Exercices : Convexité et Dérivée Seconde

Correction :

1. Calcul de la dérivée première $f'(x)$ :

On utilise la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = \ln(x)$.

$f'(x) = (x^2)' \ln(x) + x^2 (\ln(x))' = 2x \ln(x) + x^2 \times \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x = x(2\ln(x) + 1)$.

2. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ :

On dérive $f'(x) = x(2\ln(x) + 1)$, en utilisant encore la formule $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = 2\ln(x) + 1$.

$f''(x) = (x)'(2\ln(x) + 1) + x(2\ln(x) + 1)' = 1 \cdot (2\ln(x) + 1) + x \left(2 \times \frac{1}{x} + 0 \right) = 2\ln(x) + 1 + 2 = 2\ln(x) + 3$.

3. Étude du signe de $f''(x)$ :

On cherche à résoudre $f''(x) \geqslant 0$ :

$2\ln(x) + 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow 2\ln(x) \geqslant -3 \Leftrightarrow \ln(x) \geqslant -\frac{3}{2} \Leftrightarrow x \geqslant e^{-3/2}$.

4. Conclusion sur la convexité :

- Sur $]0, e^{-3/2}]$, $f''(x) \leqslant 0$, donc $f$ est concave sur $]0, e^{-3/2}]$.

- Sur $[e^{-3/2}, +\infty[$, $f''(x) \geqslant 0$, donc $f$ est convexe sur $[e^{-3/2}, +\infty[$.

- Le point d'inflexion a pour abscisse $x = e^{-3/2}$ car $f''(x)$ s'annule et change de signe en $x = e^{-3/2}$.

Correction :

1. Rappel de la convexité de la fonction exponentielle :

La fonction $f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ car sa dérivée seconde $f''(x) = e^x$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

2. Utilisation de la position de la courbe par rapport à la tangente :

Comme $f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$, sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes. Considérons la tangente au point d'abscisse $a=0$.

Équation de la tangente en $a=0$ : $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.

Calculons $f(0)$ et $f'(0)$ :

$f(0) = e^0 = 1$.

$f'(x) = e^x$, donc $f'(0) = e^0 = 1$.

La tangente en $a=0$ a donc pour équation $y = 1(x-0) + 1 = x + 1$.

Puisque $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes pour $f$ convexe, on a donc pour tout $x \in \mathbb{R}$: $e^x \ge x + 1$.

3. Amélioration de l'inégalité : Utilisation du développement de Taylor-Young à l'ordre 2

Pour obtenir l'inégalité à l'ordre 2, on utilise une version plus précise de la position de la courbe par rapport à la tangente, en considérant le développement limité à l'ordre 2.

Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de sa parabole tangente d'ordre 2. Cependant, une approche plus simple ici est de considérer une autre fonction auxiliaire et d'utiliser la convexité.

Considérons la fonction $g(x) = e^x - (1 + x + \dfrac{x^2}{2})$. Nous voulons montrer que $g(x) \ge 0$ pour $x \ge 0$.

Calculons les dérivées de $g$ :

$g'(x) = e^x - (1 + x) = e^x - 1 - x$.

$g''(x) = e^x - 1$.

Pour $x \ge 0$, $e^x \ge 1$, donc $g''(x) \ge 0$. Ainsi $g'$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

Comme $g'(0) = e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 = 0$ et $g'$ est croissante, pour $x \ge 0$, $g'(x) \ge g'(0) = 0$. Donc $g'$ est positive sur $[0, +\infty[$, ce qui implique que $g$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

Comme $g(0) = e^0 - (1 + 0 + \dfrac{0^2}{2}) = 1 - 1 = 0$ et $g$ est croissante, pour $x \ge 0$, $g(x) \ge g(0) = 0$.

Conclusion : Pour tout $x \ge 0$, $g(x) = e^x - (1 + x + \dfrac{x^2}{2}) \ge 0$, donc $\boxed{e^x \ge 1 + x + \dfrac{x^2}{2}}$.

Correction :

1. Convexité de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ :

Calcul de $f''(x)$ :

$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

$f''(x) = -(-2)x^{-3} = \dfrac{2}{x^3}$.

Signe de $f''(x)$ sur $]0; +\infty[$ : Pour $x \in ]0; +\infty[$, $x^3 > 0$, donc $f''(x) = \dfrac{2}{x^3} > 0$.

Conclusion : Puisque $f''(x) > 0$ sur $]0; +\infty[$, la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est $\boxed{\text{convexe sur } ]0; +\infty[}$.

2. Démonstration de l'inégalité :

Puisque $f$ est convexe sur $]0; +\infty[$, elle vérifie l'inégalité de Jensen pour deux points :

$f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)$ pour tous $x, y \in ]0; +\infty[$ et $t \in [0, 1]$.

En remplaçant $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $f(y) = \dfrac{1}{y}$ et $f(tx + (1-t)y) = \dfrac{1}{tx + (1-t)y}$, on obtient directement l'inégalité demandée :

$\boxed{\dfrac{1}{tx + (1-t)y} \le \dfrac{t}{x} + \dfrac{1-t}{y}}$.

Cette inégalité est une application directe de la définition de la convexité (inégalité de Jensen) pour la fonction inverse.

Correction :

1. Calcul de la dérivée première $f'(x)$ :

On utilise la formule de dérivation de $\ln(u)$, soit $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ avec $u(x) = 1 + e^x$.

$f'(x) = \dfrac{(1 + e^x)'}{1 + e^x} = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$.

2. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ :

On dérive $f'(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = e^x$ et $v(x) = 1 + e^x$.

$f''(x) = \dfrac{(e^x)'(1 + e^x) - e^x(1 + e^x)'}{(1 + e^x)^2} = \dfrac{e^x(1 + e^x) - e^x(e^x)}{(1 + e^x)^2} = \dfrac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1 + e^x)^2} = \dfrac{e^x}{(1 + e^x)^2}$.

3. Étude du signe de $f''(x)$ :

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ et $(1 + e^x)^2 > 0$. Donc, $f''(x) = \dfrac{e^x}{(1 + e^x)^2} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

4. Conclusion sur la convexité :

Puisque $f''(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f(x) = \ln(1 + e^x)$ est $\boxed{\text{convexe sur } \mathbb{R}}$. Il n'y a pas de point d'inflexion car $f''(x)$ ne s'annule jamais.

Correction :

1. Calcul de la dérivée première $f'(x)$ :

On utilise la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x^2/2}$.

$f'(x) = (x)'e^{-x^2/2} + x(e^{-x^2/2})' = e^{-x^2/2} + x \cdot e^{-x^2/2} \cdot (-x) = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2} = (1 - x^2)e^{-x^2/2}$.

2. Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ :

On dérive $f'(x) = (1 - x^2)e^{-x^2/2}$ en utilisant encore la formule $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = 1 - x^2$ et $v(x) = e^{-x^2/2}$.

$f''(x) = (-2x)e^{-x^2/2} + (1 - x^2)(e^{-x^2/2})' = -2xe^{-x^2/2} + (1 - x^2) e^{-x^2/2} \cdot (-x) = -2xe^{-x^2/2} - x(1 - x^2) e^{-x^2/2} = e^{-x^2/2} (-2x - x + x^3) = e^{-x^2/2} (x^3 - 3x) = x(x^2 - 3)e^{-x^2/2}$.

3. Étude du signe de $f''(x)$ :

Le signe de $f''(x) = x(x^2 - 3)e^{-x^2/2}$ dépend du signe de $x(x^2 - 3)$ car $e^{-x^2/2} > 0$ toujours.

On cherche les racines de $x(x^2 - 3) = 0$, qui sont $x = 0$, $x = -\sqrt{3}$, $x = \sqrt{3}$.

Tableau de signes de $f''(x)$ :

5. Conclusion sur la convexité et points d'inflexion :

- $f$ est convexe sur $[-\sqrt{3}, 0] \cup [\sqrt{3}, +\infty[$.

- $f$ est concave sur $]-\infty, -\sqrt{3}] \cup [0, \sqrt{3}]$.

- Les points d'inflexion ont pour abscisses $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$ et $x = \sqrt{3}$.