Exercices : Loi binomiale

Correction :

Question a) : Loi de probabilité de $X$.

Nous sommes dans le cadre d'une répétition d'épreuves identiques et indépendantes (tirages avec remise). Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : "boule rouge" (succès) ou "boule noire" (échec).

La probabilité de succès (tirer une boule rouge) est $p = \frac{7}{7+3} = \frac{7}{10} = 0,7$.

On répète cette épreuve $n=5$ fois. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,7$. On note $X \hookrightarrow \mathscr{B}(5; 0,7)$.

Question b) : Probabilité d'obtenir exactement 3 boules rouges.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(X = 3)$. La formule de la loi binomiale donne :

Rappel : Formule de la loi binomiale

Si $X \hookrightarrow \mathscr{B}(n; p)$, alors pour tout entier $k$ entre 0 et $n$ : $$ \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

Ici, $n=5$, $p=0,7$ et $k=3$. Donc : $$ \mathbb{P}(X = 3) = \binom{5}{3} (0,7)^3 (1-0,7)^{5-3} = \binom{5}{3} (0,7)^3 (0,3)^2 $$

$$ \mathbb{P}(X = 3) = 10 \times (0,343) \times (0,09) = 0,3087 $$

Conclusion : La probabilité d'obtenir exactement 3 boules rouges est environ 0,3087.

Question c) : Probabilité d'obtenir au plus 2 boules rouges.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(X \leqslant 2)$. Cela correspond à $\mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X=2)$.

$$ \mathbb{P}(X = 0) = \binom{5}{0} (0,7)^0 (0,3)^5 = 1 \times 1 \times 0,00243 = 0,00243 $$

$$ \mathbb{P}(X = 1) = \binom{5}{1} (0,7)^1 (0,3)^4 = 5 \times 0,7 \times 0,0081 = 0,02835 $$

$$ \mathbb{P}(X = 2) = \binom{5}{2} (0,7)^2 (0,3)^3 = 10 \times 0,49 \times 0,027 = 0,1323 $$

$$ \mathbb{P}(X \leqslant 2) = \mathbb{P}(X=0) + \mathbb{P}(X=1) + \mathbb{P}(X=2) = 0,00243 + 0,02835 + 0,1323 = 0,16308 $$

Conclusion : La probabilité d'obtenir au plus 2 boules rouges est environ 0,1631.

Correction :

Question a) : Loi de probabilité de $Y$.

Chaque lancer franc est une épreuve de Bernoulli indépendante avec une probabilité de succès (lancer réussi) $p = 0,6$. On répète cette épreuve $n=8$ fois. La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,6$. On note $Y \hookrightarrow \mathscr{B}(8; 0,6)$.

Question b) : Probabilité de réussir exactement 5 lancers francs.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(Y = 5)$. En utilisant la formule de la loi binomiale : $$ \mathbb{P}(Y = 5) = \binom{8}{5} (0,6)^5 (0,4)^{8-5} = \binom{8}{5} (0,6)^5 (0,4)^3 $$ $$ \mathbb{P}(Y = 5) = 56 \times (0,07776) \times (0,064) \approx 0,2787 $$

Conclusion : La probabilité de réussir exactement 5 lancers francs est environ 0,2787.

Question c) : Probabilité de réussir au moins 6 lancers francs.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(Y \geqslant 6) = \mathbb{P}(Y=6) + \mathbb{P}(Y=7) + \mathbb{P}(Y=8)$.

$\mathbb{P}(Y=6) = \binom{8}{6} (0,6)^6 (0,4)^2 = 28 \times 0,046656 \times 0,16 \approx 0,2090$

$\mathbb{P}(Y=7) = \binom{8}{7} (0,6)^7 (0,4)^1 = 8 \times 0,0279936 \times 0,4 \approx 0,0896$

$\mathbb{P}(Y=8) = \binom{8}{8} (0,6)^8 (0,4)^0 = 1 \times 0,01679616 \times 1 \approx 0,0168$

$\mathbb{P}(Y \geqslant 6) = 0,2090 + 0,0896 + 0,0168 = 0,3154$

Conclusion : La probabilité de réussir au moins 6 lancers francs est environ 0,3154.

Question d) : Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(Y \leqslant k) > 0,9$.

Nous devons trouver le seuil $k$ pour lequel la probabilité cumulée dépasse 0,9. On peut utiliser la fonction de répartition de la loi binomiale, ou tester les valeurs de $k$ à la calculatrice :

Pour $k=6$, $\mathbb{P}(Y \leqslant 6) \approx 0,9006 > 0,9$.

Pour $k=5$, $\mathbb{P}(Y \leqslant 5) \approx 0,7515 < 0,9$.

Le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(Y \leqslant k) > 0,9$ est donc $k=6$.

Conclusion : Le plus petit entier $k$ est 6. Cela signifie qu'il y a plus de 90% de chances que le joueur réussisse au plus 6 lancers francs sur 8.

Correction :

Question a) : Loi de probabilité de $Z$.

On considère que le prélèvement au hasard d'individus peut être assimilé à des tirages avec remise, car la population est grande. Chaque individu prélevé est soumis à une épreuve de Bernoulli avec succès = "être malade" et échec = "ne pas être malade". La probabilité de succès est $p = 0,15$. On répète l'épreuve $n=25$ fois. La variable aléatoire $Z$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,15$. On note $Z \hookrightarrow \mathscr{B}(25; 0,15)$.

Question b) : Probabilité qu'aucun individu ne soit malade.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(Z = 0)$. En utilisant la formule de la loi binomiale : $$ \mathbb{P}(Z = 0) = \binom{25}{0} (0,15)^0 (1-0,15)^{25-0} = \binom{25}{0} (0,15)^0 (0,85)^{25} $$ $$ \mathbb{P}(Z = 0) = 1 \times 1 \times (0,85)^{25} \approx 0,0172 $$

Conclusion : La probabilité qu'aucun individu ne soit malade dans l'échantillon est environ 0,0172.

Question c) : Probabilité qu'au moins 2 individus soient malades.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(Z \geqslant 2) = 1 - \mathbb{P}(Z < 2) = 1 - [\mathbb{P}(Z=0) + \mathbb{P}(Z=1)]$.

Nous connaissons $\mathbb{P}(Z=0) \approx 0,0172$. Calculons $\mathbb{P}(Z=1)$: $$ \mathbb{P}(Z = 1) = \binom{25}{1} (0,15)^1 (0,85)^{24} = 25 \times 0,15 \times (0,85)^{24} \approx 0,0761 $$

$$ \mathbb{P}(Z \geqslant 2) = 1 - (0,0172 + 0,0761) = 1 - 0,0933 = 0,9067 $$

Conclusion : La probabilité qu'au moins 2 individus soient malades dans l'échantillon est environ 0,9067.

Question d) : Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(Z \geqslant k) < 0,05$.

Nous cherchons le seuil $k$ tel que la probabilité d'avoir au moins $k$ malades soit inférieure à 0,05. On peut tester les valeurs de $k$ à la calculatrice en calculant $\mathbb{P}(Z \geqslant k) = 1 - \mathbb{P}(Z \leqslant k-1)$.

Pour $k=5$, $\mathbb{P}(Z \geqslant 5) \approx 0,1813 > 0,05$.

Pour $k=6$, $\mathbb{P}(Z \geqslant 6) \approx 0,0723 > 0,05$.

Pour $k=7$, $\mathbb{P}(Z \geqslant 7) \approx 0,0242 < 0,05$.

Le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(Z \geqslant k) < 0,05$ est donc $k=7$.

Conclusion : Le plus petit entier $k$ est 7. Cela signifie qu'il y a moins de 5% de chances d'avoir au moins 7 individus malades dans un échantillon de 25.

Correction :

Question a) : Loi binomiale $X$.

On prélève $n=100$ pièces. Chaque pièce a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueuse. Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pièces défectueuses. $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,05$. On note $X \hookrightarrow \mathscr{B}(100; 0,05)$.

Question b) : Détermination des seuils $a$ et $b$.

Nous cherchons le plus petit entier $a$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant a) > 0,025$. En testant les valeurs avec la calculatrice :

Pour $a=1$, $\mathbb{P}(X \leqslant 1) \approx 0,0371 > 0,025$.

Pour $a=0$, $\mathbb{P}(X \leqslant 0) \approx 0,0059 < 0,025$.

Donc, $a=1$.

Nous cherchons le plus petit entier $b$ tel que $\mathbb{P}(X \leqslant b) \geqslant 0,975$. En testant les valeurs avec la calculatrice :

Pour $b=9$, $\mathbb{P}(X \leqslant 9) \approx 0,9715 < 0,975$.

Pour $b=10$, $\mathbb{P}(X \leqslant 10) \approx 0,9828 \geqslant 0,975$.

Donc, $b=10$.

Conclusion : On a $a=1$ et $b=10$.

Question c) : Intervalle de fluctuation à 95% pour la fréquence.

L'intervalle de fluctuation à 95% pour le nombre de pièces défectueuses est $[a; b] = [1; 10]$. Pour la fréquence, on divise les bornes par la taille de l'échantillon $n=100$.

Intervalle de fluctuation pour la fréquence est : $I_F = \left[ \frac{a}{n} ; \frac{b}{n} \right] = \left[ \frac{1}{100} ; \frac{10}{100} \right] = [0,01 ; 0,10]$.

Conclusion : L'intervalle de fluctuation à 95% pour la fréquence de pièces défectueuses dans un échantillon de taille 100 est $[0,01 ; 0,10]$.

Correction :

Question a) : Loi binomiale $X$.

Chaque livraison contrôlée est une épreuve de Bernoulli avec succès = "livraison dans les temps" et échec = "livraison en retard". La probabilité de succès est $p=0,85$. On répète cette épreuve $n=50$ fois. La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,85$. On note $X \hookrightarrow \mathscr{B}(50; 0,85)$.

Question b) : Probabilité qu'au moins 40 livraisons soient dans les temps.

Nous cherchons à calculer $\mathbb{P}(X \geqslant 40) = \mathbb{P}(X=40) + \mathbb{P}(X=41) + ... + \mathbb{P}(X=50)$. Il est plus simple de calculer l'événement contraire : $\mathbb{P}(X \geqslant 40) = 1 - \mathbb{P}(X < 40) = 1 - \mathbb{P}(X \leqslant 39)$.

En utilisant la calculatrice ou un logiciel, on trouve $\mathbb{P}(X \leqslant 39) \approx 0,1742$.

Donc, $\mathbb{P}(X \geqslant 40) = 1 - 0,1742 = 0,8258$.

Conclusion : La probabilité qu'au moins 40 livraisons soient dans les temps est environ 0,8258.

Question c) : Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(X \geqslant k) < 0,1$.

Nous cherchons le seuil $k$ tel que la probabilité d'avoir au moins $k$ livraisons dans les temps soit inférieure à 0,1. On teste les valeurs de $k$ à la calculatrice en calculant $\mathbb{P}(X \geqslant k) = 1 - \mathbb{P}(X \leqslant k-1)$.

Pour $k=45$, $\mathbb{P}(X \geqslant 45) \approx 0,1434 > 0,1$.

Pour $k=46$, $\mathbb{P}(X \geqslant 46) \approx 0,0648 < 0,1$.

Le plus petit entier $k$ tel que $\mathbb{P}(X \geqslant k) < 0,1$ est donc $k=46$.

Conclusion : Le plus petit entier $k$ est 46. Cela signifie qu'il y a moins de 10% de chances d'avoir au moins 46 livraisons dans les temps sur 50.