Exercices : Arrangements et Permutations

Correction : Exercice 1

Raisonnement : Former un code de 3 chiffres distincts à partir de 9 chiffres disponibles (1 à 9) est un problème d'arrangement. L'ordre des chiffres est important et ils doivent être distincts.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=9$ (chiffres de 1 à 9) et $p=3$ (longueur du code). Donc, le nombre de codes possibles est $A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

Conclusion : On peut former 504 codes de 3 chiffres distincts.

Correction : Exercice 2

Raisonnement : On doit choisir 5 personnes parmi 8 pour s'asseoir sur les 5 sièges, et l'ordre dans lequel elles s'assoient compte (car les sièges sont distincts). C'est un problème d'arrangement.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=8$ (personnes) et $p=5$ (sièges). Donc, le nombre de configurations possibles est $A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6 720$.

Conclusion : Il y a 6 720 configurations différentes possibles.

Correction : Exercice 3

Raisonnement : On doit former un mot de passe de 6 caractères distincts en utilisant un ensemble total de $26 + 10 = 36$ caractères possibles. L'ordre des caractères est important et ils doivent être distincts. C'est un arrangement.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=36$ (caractères possibles) et $p=6$ (longueur du mot de passe). Donc, le nombre de mots de passe possibles est $A_{36}^6 = \frac{36!}{(36-6)!} = \frac{36!}{30!} = 36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31 = 1 402 410 240$.

Conclusion : On peut former 1 402 410 240 mots de passe différents.

Correction : Exercice 4

Raisonnement : Former un bureau avec des postes distincts (président, vice-président, secrétaire, trésorier) à partir de 20 membres est un arrangement. L'ordre (le poste) est important et une personne ne peut occuper qu'un seul poste.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=20$ (membres) et $p=4$ (postes). Donc, le nombre de bureaux possibles est $A_{20}^4 = \frac{20!}{(20-4)!} = \frac{20!}{16!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 = 116 280$.

Conclusion : On peut composer 116 280 bureaux différents.

Correction : Exercice 5

Raisonnement : Déterminer un tiercé, c'est choisir les 3 premiers chevaux parmi 15 et tenir compte de l'ordre d'arrivée (1er, 2ème, 3ème). C'est un arrangement.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=15$ (chevaux) et $p=3$ (places du tiercé). Donc, le nombre de tiercés possibles est $A_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = 15 \times 14 \times 13 = 2 730$.

Conclusion : Il y a 2 730 tiercés différents possibles.

Correction : Exercice 6

Raisonnement : Former un code couleur de 4 lettres distinctes à partir de 6 lettres disponibles est un arrangement. L'ordre des lettres compte et elles doivent être distinctes.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=6$ (lettres disponibles) et $p=4$ (longueur du code). Donc, le nombre de codes possibles est $A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.

Conclusion : On peut former 360 codes couleurs différents.

Correction : Exercice 7

Raisonnement : Choisir un délégué et un suppléant parmi 30 élèves est un arrangement. Les postes sont distincts (délégué et suppléant) donc l'ordre compte.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=30$ (élèves) et $p=2$ (postes). Donc, le nombre de choix possibles est $A_{30}^2 = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = 30 \times 29 = 870$.

Conclusion : Il y a 870 choix différents possibles.

Correction : Exercice 8

Raisonnement : Former un numéro de téléphone de 7 chiffres distincts à partir de 10 chiffres disponibles (0 à 9) est un arrangement. L'ordre des chiffres compte et ils doivent être distincts.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=10$ (chiffres disponibles) et $p=7$ (longueur du numéro). Donc, le nombre de numéros possibles est $A_{10}^7 = \frac{10!}{(10-7)!} = \frac{10!}{3!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 604 800$.

Conclusion : On peut former 604 800 numéros de téléphone de 7 chiffres distincts.

Correction : Exercice 9

Raisonnement : Former une séquence de 5 lettres différentes à partir de 26 lettres disponibles est un arrangement. L'ordre des lettres compte et elles doivent être différentes.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=26$ (lettres disponibles) et $p=5$ (longueur de la séquence). Donc, le nombre de séquences possibles est $A_{26}^5 = \frac{26!}{(26-5)!} = \frac{26!}{21!} = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 = 7 893 600$.

Conclusion : On peut former 7 893 600 séquences de 5 lettres différentes.

Correction : Exercice 10

Raisonnement : Attribuer 10 places à 10 candidats parmi 15, en considérant l'ordre d'attribution (chaque place est distincte) est un arrangement. On choisit 10 candidats parmi 15 et on les ordonne selon les places.

Formule : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

Calcul : Ici, $n=15$ (candidats) et $p=10$ (places). Donc, le nombre de façons d'attribuer les places est $A_{15}^{10} = \frac{15!}{(15-10)!} = \frac{15!}{5!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 10 897 286 400$.

Conclusion : Il y a 10 897 286 400 façons différentes d'attribuer les places.

Correction : Exercice 11

Raisonnement : Le code doit commencer par un chiffre impair. Il y a 5 chiffres impairs (1, 3, 5, 7, 9) parmi 0 à 9. On fixe le premier chiffre, puis on arrange les 3 chiffres restants.

Calcul :

Choix du 1er chiffre (impair) : 5 options.

Choix des 3 chiffres restants parmi les 9 chiffres restants (après avoir utilisé un chiffre impair) et ordonnés : $A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

Nombre total de codes : $5 \times 504 = 2 520$.

Conclusion : On peut former 2 520 codes de 4 chiffres distincts commençant par un chiffre impair.

Correction : Exercice 12

Raisonnement : La séquence doit contenir la lettre 'A'. Il est plus simple de considérer la position de la lettre 'A' dans la séquence, puis d'arranger les 3 autres lettres.

Calcul :

Position de la lettre 'A' : 4 options (1ère, 2ème, 3ème, 4ème position).

Choix des 3 autres lettres parmi les 25 lettres restantes (alphabet sans 'A') et ordonnées : $A_{25}^3 = \frac{25!}{(25-3)!} = 25 \times 24 \times 23 = 13 800$.

Nombre total de séquences : $4 \times 13 800 = 55 200$.

Conclusion : On peut former 55 200 séquences de 4 lettres différentes contenant la lettre 'A'.

Correction : Exercice 13

Raisonnement : L'athlète numéro 1 doit être sur le podium mais pas premier. Il peut donc être 2ème ou 3ème. On considère ces deux cas.

Calcul :

Cas 1: Athlète 1 est 2ème. Il reste à choisir le 1er et le 3ème.

Choix du 1er parmi les 11 athlètes restants (sauf athlète 1) : 11 options.

Choix du 3ème parmi les 10 athlètes restants (sauf athlète 1 et celui déjà choisi pour la 1ère place) : 10 options.

Nombre de podiums dans ce cas : $11 \times 1 \times 10 = 110$.

Cas 2: Athlète 1 est 3ème. Il reste à choisir le 1er et le 2ème.

Choix du 1er parmi les 11 athlètes restants : 11 options.

Choix du 2ème parmi les 10 athlètes restants : 10 options.

Nombre de podiums dans ce cas : $11 \times 10 \times 1 = 110$.

Nombre total de podiums : $110 + 110 = 220$.

Conclusion : Il y a 220 podiums différents possibles si l'athlète numéro 1 est sur le podium, mais pas à la première place.

Correction : Exercice 14

Raisonnement : C'est plus complexe à résoudre directement. On pourrait envisager de compter le nombre total de codes de 3 chiffres distincts et soustraire ceux qui ont deux chiffres pairs consécutifs. Cependant, il est plus direct de construire les codes en s'assurant de ne pas avoir de chiffres pairs consécutifs.

Calcul : On va considérer les positions chiffre par chiffre, en tenant compte de la contrainte.

Correction finale:

Cas 1: Le premier chiffre est impair. Il y a 5 choix pour le premier chiffre. Pour le deuxième chiffre, il peut être n'importe quel chiffre distinct du premier, donc 9 choix. Pour le troisième chiffre, il peut être n'importe quel chiffre distinct des deux premiers, donc 8 choix. Total pour Cas 1: $5 \times 9 \times 8 = 360$.

Cas 2: Le premier chiffre est pair. Il y a 5 choix pour le premier chiffre pair. Pour le deuxième chiffre, il doit être impair pour éviter des pairs consécutifs, donc 5 choix. Pour le troisième chiffre, il peut être pair ou impair, distinct des deux premiers, donc 8 choix. Total pour Cas 2: $5 \times 5 \times 8 = 200$.

Nombre total de codes : $360 + 200 = 560$.

Conclusion : On peut former 560 codes de 3 chiffres distincts sans chiffres pairs consécutifs.

Correction : Exercice 15

Raisonnement : Alice et Bob veulent être assis côte à côte. On peut les considérer comme un bloc unique (AB ou BA). On a alors 4 "unités" à arranger : le bloc (AB ou BA), Charlie, David, Eve. On utilise les permutations et le principe multiplicatif.

Calcul :

Nombre de façons d'arranger les 4 "unités" (bloc AB/BA, C, D, E) : $4! = 24$.

Nombre de façons d'arranger Alice et Bob à l'intérieur du bloc : $2! = 2$ (AB ou BA).

Nombre total de configurations : $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$.

Conclusion : Il y a 48 façons différentes pour les 5 amis de s'asseoir si Alice et Bob sont côte à côte.

Correction : Exercice P1

Raisonnement : Le mot "LIVRE" a 5 lettres distinctes. Un anagramme est une permutation de ces lettres. On utilise les permutations.

Formule : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = n!$.

Calcul : Ici, $n=5$ (nombre de lettres). Donc, le nombre d'anagrammes est $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

Conclusion : On peut former 120 anagrammes différents avec les lettres de "LIVRE".

Correction : Exercice P2

Raisonnement : Déterminer l'ordre de passage de 6 artistes est une permutation de ces 6 artistes. On utilise les permutations.

Formule : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = n!$.

Calcul : Ici, $n=6$ (nombre d'artistes). Donc, le nombre d'ordres de passage est $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

Conclusion : Il y a 720 ordres de passage différents possibles.

Correction : Exercice P3

Raisonnement : Ranger 4 livres différents sur une étagère est une permutation de ces 4 livres. On utilise les permutations.

Formule : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = n!$.

Calcul : Ici, $n=4$ (nombre de livres). Donc, le nombre de rangements est $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Conclusion : Il y a 24 façons de ranger 4 livres différents sur une étagère.

Correction : Exercice P4

Raisonnement : Ordonner des éléments en cercle, en considérant les rotations comme identiques, nécessite des permutations circulaires. Pour $n$ éléments, le nombre de permutations circulaires est $(n-1)!$.

Formule : Le nombre de permutations circulaires de $n$ éléments est $(n-1)!$.

Calcul : Ici, $n=7$ (couleurs). Donc, le nombre d'ordres circulaires est $(7-1)! = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

Conclusion : Il y a 720 manières différentes d'ordonner 7 couleurs sur une palette circulaire.

Correction : Exercice P5

Raisonnement : Le mot "ORDINATEUR" a 10 lettres distinctes. Un anagramme est une permutation de ces lettres. On utilise les permutations.

Formule : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = n!$.

Calcul : Ici, $n=10$ (nombre de lettres). Donc, le nombre d'anagrammes est $10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3 628 800$.

Conclusion : On peut former 3 628 800 anagrammes différents avec les lettres de "ORDINATEUR".

Correction : Exercice P6

Raisonnement : Dans "LIVRE", les voyelles sont {I, E} (2 voyelles). Si un anagramme commence par une voyelle, il y a 2 choix pour la première lettre. Ensuite, il faut permuter les 4 lettres restantes. On utilise le principe multiplicatif.

Calcul :

Choix de la 1ère lettre (voyelle) : 2 options (I ou E).

Permutations des 4 lettres restantes : $4! = 24$.

Nombre total d'anagrammes : $2 \times 24 = 48$.

Conclusion : 48 anagrammes de "LIVRE" commencent par une voyelle.

Correction : Exercice P7

Raisonnement : Si un livre spécifique est placé au début, la 1ère position est fixée. Il reste à permuter les 4 livres restants pour les 4 positions suivantes. C'est une permutation des 4 livres restants.

Formule : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = n!$.

Calcul : Ici, $n=4$ (livres restants après avoir placé le livre spécifique au début). Donc, le nombre de rangements est $4! = 24$.

Conclusion : Il y a 24 rangements possibles si un livre spécifique est toujours placé au début.

Correction : Exercice P8

Raisonnement : Si les chaises sont numérotées, chaque position autour de la table est discernable. Dans ce cas, un placement autour d'une table ronde avec chaises numérotées est équivalent à une permutation linéaire. On permute les 7 personnes sur les 7 chaises.

Formule : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $P_n = n!$.

Calcul : Ici, $n=7$ (personnes). Donc, le nombre de placements est $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5 040$.

Conclusion : Il y a 5 040 placements différents possibles si les chaises sont numérotées.

Correction : Exercice P9

Raisonnement : Le mot "BANANE" a 6 lettres, mais les lettres 'A' et 'N' sont répétées. Pour tenir compte des répétitions, on utilise la formule des permutations avec répétitions.

Formule : Pour $n$ éléments avec $n_1$ répétitions d'un type, $n_2$ d'un autre type, ..., le nombre de permutations est $\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots}$.

Calcul : Dans "BANANE", il y a 6 lettres au total (n=6). La lettre 'A' est répétée 3 fois ($n_1=3$), la lettre 'N' est répétée 2 fois ($n_2=2$), et 'B' et 'E' apparaissent 1 fois chacune. Donc, le nombre d'anagrammes est $\frac{6!}{3!2!1!1!} = \frac{720}{(6 \times 2 \times 1 \times 1)} = \frac{720}{12} = 60$.

Conclusion : On peut former 60 anagrammes différents avec les lettres de "BANANE".

Correction : Exercice P10

Raisonnement : Le mot "MISSISSIPPI" a 11 lettres. Si un anagramme commence par "M", la première lettre est fixée. Il reste à permuter les 10 lettres restantes "ISSISSIPPI". On utilise les permutations avec répétitions pour les lettres restantes.

Formule : Pour $n$ éléments avec répétitions, le nombre de permutations est $\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots}$.

Calcul : Dans "ISSISSIPPI" (10 lettres), 'I' est répétée 4 fois, 'S' est répétée 4 fois, 'P' est répétée 2 fois. Donc, le nombre d'anagrammes est $\frac{10!}{4!4!2!} = \frac{3 628 800}{(24 \times 24 \times 2)} = \frac{3 628 800}{1152} = 3 150$.

Conclusion : 3 150 anagrammes de "MISSISSIPPI" commencent par la lettre "M".