation $2\ln(x)-1=0$ :

On isole $\ln(x)$ :

$2\ln(x) = 1$

$\ln(x) = \frac{1}{2}$

$\mathrm{e}^{\ln(x)} = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$

$\boxed{x = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}}$

d) Équation $\left( \ln(x)+5 \right)\left( 4\ln(x)-5 \right)=0$ :

$\ln(x)+5 = 0$ ou $4\ln(x)-5 = 0$.

Pour $\ln(x)+5 = 0$ :

$\ln(x) = -5$

$x = \mathrm{e}^{-5}$

Pour $4\ln(x)-5 = 0$ :

$4\ln(x) = 5$

$\ln(x) = \frac{5}{4}$

$x = \mathrm{e}^{\frac{5}{4}}$

Les solutions sont $\boxed{x = \mathrm{e}^{-5} \text{ ou } x = \mathrm{e}^{\frac{5}{4}}}$

e) Équation $\left( \ln(x) \right)^2=9$ :

$\ln(x) = \sqrt{9} = 3$ ou $\ln(x) = -\sqrt{9} = -3$.

Pour $\ln(x) = 3$ : $x = \mathrm{e}^3$.

Pour $\ln(x) = -3$ : $x = \mathrm{e}^{-3}$.

Les solutions sont $\boxed{x = \mathrm{e}^3 \text{ ou } x = \mathrm{e}^{-3}}$

f) Équation $\ln(x)=-5$ :

$\boxed{x = \mathrm{e}^{-5}}$

g) Équation $-6\ln(x)+3=0$ :

$-6\ln(x) = -3$

$\ln(x) = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$

$\boxed{x = \mathrm{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}}$

h) Équation $\ln(x)\left( 2 \ln(x)-7 \right)=0$ :

$\ln(x) = 0$ ou $2\ln(x)-7 = 0$.

Pour $\ln(x) = 0$ : $x = \mathrm{e}^0 = 1$.

Pour $2\ln(x)-7 = 0$ : $2\ln(x) = 7 \Rightarrow \ln(x) = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \mathrm{e}^{\frac{7}{2}}$.

Les solutions sont $\boxed{x = 1 \text{ ou } x = \mathrm{e}^{\frac{7}{2}}}$

i) Équation $\left( \ln(x) \right)^2-\ln(x)=0$ :

On factorise par $\ln(x)$ :

$\ln(x) (\ln(x) - 1) = 0$

$\ln(x) = 0$ ou $\ln(x) - 1 = 0$.

Pour $\ln(x) = 0$ : $x = \mathrm{e}^0 = 1$.

Pour $\ln(x) - 1 = 0$ : $\ln(x) = 1 \Rightarrow x = \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}$.

Les solutions sont $\boxed{x = 1 \text{ ou } x = \mathrm{e}}$

j) Équation $\left( \ln(x) \right)^3-2 \left( \ln(x) \right)^2=0$ :

On factorise par $\left( \ln(x) \right)^2$ :

$\left( \ln(x) \right)^2 (\ln(x) - 2) = 0$

$\left( \ln(x) \right)^2 = 0$ ou $\ln(x) - 2 = 0$.

Pour $\left( \ln(x) \right)^2 = 0$ : $\ln(x) = 0 \Rightarrow x = \mathrm{e}^0 = 1$.

Pour $\ln(x) - 2 = 0$ : $\ln(x) = 2 \Rightarrow x = \mathrm{e}^2$.

Les solutions sont $\boxed{x = 1 \text{ ou } x = \mathrm{e}^2}$

Correction :

a) Fonction $f(x)=\ln \left( \frac{1}{x} \right)$ :

Pour que $\ln(u)$ soit défini, il faut $u > 0$. Ici, $u = \frac{1}{x}$.

On doit avoir $\frac{1}{x} > 0$. Cela est vrai si et seulement si $x > 0$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]0, +\infty[}$

b) Fonction $f(x)=\ln(x+1)$ :

On doit avoir $x+1 > 0$, soit $x > -1$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]-1, +\infty[}$

c) Fonction $f(x)=\ln\left( \frac{3x-1}{4x+11} \right)$ :

On doit avoir $\frac{3x-1}{4x+11} > 0$. On étudie le signe de la fraction avec un tableau de signes.

Racine du numérateur : $3x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.

Racine du dénominateur : $4x+11 = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{4}$.

La fraction est strictement positive pour $x \in ]-\infty, -\frac{11}{4}[ \cup ]\frac{1}{3}, +\infty[$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]-\infty, -\frac{11}{4}[ \cup ]\frac{1}{3}, +\infty[}$

d) Fonction $f(x)=\ln\left( \frac{2}{3}x+\frac{9}{7}\right)$ :

On doit avoir $\frac{2}{3}x+\frac{9}{7} > 0$.

$\frac{2}{3}x > -\frac{9}{7}$

$x > -\frac{9}{7} \times \frac{3}{2} = -\frac{27}{14}$

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]-\frac{27}{14}, +\infty[}$

e) Fonction $f(x)= \ln(x^2)$ :

On doit avoir $x^2 > 0$. Cela est vrai pour tout $x \neq 0$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[ = \mathbb{R}^*}$

f) Fonction $f(x)=\ln\left( (x-2)(3x-4) \right)$ :

On doit avoir $(x-2)(3x-4) > 0$. On étudie le signe du produit.

Racines : $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$ et $3x-4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$.

Le produit est strictement positif pour $x \in ]-\infty, \frac{4}{3}[ \cup ]2, +\infty[$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]-\infty, \frac{4}{3}[ \cup ]2, +\infty[}$

g) Fonction $f(x)= \ln\left( \mathrm{e}^x-1 \right)$ :

On doit avoir $\mathrm{e}^x-1 > 0$, soit $\mathrm{e}^x > 1 = \mathrm{e}^0$.

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, $x > 0$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]0, +\infty[}$

h) Fonction $f(x)=\ln(2x^2-3x+1)$ :

On doit avoir $2x^2-3x+1 > 0$. On cherche les racines de $2x^2-3x+1 = 0$.

Discriminant $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$.

Racines : $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Comme le coefficient de $x^2$ est positif ($2 > 0$), le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]-\infty, \frac{1}{2}[ \cup ]1, +\infty[}$

i) Fonction $f(x)= \ln(x+1)+\ln(x^2-4)$ :

Pour que $f(x)$ soit défini, il faut que $\ln(x+1)$ et $\ln(x^2-4)$ soient définis.

Pour $\ln(x+1)$ : $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Pour $\ln(x^2-4)$ : $x^2-4 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) > 0$.

Pour $(x-2)(x+2) > 0$, on a $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$.

On cherche l'intersection des domaines $x > -1$ et ($x < -2$ ou $x > 2$).

L'intersection est $x > 2$.

Le domaine de définition est $\boxed{D_f = ]2, +\infty[}$

Correction :

a) Simplification de $\ln(9)$ :

Formule de cours : $\ln(a^n) = n\ln(a)$

$\ln(9) = \ln(3^2) = \boxed{2\ln(3)}$

b) Simplification de $\ln\left( \dfrac{1}{3} \right)$ :

Formule de cours : $\ln\left( \frac{1}{a} \right) = -\ln(a)$

$\ln\left( \dfrac{1}{3} \right) = \boxed{-\ln(3)}$

c) Simplification de $\ln \left( 3 \sqrt{3} \right)$ :

Formule de cours : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$

$\ln \left( 3 \sqrt{3} \right) = \ln(3) + \ln(\sqrt{3}) = \ln(3) + \ln(3^{1/2}) = \ln(3) + \frac{1}{2}\ln(3) = \boxed{\frac{3}{2}\ln(3)}$

d) Simplification de $\ln(36)-2 \ln(2)$ :

Formule de cours : $n\ln(a) = \ln(a^n)$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b)$

$\ln(36)-2 \ln(2) = \ln(36) - \ln(2^2) = \ln(36) - \ln(4) = \ln\left( \frac{36}{4} \right) = \ln(9) = \ln(3^2) = \boxed{2\ln(3)}$

Correction :

a) Simplification de $\ln(10)-\ln\left( \frac{1}{4} \right)$ :

Formule de cours : $\ln(10) = \ln(2 \times 5) = \ln(2) + \ln(5)$, $\ln\left( \frac{1}{a} \right) = -\ln(a)$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$

$\ln(10)-\ln\left( \frac{1}{4} \right) = (\ln(2) + \ln(5)) - (-\ln(4)) $

=$ \ln(2) + \ln(5) + \ln(4) = \ln(2) + \ln(5) + \ln(2^2) = \ln(2) + \ln(5) + 2\ln(2) = \boxed{3\ln(2) + \ln(5)}$

b) Simplification de $\ln(0,05)$ :

Formule de cours : $0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} = \frac{1}{4 \times 5}$

=$\frac{1}{2^2 \times 5}$, $\ln\left( \frac{1}{a} \right) = -\ln(a)$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$

$\ln(0,05) = \ln\left( \frac{1}{20} \right) = -\ln(20) = -\ln(4 \times 5) = -(\ln(4) + \ln(5))$

=$ -(\ln(2^2) + \ln(5)) = -(2\ln(2) + \ln(5)) = \boxed{-2\ln(2) - \ln(5)}$

c) Simplification de $\ln\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)$ :

Formule de cours : $\ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b)$, $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$

$\ln\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right) = \ln(\sqrt{5}) - \ln(2) = \ln(5^{1/2}) - \ln(2) = \boxed{\frac{1}{2}\ln(5) - \ln(2)}$

d) Simplification de $2 \ln\left(5 \mathrm{e}^2\right)+ \ln \left( 4 \mathrm{e}^{-1} \right)$ :

Formule de cours : $n\ln(a) = \ln(a^n)$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln\left( \frac{1}{a} \right) = -\ln(a)$, $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $\ln(4) = 2\ln(2)$

$2 \ln\left(5 \mathrm{e}^2\right)+ \ln \left( 4 \mathrm{e}^{-1} \right)$

= $\ln\left( (5 \mathrm{e}^2)^2 \right) + \ln \left( 4 \mathrm{e}^{-1} \right)$

= $ \ln(25 \mathrm{e}^4) + \ln \left( 4 \mathrm{e}^{-1} \right)$

= $ \ln(25 \mathrm{e}^4 \times 4 \mathrm{e}^{-1}) = \ln(100 \mathrm{e}^3) = \ln(100) + \ln(\mathrm{e}^3)$

= $\ln(10^2) + 3\ln(\mathrm{e}) = 2\ln(10) + 3 \times 1 = 2\ln(2 \times 5) + 3 = 2(\ln(2) + \ln(5)) + 3 = \boxed{2\ln(2) + 2\ln(5) + 3}$

Correction :

a) Simplification de $A=\ln\left( \mathrm{e}^4 \right)+3 \ln \left( \mathrm{e}^{-1} \right)$ :

Formule de cours : $\ln(\mathrm{e}^x) = x$, $n\ln(a) = \ln(a^n)$

$A=\ln\left( \mathrm{e}^4 \right)+3 \ln \left( \mathrm{e}^{-1} \right) = 4 + 3 \times (-1) = 4 - 3 = \boxed{1}$

b) Simplification de $B=\mathrm{e}^{2\ln(5)}-\ln\left( \left( \mathrm{e}^5 \right)^2 \right)$ :

Formule de cours : $n\ln(a) = \ln(a^n)$, $\mathrm{e}^{\ln(x)} = x$, $\ln(\mathrm{e}^x) = x$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$

$B=\mathrm{e}^{2\ln(5)}-\ln\left( \left( \mathrm{e}^5 \right)^2 \right) = \mathrm{e}^{\ln(5^2)} - \ln(\mathrm{e}^{10}) = \mathrm{e}^{\ln(25)} - 10 = 25 - 10 = \boxed{15}$

c) Simplification de $C=\ln \left( \mathrm{e}^{-3} \right)\times \ln \left( \mathrm{e}^3 \right)$ :

Formule de cours : $\ln(\mathrm{e}^x) = x$

$C=\ln \left( \mathrm{e}^{-3} \right)\times \ln \left( \mathrm{e}^3 \right) = (-3) \times (3) = \boxed{-9}$

d) Simplification de $D=20\ln\left( \sqrt{e} \right)-\mathrm{e}^{3 \ln(3)}$ :

Formule de cours : $\sqrt{e} = e^{1/2}$, $\ln(a^n) = n\ln(a)$, $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $n\ln(a) = \ln(a^n)$, $\mathrm{e}^{\ln(x)} = x$

$D=20\ln\left( \sqrt{e} \right)-\mathrm{e}^{3 \ln(3)} = 20\ln\left( e^{1/2} \right) - \mathrm{e}^{\ln(3^3)} = 20 \times \frac{1}{2} \ln(e) - \mathrm{e}^{\ln(27)} = 10 \times 1 - 27 = 10 - 27 = \boxed{-17}$