Exercices : Intégration par Parties

Correction :

1. $\int_0^{\pi} t\sin(t) \, dt$ :

Méthode : Intégration par parties en choisissant $u(t) = t$ et $v'(t) = \sin(t)$.

Choix des fonctions :

$u(t) = t \implies u'(t) = 1$

$v'(t) = \sin(t) \implies v(t) = -\cos(t)$

Application de la formule d'IPP :

$$\int_0^{\pi} t\sin(t) \, dt = [-t\cos(t)]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 1 \cdot (-\cos(t)) \, dt = [-t\cos(t)]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos(t) \, dt$$

Calcul des termes :

$[-t\cos(t)]_0^{\pi} = (-\pi \cos(\pi)) - (-0 \cos(0)) = (-\pi \times -1) - 0 = \pi$.

$\int_0^{\pi} \cos(t) \, dt = [\sin(t)]_0^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$.

Résultat final : $$\int_0^{\pi} t\sin(t) \, dt = \pi + 0 = \pi$$

2. $\int_0^1 x e^x \, dx$ :

Méthode : Intégration par parties avec $u(x) = x$ et $v'(x) = e^x$.

Choix des fonctions :

$u(x) = x \implies u'(x) = 1$

$v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$

Application de la formule d'IPP :

$$\int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx$$

Calcul des termes :

$[x e^x]_0^1 = (1 \cdot e^1) - (0 \cdot e^0) = e - 0 = e$.

$\int_0^1 e^x \, dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

Résultat final : $$\int_0^1 x e^x \, dx = e - (e - 1) = 1$$

3. $\int_0^1 x e^{-2x} \, dx$ :

Méthode : Intégration par parties avec $u(x) = x$ et $v'(x) = e^{-2x}$.

Choix des fonctions :

$u(x) = x \implies u'(x) = 1$

$v'(x) = e^{-2x} \implies v(x) = -\frac{1}{2}e^{-2x}$

Application de la formule d'IPP :

$$\int_0^1 x e^{-2x} \, dx = [x \cdot (-\frac{1}{2}e^{-2x})]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot (-\frac{1}{2}e^{-2x}) \, dx = [-\frac{x}{2} e^{-2x}]_0^1 + \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-2x} \, dx$$

Calcul des termes :

$[-\frac{x}{2} e^{-2x}]_0^1 = (-\frac{1}{2} e^{-2(1)}) - (-\frac{0}{2} e^{-2(0)}) = -\frac{1}{2e^2} - 0 = -\frac{1}{2e^2}$.

$\frac{1}{2} \int_0^1 e^{-2x} \, dx = \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_0^1 = -\frac{1}{4} [e^{-2x}]_0^1 = -\frac{1}{4} (e^{-2} - e^0) = -\frac{1}{4e^2} + \frac{1}{4}$.

Résultat final : $$\int_0^1 x e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2e^2} - \frac{1}{4e^2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4e^2}$$

Correction :

Méthode : Appliquer l'intégration par parties deux fois pour réduire le degré du polynôme multipliant la fonction trigonométrique.

Soit $I = \int_0^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx$.

Première intégration par parties (IPP) :

Choisissons :

$u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$

$v'(x) = \sin(x) \implies v(x) = -\cos(x)$

Appliquons la formule d'IPP :

$I=[x^2\times -\cos(x)]_0^{\pi}-\int_{0}^{\pi} 2x \times -\cos(x) dx = -x^2 \cos(x)\Big\rvert_0^{\pi}+2\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx$

Évaluons le premier terme : $-x^2 \cos(x)\Big\rvert_0^{\pi} = -(\pi^2\cos(\pi)) - (-0^2\cos(0)) = \pi^2$.

Donc, $I = \pi^2+2\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx$.

Seconde intégration par parties : Pour $\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx$, choisissons :

Soit $u(x) = x \implies u'(x) = 1$

$v'(x) = \cos(x) \implies v(x) = \sin(x)$

Appliquons la formule d'IPP :

$\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx = [x\sin(x)]_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi}1\times \sin(x) dx = [x \sin(x)]_0^{\pi} + [\cos(x)]^{\pi}_0$

Évaluons les termes :

$[x\sin(x)]_0^{\pi} = (\pi \sin(\pi)) - (0 \sin(0)) = 0 - 0 = 0$.

$[\cos(x)]^{\pi}_0 = \cos(\pi) - \cos(0) = -1 - 1 = -2$.

Donc, $\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx = 0 + (-2) = -2$.

Résultat final :

$I= \pi^2+2 \times -2 = \pi^2-4$

Correction :

Méthode : Appliquer deux IPP successives pour revenir à l'intégrale de départ et résoudre algébriquement.

Première IPP :

Choisissons :

$u(x)=\sin(x) \implies u'(x)=\cos(x)$

$v'(x)=e^x \implies v(x)=e^x$

Application de la formule d'IPP :

$I=[e^x \cdot \sin(x)]^{\dfrac{\pi}{2}}_0 -\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} e^x \cos(x)dx= e^{\dfrac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} e^x cos(x)dx $

Deuxième IPP sur $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} e^x \cos(x)dx$ :

Choisissons :

$u(x) = \cos(x) \implies u'(x) = -\sin(x)$ et $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$

Application de la formule d'IPP :

$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} e^x \cos(x)dx = \left[ e^x \cdot \cos(x) \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}- \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^x (-\sin(x)) dx = [e^x \cos(x)]^{\dfrac{\pi}{2}}_0 +\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} e^x\sin(x)dx$

Évaluons le premier terme :

$[e^x \cos(x)]^{\dfrac{\pi}{2}}_0 = (e^{\dfrac{\pi}{2}}\cdot \cos(\frac{\pi}{2})) - (e^0 \cdot \cos(0)) = (e^{\dfrac{\pi}{2}} \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1$.

Donc, $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} e^x \cos(x)dx = -1+I$.

Substitution dans l'expression de $I$ :

$I= e^{\dfrac{\pi}{2}} - (-1+I) = e^{\dfrac{\pi}{2}} + 1 - I $

Résolution algébrique pour $I$ :

$I= e^{\dfrac{\pi}{2}}+1-I \iff 2I = e^{\dfrac{\pi}{2}}+1 \iff I=\dfrac{e^{\dfrac{\pi}{2}}+1}{2} $

Correction :

Méthode : Calculer la valeur moyenne d'une fonction $C(x)$ sur $[0;5]$ avec la formule $Valeur moyenne = \frac{1}{b-a} \int_a^b C(x) dx$, et utiliser l'IPP pour calculer l'intégrale.

Valeur moyenne :

$Valeur moyenne = \dfrac{1}{5-0} \times \int_{0}^{5} (4x+1)e^{-x} dx = \dfrac{1}{5}\int_{0}^{5} (4x+1)e^{-x} dx$

Intégration par parties pour $\int_{0}^{5} (4x+1)e^{-x} dx$ :

Choisissons :

$u(x) = 4x+1 \implies u'(x) = 4$

$v'(x) = e^{-x} \implies v(x) = -e^{-x}$

Appliquons la formule d'IPP :

$$\int_{0}^{5} (4x+1)e^{-x} dx = [-(4x+1)e^{-x} ]_{0}^{5}+ \int_{0}^{5}4e^{-x} dx$$

Calcul des termes :

$[-(4x+1)e^{-x} ]_{0}^{5} = (-(4(5)+1)e^{-5}) - (-(4(0)+1)e^{-0}) = -21e^{-5} + 1$

Calcul de la seconde intégrale :

$4\int_{0}^{5} e^{-x}dx = -4[e^{-x}]_0^5 = -4(e^{-5} - e^0) = -4e^{-5}+4$

Valeur de l'intégrale :

$\int_{0}^{5} (4x+1)e^{-x} dx = (-21e^{-5}+1) + (-4e^{-5}+4) = 5 -25e^{-5}$

Valeur moyenne :

$Valeur moyenne = \dfrac{1}{5} \times (5 -25e^{-5})= 1-5e^{-5} \approx 0,966$ milliers d'euros.

Correction :

Calcul de $I=\int_0^{1} (2t-1) e^t \ dt$

Méthode : Intégration par parties avec $u(t) = 2t-1$ et $v'(t) = e^t$.

IPP : Choisissons :

$u(t)=2t-1 \implies u'(t)=2$

$v'(t)=e^t \implies v(t)=e^t$

Application de la formule d'IPP :

$I=\int_0^{1} (2t-1) e^t \ dt = [(2t-1)e^t]_0^1 - \int_0^{1} 2e^t dt$

Calcul des termes :

$[(2t-1)e^t]_0^1 = ((2(1)-1)e^1) - ((2(0)-1)e^0) = e - (-1) = e+1$.

$\int_0^{1} 2e^t dt = [2e^t]_0^1 = 2e^1 - 2e^0 = 2e - 2$.

Résultat pour $I$ : $I = (e+1) - (2e-2) = 3-e$.

Donc : $\int_0^{1} (2t-1) e^t dt=3-e$

Déterminons $J = \int_0^{e} t^2(1-2ln(t)) dt$

Méthode : Intégration par parties avec $u(t)=1-2\ln(t)$ et $v'(t)=t^2$.

IPP : Choisissons :

$u(t)=1-2\ln(t) \implies u'(t)=\frac{-2}{t}$

$v'(t)=t^2 \implies v(t)=\frac{1}{3}t^3$

Application de la formule d'IPP :

$J= \Big[\dfrac{1}{3}t^3(1-2\ln(t)\Big]_0^e- \int_0^e\dfrac{1}{3}t^3\times\dfrac{-2}{t}dt = \Big[\dfrac{1}{3}t^3(1-2\ln(t)\Big]_0^e+ \dfrac{2}{3} \int_0^e t^2 dt$

Calcul des termes :

$\Big[\dfrac{1}{3}t^3(1-2\ln(t)\Big]_0^e = (\frac{1}{3}e^3(1-2\ln(e))) - \lim_{t \to 0} \frac{1}{3}t^3(1-2\ln(t)) = \frac{1}{3}e^3(1-2) - 0 = -\frac{1}{3}e^3$ (la limite est 0 par croissance comparée).

$\dfrac{2}{3} \int_0^e t^2 dt = \dfrac{2}{3} \Big[\dfrac{t^3}{3}\Big]_0^e = \dfrac{2}{9} [t^3]_0^e = \dfrac{2}{9}e^3$.

Résultat pour $J$ : $J = -\frac{1}{3} e^3+\frac{2}{9} e^3= -\frac{1}{9}e^3$.

Donc $\int_0^{e} t^2(1-2ln(t)) dt= \dfrac{-1}{9}e^3$

Correction :

1. Calcul de $I+J$ :

Propriété utilisée : Linéarité de l'intégrale et identité trigonométrique $\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$.

$I + J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) (\cos^2(t)+\sin^2(t)) dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) \times 1 \ dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3)dt$

Calcul direct : $ \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3)dt= [t^2 – 3t]_0^{\dfrac{\pi}{4}}= (\dfrac{\pi}{4})^2 -3 \times \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\pi^2}{16} – \dfrac{3}{4} \pi$

Calcul de $I-J$ :

Méthode : Intégration par parties avec $u(t)=2t-3$ et $v'(t)= \cos(2t)$. Utiliser l'identité $\cos^2(t) - \sin^2(t) = \cos(2t)$.

$I-J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) (\cos^2(t) - \sin^2(t)) dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (2t-3) \cos(2t) dt$

IPP : Choisissons :

$u(t)=2t-3 \implies u'(t)=2$

$v'(t)= \cos(2t) \implies v(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)$

Application de la formule d'IPP :

$I-J = \Big[(2t-3)\dfrac{1}{2}\sin(2t) \Big]_0^{\dfrac{\pi}{4}}- \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sin(2t) dt = \Big[(2t-3)\dfrac{1}{2}\sin(2t) \Big]_0^{\dfrac{\pi}{4}}- \int_0^{\frac{\pi}{4}} sin(2t) dt$

Calcul des termes :

$\Big[(2t-3)\dfrac{1}{2}\sin(2t) \Big]_0^{\dfrac{\pi}{4}}= (\frac{\pi}{2}-3) \times \frac{1}{2} - (0-3) \times \frac{1}{2} \sin(0) = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} sin(2t) dt = \Big[ - \frac{1}{2} \cos(2t)\Big]^{\frac{\pi}{4}}_0 = (-\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2})) - (-\frac{1}{2} \cos(0)) = \frac{1}{2}$.

Donc, $ I-J = (\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) - (-\frac{1}{2}) = \dfrac{\pi}{4} -2$

2. Calcul de $I$ et $J$ :

Système d'équations :

$$\begin{cases} I+J= \dfrac{\pi^2}{16} – \dfrac{3}{4} \pi \\ I-J =\dfrac{\pi}{4} -2\end{cases}$$

Résolution pour $I$ : $I = \dfrac{1}{2}( (I+J)+(I-J))= \dfrac{1}{2} (\dfrac{\pi^2}{16} – \dfrac{3}{4} \pi +\dfrac{\pi}{4} -2 ) = \dfrac{\pi^2}{32} – \dfrac{\pi}{4} -1$.

Résolution pour $J$ : $J = \dfrac{1}{2}( (I+J)-(I-J))=\dfrac{1}{2} (\dfrac{\pi^2}{16} – \dfrac{3}{4} \pi -\dfrac{\pi}{4} +2 ) = \dfrac{\pi^2}{32} – \dfrac{\pi}{2} +1$.

Correction :

Méthode : Intégration par parties avec $u(t)=2t-1$ et $v'(t)=\sin(t)$.

IPP : Choisissons :

$u(t)=2t-1 \implies u'(t)=2$

$v'(t)=\sin(t) \implies v(t)=-\cos(t)$

Application de la formule d'IPP :

$K=\int_0^{\frac{\pi}{6}} (2t-1) \sin(t) \ dt = [-(2t-1) \cos(t)]_0^{\dfrac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2(-\cos(t)) dt = [-(2t-1) \cos(t)]_0^{\dfrac{\pi}{6}} + 2\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(t) dt $

Calcul des termes :

$[-(2t-1) \cos(t)]_0^{\dfrac{\pi}{6}} = \left( -(2(\frac{\pi}{6})-1) \cos(\frac{\pi}{6}) \right) - (-(2(0)-1) \cos(0)) = -\left(\frac{\pi}{3} - 1\right) \frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) = -\frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$.

$2\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(t) dt = 2 [\sin(t)]_0^{\frac{\pi}{6}} = 2 (\sin(\frac{\pi}{6}) - \sin(0)) = 2 (\frac{1}{2} - 0) = 1$.

Résultat final : $K = (-\frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 1 = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$

Donc: $K = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$