Exercices : Limites de Suites

Correction :

Rappel de cours : Limite de la suite $\frac{1}{n^k}$

Pour tout entier positif $k$, on a $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$.

Ici, avec $k=2$, nous avons directement :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$

Simple application du cours, bien!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{\sqrt{n}}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on peut simplifier l'expression.

Étape 1: Simplification de l'expression

On sait que $n = \sqrt{n} \times \sqrt{n}$. Donc, pour $n \neq 0$:

$\qquad \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \times \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

Étape 2: Calcul de la limite

On sait que $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$. Par conséquent, par inverse :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n}}{n} = 0$

Astuce: simplifiez avant de conclure!

Correction :

Rappel de cours : Limite des suites puissances

Pour tout entier positif $k$, $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$.

Ici, avec $k=12$, nous avons :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} n^{12} = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} n^{12} = +\infty$

Polynôme de degré pair, ça diverge!

Correction :

On peut réécrire la suite $\left( \frac{1}{3^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ sous la forme d'une suite géométrique.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

On a $\frac{1}{3^n} = \left( \frac{1}{3} \right)^n$. Ici, la raison $q = \frac{1}{3}$. Comme $\left| \frac{1}{3} \right| < 1$, on a :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3^n} = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3^n} = 0$

Suite géométrique, cas classique!

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $\left( 3+ \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on utilise la limite d'une somme.

Rappel de cours : Limite d'une somme de suites

Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = M$, alors $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = L + M$.

Ici, on pose $u_n = 3$ et $v_n = \frac{1}{n}$. On a $\lim_{n \to +\infty} 3 = 3$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( 3+ \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \to +\infty} 3 + \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \left( 3+ \frac{1}{n} \right) = 3$

Limite d'une somme... facile non?

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $\left( \frac{1}{n^2}-4 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on utilise la limite d'une somme.

Rappel de cours : Limite d'une somme de suites

Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = M$, alors $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = L + M$.

Ici, on pose $u_n = \frac{1}{n^2}$ et $v_n = -4$. On a $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} -4 = -4$. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n^2} - 4 \right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} + \lim_{n \to +\infty} -4 = 0 + (-4) = -4$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n^2} - 4 \right) = -4$

Presque pareil qu'avant!

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $\left( \frac{1}{\pi^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on l'interprète comme une suite géométrique.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

On a $\frac{1}{\pi^n} = \left( \frac{1}{\pi} \right)^n$. Ici, la raison $q = \frac{1}{\pi}$. Comme $\pi \approx 3.14 > 1$, on a $\left| \frac{1}{\pi} \right| < 1$. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\pi^n} = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{\pi} \right)^n = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\pi^n} = 0$

Suite géométrique avec |q|>1 au dénominateur.

Correction :

Rappel de cours : Limite de la suite $\sqrt{n}$

La fonction racine carrée, bien que croissant lentement, tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini.

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$

Croissance lente mais infinie!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{n^4}{n^7} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, il est préférable de simplifier l'expression.

Étape 1: Simplification de l'expression

On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par $n^4$ (ou en utilisant les règles de puissance) :

$\qquad \frac{n^4}{n^7} = \frac{1}{n^{7-4}} = \frac{1}{n^3}$

Étape 2: Calcul de la limite

On utilise la limite de référence : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ pour $k > 0$. Ici, $k=3$:

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3} = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^4}{n^7} = 0$

Simplification obligatoire avant de conclure!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{n^2 \times n^{25}}{n^{-7} \times n^{26}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, il est crucial de simplifier l'expression en utilisant les règles de puissance.

Étape 1: Simplification de l'expression

On utilise les règles $n^a \times n^b = n^{a+b}$ et $\frac{n^a}{n^b} = n^{a-b}$:

$\qquad \frac{n^2 \times n^{25}}{n^{-7} \times n^{26}} = \frac{n^{2+25}}{n^{-7+26}} = \frac{n^{27}}{n^{19}} = n^{27-19} = n^8$

Étape 2: Calcul de la limite

On utilise la limite de référence : $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ pour $k > 0$. Ici, $k=8$:

$\qquad \lim_{n \to +\infty} n^8 = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 \times n^{25}}{n^{-7} \times n^{26}} = +\infty$

Pareil qu'avant, simplifiez!

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $\left( \mathrm{e}^{-n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on peut la réécrire sous forme de fraction.

Étape 1: Réécriture de l'expression

On utilise la propriété $\mathrm{e}^{-n} = \frac{1}{\mathrm{e}^n}$:

$\qquad \mathrm{e}^{-n} = \frac{1}{\mathrm{e}^n}$

Étape 2: Calcul de la limite

On sait que $\mathrm{e} \approx 2.718 > 1$, donc $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^n = +\infty$. Par conséquent, par inverse :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\mathrm{e}^n} = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0$

Encore une suite géométrique!

Correction :

Pour déterminer la limite de la suite $\left( \mathrm{e}^{4n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on analyse l'exposant de l'exponentielle.

Rappel de cours : Comportement de l'exponentielle

Pour $a > 0$, si l'exposant tend vers $+\infty$, alors $\mathrm{e}^{\text{exposant}} \to +\infty$.

Ici, l'exposant est $4n$. Lorsque $n \to +\infty$, $4n \to +\infty$. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{4n} = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{4n} = +\infty$

Exponentielle qui explose!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-5n}}{\mathrm{e}^{-3n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, il est essentiel de simplifier l'expression en utilisant les propriétés de l'exponentielle.

Étape 1: Simplification de l'expression

On utilise les règles $\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$ et $\frac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b}$:

$\qquad \frac{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-5n}}{\mathrm{e}^{-3n}} = \frac{\mathrm{e}^{4n + (-5n)}}{\mathrm{e}^{-3n}} = \frac{\mathrm{e}^{-n}}{\mathrm{e}^{-3n}} = \mathrm{e}^{-n - (-3n)} = \mathrm{e}^{-n + 3n} = \mathrm{e}^{2n}$

Étape 2: Calcul de la limite

On a vu à la question précédente que $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{4n} = +\infty$. De même, $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{2n} = +\infty$.

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-5n}}{\mathrm{e}^{-3n}} = +\infty$

Simplifiez à fond avant de conclure.

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{\mathrm{e}^{2n}}{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-2n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, il est crucial de simplifier l'expression en utilisant les propriétés de l'exponentielle.

Étape 1: Simplification de l'expression

On simplifie le dénominateur : $\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-2n} = \mathrm{e}^{4n + (-2n)} = \mathrm{e}^{2n}$.

Donc, l'expression devient :

$\qquad \frac{\mathrm{e}^{2n}}{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-2n}} = \frac{\mathrm{e}^{2n}}{\mathrm{e}^{2n}} = 1$

Étape 2: Calcul de la limite

La suite est constante et égale à 1 pour tout $n$. Donc, sa limite est 1.

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{2n}}{\mathrm{e}^{4n} \times \mathrm{e}^{-2n}} = 1$

Attention, simplifications!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{\mathrm{e}^{-2n} + \mathrm{e}^{-3n}}{\mathrm{e}^{-2n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on simplifie l'expression en divisant chaque terme du numérateur par le dénominateur.

Étape 1: Simplification de l'expression

On divise chaque terme du numérateur par $\mathrm{e}^{-2n}$:

$\qquad \frac{\mathrm{e}^{-2n} + \mathrm{e}^{-3n}}{\mathrm{e}^{-2n}} = \frac{\mathrm{e}^{-2n}}{\mathrm{e}^{-2n}} + \frac{\mathrm{e}^{-3n}}{\mathrm{e}^{-2n}} = 1 + \mathrm{e}^{-3n - (-2n)} = 1 + \mathrm{e}^{-3n + 2n} = 1 + \mathrm{e}^{-n}$

Étape 2: Calcul de la limite

On sait que $\lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0$. Donc :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \mathrm{e}^{-n} \right) = \lim_{n \to +\infty} 1 + \lim_{n \to +\infty} \mathrm{e}^{-n} = 1 + 0 = 1$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2n} + \mathrm{e}^{-3n}}{\mathrm{e}^{-2n}} = 1$

On divise chaque terme.

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{2^n}{3^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on réécrit l'expression sous forme d'une suite géométrique.

Étape 1: Réécriture de l'expression

On utilise la propriété $\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n$:

$\qquad \frac{2^n}{3^n} = \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Étape 2: Calcul de la limite

On reconnaît une suite géométrique de raison $q = \frac{2}{3}$. Comme $\left| \frac{2}{3} \right| < 1$, on a :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^n = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2^n}{3^n} = 0$

Géométrique, on ne l'oublie pas!

Correction :

Il s'agit directement d'une suite géométrique.

Rappel de cours : Limite des suites géométriques

Pour une suite géométrique de raison $q$, si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.

Ici, la raison $q = \frac{1}{3}$. Comme $\left| \frac{1}{3} \right| < 1$, on a :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$

Direct!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{\mathrm{e}^n}{\pi^n}+2 \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on analyse chaque terme et utilise la limite d'une somme.

Étape 1: Analyse du premier terme

On réécrit $\frac{\mathrm{e}^n}{\pi^n} = \left( \frac{\mathrm{e}}{\pi} \right)^n$. On compare $\mathrm{e}$ et $\pi$. On sait que $\mathrm{e} \approx 2.718$ et $\pi \approx 3.141$. Donc, $\mathrm{e} < \pi$, et $\frac{\mathrm{e}}{\pi} < 1$.

Comme $\left| \frac{\mathrm{e}}{\pi} \right| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\mathrm{e}}{\pi} \right)^n = 0$.

Étape 2: Limite de la somme

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\mathrm{e}^n}{\pi^n}+2 \right) = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\mathrm{e}}{\pi} \right)^n + \lim_{n \to +\infty} 2 = 0 + 2 = 2$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{\mathrm{e}^n}{\pi^n}+2 \right) = 2$

Un petit piège!

Correction :

Pour déterminer la limite de $\left( \frac{5^n}{2^n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$, on réécrit l'expression sous forme d'une suite géométrique.

Étape 1: Réécriture de l'expression

On utilise la propriété $\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n$:

$\qquad \frac{5^n}{2^n} = \left( \frac{5}{2} \right)^n$

Étape 2: Calcul de la limite

On reconnaît une suite géométrique de raison $q = \frac{5}{2}$. Comme $\frac{5}{2} = 2.5 > 1$, on a :

$\qquad \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{5}{2} \right)^n = +\infty$

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} \frac{5^n}{2^n} = +\infty$

Attention au signe (ici positif)!