Entraînez-vous sur l'intégrale et le théorème fondamental de l'analyse avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Revoyons ensemble les points essentiels sur Intégrale, théorème fondamental de l'analyse avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
L'intégrale définie d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre les abscisses $x=a$ et $x=b$.
Mathématiquement, on la note :
$$ \int_a^b f(x) dx $$Si $f(x) \geqslant 0$ sur $[a, b]$, l'intégrale est simplement l'aire sous la courbe. Si $f(x)$ prend des valeurs négatives, les aires situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement.
L'intégrale définie possède plusieurs propriétés importantes qui facilitent son calcul et son utilisation :
Linéarité : Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ et tous réels $\alpha$ et $\beta$,
$$ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx $$Relation de Chasles : Pour tout réel $c$ appartenant à l'intervalle $[a, b]$,
$$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$Positivité : Si $f(x) \geqslant 0$ sur $[a, b]$, alors
$$ \int_a^b f(x) dx \geqslant 0 $$Intégrale d'une fonction nulle :
$$ \int_a^b 0 dx = 0 $$Intégrale sur un intervalle réduit à un point :
$$ \int_a^a f(x) dx = 0 $$Inversion des bornes :
$$ \int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx $$Une primitive $F$ d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.
Le Théorème Fondamental de l'Analyse (Partie 1) établit un lien essentiel entre intégration et dérivation :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant un point $a$, alors la fonction $F$ définie par
$$ F(x) = \int_a^x f(t) dt $$est la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$, c'est-à-dire que $F'(x) = f(x)$ et $F(a) = 0$.
Le Théorème Fondamental de l'Analyse (Partie 2) fournit une méthode pratique pour calculer les intégrales définies :
Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$, alors
$$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$On note souvent $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Pour calculer une intégrale définie, on cherche donc une primitive de la fonction à intégrer, puis on évalue cette primitive aux bornes de l'intervalle.
Voici un tableau récapitulatif des primitives des fonctions usuelles :
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ |
|---|---|
| $k$ (constante) | $kx$ |
| $x^n$, $n \neq -1$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ |
| $\frac{1}{x^n}$ | $\frac{-1}{{(n-1)}x^{n-1}}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ |
| $\frac{u'(x)}{u(x)}$ | $\ln|u(x)|$ |
| $u'(x)u(x)^n$ | $\frac{u(x)^{n+1}}{n+1}$ |
| $\frac{u'(x)}{u(x)^n}$, $n \neq 1$ | $\frac{-1}{(n-1)u(x)^{n-1}}$ |
| $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ | $\sqrt{u(x)}$ |
| $u'(x)e^{u(x)}$ | $e^{u(x)}$ |
| $u'(x)\cos(u(x))$ | $\sin(u(x))$ |
| $u'(x)\sin(u(x))$ | $-\cos(u(x))$ |
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
On considère une fonction $f$ dont la courbe représentative est dessinée ci-dessous. Déterminez :
a) $\displaystyle \int_{-1}^1 f(t) dt$. b) $\displaystyle \int_{1}^2 f(t) dt$. c) $\displaystyle \int_{2}^3 f(t) dt$.
d) $\displaystyle \int_{-1}^3 f(t) dt$.
Au moyen de considérations géométriques élémentaires, calculez :
a) $A_1 = \int_2^3 m dt$ avec $m > 0$. b) $A_2 = \int_a^b m dt$ avec $m > 0$ et $a < b$. c) $A_3 = \int_1^2 t dt$.
d) $A_4 = \int_{-1}^1 -x + 1 dx$. e) $A_5 = \int_2^2 4x dx$. f) $A_6 = \int_{-100}^{100} 0 dx$.
Soit $f$ la fonction affine par morceaux définie par $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x + 1, & \text{si } x \leqslant 2 \\ -2x + 6 & \text{sinon} \end{cases} $$ Au moyen de considérations géométriques élémentaires, calculez l'aire $A = \int_0^4 f(t) dt$ de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.
Démontrez que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (-2x - 3)e^{-x}$, est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$, définie par $f(x) = (2x + 1)e^{-x}$.
Déduisez-en la valeur de l'intégrale $\int_0^1 (2t + 1)e^{-t} dt$.
Calculez les intégrales suivantes.
a) $\displaystyle \int_1^4 \frac{3}{x} dx$ b) $\displaystyle \int_0^2 -4t^2+1 dt$ c) $\displaystyle \int_{-1}^1 (1+s)^2 ds$
d) $\displaystyle \int_0^{1/2} e^{2y} dy$ e) $\displaystyle \int_{4}^{9} \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$ f) $\displaystyle \int_{0}^{5} \frac{1}{u+2} du$
g) $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{-2}{x^3} dx$ h) $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin(y) dy$ i) $\displaystyle \int_{0}^{2} -2t^3+4t^2-5t dt$
j) $\displaystyle \int_{10}^{12} \frac{2u}{u^2-8} du$ k) $\displaystyle \int_{1}^{2} 6x(x^2+4)^3 dx$ l) $\displaystyle \int_{0}^{\pi/3} 3\sin\left( 3y+\frac{\pi}{2} \right) dy$
m) $\displaystyle \int_{0}^{1} -3e^{-3x} dx$ n) $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \pi \sin(\pi x) dx$ o) $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-1}{(1+y)^2} dx$
p) $\displaystyle \int_{-1}^{1} 15t^{4}(t^5+2)^3 dt$ q) $\displaystyle \int_{4}^{25} \frac{5}{\sqrt{x}}+3x dx$
Calculez les intégrales suivantes.
a) $\displaystyle \int_{0}^{1} -3x+2 dx$ b) $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2} dx$ c) $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$
d) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) dx$ e) $\displaystyle \int_{-2}^{1} x^2+2x dx$ f) $\displaystyle \int_{-1}^{1} e^{-2x} dx$
g) $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2}{3x+2} dx$ h) $\displaystyle \int_{-1}^{1} t^2+2t-1 dx$ i) $\displaystyle \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin\left( \frac{u}{2} \right) du$
j) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} cos\left( 3y \right) dy$ k) $\displaystyle \int_{-2}^{-1} \frac{2}{z^3} dz$ l) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 2t \right) -\sin(t) dt$
m) $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin\left( 3x\right) -4 \cos(x) dx$ n) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos\left( 3x+\frac{\pi}{2} \right) dx$ o) $\displaystyle \int_{-1}^{0} e^{-2x+1} dx$
p) $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{5}{2x-3} dx$
Calculez les intégrales.
a) $\displaystyle \int_0^4 t-3 dt$. b) $\displaystyle \int_{-1}^2 t^2-4t+3 dt$. c) $\displaystyle \int_1^2 t^2+t-\frac{1}{t} dt$.
d) $\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{t} dt$. e) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{2}}\cos(t) dt$. f) $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin(2t) dt$.
g) $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(t+2)^3} dt$. h) $\displaystyle \int_0^1 5t e^{t^2} dt$. i) $\displaystyle \int_{\ln(a)}^{\ln(b)} e^t dt$ pour $0 < a < b$.
j) $\displaystyle \int_1^9 \frac{dt}{\sqrt{t}}$. k) $\displaystyle \int_0^3 \frac{du}{(2u+1)^2}$. l) $\displaystyle \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{5-x}}$.
m) $\displaystyle \int_0^1 (2x+1)(x^2+x+1) dx$. n) $\displaystyle \int_1^2 \frac{dx}{3x+2}$. o) $\displaystyle \int_{-1}^1 e^{3t-4} dt$.
p) $\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1+3t}}$. q) $\displaystyle \int_0^2 \frac{3x}{(x^2+1)^2} dx$. r) $\displaystyle \int_{-1}^2 \frac{t^3}{t^4+2} dt$.
s) $\displaystyle \int_0^1 (x-2)(x^2-4x+1)^2 dx$. t) $\displaystyle \int_0^1 x e^{x^2-1} dx$. u) $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+e^{-2t}} dt$.
v) $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{\ln(t)}{t} dt$. x) $\displaystyle \int_{\sqrt{e}}^{e} \frac{1}{t \ln(t)} dt$.