Exercices : Équation cartésienne d'un plan (Sans Produit Vectoriel)

Correction :

1. Écrire la forme générale de l'équation cartésienne :

Un plan de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ a une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Ici, avec $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, l'équation est $3x - 2y + z + d = 0$.

2. Déterminer la constante $d$ en utilisant le point $A(2, -1, 4)$ :

Puisque $A \in \mathscr{P}$, ses coordonnées vérifient l'équation :

$3(2) - 2(-1) + (4) + d = 0$

$6 + 2 + 4 + d = 0$

$12 + d = 0 \Rightarrow d = -12$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{3x - 2y + z - 12 = 0}$.

Correction :

1. Substituer les coordonnées du point $B$ dans l'équation du plan $\mathscr{P}$ :

Remplaçons $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de $B(1, 1, -2)$ dans l'équation $2x - y + 3z + 5 = 0$ :

$2(1) - (1) + 3(-2) + 5 = 2 - 1 - 6 + 5 = 0$.

Conclusion : Puisque l'équation est vérifiée après substitution, le point $B$ $\boxed{\text{appartient}}$ au plan $\mathscr{P}$.

Correction :

1. Écrire la forme générale de l'équation cartésienne :

Avec $\vec{n}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, l'équation est de la forme $-x + 3y + 2z + d = 0$.

2. Déterminer la constante $d$ en utilisant l'origine $O(0, 0, 0)$ :

Puisque $O \in \mathscr{P}$, ses coordonnées vérifient l'équation :

$-(0) + 3(0) + 2(0) + d = 0$

$0 + d = 0 \Rightarrow d = 0$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{-x + 3y + 2z = 0}$.

Correction :

1. Déterminer le vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ :

Soit $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur normal au plan. Il doit être orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Ainsi, on a les équations:

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 2a + b - c = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{v} = 3a - b + 2c = 0$

2. Résoudre le système d'équations :

Additionnons les deux équations pour éliminer $b$: $(2a + b - c) + (3a - b + 2c) = 0 + 0$ $5a + c = 0 \Rightarrow c = -5a$.

Substituons $c = -5a$ dans la première équation: $2a + b - (-5a) = 0$ $7a + b = 0 \Rightarrow b = -7a$.

Choisissons $a = 1$, alors $b = -7$ et $c = -5$. Ainsi $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}$.

3. Écrire l'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ :

L'équation du plan est de la forme $1x - 7y - 5z + d = 0$.

4. Déterminer la constante $d$ en utilisant le point $A(1, -2, 3)$ :

$(1) - 7(-2) - 5(3) + d = 0$

$1 + 14 - 15 + d = 0$

$d = 0$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{x - 7y - 5z = 0}$.

Correction :

1. Déterminer deux vecteurs directeurs du plan $\mathscr{P}$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

2. Poser l'équation cartésienne et utiliser l'orthogonalité avec les vecteurs directeurs :

Soit $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ le vecteur normal. On a :

$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -3a + b + c = 0$

$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -2a - b + 2c = 0$

3. Résoudre le système d'équations :

Additionnons les deux équations pour éliminer $b$: $(-3a + b + c) + (-2a - b + 2c) = 0 + 0$ $-5a + 3c = 0 \Rightarrow 3c = 5a \Rightarrow c = \frac{5}{3}a$.

Substituons $c = \frac{5}{3}a$ dans la première équation: $-3a + b + \frac{5}{3}a = 0$ $b = 3a - \frac{5}{3}a = \frac{4}{3}a$.

Choisissons $a = 3$, alors $b = 4$ et $c = 5$. Ainsi $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

4. Écrire l'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ :

L'équation du plan est de la forme $3x + 4y + 5z + d = 0$.

5. Déterminer la constante $d$ en utilisant le point $A(2, 0, 1)$ :

$3(2) + 4(0) + 5(1) + d = 0$

$6 + 5 + d = 0 \Rightarrow d = -11$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{3x + 4y + 5z - 11 = 0}$.

Correction :

1. Déterminer le vecteur normal du plan $\mathscr{Q}$ :

Le plan $\mathscr{Q}$ d'équation $2x - y + 3z - 7 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

2. Utiliser le même vecteur normal pour le plan $\mathscr{P}$ :

Puisque $\mathscr{P} \parallel \mathscr{Q}$, $\mathscr{P}$ a aussi pour vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

L'équation de $\mathscr{P}$ est de la forme $2x - y + 3z + d = 0$.

3. Déterminer la constante $d$ avec le point $D(-1, 4, 2)$ :

Le point $D \in \mathscr{P} \Rightarrow 2(-1) - (4) + 3(2) + d = 0 \Rightarrow d = 0$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{2x - y + 3z = 0}$.

Correction :

1. Vecteurs directeurs du plan $\mathscr{P}$ :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ est le vecteur directeur de $d$. Prenons $A(1, 0, 3) \in d$. Alors $\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ est un autre vecteur directeur de $\mathscr{P}$.

2. Vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ orthogonal à $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AE}$ :

$\vec{n} \cdot \vec{u} = a - 2b - c = 0$

$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AE} = -a + b - 4c = 0$

3. Résoudre le système :

Additionnons les deux équations: $(a - 2b - c) + (-a + b - 4c) = 0 + 0$ $-b - 5c = 0 \Rightarrow b = -5c$.

Substituons $b = -5c$ dans la première équation: $a - 2(-5c) - c = 0$ $a + 10c - c = 0 \Rightarrow a = -9c$.

Choisissons $c = -1$, alors $b = 5$ et $a = 9$. Ainsi $\vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$.

4. Équation cartésienne et constante $d$ avec $A(1, 0, 3)$ :

L'équation est $9x + 5y - z + d = 0$.

$9(1) + 5(0) - (3) + d = 0 \Rightarrow d = -6$.

Conclusion : Équation cartésienne de $\mathscr{P}$ : $\boxed{9x + 5y - z - 6 = 0}$.

Correction :

1. Vecteur normal du plan $\mathscr{P}$ :

Le vecteur directeur de $d$ est $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Puisque $\mathscr{P} \perp d$, $\vec{n} = \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathscr{P}$.

Équation de $\mathscr{P}$ est de la forme $-x + 2y + z + d = 0$.

2. Déterminer la constante $d$ avec $F(4, -1, 0)$ :

$-(4) + 2(-1) + (0) + d = 0 \Rightarrow d = 6$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{-x + 2y + z + 6 = 0}$ ou $\boxed{x - 2y - z - 6 = 0}$.

Correction :

1. Milieu $I$ et vecteur normal $\vec{n} = \overrightarrow{GH}$ :

Le milieu de $[GH]$ est $I(2, 1, 2)$. Le vecteur normal au plan médiateur est $\overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} \sim \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Équation du plan : $x - 3y + 3z + d = 0$.

2. Déterminer $d$ avec $I(2, 1, 2)$ :

$(2) - 3(1) + 3(2) + d = 0 \Rightarrow d = -5$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan médiateur de $[GH]$ est $\boxed{x - 3y + 3z - 5 = 0}$.

Correction :

1. Vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ orthogonal à $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ :

$\vec{n} \cdot \vec{u_1} = a + 2b = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{u_2} = b - c = 0$

2. Résoudre le système :

On obtient $\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

3. Équation cartésienne et constante $d$ avec $K(2, -1, 1)$ :

L'équation est $-2x + y + z + d = 0$.

$-2(2) + (-1) + (1) + d = 0 \Rightarrow d = 4$.

Conclusion : L'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{-2x + y + z + 4 = 0}$ ou $\boxed{2x - y - z - 4 = 0}$.