Exercices : Propriétés des Intégrales

Correction :

a) $\int_{-4}^6 f(x) \, dx + \int_{-5}^{-4} f(x) \, dx + \int_6^{10} f(x) \, dx$

Propriété utilisée : Additivité (Relation de Chasles) et réarrangement des termes.

Solution : $\int_{-5}^{10} f(x) \, dx$

Détail : En utilisant la relation de Chasles, on combine les intégrales pour couvrir l'intervalle de $-5$ à $10$.

b) $\int_{10}^{14} g(t) \, dt - \int_5^0 g(t) \, dt + \int_5^{10} g(t) \, dt$

Propriété utilisée : Changement de signe et additivité.

Solution : $\int_{0}^{14} g(t) \, dt$

Détail : On inverse les bornes de la deuxième intégrale et utilise Chasles pour combiner les intervalles.

c) $3\int_1^2 g(x) \, dx + 5 \int_1^2 g(x) \, dx$

Propriété utilisée : Linéarité et homogénéité.

Solution : $8 \int_1^2 g(x) \, dx$

Détail : On factorise $\int_1^2 g(x) \, dx$ et additionne les coefficients.

d) $-4\int_3^5 f(x) \, dx - 5 \int_5^3 g(x) \, dx$

Propriété utilisée : Homogénéité, changement de signe, et linéarité.

Solution : $\int_3^5 [5g(x) - 4f(x)] \, dx$

Détail : On inverse les bornes de la deuxième intégrale, on utilise l'homogénéité pour factoriser les constantes, puis la linéarité pour combiner sous une seule intégrale.

Correction :

a) Démonstration de l'égalité $f(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}$

Méthode : Réduire l'expression $2x-1+\frac{1}{x+1}$ au même dénominateur et vérifier qu'elle est égale à $f(x)$.

Calcul : $2x-1+\frac{1}{x+1} = \frac{(2x-1)(x+1) + 1}{x+1} = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 + 1}{x+1} = \frac{2x^2+x}{x+1} = f(x)$.

Conclusion : L'égalité est démontrée.

b) Calcul de $I=\int_0^1 f(x) \, dx$

Méthode : Utiliser la linéarité de l'intégrale et les primitives des fonctions élémentaires.

Calcul :

$I = \int_0^1 (2x - 1 + \frac{1}{x+1}) \, dx = \int_0^1 2x \, dx - \int_0^1 1 \, dx + \int_0^1 \frac{1}{x+1} \, dx$

$= [x^2]_0^1 - [x]_0^1 + [\ln|x+1|]_0^1 = (1^2 - 0^2) - (1 - 0) + (\ln|1+1| - \ln|0+1|) = 1 - 1 + \ln(2) - 0 = \ln(2)$

Résultat : $I = \ln(2)$.

c) Valeur approchée de $I$

Utilisation de la calculatrice : En utilisant une calculatrice, on trouve une valeur approchée de $\ln(2)$.

Valeur approchée : $I \approx 0.693$

Correction :

a) Démonstration de l'égalité $f(x)= \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}$

Méthode : Réduire l'expression $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}$ au même dénominateur et vérifier qu'elle est égale à $f(x)$.

Calcul : $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3} = \frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 3(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{4x+6}{(x+1)(x+2)(x+3)} = f(x)$.

Conclusion : L'égalité est démontrée.

b) Calcul de $I=\int_0^2 f(x) \, dx$

Méthode : Utiliser la linéarité de l'intégrale et les primitives de $\frac{1}{x+a}$ qui sont $\ln|x+a|$.

Calcul :

$I = \int_0^2 (\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x+3}) \, dx = \int_0^2 \frac{1}{x+1} \, dx + 2\int_0^2 \frac{1}{x+2} \, dx - 3\int_0^2 \frac{1}{x+3} \, dx$

$= [\ln|x+1|]_0^2 + 2[\ln|x+2|]_0^2 - 3[\ln|x+3|]_0^2$

$= (\ln(3) - \ln(1)) + 2(\ln(4) - \ln(2)) - 3(\ln(5) - \ln(3))$

$= \ln(3) + 2\ln(4) - 3\ln(5) - 2\ln(2) + 3\ln(3) = 4\ln(3) - \ln(2) - 3\ln(5)$

Résultat : $I = 4\ln(3) - \ln(2) - 3\ln(5)$

Correction :

a) Montrez que: $\forall x \in [1;3],\ \frac{1}{10}\leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}$

Méthode : Encadrer $x^2$ pour $x \in [1;3]$, puis $1+x^2$, et enfin $\frac{1}{1+x^2}$.

Démonstration :

Pour $x \in [1, 3]$, on a $1 \leq x \leq 3$. En élevant au carré (fonction carré croissante sur $[0, +\infty[$), on obtient $1^2 \leq x^2 \leq 3^2$, soit $1 \leq x^2 \leq 9$.

Ajoutons 1 à chaque terme : $1+1 \leq 1 + x^2 \leq 9+1$, soit $2 \leq 1 + x^2 \leq 10$.

Passons à l'inverse (fonction inverse décroissante sur $]0, +\infty[$), on inverse l'ordre : $\frac{1}{10} \leq \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{2}$.

Conclusion : $\forall x \in [1;3],\ \frac{1}{10}\leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}$.

b) Déduisez-en que $\frac{1}{5} \leqslant \int_1^3f(x) \, dx \leqslant 1$

Méthode : Utiliser la propriété de l'encadrement de l'intégrale : si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ sur $[a, b]$, alors $m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x) \, dx \leqslant M(b-a)$.

Application de la propriété : Sur l'intervalle $[1, 3]$, nous avons $\frac{1}{10}\leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}$.

On peut donc encadrer l'intégrale : $\int_1^3 \frac{1}{10} \, dx \leq \int_1^3 f(x) \, dx \leq \int_1^3 \frac{1}{2} \, dx$.

Calculons les intégrales des bornes :

$\int_1^3 \frac{1}{10} \, dx = \frac{1}{10} [x]_1^3 = \frac{1}{10} (3-1) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$\int_1^3 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x]_1^3 = \frac{1}{2} (3-1) = \frac{2}{2} = 1$.

Conclusion : On déduit que $\frac{1}{5} \leqslant \int_1^3f(x) \, dx \leqslant 1$.

Correction :

a) Montrez que: $\forall x \in [0;15],\ 1\leqslant f(x) \leqslant 4$

Méthode : Encadrer $1+x$ pour $x \in [0;15]$, puis prendre la racine carrée.

Démonstration :

Pour $x \in [0, 15]$, on a $0 \leq x \leq 15$. En ajoutant 1 à chaque terme, on obtient $1 \leq 1 + x \leq 16$.

En prenant la racine carrée (fonction racine carrée croissante sur $[0, +\infty[$), on obtient $\sqrt{1} \leq \sqrt{1+x} \leq \sqrt{16}$, soit $1 \leq \sqrt{1+x} \leq 4$.

Conclusion : $\forall x \in [0;15],\ 1\leqslant f(x) \leqslant 4$.

b) Déduisez-en un encadrement de $\int_0^{15} f(x) \, dx$

Méthode : Utiliser la propriété de l'encadrement de l'intégrale : si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ sur $[a, b]$, alors $m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x) \, dx \leqslant M(b-a)$.

Application de la propriété : Sur l'intervalle $[0, 15]$, nous avons $1\leqslant f(x) \leqslant 4$.

On peut donc encadrer l'intégrale : $\int_0^{15} 1 \, dx \leq \int_0^{15} f(x) \, dx \leq \int_0^{15} 4 \, dx$.

Calculons les intégrales des bornes :

$\int_0^{15} 1 \, dx = [x]_0^{15} = 15 - 0 = 15$.

$\int_0^{15} 4 \, dx = 4 [x]_0^{15} = 4 (15 - 0) = 60$.

Conclusion : On déduit que $15 \leqslant \int_0^{15} f(x) \, dx \leqslant 60$.

Correction :

Méthode : Encadrer la fonction $xe^x$ sur l'intervalle $[0, 1]$ et utiliser l'encadrement de l'intégrale.

Démonstration :

Pour $x \in [0, 1]$, on a $0 \leq x \leq 1$. La fonction exponentielle $e^x$ est croissante, et sur $[0, 1]$, on a $e^0 \leq e^x \leq e^1$, soit $1 \leq e^x \leq e$.

Puisque $x \geq 0$ sur $[0, 1]$, en multipliant l'inégalité $1 \leq e^x \leq e$ par $x \geq 0$, on conserve l'ordre et on obtient : $x \cdot 1 \leq x e^x \leq x \cdot e$, soit $x \leq xe^x \leq ex$.

Maintenant, intégrons chaque terme de l'inégalité sur l'intervalle $[0, 1]$ en utilisant la propriété de croissance de l'intégrale :

$\int_0^1 x \, dx \leq \int_0^1 xe^x \, dx \leq \int_0^1 e \, dx$

Calculons les intégrales aux bornes :

$\int_0^1 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$.

$\int_0^1 e \, dx = e [x]_0^1 = e(1 - 0) = e$.

En substituant ces valeurs, on obtient l'encadrement : $\frac{1}{2} \leq \int_0^1 xe^x \, dx \leq e$.

Comme $\frac{1}{2} > 0$, on a bien $0 \leqslant \int_0^1xe^x \, dx \leqslant e$.