Exercices - Croissances comparées

Croissances Comparées

Exercices sur l'utilisation des croissances comparées pour la levée de formes indéterminées et le calcul de limites.

Revoyons ensemble les points essentiels sur Croissances Comparées avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !

1. Introduction aux Croissances Comparées

Les croissances comparées permettent de comparer la vitesse à laquelle différentes types de fonctions tendent vers l'infini ou zéro. Elles sont particulièrement utiles pour lever les formes indéterminées lors du calcul de limites impliquant des exponentielles, des polynômes et des logarithmes.

En résumé, elles nous disent que dans certaines situations, une fonction "croît plus vite" qu'une autre.

2. Comparaison entre l'exponentielle et les puissances de $x$ en $+\infty$

La fonction exponentielle $\mathrm{e}^x$ croît beaucoup plus vite que n'importe quelle puissance de $x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Formellement, pour tout entier naturel $n$, on a :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^n} = +\infty $$

Ce qui implique également :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{\mathrm{e}^{x}} = 0 $$

En pratique : Face à une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ du type $\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}$ en $+\infty$, la limite sera toujours $+\infty$ car l'exponentielle l'emporte.

3. Comparaison entre l'exponentielle et les puissances de $x$ en $-\infty$

Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, c'est l'exponentielle $\mathrm{e}^x$ qui tend vers $0$ plus rapidement que toute puissance de $x$ (même si $x^n$ tend vers $\pm \infty$ selon la parité de $n$).

Formellement, pour tout entier naturel $n$, on a :

$$ \lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^{x} = 0 $$

En pratique : Face à une forme indéterminée $0 \times \infty$ du type $x^n \mathrm{e}^x$ en $-\infty$, la limite sera toujours $0$ car l'exponentielle l'emporte.

4. Comparaison entre le logarithme et les puissances de $x$ en $+\infty$

Le logarithme népérien $\ln(x)$ croît beaucoup moins vite que n'importe quelle puissance strictement positive de $x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Formellement, pour tout réel strictement positif $n > 0$, on a :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 $$

Ce qui implique également :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{\ln(x)} = +\infty $$

En pratique : Face à une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ du type $\frac{\ln(x)}{x^n}$ en $+\infty$, la limite sera toujours $0$ car la puissance de $x$ l'emporte.

5. Comparaison entre le logarithme et les puissances de $x$ en $0^+$

Lorsque $x$ tend vers $0^+$ , le logarithme népérien $\ln(x)$ tend vers $-\infty$, mais moins rapidement que l'inverse de toute puissance strictement positive de $x$ tend vers $+\infty$. En d'autres termes, $x^n$ tend vers $0$ "plus vite" que $\ln(x)$ ne tend vers $-\infty$.

Formellement, pour tout réel strictement positif $n > 0$, on a :

$$ \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 $$

En pratique : Face à une forme indéterminée $0 \times \infty$ du type $x^n \ln(x)$ en $0^+$, la limite sera toujours $0$ car la puissance de $x$ l'emporte.

C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !

Exercice 1

Déterminez les limites suivantes :

a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{x}-1$

b) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 1-\mathrm{e}^2x-x^3\mathrm{e}^x$

c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 - \frac{4\mathrm{e}^x}{x}$

d) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{\mathrm{e}^x}{2x^2}$

e) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{4\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}}$

f) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^x}{x}$

g) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\mathrm{e}^x}$

h) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5-3x}{\mathrm{e}^x}$

i) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (5x-1)\mathrm{e}^x$

j) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+x+3)\mathrm{e}^x$

k) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x-\mathrm{e}^x$

l) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x^2-2\mathrm{e}^x$

m) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2-x\mathrm{e}^x$

n) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x$

Correction :

Rappels de cours : Croissances comparées à l'infini

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^n} = +\infty$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$)

• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^{x} = 0$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$)

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ (les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme)

• $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$

a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{x}-1$

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x\mathrm{e}^x = 0$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x\mathrm{e}^x = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 2\mathrm{e}^x = 0$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{x}-1 = -1}$.

b) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 1-\mathrm{e}^2x-x^3\mathrm{e}^x$

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^3\mathrm{e}^x = 0$. Et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{2x} = 0$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 1-\mathrm{e}^{2x}-x^3\mathrm{e}^x = 1}$.

c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 - \frac{4\mathrm{e}^x}{x}$

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$.

Par différence de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2 - \frac{4\mathrm{e}^x}{x} = -\infty}$.

d) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{\mathrm{e}^x}{2x^2}$

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2} = +\infty$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{2x^2} = +\infty$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{\mathrm{e}^x}{2x^2} = +\infty}$.

e) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{4\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}}$

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}} = +\infty$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}} = +\infty$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 1+\frac{4\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}} = +\infty}$.

f) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^x}{x}$

On réécrit l'expression : $\frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^x}{x} = \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{x}} = \frac{\mathrm{e}^x}{x^{1/2}}$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^{1/2}} = +\infty$.

Donc, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^x}{x} = +\infty}$.

g) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\mathrm{e}^x}$

On réécrit l'expression : $\frac{5x}{\mathrm{e}^x} = 5 \frac{x}{\mathrm{e}^x} = 5 \frac{1}{\frac{\mathrm{e}^x}{x}}$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{\mathrm{e}^x}{x}} = 0$.

Par produit de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{\mathrm{e}^x} = 0}$.

h) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5-3x}{\mathrm{e}^x}$

On réécrit l'expression : $\frac{5-3x}{\mathrm{e}^x} = \frac{5}{\mathrm{e}^x} - \frac{3x}{\mathrm{e}^x} = \frac{5}{\mathrm{e}^x} - 3 \frac{x}{\mathrm{e}^x}$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{\mathrm{e}^x} = 0$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5-3x}{\mathrm{e}^x} = 0}$.

i) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (5x-1)\mathrm{e}^x$

On factorise par $x$ : $(5x-1)\mathrm{e}^x = x(5 - \frac{1}{x})\mathrm{e}^x = 5x(1 - \frac{1}{5x})\mathrm{e}^x = 5 \frac{x}{\mathrm{e}^{-x}} (1 - \frac{1}{5x})$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty$, donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{-x}} = +\infty$. Et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (5x-1) = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$. On a forme indéterminée $\infty \times \infty$.

On réécrit : $(5x-1)\mathrm{e}^x = 5x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\mathrm{e}^x = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (5x-1)\mathrm{e}^x = +\infty}$.

j) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+x+3)\mathrm{e}^x$

On réécrit l'expression : $(x^2+x+3)\mathrm{e}^x = x^2\mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x + 3\mathrm{e}^x$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2\mathrm{e}^x = +\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\mathrm{e}^x = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3\mathrm{e}^x = +\infty$.

Par somme de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+x+3)\mathrm{e}^x = +\infty}$.

k) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x-\mathrm{e}^x$

On factorise par $\mathrm{e}^x$ : $3x-\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x(\frac{3x}{\mathrm{e}^x} - 1)$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x} = 0$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\frac{3x}{\mathrm{e}^x} - 1) = -1$. Et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Par produit de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x-\mathrm{e}^x = -\infty}$.

l) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x^2-2\mathrm{e}^x$

On factorise par $\mathrm{e}^x$ : $3x^2-2\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x(\frac{3x^2}{\mathrm{e}^x} - 2)$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\mathrm{e}^x} = 0$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\frac{3x^2}{\mathrm{e}^x} - 2) = -2$. Et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Par produit de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x^2-2\mathrm{e}^x = -\infty}$.

m) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2-x\mathrm{e}^x$

On factorise par $\mathrm{e}^x$ : $x^2-x\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x(\frac{x^2}{\mathrm{e}^x} - x)$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{\mathrm{e}^x} = 0$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^2}{\mathrm{e}^x} - x) = -\infty$. Et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Par produit de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2-x\mathrm{e}^x = -\infty}$.

n) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x$

On développe : $(\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^{2x} - x\mathrm{e}^x$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x\mathrm{e}^x = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{2x} = +\infty$. On a forme indéterminée $\infty - \infty$.

Factorisons : $(\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^{2x}(1 - \frac{x}{\mathrm{e}^x})$.

Utilisons la croissance comparée $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x} = 0$. Donc, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{x}{\mathrm{e}^x}) = 1$. Et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{2x} = +\infty$.

Par produit de limites, $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\mathrm{e}^x-x)\mathrm{e}^x = +\infty}$.