Entraînez-vous sur les dérivées de fonctions composées avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Maîtrisez la dérivation des fonctions composées grâce à ces exercices variés et leurs corrections détaillées.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les dérivées de fonctions composées avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Une fonction composée, c'est quand une fonction est appliquée à une autre fonction. Imaginez une machine à double transformation : vous prenez un nombre, une première fonction le transforme, et ensuite, une deuxième fonction transforme le résultat de la première.
Mathématiquement, si vous avez une fonction $u$ qui dépend de $x$, et une fonction $f$ qui dépend de $u$, alors la fonction composée est $f(u(x))$. On applique d'abord $u$ à $x$, puis $f$ au résultat.
Exemple : Si $u(x) = x^2+1$ et $f(u) = \sqrt{u}$, alors la fonction composée est $f(u(x)) = \sqrt{x^2+1}$. Ici, la fonction "racine carrée" est composée avec la fonction "carré plus un".
La règle fondamentale pour dériver les fonctions composées est la **"Chain Rule"** (règle de la chaîne). Elle nous dit comment dériver $f(u(x))$ en utilisant les dérivées de $f$ et de $u$ séparément.
La formule est la suivante :
$$ [f(u(x))]' = u'(x) \times f'(u(x)) $$En mots, pour dériver $f(u(x))$, vous devez :
1. Dériver la fonction "intérieure" $u(x)$ pour obtenir $u'(x)$.
2. Dériver la fonction "extérieure" $f(u)$ par rapport à $u$ pour obtenir $f'(u)$.
3. Remplacer $u$ par $u(x)$ dans $f'(u)$ pour obtenir $f'(u(x))$.
4. Multiplier $u'(x)$ par $f'(u(x))$ pour obtenir la dérivée finale.
Voici un tableau récapitulatif des formules de dérivées composées les plus fréquemment utilisées. Elles découlent toutes de la Chain Rule, mais il est utile de les connaître directement pour gagner du temps.
| Forme de $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ |
|---|---|
| $[u(x)]^n$ (où $n \in \mathbb{Z}$) | $n \times u'(x) \times [u(x)]^{n-1}$ |
| $\sqrt{u(x)}$ | $\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ |
| $\mathrm{e}^{u(x)}$ | $u'(x) \times \mathrm{e}^{u(x)}$ |
| $\dfrac{1}{u(x)}$ | $-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^2}$ |
| $\ln(u(x))$ | $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ |
| $\cos(u(x))$ | $-u'(x) \sin(u(x))$ |
| $\sin(u(x))$ | $u'(x) \cos(u(x))$ |
Important : Ces formules ne sont valides que si la fonction $u(x)$ est dérivable sur l'intervalle considéré et que $u(x)$ respecte les conditions de définition des fonctions extérieures (par exemple, $u(x) > 0$ pour $\sqrt{u(x)}$ et $\ln(u(x))$, $u(x) \neq 0$ pour $\frac{1}{u(x)}$).
Pour que la fonction composée $f(u(x))$ soit dérivable en un point $x$, il faut deux conditions :
1. La fonction intérieure $u$ doit être dérivable en $x$.
2. La fonction extérieure $f$ doit être dérivable en $u(x)$.
En d'autres termes, le domaine de dérivabilité de $f(u(x))$ est l'ensemble des $x$ pour lesquels $x$ est dans le domaine de dérivabilité de $u$ ET $u(x)$ est dans le domaine de dérivabilité de $f$.
Exemple : Pour $f(x) = \sqrt{-4x^2+16}$, la fonction intérieure est $u(x) = -4x^2+16$ (dérivable sur $\mathbb{R}$) et la fonction extérieure est $f(u) = \sqrt{u}$ (dérivable sur $]0, +\infty[$). On doit donc avoir $-4x^2+16 > 0$ pour la dérivabilité, ce qui donne le domaine $]-2, 2[$.
Voici une méthode simple pour appliquer la Chain Rule :
1. Identifier les fonctions intérieure $u(x)$ et extérieure $f(u)$. Réécrivez la fonction sous la forme $f(u(x))$.
2. Calculer la dérivée de la fonction intérieure $u'(x)$.
3. Calculer la dérivée de la fonction extérieure $f'(u)$.
4. Remplacer $u$ par $u(x)$ dans $f'(u)$ pour obtenir $f'(u(x))$.
5. Multiplier : $f'(x) = u'(x) \times f'(u(x))$.
Entraînez-vous à repérer les fonctions intérieures et extérieures, et à appliquer la formule. La pratique rendra cette technique naturelle !
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f:x \mapsto \sqrt{-4x^2+16}$.
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f:x\mapsto 4x+5 \mathrm{e}^{-2x+3}$.
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f: x \mapsto \dfrac{2}{1+ \mathrm{e}^{-4x}}$.
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f: x \mapsto \dfrac{1}{3x^2+9x+6}$.
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f: x \mapsto \left( \sqrt{x} +3 \right)^4$.
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f: x \mapsto \dfrac{3x-5}{\mathrm{e}^{3x-5}}$.
Donnez le domaine de dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction $f:x \mapsto (2x^3-7x)^5$.