Exercices : Limites Infinies de Suites

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=\frac{1}{n}+\sqrt{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons analyser la limite de chaque terme séparément.

Rappel de cours : Limite d'une somme et limites de référence

La limite d'une somme de suites est la somme des limites, à condition que les limites de chaque terme existent.

On sait que :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

Ainsi, en appliquant la règle de la limite d'une somme, nous obtenons :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n} + \sqrt{n} \right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = 0 + (+\infty) = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Somme d'une suite qui tend vers 0 et une suite qui tend vers l'infini.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=n^4$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous analysons le comportement des suites puissances.

Rappel de cours : Limite des suites puissances

Pour tout entier positif $k$, $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$.

Dans notre cas, $k=4$, donc nous avons directement :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} n^4 = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Suite puissance avec exposant positif, ça diverge !

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite géométrique $u_n=4^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons examiner la raison de la suite.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, on a :

- Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.

- Si $q = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.

- Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

- Si $q \le -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.

Ici, la raison $q = 4$. Comme $4 > 1$, nous sommes dans le premier cas :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 4^n = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Suite géométrique avec raison > 1.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite géométrique $u_n=0,25^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous examinons la raison de la suite.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

Ici, la raison $q = 0,25$. Comme $|0,25| = 0,25 < 1$, nous avons :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 0,25^n = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Suite géométrique avec |raison| < 1, tend vers 0.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite géométrique $u_n=\left( -\frac{1}{10} \right)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous examinons la raison de la suite.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

Ici, la raison $q = -\frac{1}{10}$. Comme $\left| -\frac{1}{10} \right| = \frac{1}{10} < 1$, nous avons :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left( -\frac{1}{10} \right)^n = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Suite géométrique avec |raison| < 1, tend vers 0.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite géométrique $u_n= (-3)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous examinons la raison de la suite.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q| > 1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite. Elle diverge.

Ici, la raison $q = -3$. Comme $|-3| = 3 > 1$, la suite $( (-3)^n )$ n'a pas de limite. Elle diverge. Les termes de la suite alternent entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.

Réponse : La suite $(u_n)$ n'a pas de limite.

Suite géométrique avec |raison| > 1, oscillations.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite polynomiale $u_n=-5n^3+4n^2+n-4$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons considérer le terme de plus haut degré.

Rappel de cours : Limite des suites polynomiales

Pour un polynôme en $n$, la limite à l'infini est déterminée par le terme de plus haut degré. Plus précisément, pour un polynôme $P(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_0$, la limite de la suite $(P(n))$ est la même que la limite de la suite $(a_k n^k)$.

Ici, le terme de plus haut degré est $-5n^3$. Comme le coefficient dominant $-5$ est négatif et la puissance $3$ est impaire, la limite est $-\infty$.

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (-5n^3+4n^2+n-4) = \lim_{n \to +\infty} -5n^3 = -\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

Polynôme de degré impair avec coefficient dominant négatif.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite polynomiale $u_n= n^6-4n^5-1000$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons considérer le terme de plus haut degré.

Rappel de cours : Limite des suites polynomiales

Pour un polynôme en $n$, la limite à l'infini est déterminée par le terme de plus haut degré.

Ici, le terme de plus haut degré est $n^6$. Comme le coefficient dominant $1$ (implicite devant $n^6$) est positif et la puissance $6$ est paire, la limite est $+\infty$.

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (n^6-4n^5-1000) = \lim_{n \to +\infty} n^6 = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Polynôme de degré pair avec coefficient dominant positif.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=-\sqrt{\frac{1}{n^2}}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons simplifier l'expression et utiliser les limites de référence.

Rappel de cours : Simplification et limites de référence

Pour $n > 0$, on a $\sqrt{\frac{1}{n^2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{n^2}} = \frac{1}{n}$.

Donc, $u_n = -\sqrt{\frac{1}{n^2}} = -\frac{1}{n}$.

On sait que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. Par conséquent :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = - \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = -0 = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Tendance vers 0 après simplification.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=\dfrac{\mathrm{e}^n}{n^3}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons utiliser les croissances comparées.

Rappel de cours : Croissances Comparées

Pour tout entier positif $k$, on a $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^k} = +\infty$. Cette propriété reste vraie pour les suites : $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^n}{n^k} = +\infty$.

Ici, nous avons $k = 3$. Donc, en appliquant les croissances comparées :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^n}{n^3} = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur les polynômes.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite rationnelle $u_n=\dfrac{4n^2-3n+1}{-2n^2+n-5}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons comparer les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Rappel de cours : Limite des suites rationnelles

Pour une fraction rationnelle de polynômes, la limite à l'infini est le rapport des termes de plus haut degré.

On divise le numérateur et le dénominateur par $n^2$ (le plus haut degré présent) :

$\qquad u_n = \dfrac{4n^2-3n+1}{-2n^2+n-5} = \dfrac{n^2 \left( 4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} \right)}{n^2 \left( -2 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2} \right)} = \dfrac{4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{-2 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2}}$

Lorsque $n \to +\infty$, $\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$, et $\frac{5}{n^2} \to 0$. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{-2 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2}} = \dfrac{4 - 0 + 0}{-2 + 0 - 0} = \dfrac{4}{-2} = -2$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = -2$

On regarde le rapport des termes de plus haut degré.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite rationnelle $u_n=\dfrac{7n^2+n+1}{5n^6+n^3}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons comparer les degrés des polynômes au numérateur et au dénominateur.

Rappel de cours : Limite des suites rationnelles

Si le degré du dénominateur est strictement supérieur au degré du numérateur, alors la limite de la fraction rationnelle est 0.

Ici, le degré du numérateur est 2 et le degré du dénominateur est 6. Comme $6 > 2$, la limite est 0.

On peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par $n^6$ (le plus haut degré au dénominateur) :

$\qquad u_n = \dfrac{7n^2+n+1}{5n^6+n^3} = \dfrac{n^6 \left( \frac{7}{n^4} + \frac{1}{n^5} + \frac{1}{n^6} \right)}{n^6 \left( 5 + \frac{1}{n^3} \right)} = \dfrac{\frac{7}{n^4} + \frac{1}{n^5} + \frac{1}{n^6}}{5 + \frac{1}{n^3}}$

Lorsque $n \to +\infty$, chaque terme avec $n$ au dénominateur tend vers 0. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\frac{7}{n^4} + \frac{1}{n^5} + \frac{1}{n^6}}{5 + \frac{1}{n^3}} = \dfrac{0 + 0 + 0}{5 + 0} = \dfrac{0}{5} = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Le degré du dénominateur est plus grand.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n= \mathrm{e}^{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons analyser l'exposant de l'exponentielle.

Rappel de cours : Limite de la fonction exponentielle

On sait que $\lim_{X \to +\infty} \mathrm{e}^X = +\infty$.

Dans notre cas, l'exposant est $n^2$. Lorsque $n \to +\infty$, $n^2 \to +\infty$. Donc, en posant $X = n^2$, nous avons $X \to +\infty$ lorsque $n \to +\infty$.

Ainsi :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{n^2} = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

L'exponentielle tend vers l'infini quand son exposant tend vers l'infini.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=\mathrm{e}^{-n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons analyser l'exposant de l'exponentielle.

Rappel de cours : Limite de la fonction exponentielle

On sait que $\lim_{X \to -\infty} \mathrm{e}^X = 0$.

Dans notre cas, l'exposant est $-n^2$. Lorsque $n \to +\infty$, $-n^2 \to -\infty$. Donc, en posant $X = -n^2$, nous avons $X \to -\infty$ lorsque $n \to +\infty$.

Ainsi :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-n^2} = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

On peut l'écrire $\frac{1}{\mathrm{e}^{n^2}}$.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=(-1)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous observons que cette suite est oscillante.

Rappel de cours : Suites oscillantes

La suite $(-1)^n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$ pour $n$ pair et impair respectivement. Une suite qui oscille entre deux valeurs distinctes sans se stabiliser vers une valeur particulière n'a pas de limite.

La suite $( (-1)^n )$ prend les valeurs $-1, 1, -1, 1, ...$. Elle n'approche pas d'une valeur limite unique.

Réponse : La suite $(u_n)$ n'a pas de limite.

Suite oscillante bornée.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=\sin\left( n\frac{\pi}{2} \right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons examiner les valeurs prises par la suite.

Rappel de cours : Suites trigonométriques

La fonction sinus est périodique et prend des valeurs entre $-1$ et $1$. Pour des valeurs discrètes de $n$, la suite peut osciller sans converger vers une limite unique.

Pour différentes valeurs de $n$, nous avons :

- Si $n = 4k$, $u_n = \sin(2k\pi) = 0$

- Si $n = 4k+1$, $u_n = \sin(2k\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$

- Si $n = 4k+2$, $u_n = \sin(2k\pi + \pi) = 0$

- Si $n = 4k+3$, $u_n = \sin(2k\pi + \frac{3\pi}{2}) = -1$

La suite $( \sin\left( n\frac{\pi}{2} \right) )$ prend les valeurs $0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, ...$ de façon répétée. Elle n'approche pas d'une valeur limite unique.

Réponse : La suite $(u_n)$ n'a pas de limite.

Suite bornée sans limite.

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $u_n=\sin\left( n\pi \right)+n^2$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, nous devons simplifier l'expression et utiliser les limites de référence.

Rappel de cours : Simplification et limite d'une somme

On sait que pour tout entier $n$, $\sin(n\pi) = 0$. Donc, l'expression de la suite se simplifie.

$\qquad u_n = \sin(n\pi) + n^2 = 0 + n^2 = n^2$

Ainsi, la suite $u_n$ est en réalité la suite $n^2$. On sait que :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

Par conséquent :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Simplifiez avant de conclure!