Vecteurs et translations

Correction :

a) Le représentant $\overrightarrow{AB}$ de $\vec u$ est le segment orienté de $A$ vers $B$.

b) Pour dessiner le représentant de $\vec u$ d'origine $C$, notons-le $\overrightarrow{CE}$, il faut que le quadrilatère $ABEC$ soit un parallélogramme. Pour construire $E$, on reporte la translation qui amène $A$ sur $B$ à partir de $C$.

c) Pour dessiner le représentant de $\vec u$ d'extrémité $D$, notons-le $\overrightarrow{FD}$, il faut que le quadrilatère $ABDF$ soit un parallélogramme. Pour construire $F$, on effectue la translation inverse à partir de $D$, c'est-à-dire la translation qui amène $B$ sur $A$ à partir de $D$.

Visuellement, sur un quadrillage, si $\overrightarrow{AB}$ correspond à un déplacement de $(\Delta x, \Delta y)$, alors $\overrightarrow{CE}$ correspond au même déplacement $(\Delta x, \Delta y)$ à partir de $C$, et $\overrightarrow{FD}$ correspond aussi au déplacement $(\Delta x, \Delta y)$ pour arriver à $D$ depuis $F$.

Correction :

a) Le représentant $\overrightarrow{AB}$ de $\vec u$ est le segment orienté de $A$ vers $B$.

b) Pour construire le représentant de $\vec{u}$ d'origine $C$, notons-le $\overrightarrow{CE}$, nous devons utiliser la règle et le compas pour assurer que $\overrightarrow{CE}$ a la même direction, sens et norme que $\overrightarrow{AB}$.

Étapes de construction pour $\overrightarrow{CE}$ :

1. Tracer la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$. Pour cela, on peut construire un parallélogramme en utilisant des arcs de cercle.
2. À partir de $C$, reporter la longueur $AB$ sur cette parallèle, dans le même sens que $\overrightarrow{AB}$. On utilise le compas pour reporter la longueur $AB$.
3. Marquer le point $E$ ainsi obtenu. $\overrightarrow{CE}$ est le représentant de $\vec{u}$ d'origine $C$.

c) Pour construire le représentant de $\vec{u}$ d'extrémité $D$, notons-le $\overrightarrow{FD}$, nous devons également utiliser la règle et le compas.

Étapes de construction pour $\overrightarrow{FD}$ :

1. Tracer la droite parallèle à $(AB)$ passant par $D$.
2. À partir de $D$, reporter la longueur $AB$ sur cette parallèle, mais dans le sens opposé à $\overrightarrow{AB}$ (car $D$ est l'extrémité et non l'origine). Autrement dit, on reporte la longueur $BA$ à partir de $D$ dans le sens de $B$ vers $A$.
3. Marquer le point $F$ ainsi obtenu. $\overrightarrow{FD}$ est le représentant de $\vec{u}$ d'extrémité $D$.

Ces constructions garantissent que $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{FD}$ ont la même direction, le même sens et la même longueur que $\overrightarrow{AB}$, et sont donc bien des représentants du vecteur $\vec{u}$.

Correction :

a) Vecteurs égaux à $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{CF}$ : $\boxed{\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FB}}$ et $\boxed{\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DA}}$

b) Vecteur de même direction que $\overrightarrow{CB}$ mais de sens opposé : $\boxed{\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{FC}, \overrightarrow{DF}, \overrightarrow{FE}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DC}}$. Vecteur de même direction que $\overrightarrow{AF}$ mais de sens opposé : $\boxed{\overrightarrow{FA}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DC}}$.

c) Vecteur égal à $\overrightarrow{DC}$ d'extrémité $F$: $\boxed{\overrightarrow{AF}}$. Vecteur égal à $\overrightarrow{FB}$ d'origine $A$: $\boxed{\overrightarrow{AE}}$.

d) Deux vecteurs de même direction, de même sens qui ne sont pas égaux : Par exemple, $\boxed{\overrightarrow{AE}}$ et $\boxed{\overrightarrow{DC}}$. Ils sont parallèles et pointent dans la même direction mais n'ont pas la même longueur.

e) Deux vecteurs de même norme qui ne sont pas égaux : Par exemple, $\boxed{\overrightarrow{DF}}$ et $\boxed{\overrightarrow{FC}}$. Ils ont la même longueur mais pas la même direction (et donc pas le même sens). On peut aussi citer $\boxed{\overrightarrow{AE}}$ et $\boxed{\overrightarrow{ED}}$ qui ont des longueurs visuellement proches (à vérifier sur un quadrillage précis) mais directions différentes.

Correction :

Pour démontrer que $RSET$ est un parallélogramme, nous devons montrer que $\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{TE}$ ou $\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{SE}$. Utilisons les informations données :

On sait que $RSTU$ est un parallélogramme, donc par définition des parallélogrammes en termes de vecteurs, nous avons : $\boxed{\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}}$ (1)

On sait également que $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{RU}$ (donné dans l'énoncé). En utilisant la transitivité de l'égalité, et la relation (1), nous obtenons : $\boxed{\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{ST}}$

De plus, on nous donne $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{US}$. Or, dans un parallélogramme $RSTU$, on a aussi $\overrightarrow{US} = \overrightarrow{TR}$. Donc par transitivité : $\boxed{\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{TR}}$

L'égalité $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{TR}$ signifie que $R$ est le milieu de $[TE]$, ce qui n'aide pas directement à montrer que $RSET$ est un parallélogramme. Revenons à $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{RU}$ et $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}$. Nous avons en fait $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{ST}$. Ceci est incorrect car cela impliquerait $T=S$ ou $F=T$ ce qui n'est pas le cas en général. Il y a une erreur dans la transcription de l'énoncé ou dans mon interprétation.

Reprenons : On a $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}$ car $RSTU$ est un parallélogramme. On a $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{US}$ et $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{RU}$. Nous voulons montrer que $RSET$ est un parallélogramme, donc nous devons montrer par exemple $\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{TE}$.

À partir de $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{US}$, on utilise la relation de Chasles pour $\overrightarrow{US} = \overrightarrow{UT} + \overrightarrow{TS} = \overrightarrow{UT} - \overrightarrow{ST}$. Donc $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{UT} - \overrightarrow{ST}$. Et $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{RU} = \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{SU} = \overrightarrow{RS} - \overrightarrow{US}$.

Il y a probablement une erreur dans l'énoncé de l'exercice tel que fourni, car avec les conditions $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{US}$ et $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{RU}$ et $RSTU$ parallélogramme, il n'est pas évident de déduire que $RSET$ est un parallélogramme.

Hypothèse : Il y a peut-être une erreur dans l'énoncé et on voulait montrer que $R S F E$ est un parallélogramme. Dans ce cas, il faudrait montrer $\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{EF}$ ou $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{SF}$.

Si on suppose qu'on veut montrer que $STEF$ est un parallélogramme. On a $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}$ et $\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{RU}$. Donc par transitivité $\boxed{\overrightarrow{TF} = \overrightarrow{ST}}$. Ceci implique que $STFT$ est un parallélogramme dégénéré ou $S=F$ ou $T=S$. Ce n'est pas possible en général.

Reconsidérons l'énoncé : "Démontrer que $RSET$ est un parallélogramme". Il y a peut être une erreur de lettre et il faut lire "Démontrer que $R S E T$ est un parallélogramme". Dans ce cas, il faut montrer $\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{TE}$.

On a $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{ST}$. On a $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{US}$. On cherche à relier $\overrightarrow{TE}$ et $\overrightarrow{RS}$. $\overrightarrow{TE} = \overrightarrow{TR} + \overrightarrow{RE} = -\overrightarrow{RT} + \overrightarrow{RE} = -\overrightarrow{US} + \overrightarrow{RE}$ (car $\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{US}$ dans le parallélogramme $RSTU$). Et $\overrightarrow{RE} = \overrightarrow{US}$ est donné. Donc $\overrightarrow{TE} = -\overrightarrow{US} + \overrightarrow{US} = \overrightarrow{0}$. Donc $\overrightarrow{TE} = \overrightarrow{0}$, ce qui implique $T=E$. Ce n'est pas possible en général pour former un parallélogramme $RSET$ non dégénéré.

Il est fort probable qu'il y ait une erreur dans l'énoncé de l'exercice tel que retranscrit. Sans une figure ou un énoncé plus précis, il est difficile de résoudre cet exercice tel quel. Il faudrait vérifier l'énoncé original de l'exercice 35 page 185 du manuel Lelivrescolaire pour s'assurer de la question exacte.

Correction :

Pour construire un représentant de la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$, nous pouvons utiliser la relation de Chasles. Il faut "enchaîner" les vecteurs.

Méthode 1 : Utilisation de la relation de Chasles directement

1. Choisir un point d'origine, par exemple $O$.
2. Construire le représentant de $\overrightarrow{AB}$ d'origine $O$, soit $\overrightarrow{OE_1} = \overrightarrow{AB}$.
3. Construire le représentant de $\overrightarrow{CD}$ d'origine $E_1$, soit $\overrightarrow{E_1E_2} = \overrightarrow{CD}$.
4. Alors, par la relation de Chasles, $\overrightarrow{OE_1} + \overrightarrow{E_1E_2} = \overrightarrow{OE_2} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$. $\overrightarrow{OE_2}$ est un représentant de la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ d'origine $O$.

Méthode 2 : Utilisation du parallélogramme (indirectement)

1. Choisir un point d'origine, par exemple $O$.
2. Construire le représentant de $\overrightarrow{AB}$ d'origine $O$, soit $\overrightarrow{OE_1} = \overrightarrow{AB}$.
3. Construire le représentant de $\overrightarrow{CD}$ d'origine $O$, soit $\overrightarrow{OE_3} = \overrightarrow{CD}$.
4. Construire le parallélogramme $OE_1E_2E_3$.
5. Alors, par la règle du parallélogramme, $\overrightarrow{OE_1} + \overrightarrow{OE_3} = \overrightarrow{OE_2}$. Comme $\overrightarrow{OE_1} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{OE_3} = \overrightarrow{CD}$, on a $\overrightarrow{OE_2} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$. $\overrightarrow{OE_2}$ est un représentant de la somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ d'origine $O$.

Les deux méthodes donnent un représentant de la somme. La méthode 1 est plus directement liée à la définition de la somme par enchaînement de translations et à la relation de Chasles. La méthode 2 utilise la règle du parallélogramme, qui est une autre façon de visualiser la somme de deux vecteurs ayant la même origine.

Correction :

Sur un quadrillage, les constructions sont simplifiées.

Méthode 1 : Relation de Chasles sur quadrillage

1. Choisir un point d'origine $O$ sur le quadrillage.
2. Compter les déplacements horizontal et vertical de $\overrightarrow{AB}$. Si $\overrightarrow{AB}$ correspond à un déplacement de $(\Delta x_{AB}, \Delta y_{AB})$, alors le représentant $\overrightarrow{OE_1}$ aura pour extrémité $E_1$ les coordonnées $(0+\Delta x_{AB}, 0+\Delta y_{AB}) = (\Delta x_{AB}, \Delta y_{AB})$ si $O$ est à l'origine $(0,0)$.
3. De même, compter les déplacements horizontal et vertical de $\overrightarrow{CD}$. Si $\overrightarrow{CD}$ correspond à un déplacement de $(\Delta x_{CD}, \Delta y_{CD})$, alors le représentant $\overrightarrow{E_1E_2}$ aura pour extrémité $E_2$ les coordonnées $(\Delta x_{AB} + \Delta x_{CD}, \Delta y_{AB} + \Delta y_{CD})$.
4. Le vecteur somme $\overrightarrow{OE_2} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées $(\Delta x_{AB} + \Delta x_{CD}, \Delta y_{AB} + \Delta y_{CD})$. $\overrightarrow{OE_2}$ est le représentant recherché.

Méthode 2 : Règle du parallélogramme sur quadrillage

1. Choisir un point d'origine $O$ sur le quadrillage.
2. Construire $\overrightarrow{OE_1} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{OE_3} = \overrightarrow{CD}$ comme dans la méthode 1.
3. Pour construire le point $E_2$ tel que $OE_1E_2E_3$ soit un parallélogramme, on utilise le fait que les diagonales se coupent en leur milieu. Ou plus simplement, le déplacement de $O$ à $E_2$ est la somme des déplacements de $O$ à $E_1$ et de $O$ à $E_3$. Donc si $E_1$ a coordonnées $(\Delta x_{AB}, \Delta y_{AB})$ et $E_3$ a coordonnées $(\Delta x_{CD}, \Delta y_{CD})$, alors $E_2$ a pour coordonnées $(\Delta x_{AB} + \Delta x_{CD}, \Delta y_{AB} + \Delta y_{CD})$.
4. Tracer le vecteur $\overrightarrow{OE_2}$. C'est un représentant de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$.

Le quadrillage facilite grandement la construction car on peut facilement compter les déplacements et tracer des parallèles et reporter des longueurs.

Correction :

a) Pour construire le représentant d'origine $A$ de $\vec{u} + \vec{v}$, il faut utiliser la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme. En utilisant Chasles, il faut construire un représentant de $\vec{v}$ dont l'origine est l'extrémité du représentant de $\vec{u}$ d'origine $A$.

1. Tracer le vecteur $\vec{u}$ d'origine $A$. Notons $E$ son extrémité. $\overrightarrow{AE} = \vec{u}$.
2. Tracer le vecteur $\vec{v}$ d'origine $E$. Notons $F$ son extrémité. $\overrightarrow{EF} = \vec{v}$.
3. Le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ est alors représenté par $\overrightarrow{AF}$.

b) Pour construire le représentant d'origine $B$ de $\vec{m} + \vec{n}$, on procède de même :

1. Tracer le vecteur $\vec{m}$ d'origine $B$. Notons $G$ son extrémité. $\overrightarrow{BG} = \vec{m}$.
2. Tracer le vecteur $\vec{n}$ d'origine $G$. Notons $H$ son extrémité. $\overrightarrow{GH} = \vec{n}$.
3. Le vecteur somme $\vec{m} + \vec{n}$ est alors représenté par $\overrightarrow{BH}$.

c) Pour construire le représentant d'origine $C$ de $\vec{a} + \vec{b}$, on procède de même :

1. Tracer le vecteur $\vec{a}$ d'origine $C$. Notons $J$ son extrémité. $\overrightarrow{CJ} = \vec{a}$.
2. Tracer le vecteur $\vec{b}$ d'origine $J$. Notons $K$ son extrémité. $\overrightarrow{JK} = \vec{b}$.
3. Le vecteur somme $\vec{a} + \vec{b}$ est alors représenté par $\overrightarrow{CK}$.

Graphiquement, il faut visualiser l'enchaînement des déplacements représentés par les vecteurs pour obtenir le déplacement résultant.

Correction :

a) Pour simplifier $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{CG}$, on utilise la relation de Chasles : $\overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{CE}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CE}}$.

b) Pour simplifier $\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{CG}$, on réécrit la soustraction comme une addition de l'opposé : $\overrightarrow{GE} + (-\overrightarrow{IE}) + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} + \overrightarrow{CG}$. On réarrange les termes pour utiliser Chasles : $\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} + \overrightarrow{CG} = (\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI}) + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{CI}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CI}}$.

c) Pour simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{CG}$, on réécrit les soustractions comme additions d'opposés et on réarrange les termes pour utiliser Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE} + (-\overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{EI} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EI} + \overrightarrow{CG}$. On réarrange : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG}) + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GE} + \overrightarrow{EI} = (\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GE}) + \overrightarrow{EI} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EI} = \overrightarrow{AI}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{EI}+\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AI}}$.

Correction :

a) Pour simplifier $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$, on utilise directement la relation de Chasles : $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \boxed{\vec{0}}$.

b) Pour simplifier $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$, on réécrit les soustractions comme additions d'opposés : $\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{BC} + (-\overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}$. On réarrange et utilise Chasles : $(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{CB} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CC} + \overrightarrow{AB} = \vec{0} + \overrightarrow{AB} = \boxed{\overrightarrow{AB}}$.

c) Pour simplifier $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB}$, on réécrit les soustractions : $\overrightarrow{MA} + (-\overrightarrow{MB}) + (-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BA}$. On réarrange et utilise Chasles : $(\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA}) + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BA} = \boxed{2\overrightarrow{BA}}$.

Correction :

a) Montrons $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$. On part du membre de gauche : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CA} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}}$.

b) Montrons $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$. On part du membre de gauche : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}}$.

c) Montrons $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}$. On part du membre de gauche : $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{ED} = (\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{ED}) + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}}$.

d) Montrons $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0$. On part du membre de gauche : $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB}$. Ici il y a une erreur dans mon calcul ou dans l'égalité à démontrer. Revérifions : $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BD} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BD} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BB} = \vec{0}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\vec 0}$.

e) Montrons $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$. On part du membre de gauche : $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}}$.

f) Montrons $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0$. On part du membre de gauche : $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB}) + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$. Donc $\boxed{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}=\vec 0}$.