Exercices : Les k-listes (ou k-uplets)

Correction : Exercice 1

Question 1: Combien de numéros différents peut-on former ?

Raisonnement : Un numéro de téléphone à 4 chiffres est une 4-liste de chiffres choisis parmi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Pour chaque position, il y a 10 choix possibles, et les répétitions sont autorisées. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de numéros est $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10 000$.

Conclusion : On peut former 10 000 numéros différents.

Question 2: Combien de ces numéros commencent par un chiffre impair ?

Raisonnement : Les chiffres impairs sont {1, 3, 5, 7, 9}, soit 5 options. Si le premier chiffre est impair, il y a 5 choix pour la première position. Pour les 3 positions restantes, il y a toujours 10 choix possibles. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de numéros est $5 \times 10 \times 10 \times 10 = 5 \times 10^3 = 5 000$.

Conclusion : 5 000 numéros commencent par un chiffre impair.

Question 3: Combien de ces numéros contiennent au moins un chiffre 7 ?

Raisonnement : "Au moins un chiffre 7" est plus facile à calculer en utilisant le complémentaire : on compte le nombre total de numéros et on soustrait le nombre de numéros qui *ne contiennent aucun* chiffre 7. Le complémentaire de "au moins un 7" est "aucun 7".

Calcul :

Nombre total de numéros (calculé en Q1) : $10^4 = 10 000$.

Nombre de numéros sans le chiffre 7 : Pour chaque position, il y a 9 choix possibles (tous les chiffres sauf 7). Donc $9^4 = 6 561$.

Nombre de numéros avec au moins un chiffre 7 : $10^4 - 9^4 = 10 000 - 6 561 = 3 439$.

Conclusion : 3 439 numéros contiennent au moins un chiffre 7.

Correction : Exercice 2

Question 1: Combien de séquences de résultats différentes peut-on obtenir ?

Raisonnement : On lance un dé 3 fois, et on note l'ordre des résultats. C'est une 3-liste où chaque élément est choisi parmi {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pour chaque lancer, il y a 6 résultats possibles. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de séquences est $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$.

Conclusion : On peut obtenir 216 séquences de résultats différentes.

Question 2: Combien de séquences ont toutes les faces différentes ?

Raisonnement : Pour le premier lancer, il y a 6 options. Pour le deuxième lancer, pour avoir une face différente du premier, il n'y a plus que 5 options. Pour le troisième lancer, pour avoir une face différente des deux premiers, il n'y a plus que 4 options. L'ordre compte et les éléments doivent être distincts, donc on pourrait penser aux arrangements, mais ici on peut simplement appliquer le principe multiplicatif directement.

Calcul : Le nombre de séquences avec faces différentes est $6 \times 5 \times 4 = 120$.

Conclusion : 120 séquences ont toutes les faces différentes.

Question 3: Combien de séquences ont au moins un résultat égal à 6 ?

Raisonnement : Comme dans l'exercice précédent, "au moins un 6" est plus simple à calculer en utilisant le complémentaire : nombre total de séquences moins le nombre de séquences *sans aucun* 6.

Calcul :

Nombre total de séquences (calculé en Q1) : $6^3 = 216$.

Nombre de séquences sans le résultat 6 : Pour chaque lancer, il y a 5 options possibles (faces 1, 2, 3, 4, 5). Donc $5^3 = 125$.

Nombre de séquences avec au moins un résultat 6 : $6^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91$.

Conclusion : 91 séquences ont au moins un résultat égal à 6.

Correction : Exercice 3

Question 1: Combien de codes binaires différents peut-on former ?

Raisonnement : Un code binaire de longueur 5 est une 5-liste où chaque élément est choisi parmi {0, 1}. Pour chaque position, il y a 2 choix. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de codes binaires est $2^5 = 32$.

Conclusion : On peut former 32 codes binaires différents.

Question 2: Combien de codes binaires contiennent exactement deux '1' ?

Raisonnement : Pour avoir exactement deux '1' dans un code de longueur 5, il faut choisir les positions des deux '1' parmi les 5 positions disponibles. L'ordre des positions n'importe pas, donc on utilise les combinaisons pour choisir les positions des '1'. Une fois les positions des '1' choisies, les positions restantes sont automatiquement des '0'.

Calcul : Le nombre de façons de choisir 2 positions pour les '1' parmi 5 est $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Conclusion : 10 codes binaires contiennent exactement deux '1'.

Question 3: Combien de codes binaires commencent par '10' ?

Raisonnement : Si un code binaire commence par '10', les deux premières positions sont fixées. Il reste 3 positions à remplir avec des 0 ou des 1. C'est une 3-liste binaire.

Calcul : Le nombre de codes binaires commençant par '10' est $1 \times 1 \times 2^3 = 2^3 = 8$.

Conclusion : 8 codes binaires commencent par '10'.

Correction : Exercice 4

Question 1: Combien de mots de passe différents peut-on former ?

Raisonnement : Un mot de passe de 6 caractères est une 6-liste. Pour chaque position, il y a $26 + 10 = 36$ choix possibles (lettre ou chiffre). Les répétitions sont autorisées. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de mots de passe est $36^6 = 2 176 782 336$.

Conclusion : On peut former $36^6$ mots de passe différents.

Question 2: Combien de mots de passe contiennent uniquement des lettres ?

Raisonnement : Si le mot de passe contient uniquement des lettres, alors pour chaque position, il n'y a que 26 choix possibles (lettres de l'alphabet). C'est une 6-liste de lettres.

Calcul : Le nombre de mots de passe composés uniquement de lettres est $26^6 = 308 915 776$.

Conclusion : $26^6$ mots de passe contiennent uniquement des lettres.

Question 3: Combien de mots de passe contiennent au moins un chiffre ?

Raisonnement : Encore une fois, on utilise le complémentaire : nombre total de mots de passe moins le nombre de mots de passe *sans aucun* chiffre (c'est-à-dire, uniquement des lettres, calculé en Q2).

Calcul :

Nombre total de mots de passe (calculé en Q1) : $36^6 = 2 176 782 336$.

Nombre de mots de passe uniquement avec des lettres (calculé en Q2) : $26^6 = 308 915 776$.

Nombre de mots de passe avec au moins un chiffre : $36^6 - 26^6 = 2 176 782 336 - 308 915 776 = 1 867 866 560$.

Conclusion : 1 867 866 560 mots de passe contiennent au moins un chiffre.

Correction : Exercice 5

Question 1: Combien d'adresses email différentes peut-on former ?

Raisonnement : L'adresse email est composée de deux parties indépendantes : le 'nom' (3 caractères alphanumériques) et le 'domaine' (2 caractères alphabétiques). On calcule le nombre de possibilités pour chaque partie et on multiplie les résultats (principe multiplicatif).

Calcul :

Nombre de 'noms' possibles : $36^3$ (3 caractères alphanumériques, 36 options par caractère).

Nombre de 'domaines' possibles : $26^2$ (2 caractères alphabétiques, 26 options par caractère).

Nombre total d'adresses email : $36^3 \times 26^2 = 46 656 \times 676 = 31 542 496$.

Conclusion : On peut former 31 542 496 adresses email différentes.

Question 2: Combien d'adresses email ont un 'nom' qui commence par un chiffre ?

Raisonnement : Si le 'nom' commence par un chiffre, il y a 10 choix pour le premier caractère (chiffre). Pour les deux caractères suivants du 'nom', il y a toujours 36 choix (alphanumérique). Le 'domaine' reste inchangé. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul :

Nombre de 'noms' commençant par un chiffre : $10 \times 36^2$.

Nombre de 'domaines' possibles : $26^2$.

Nombre d'adresses email : $(10 \times 36^2) \times 26^2 = 10 \times 1296 \times 676 = 8 762 160$.

Conclusion : 8 762 160 adresses email ont un 'nom' qui commence par un chiffre.

Question 3: Combien d'adresses email ont un 'domaine' contenant uniquement des voyelles (a, e, i, o, u, y) ?

Raisonnement : Les voyelles sont {a, e, i, o, u, y}, soit 6 options. Si le 'domaine' contient uniquement des voyelles, il y a 6 choix pour chaque caractère du 'domaine'. Le 'nom' reste inchangé. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul :

Nombre de 'noms' possibles : $36^3$.

Nombre de 'domaines' avec uniquement des voyelles : $6^2$.

Nombre d'adresses email : $36^3 \times 6^2 = 46 656 \times 36 = 1 679 616$.

Conclusion : 1 679 616 adresses email ont un 'domaine' contenant uniquement des voyelles.

Correction : Exercice 6

Question 1: Combien de codes de produits différents peut-on former ?

Raisonnement : Un code de produit est une 4-liste. La première position est une lettre (20 choix), les trois positions suivantes sont des chiffres (8 choix chacun). On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de codes de produits est $20 \times 8 \times 8 \times 8 = 20 \times 8^3 = 10 240$.

Conclusion : On peut former 10 240 codes de produits différents.

Question 2: Combien de codes de produits commencent par une des 5 premières lettres possibles ?

Raisonnement : Si le code commence par une des 5 premières lettres, il y a 5 choix pour la première position. Pour les 3 positions suivantes, il y a toujours 8 choix (chiffres). On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de codes de produits est $5 \times 8 \times 8 \times 8 = 5 \times 8^3 = 2 560$.

Conclusion : 2 560 codes de produits commencent par une des 5 premières lettres possibles.

Calcul :

Nombre de choix pour la lettre (1ère position) : 20.

Nombre de choix pour chaque chiffre (positions 2, 3, 4) parmi les chiffres pairs : 4 (chiffres pairs parmi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} sont {2, 4, 6, 8}).

Nombre de codes : $20 \times 4 \times 4 \times 4 = 20 \times 4^3 = 1 280$.

Conclusion (interprétation corrigée) : En considérant que la question porte sur le fait que seuls les *trois chiffres* du code doivent être pairs, il y a 1 280 codes possibles. Il est essentiel, dans un contexte réel, de s'assurer que la formulation de la question est parfaitement claire pour éviter toute ambiguïté.

Correction : Exercice 7

Question 1: Combien de séquences d'ADN de longueur 7 différentes peut-on former ?

Raisonnement : Une séquence d'ADN de longueur 7 est une 7-liste où chaque élément est choisi parmi {A, G, C, T}. Pour chaque position, il y a 4 choix possibles. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de séquences d'ADN est $4^7 = 16 384$.

Conclusion : On peut former 16 384 séquences d'ADN de longueur 7 différentes.

Question 2: Combien de séquences d'ADN de longueur 7 commencent par 'A' et se terminent par 'T' ?

Raisonnement : Si la séquence commence par 'A' et se termine par 'T', la première et la dernière position sont fixées. Il reste 5 positions intermédiaires à remplir avec l'un des 4 nucléotides. C'est une 5-liste de nucléotides.

Calcul : Le nombre de séquences d'ADN est $1 \times 4^5 \times 1 = 4^5 = 1 024$.

Conclusion : 1 024 séquences d'ADN de longueur 7 commencent par 'A' et se terminent par 'T'.

Question 3: Combien de séquences d'ADN de longueur 7 contiennent uniquement les nucléotides 'A' et 'G' ?

Raisonnement : Si la séquence d'ADN contient uniquement 'A' et 'G', alors pour chaque position, il n'y a que 2 choix possibles {A, G}. C'est une 7-liste formée à partir de l'ensemble {A, G}.

Calcul : Le nombre de séquences d'ADN est $2^7 = 128$.

Conclusion : 128 séquences d'ADN de longueur 7 contiennent uniquement les nucléotides 'A' et 'G'.

Correction : Exercice 8

Question 1: Combien de codes postaux différents peut-on former ?

Raisonnement : Un code postal de 3 chiffres est une 3-liste de chiffres choisis parmi {1, 2, 3, 4, 5}. Pour chaque position, il y a 5 choix possibles. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de codes postaux est $5^3 = 125$.

Conclusion : On peut former 125 codes postaux différents.

Question 2: Combien de codes postaux contiennent uniquement des chiffres impairs (parmi 1, 2, 3, 4, 5) ?

Raisonnement : Les chiffres impairs parmi {1, 2, 3, 4, 5} sont {1, 3, 5}, soit 3 options. Si le code postal contient uniquement des chiffres impairs, alors pour chaque position, il y a 3 choix. C'est une 3-liste de chiffres impairs.

Calcul : Le nombre de codes postaux avec uniquement des chiffres impairs est $3^3 = 27$.

Conclusion : 27 codes postaux contiennent uniquement des chiffres impairs.

Question 3: Combien de codes postaux contiennent au moins un chiffre 2 ?

Raisonnement : Utilisation du complémentaire : nombre total de codes postaux moins le nombre de codes postaux sans aucun chiffre 2.

Calcul :

Nombre total de codes postaux (calculé en Q1) : $5^3 = 125$.

Nombre de codes postaux sans le chiffre 2 : Pour chaque position, il y a 4 choix possibles (chiffres {1, 3, 4, 5}). Donc $4^3 = 64$.

Nombre de codes postaux avec au moins un chiffre 2 : $5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$.

Conclusion : 61 codes postaux contiennent au moins un chiffre 2.

Correction : Exercice 9

Question 1: Combien de grilles de réponses différentes sont possibles ?

Raisonnement : Une grille de réponses est une 5-liste où chaque élément est choisi parmi {A, B, C, D}. Pour chaque question, il y a 4 réponses possibles. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de grilles de réponses est $4^5 = 1 024$.

Conclusion : 1 024 grilles de réponses différentes sont possibles.

Question 2: Combien de grilles de réponses contiennent uniquement la réponse 'A' ou 'B' ?

Raisonnement : Si la grille contient uniquement les réponses 'A' ou 'B', alors pour chaque question, il n'y a que 2 choix possibles {A, B}. C'est une 5-liste formée à partir de l'ensemble {A, B}.

Calcul : Le nombre de grilles de réponses est $2^5 = 32$.

Conclusion : 32 grilles de réponses contiennent uniquement la réponse 'A' ou 'B'.

Question 3: Combien de grilles de réponses contiennent au moins une réponse 'C' ?

Raisonnement : Utilisation du complémentaire : nombre total de grilles de réponses moins le nombre de grilles de réponses *sans aucune* réponse 'C'. Les grilles sans 'C' sont formées uniquement avec les réponses {A, B, D}, soit 3 options par question.

Calcul :

Nombre total de grilles de réponses (calculé en Q1) : $4^5 = 1 024$.

Nombre de grilles de réponses sans la réponse 'C' : Pour chaque question, il y a 3 choix possibles {A, B, D}. Donc $3^5 = 243$.

Nombre de grilles de réponses avec au moins une réponse 'C' : $4^5 - 3^5 = 1 024 - 243 = 781$.

Conclusion : 781 grilles de réponses contiennent au moins une réponse 'C'.

Correction : Exercice 10

Question 1: Combien de codes de couleurs différents peut-on former ?

Raisonnement : Un code de couleur est une 2-liste. La première position est une lettre (3 choix), la deuxième position est un chiffre (4 choix). On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de codes de couleurs est $3 \times 4 = 12$.

Conclusion : On peut former 12 codes de couleurs différents.

Question 2: Combien de codes de couleurs commencent par la lettre 'V' ?

Raisonnement : Si le code commence par la lettre 'V', la première position est fixée. Il reste à choisir le deuxième caractère qui est un chiffre parmi 4 options.

Calcul : Le nombre de codes de couleurs est $1 \times 4 = 4$.

Conclusion : 4 codes de couleurs commencent par la lettre 'V'.

Question 3: Combien de codes de couleurs se terminent par un chiffre pair (parmi 1, 2, 3, 4) ?

Raisonnement : Les chiffres pairs parmi {1, 2, 3, 4} sont {2, 4}, soit 2 options. Si le code se termine par un chiffre pair, il y a 2 choix pour la deuxième position. Pour la première position (lettre), il y a toujours 3 choix.

Calcul : Le nombre de codes de couleurs est $3 \times 2 = 6$.

Conclusion : 6 codes de couleurs se terminent par un chiffre pair.

Correction : Exercice 11

Question 1: Combien de séquences de résultats différentes peut-on obtenir ?

Raisonnement : On lance une pièce 4 fois, et on note l'ordre des résultats. C'est une 4-liste où chaque élément est choisi parmi {Pile, Face}. Pour chaque lancer, il y a 2 résultats possibles. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de séquences est $2^4 = 16$.

Conclusion : On peut obtenir 16 séquences de résultats différentes.

Question 2: Combien de séquences contiennent exactement 2 'Pile' ?

Raisonnement : Pour avoir exactement 2 'Pile' dans une séquence de longueur 4, il faut choisir les positions des deux 'Pile' parmi les 4 positions disponibles. On utilise les combinaisons pour choisir les positions des 'Pile'.

Calcul : Le nombre de façons de choisir 2 positions pour les 'Pile' parmi 4 est $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Conclusion : 6 séquences contiennent exactement 2 'Pile'.

Question 3: Combien de séquences contiennent au plus 1 'Face' ?

Raisonnement : "Au plus 1 'Face'" signifie 0 'Face' ou 1 'Face'. On calcule le nombre de séquences pour chaque cas et on additionne.

Calcul :

0 'Face' (4 'Pile') : $\binom{4}{0} = 1$

1 'Face' (3 'Pile') : $\binom{4}{1} = 4$

Nombre total = $1 + 4 = 5$.

Conclusion : 5 séquences contiennent au plus 1 'Face'.

Correction : Exercice 12

Question 1: Combien de codes d'accès différents peut-on former ?

Raisonnement : Un code d'accès de 3 symboles est une 3-liste. Les symboles peuvent être des chiffres (10 options) ou des lettres (6 options, A-F). Au total, $10+6=16$ options pour chaque symbole. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de codes d'accès est $16^3 = 4 096$.

Conclusion : On peut former 4 096 codes d'accès différents.

Question 2: Combien de codes d'accès contiennent uniquement des chiffres ?

Raisonnement : Si le code contient uniquement des chiffres, alors pour chaque position, il n'y a que 10 choix possibles (chiffres 0-9). C'est une 3-liste de chiffres.

Calcul : Le nombre de codes d'accès composés uniquement de chiffres est $10^3 = 1 000$.

Conclusion : 1 000 codes d'accès contiennent uniquement des chiffres.

Question 3: Combien de codes d'accès contiennent au moins une lettre ?

Raisonnement : Utilisation du complémentaire : nombre total de codes d'accès moins le nombre de codes d'accès *sans aucune* lettre (c'est-à-dire, uniquement des chiffres, calculé en Q2).

Calcul :

Nombre total de codes d'accès (calculé en Q1) : $16^3 = 4 096$.

Nombre de codes d'accès uniquement avec des chiffres (calculé en Q2) : $10^3 = 1 000$.

Nombre de codes d'accès avec au moins une lettre : $16^3 - 10^3 = 4 096 - 1 000 = 3 096$.

Conclusion : 3 096 codes d'accès contiennent au moins une lettre.

Correction : Exercice 13

Question 1: Combien de façons différentes peut-on garer les 3 voitures ?

Raisonnement : On doit choisir 3 emplacements parmi 8 pour garer les 3 voitures, et l'ordre des voitures sur ces emplacements compte (voitures différentes). On peut voir cela comme une 3-liste d'emplacements choisis parmi 8, sans répétition d'emplacements pour une même voiture (une voiture ne peut pas être à deux endroits en même temps). En réalité, il s'agit plutôt d'arrangements, mais on peut le voir comme une k-liste en adaptant le raisonnement. Pour la 1ère voiture, 8 choix d'emplacements, pour la 2ème, 7 choix restants, pour la 3ème, 6 choix restants.

Calcul : Le nombre de façons de garer les voitures est $8 \times 7 \times 6 = 336$.

Conclusion : Il y a 336 façons différentes de garer les 3 voitures.

Question 2: Combien de façons de garer les voitures si les 3 premières places doivent rester vides ?

Raisonnement : Si les 3 premières places restent vides, alors les voitures doivent être garées sur les emplacements parmi {4, 5, 6, 7, 8}. Il y a 5 emplacements disponibles pour les 3 voitures. On doit choisir 3 emplacements parmi ces 5 et ordonner les voitures sur ces emplacements.

Calcul : Le nombre de façons de garer les voitures est $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Conclusion : 60 façons de garer les voitures si les 3 premières places restent vides.

Question 3: Combien de façons de garer les voitures si la première voiture doit être garée sur l'emplacement numéro 1 ?

Raisonnement : Si la première voiture est garée sur l'emplacement numéro 1, la position de la première voiture est fixée. Il reste à garer les 2 voitures restantes sur les emplacements restants {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Il y a 7 emplacements disponibles pour les 2 voitures.

Calcul : Le nombre de façons de garer les voitures est $1 \times 7 \times 6 = 42$.

Conclusion : 42 façons de garer les voitures si la première voiture est sur l'emplacement numéro 1.

Correction : Exercice 14

Question 1: Combien de menus différents peut-on composer ?

Raisonnement : Un menu est composé de 3 choix : entrée, plat, dessert. Pour chaque choix, il y a un nombre donné d'options. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de menus différents est $3 \times 4 \times 2 = 24$.

Conclusion : On peut composer 24 menus différents.

Question 2: Si on décide de ne pas prendre de dessert, combien de menus différents peut-on composer ?

Raisonnement : Si on ne prend pas de dessert, le menu est composé uniquement de 2 choix : entrée et plat. On utilise le principe multiplicatif pour ces deux choix.

Calcul : Le nombre de menus sans dessert est $3 \times 4 = 12$.

Conclusion : 12 menus différents sans dessert peuvent être composés.

Question 3: Si l'on veut une entrée végétarienne (parmi les 3 entrées, supposons qu'une est végétarienne), combien de menus différents avec entrée végétarienne peut-on composer ?

Raisonnement : Si on choisit une entrée végétarienne, il n'y a plus qu'1 choix pour l'entrée (puisqu'il y a une seule option végétarienne parmi les 3). Pour le plat principal et le dessert, le nombre de choix reste inchangé. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul : Le nombre de menus avec entrée végétarienne est $1 \times 4 \times 2 = 8$.

Conclusion : 8 menus différents avec entrée végétarienne peuvent être composés.

Correction : Exercice 15

Question 1: Combien de parcours différents sont possibles ?

Raisonnement : Pour aller du coin supérieur gauche au coin inférieur droit dans une grille 2x3 en se déplaçant uniquement vers la droite (D) ou vers le bas (B), il faut faire un total de 2 mouvements vers le bas et 2 mouvements vers la droite (pour atteindre la 3ème colonne et la 2ème ligne). Un parcours est donc une séquence de 4 mouvements, dont 2 sont 'B' et 2 sont 'D'. Il faut choisir les positions des 2 mouvements 'B' (ou 'D') parmi les 4 mouvements totaux. On utilise les combinaisons.

Calcul : Le nombre de parcours différents est $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Conclusion : 6 parcours différents sont possibles.

Question 2: Combien de parcours commencent par 'D' ?

Raisonnement : Si un parcours commence par 'D', le premier mouvement est fixé. Il reste 3 mouvements à effectuer, dont il faut toujours 2 mouvements 'B' et maintenant 1 mouvement 'D' (puisqu'un 'D' a déjà été effectué au début). Il faut choisir la position du mouvement 'D' parmi les 3 mouvements restants (ou les positions des 2 mouvements 'B').

Calcul : Le nombre de parcours commençant par 'D' est $\binom{3}{1} = 3$ (ou $\binom{3}{2} = 3$).

Conclusion : 3 parcours commencent par 'D'.

Question 3: Combien de parcours contiennent exactement 2 mouvements 'B' ?

Raisonnement : Par définition d'un parcours dans cette grille (pour atteindre le coin opposé), *tout* parcours doit contenir exactement 2 mouvements 'B' (et 2 mouvements 'D'). Donc, tous les parcours contiennent exactement 2 mouvements 'B'. La réponse est donc le nombre total de parcours, calculé en Q1.

Calcul : Le nombre de parcours contenant exactement 2 mouvements 'B' est égal au nombre total de parcours, soit 6.

Conclusion : 6 parcours contiennent exactement 2 mouvements 'B'.