Exercices : Bases de l'espace

Correction :

Pour déterminer si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base de l'espace, nous devons vérifier s'ils sont linéairement indépendants. Pour cela, nous allons examiner si la combinaison linéaire nulle implique que tous les coefficients soient nuls.

Rappel : Condition pour qu'une famille de trois vecteurs soit une base

Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ forment une base si et seulement si pour tous scalaires $a, b, c \in \mathbb{R}$, l'équation : $$ a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0} $$ implique $a = 0$, $b = 0$, et $c = 0$.

Écrivons l'équation vectorielle en termes de composantes dans la base $\mathscr{B}$ : $$ a \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0\\3\\2 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Cela nous donne le système d'équations linéaires : $$ \begin{cases} 2a + 0b + 1c = 0 \\ 1a + 3b - 1c = 0 \\ -1a + 2b + 0c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a + c = 0 \\ a + 3b - c = 0 \\ -a + 2b = 0 \end{cases} $$

Résolvons ce système. De la troisième équation, on a $a = 2b$. Substituons $a = 2b$ dans la première équation : $2(2b) + c = 0 \Rightarrow 4b + c = 0 \Rightarrow c = -4b$. Substituons $a = 2b$ et $c = -4b$ dans la deuxième équation : $(2b) + 3b - (-4b) = 0 \Rightarrow 2b + 3b + 4b = 0 \Rightarrow 9b = 0 \Rightarrow b = 0$.

Si $b = 0$, alors $a = 2b = 0$, et $c = -4b = 0$. Ainsi, la seule solution est $a = b = c = 0$.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants, donc ils constituent une base de l'espace.

Correction :

Pour déterminer si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base de l'espace, nous devons vérifier s'ils sont linéairement indépendants en étudiant l'équation $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

Écrivons l'équation vectorielle en termes de composantes : $$ a \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Cela donne le système : $$ \begin{cases} a + 2b + 3c = 0 \\ 0a - b - c = 0 \\ 2a + 0b + 2c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + 2b + 3c = 0 \\ -b - c = 0 \\ 2a + 2c = 0 \end{cases} $$

De la deuxième équation, $b = -c$. De la troisième équation, $2a = -2c$, donc $a = -c$. Substituons $a = -c$ et $b = -c$ dans la première équation : $(-c) + 2(-c) + 3c = 0 \Rightarrow -c - 2c + 3c = 0 \Rightarrow 0 = 0$.

Cette équation est toujours vraie, ce qui signifie qu'il existe des solutions non nulles. Par exemple, si on choisit $c = 1$, alors $a = -1$ et $b = -1$. Vérifions : $(-1) \vec{u} + (-1) \vec{v} + (1) \vec{w} = -\vec{u} - \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -1\\0\\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$.

Puisqu'il existe une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls (par exemple $a=-1, b=-1, c=1$), les vecteurs sont linéairement dépendants.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas linéairement indépendants, donc ils ne constituent pas une base de l'espace.

Correction :

Vérifions si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants en examinant l'équation $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes, cela donne : $$ a \begin{pmatrix} 3\\0\\1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0\\-2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Le système d'équations linéaires est : $$ \begin{cases} 3a + b + 0c = 0 \\ 0a + b - 2c = 0 \\ a - b + 3c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a + b = 0 \\ b - 2c = 0 \\ a - b + 3c = 0 \end{cases} $$

De la première équation, $b = -3a$. De la deuxième équation, $b = 2c$. Donc $-3a = 2c$, ou $c = -\frac{3}{2}a$. Substituons $b = -3a$ et $c = -\frac{3}{2}a$ dans la troisième équation : $a - (-3a) + 3(-\frac{3}{2}a) = 0 \Rightarrow a + 3a - \frac{9}{2}a = 0 \Rightarrow 4a - \frac{9}{2}a = 0 \Rightarrow \frac{8a - 9a}{2} = 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}a = 0 \Rightarrow a = 0$.

Si $a = 0$, alors $b = -3a = 0$, et $c = -\frac{3}{2}a = 0$. La seule solution est $a = b = c = 0$.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants, et constituent donc une base de l'espace.

Correction :

Pour savoir si $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base, on teste l'indépendance linéaire via $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0\\5\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} -a + 2b + 0c = 0 \\ 2a + b + 5c = 0 \\ a - 3b - c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -a + 2b = 0 \\ 2a + b + 5c = 0 \\ a - 3b - c = 0 \end{cases} $$

De la première équation, $a = 2b$. Substituons $a = 2b$ dans la deuxième équation : $2(2b) + b + 5c = 0 \Rightarrow 4b + b + 5c = 0 \Rightarrow 5b + 5c = 0 \Rightarrow b = -c$. Donc $a = 2b = -2c$. Substituons $a = -2c$ et $b = -c$ dans la troisième équation : $(-2c) - 3(-c) - c = 0 \Rightarrow -2c + 3c - c = 0 \Rightarrow 0 = 0$.

L'équation est toujours vérifiée, donc il y a des solutions non nulles. Par exemple, si $c = 1$, alors $b = -1$ et $a = -2$. Vérifions : $(-2) \vec{u} + (-1) \vec{v} + (1) \vec{w} = \begin{pmatrix} 2\\-4\\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\-1\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\5\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$.

Il existe une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls, donc les vecteurs sont linéairement dépendants.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas linéairement indépendants et ne forment pas une base de l'espace.

Correction :

Pour vérifier si $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base, nous examinons l'équation $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} 4\\-1\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} 4a + b + 2c = 0 \\ -a + 0b - c = 0 \\ 2a - b + 3c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4a + b + 2c = 0 \\ -a - c = 0 \\ 2a - b + 3c = 0 \end{cases} $$

De la deuxième équation, $a = -c$. Substituons $a = -c$ dans la première équation : $4(-c) + b + 2c = 0 \Rightarrow -4c + b + 2c = 0 \Rightarrow b - 2c = 0 \Rightarrow b = 2c$. Substituons $a = -c$ et $b = 2c$ dans la troisième équation : $2(-c) - (2c) + 3c = 0 \Rightarrow -2c - 2c + 3c = 0 \Rightarrow -c = 0 \Rightarrow c = 0$.

Si $c = 0$, alors $a = -c = 0$, et $b = 2c = 0$. La seule solution est $a = b = c = 0$.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants, donc ils constituent une base de l'espace.

Correction :

Testons l'indépendance linéaire des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ en résolvant $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} a + b + 0c = 0 \\ a - b + 2c = 0 \\ a + 0b + 2c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = 0 \\ a - b + 2c = 0 \\ a + 2c = 0 \end{cases} $$

De la première équation, $b = -a$. De la troisième équation, $2c = -a$, donc $c = -\frac{1}{2}a$. Substituons $b = -a$ et $c = -\frac{1}{2}a$ dans la deuxième équation : $a - (-a) + 2(-\frac{1}{2}a) = 0 \Rightarrow a + a - a = 0 \Rightarrow a = 0$.

Si $a = 0$, alors $b = -a = 0$, et $c = -\frac{1}{2}a = 0$. La seule solution est $a = b = c = 0$.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants, donc ils forment une base de l'espace.

Correction :

Pour déterminer si $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base, on vérifie si ils sont linéairement indépendants en étudiant $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 4\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} 2a + b + 4c = 0 \\ -2a + b + 0c = 0 \\ 0a + b + 2c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a + b + 4c = 0 \\ -2a + b = 0 \\ b + 2c = 0 \end{cases} $$

De la deuxième équation, $b = 2a$. De la troisième équation, $b = -2c$. Donc $2a = -2c$, ou $a = -c$. Substituons $b = 2a$ et $c = -a$ dans la première équation : $2a + (2a) + 4(-a) = 0 \Rightarrow 2a + 2a - 4a = 0 \Rightarrow 0 = 0$.

L'équation est toujours vraie, donc il existe des solutions non nulles. Par exemple, si $a = 1$, alors $b = 2$ et $c = -1$. Vérifions : $(1) \vec{u} + (2) \vec{v} + (-1) \vec{w} = \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4\\0\\-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$.

Il existe une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls, donc les vecteurs sont linéairement dépendants.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas linéairement indépendants et ne forment pas une base de l'espace.

Correction :

Pour vérifier si $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base, nous devons tester l'indépendance linéaire en résolvant $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} 5\\0\\-1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} 5a + 0b + c = 0 \\ 0a + b + c = 0 \\ -a + 2b + 0c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5a + c = 0 \\ b + c = 0 \\ -a + 2b = 0 \end{cases} $$

De la première équation, $c = -5a$. De la deuxième équation, $c = -b$. Donc $-5a = -b$, ou $b = 5a$. Substituons $b = 5a$ dans la troisième équation : $-a + 2(5a) = 0 \Rightarrow -a + 10a = 0 \Rightarrow 9a = 0 \Rightarrow a = 0$.

Si $a = 0$, alors $b = 5a = 0$, et $c = -5a = 0$. La seule solution est $a = b = c = 0$.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants, donc ils constituent une base de l'espace.

Correction :

Pour déterminer si $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base, nous testons l'indépendance linéaire avec $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} 1\\-3\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -2\\6\\-4 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} a - 2b + c = 0 \\ -3a + 6b + 0c = 0 \\ 2a - 4b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a - 2b + c = 0 \\ -3a + 6b = 0 \\ 2a - 4b + c = 0 \end{cases} $$

De la deuxième équation, $-3a = -6b$, donc $a = 2b$. Substituons $a = 2b$ dans la première équation : $(2b) - 2b + c = 0 \Rightarrow c = 0$. Substituons $a = 2b$ et $c = 0$ dans la troisième équation : $2(2b) - 4b + 0 = 0 \Rightarrow 4b - 4b = 0 \Rightarrow 0 = 0$.

L'équation est toujours vraie, donc il y a des solutions non nulles. Par exemple, si $b = 1$, alors $a = 2$ et $c = 0$. Vérifions : $(2) \vec{u} + (1) \vec{v} + (0) \vec{w} = \begin{pmatrix} 2\\-6\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\6\\-4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$.

Il existe une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls, donc les vecteurs sont linéairement dépendants.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas linéairement indépendants et ne constituent pas une base de l'espace.

Correction :

Pour déterminer si $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ forment une base, nous vérifions l'indépendance linéaire en examinant $a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w} = \vec{0}$.

En composantes : $$ a \begin{pmatrix} -1\\0\\3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$ Système d'équations : $$ \begin{cases} -a + 2b + 0c = 0 \\ 0a + b + 3c = 0 \\ 3a - b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -a + 2b = 0 \\ b + 3c = 0 \\ 3a - b + c = 0 \end{cases} $$

De la première équation, $a = 2b$. De la deuxième équation, $b = -3c$. Donc $a = 2(-3c) = -6c$. Substituons $a = -6c$ et $b = -3c$ dans la troisième équation : $3(-6c) - (-3c) + c = 0 \Rightarrow -18c + 3c + c = 0 \Rightarrow -14c = 0 \Rightarrow c = 0$.

Si $c = 0$, alors $b = -3c = 0$, et $a = -6c = 0$. La seule solution est $a = b = c = 0$.

Conclusion : Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont linéairement indépendants, donc ils constituent une base de l'espace.