Entraînez-vous sur les combinaisons avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Révisions et approfondissement sur la notion de combinaisons en dénombrement.
Revoyons ensemble les points essentiels sur Combinaisons avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
En dénombrement, une combinaison permet de déterminer le nombre de façons de choisir $p$ éléments distincts parmi un ensemble de $n$ éléments, sans tenir compte de l'ordre de sélection et sans répétition.
L'importance de la combinaison réside dans le fait que l'ordre des éléments choisis n'a pas d'importance. Par exemple, choisir les éléments A puis B est considéré comme identique à choisir B puis A dans une combinaison.
Les combinaisons sont utilisées dans de nombreux contextes, comme par exemple pour calculer le nombre de mains possibles au poker, le nombre de groupes que l'on peut former, etc.
Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est noté $\binom{n}{p}$ (on lit "combinaison de $p$ parmi $n$" ou "coefficient binomial $n$ parmi $p$") ou parfois $C_n^p$. Il est donné par la formule suivante :
$$ \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} $$
où $n!$ (factorielle de $n$) est le produit de tous les nombres entiers positifs jusqu'à $n$, soit $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$. Par convention, $0! = 1$.
Important : Pour que $\binom{n}{p}$ existe, il faut que $0 \le p \le n$, avec $n$ et $p$ des entiers naturels.
Voici quelques propriétés importantes des coefficients binomiaux :
Symétrie : Pour tout entier $0 \le p \le n$, on a :
$$ \binom{n}{p} = \binom{n}{n-p} $$
Cette propriété signifie que choisir $p$ éléments parmi $n$ revient à ne pas choisir les $n-p$ éléments restants. Par exemple, $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1}$.
Cas Particuliers :
$\bullet$ $\binom{n}{0} = 1$ : Il n'y a qu'une seule façon de choisir 0 élément parmi $n$ (ne rien choisir).
$\bullet$ $\binom{n}{1} = n$ : Il y a $n$ façons de choisir 1 élément parmi $n$.
$\bullet$ $\binom{n}{n} = 1$ : Il n'y a qu'une seule façon de choisir $n$ éléments parmi $n$ (tout choisir).
$\bullet$ $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ : Formule souvent utilisée et à retenir.
Pour résoudre un problème de dénombrement, il est crucial de déterminer si l'ordre des éléments choisis importe ou non. Si l'ordre n'importe pas, et qu'il n'y a pas de répétition, on utilise les combinaisons.
Exemple : Si on veut choisir un comité de 3 personnes parmi 10, l'ordre de sélection des personnes n'a pas d'importance, donc on utilise les combinaisons. Le nombre de comités possibles est $\binom{10}{3}$.
Il est essentiel de bien identifier le contexte du problème pour choisir la méthode de dénombrement appropriée (combinaisons, arrangements, permutations...).
La formule du binôme de Newton donne le développement d'une puissance entière d'une somme de deux termes. Elle utilise les coefficients binomiaux :
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, et pour tout entier naturel $n$, on a :
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
En développant la somme, on obtient :
$$ (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \cdots + \binom{n}{n} a^0 b^n $$
Exemple : Pour $n=2$, on retrouve la formule $(a+b)^2 = \binom{2}{0}a^2 + \binom{2}{1}ab + \binom{2}{2}b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ car $\binom{2}{0}=1$, $\binom{2}{1}=2$ et $\binom{2}{2}=1$.
Le triangle de Pascal est une représentation triangulaire des coefficients binomiaux. Chaque nombre à l'intérieur du triangle est la somme des deux nombres situés directement au-dessus de lui.
Construction du triangle :
$\bullet$ La ligne du sommet (ligne 0) contient le coefficient $\binom{0}{0} = 1$.
$\bullet$ La ligne $n$ commence et finit par 1. Les autres termes sont obtenus en additionnant les deux termes de la ligne précédente situés juste au-dessus.
$\bullet$ Le $p$-ième terme de la ligne $n$ (en commençant à l'indice 0) est le coefficient binomial $\binom{n}{p}$.
Voici les premières lignes du triangle de Pascal :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
Relation de Pascal : La construction du triangle de Pascal repose sur la relation de Pascal, qui lie les coefficients binomiaux entre eux :
$$ \binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p} $$
Cette relation est valable pour $1 \le p \le n-1$. Elle signifie que chaque terme du triangle (sauf les 1 des bords) est la somme des deux termes situés juste au-dessus de lui. Cette relation permet de calculer les coefficients binomiaux de manière récursive et est à la base de la construction du triangle de Pascal.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \binom{n}{n-1}=n$.
2. $\forall n\in \mathbb{N} \setminus \{ 0,1 \},\ \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.
3. $\forall n\in \mathbb{N},\ (n+1)!= (n+1) n!$.
4. $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}= \frac{1}{n}$.
Une urne contient quatre boules blanches et trois boules noires. On tire simultanément trois boules de l'urne.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Combien y a-t-il de tirages possibles ne comportant que des boules blanches ?
3. Combien y a-t-il de tirages unicolores ?
4. Combien y a-t-il de tirages comportant une boule blanche et deux boules noires ?
On choisit au hasard simultanément quatre cartes dans un jeu de $32$ cartes.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Combien y a-t-il de tirages possibles comportant le roi de cœur ?
3. Combien y a-t-il de tirages comportant quatre cœurs ?
4. Combien y a-t-il de tirages ne comportant aucun as ?
Un fleuriste dispose de $5$ roses, trois tulipes, deux tournesols et quatre feuillages décoratifs pour composer un bouquet.
1. Combien de bouquets constitués de trois fleurs et d'un feuillage peut-il composer ?
2. Il décide de mettre une fleur de chaque espèce avec un feuillage pour constituer son bouquet. Quel est le nombre de bouquets possibles ?
Un fleuriste dispose de $5$ roses, trois tulipes, deux tournesols et quatre feuillages décoratifs pour composer un bouquet.
1. Combien de bouquets constitués de trois fleurs et d'un feuillage peut-il composer ?
2. Il décide de mettre une fleur de chaque espèce avec un feuillage pour constituer son bouquet. Quel est le nombre de bouquets possibles ?