Exercices : Théorème de convergence monotone

Correction :

Question a) : Variations de $f(x) = \frac{3x+2}{x+4}$ sur $[0; +\infty[$.

Calculons la dérivée de $f(x)$. En utilisant la formule de dérivation d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = 3x+2$ et $v(x) = x+4$, on obtient : $$ f'(x) = \frac{3(x+4) - (3x+2)(1)}{(x+4)^2} = \frac{3x+12 - 3x-2}{(x+4)^2} = \frac{10}{(x+4)^2} $$

Pour $x \geqslant 0$, $(x+4)^2 > 0$ et $10 > 0$, donc $f'(x) > 0$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$.

Question b) : Montrons par récurrence que pour tout $n \geqslant 0$, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. On a bien $0 \leqslant u_0 \leqslant 1$.

Hérédité : Supposons que pour un certain $k \geqslant 0$, on ait $0 \leqslant u_k \leqslant 1$. Montrons que $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 1$. On a $u_{k+1} = \frac{3u_k+2}{u_k+4}$. Puisque $u_k \geqslant 0$, on a $3u_k+2 \geqslant 2 \geqslant 0$ et $u_k+4 \geqslant 4 > 0$. Donc $u_{k+1} = \frac{3u_k+2}{u_k+4} \geqslant 0$. De plus, montrons que $u_{k+1} \leqslant 1$. $$ u_{k+1} \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{3u_k+2}{u_k+4} \leqslant 1 \Leftrightarrow 3u_k+2 \leqslant u_k+4 \Leftrightarrow 2u_k \leqslant 2 \Leftrightarrow u_k \leqslant 1 $$ Comme on a supposé $u_k \leqslant 1$ par hypothèse de récurrence, on a bien $u_{k+1} \leqslant 1$.

Conclusion : Par récurrence, pour tout $n \geqslant 0$, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$.

Montrons ensuite que si $0 \leqslant u_n \leqslant 1$, alors $u_{n+1} \geqslant u_n$.

Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$: $$ u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n+2}{u_n+4} - u_n = \frac{3u_n+2 - u_n(u_n+4)}{u_n+4} = \frac{3u_n+2 - u_n^2 - 4u_n}{u_n+4} = \frac{-u_n^2 - u_n + 2}{u_n+4} $$

Factorisons le numérateur $-u_n^2 - u_n + 2 = -(u_n^2 + u_n - 2) = -(u_n-1)(u_n+2) = (1-u_n)(u_n+2)$. Donc $u_{n+1} - u_n = \frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}$.

Si $0 \leqslant u_n \leqslant 1$, alors $1-u_n \geqslant 0$, $u_n+2 \geqslant 2 > 0$, et $u_n+4 \geqslant 4 > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n = \frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4} \geqslant 0$. Ainsi $u_{n+1} \geqslant u_n$.

Question c) : Convergence de $(u_n)$.

La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour $0 \leqslant u_n \leqslant 1$) et majorée par 1 (montré par récurrence à la question b)). Donc, par le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.

Question d) : Limite de $(u_n)$.

Soit $\ell$ la limite de $(u_n)$. Alors $\ell$ satisfait l'équation $\ell = f(\ell)$, soit $\ell = \frac{3\ell+2}{\ell+4}$. $$ \ell = \frac{3\ell+2}{\ell+4} \Leftrightarrow \ell(\ell+4) = 3\ell+2 \Leftrightarrow \ell^2 + 4\ell = 3\ell+2 \Leftrightarrow \ell^2 + \ell - 2 = 0 $$ Factorisons l'équation : $\ell^2 + \ell - 2 = (\ell-1)(\ell+2) = 0$. Les racines sont $\ell = 1$ et $\ell = -2$. Comme $0 \leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout $n$, la limite $\ell$ doit être dans l'intervalle $[0, 1]$. Donc $\ell = 1$.

Correction :

Question a) : Variations de $g(x) = \frac{2x+3}{4}$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $g(x) = \frac{2x+3}{4} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$ est une fonction affine. Son coefficient directeur est $\frac{1}{2} > 0$. Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Question b) : Montrons par récurrence que $1 \leqslant v_n \leqslant 3$.

Initialisation : Pour $n=0$, $v_0 = 2$. On a bien $1 \leqslant 2 \leqslant 3$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $k \geqslant 0$, $1 \leqslant v_k \leqslant 3$. Montrons que $1 \leqslant v_{k+1} \leqslant 3$.

Puisque $g$ est croissante, si $1 \leqslant v_k \leqslant 3$, alors $g(1) \leqslant g(v_k) \leqslant g(3)$. $g(1) = \frac{2(1)+3}{4} = \frac{5}{4} = 1.25 \geqslant 1$. $g(3) = \frac{2(3)+3}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \leqslant 3$. Donc $1 \leqslant g(1) \leqslant v_{k+1} \leqslant g(3) \leqslant 3$, d'où $1 \leqslant v_{k+1} \leqslant 3$.

Conclusion : Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant v_n \leqslant 3$.

Question c) : Monotonie de la suite $(v_n)$.

Étudions le signe de $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{2}v_n + 1 - v_n = 1 - \frac{1}{2}v_n$. Comme $v_n \geqslant 1$, $\frac{1}{2}v_n \geqslant \frac{1}{2}$, donc $1 - \frac{1}{2}v_n \leqslant 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Cela ne permet pas de conclure.

Comparons $v_{n+1}$ et $v_n$ en regardant le signe de $v_{n+1} - v_n = 1 - \frac{1}{2}v_n$. Si $v_n \geqslant 2$, $1 - \frac{1}{2}v_n \leqslant 0$. Or on ne sait pas si $v_n \geqslant 2$ pour tout $n$.

Calculons $v_1 = \frac{1}{2}v_0 + 1 = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$. $v_2 = \frac{1}{2}v_1 + 1 = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$. La suite semble constante égale à 2.

Si $v_n = 2$, $v_{n+1} = \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$. Donc si $v_0 = 2$, alors $v_n = 2$ pour tout $n$. La suite est constante, donc à la fois croissante et décroissante. Or $v_0 = 10$. $v_1 = \frac{1}{2}(10) + 1 = 6$. $v_2 = \frac{1}{2}(6) + 1 = 4$. $v_3 = \frac{1}{2}(4) + 1 = 3$. $v_4 = \frac{1}{2}(3) + 1 = 2.5$. $v_5 = \frac{1}{2}(2.5) + 1 = 2.25$. La suite semble décroissante.

Pour montrer que $(v_n)$ est décroissante, il faut montrer que $v_{n+1} \leqslant v_n$, soit $1 - \frac{1}{2}v_n \leqslant 0$, soit $v_n \geqslant 2$. On a montré que $v_n \geqslant 1$. Il faut montrer $v_n \geqslant 2$.

Initialisation : $v_0 = 10 \geqslant 2$. Hérédité : Supposons $v_k \geqslant 2$. Alors $v_{k+1} = \frac{1}{2}v_k + 1 \geqslant \frac{1}{2}(2) + 1 = 2$. Donc $v_{n} \geqslant 2$ pour tout $n$. Donc $v_{n+1} - v_n \leqslant 0$. Suite décroissante.

Question d) : Convergence et limite de $(v_n)$.

$(v_n)$ est décroissante et minorée par 2, donc converge. La limite est solution de $\ell = \frac{1}{2}\ell + 1$, donc $\ell = 2$.

Correction :

Question a) : Variations de $h(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ sur $[0; 2]$.

Calculons la dérivée de $h(x)$: $h'(x) = 2 - 2x = 2(1 - x)$. $h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $h'(x) > 0 \Leftrightarrow x < 1$ et $h'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1$.

$h$ est croissante sur $[0; 1]$ et décroissante sur $[1; 2]$.

Question b) : Montrons que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$.

Initialisation : $u_0 = 0,5$. On a bien $0 \leqslant 0,5 \leqslant 1$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $k \geqslant 0$, $0 \leqslant u_k \leqslant 1$. Montrons que $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 1$.

Si $0 \leqslant u_k \leqslant 1$, alors comme $h$ est croissante sur $[0; 1]$, $h(0) \leqslant h(u_k) \leqslant h(1)$. $h(0) = 0(2-0) = 0$. $h(1) = 1(2-1) = 1$. Donc $0 \leqslant h(u_k) \leqslant 1$, soit $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 1$.

Conclusion : Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 1$.

Question c) : Monotonie de la suite $(u_n)$.

Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n = h(u_n) - u_n = u_n(2-u_n) - u_n = 2u_n - u_n^2 - u_n = u_n - u_n^2 = u_n(1 - u_n)$. Comme $0 \leqslant u_n \leqslant 1$, $u_n \geqslant 0$ et $1 - u_n \geqslant 0$. Donc $u_{n+1} - u_n = u_n(1 - u_n) \geqslant 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

Question d) : Convergence et limite de $(u_n)$.

$(u_n)$ est croissante et majorée par 1, donc converge vers une limite $\ell$. $\ell = h(\ell) = \ell(2-\ell) \Leftrightarrow \ell = 2\ell - \ell^2 \Leftrightarrow \ell^2 - \ell = 0 \Leftrightarrow \ell(\ell - 1) = 0$. Donc $\ell = 0$ ou $\ell = 1$. Comme $u_n$ est croissante à partir de $u_0 = 0,5 > 0$, la limite est $\ell = 1$.

Correction :

Question a) : Variations de $k(x) = \sqrt{2x+3}$ sur $[-1.5; +\infty[$.

La fonction $k(x) = \sqrt{2x+3}$ est définie si $2x+3 \geqslant 0$, soit $x \geqslant -1.5$. Calculons la dérivée de $k(x)$: $k'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Pour $x > -1.5$, $\sqrt{2x+3} > 0$, donc $k'(x) > 0$. Ainsi, $k$ est strictement croissante sur $[-1.5; +\infty[$.

Question b) : Montrons par récurrence que $0 \leqslant u_n \leqslant 3$.

Initialisation : $u_0 = 1$. On a bien $0 \leqslant 1 \leqslant 3$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $k \geqslant 0$, $0 \leqslant u_k \leqslant 3$. Montrons que $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 3$.

Si $0 \leqslant u_k \leqslant 3$, comme $k$ est croissante sur $[0; 3] \subset [-1.5; +\infty[$, $k(0) \leqslant k(u_k) \leqslant k(3)$. $k(0) = \sqrt{2(0)+3} = \sqrt{3} \geqslant 0$. $k(3) = \sqrt{2(3)+3} = \sqrt{9} = 3$. Donc $0 \leqslant k(0) \leqslant u_{k+1} \leqslant k(3) = 3$, d'où $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 3$.

Conclusion : Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 3$.

Question c) : Monotonie de la suite $(u_n)$.

Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n+3} - u_n$. Comparons $u_{n+1}^2$ et $u_n^2$: $u_{n+1}^2 - u_n^2 = (2u_n+3) - u_n^2 = -u_n^2 + 2u_n + 3 = -(u_n^2 - 2u_n - 3) = -(u_n - 3)(u_n + 1)$. Comme $0 \leqslant u_n \leqslant 3$, $u_n + 1 > 0$ et $u_n - 3 \leqslant 0$, donc $-(u_n - 3)(u_n + 1) \geqslant 0$. Donc $u_{n+1}^2 - u_n^2 \geqslant 0$. Comme $u_n \geqslant 0$, $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

Question d) : Convergence et limite de $(u_n)$.

$(u_n)$ est croissante et majorée par 3, donc converge vers une limite $\ell$. $\ell = \sqrt{2\ell+3} \Rightarrow \ell^2 = 2\ell+3 \Rightarrow \ell^2 - 2\ell - 3 = 0 \Rightarrow (\ell - 3)(\ell + 1) = 0$. Donc $\ell = 3$ ou $\ell = -1$. Comme $u_n \geqslant 0$, $\ell = 3$.