Vecteurs et coordonnées

Correction :

La correction de cet exercice nécessite une construction graphique. Voici les étapes pour placer les points $M$, $N$, et $P$ :

1. Points $A$ et $B$ : Commencez par dessiner deux points distincts $A$ et $B$.

2. Point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}$ : Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire et de même sens que $\overrightarrow{AB}$, et sa longueur est $\frac{5}{2}$ fois celle de $\overrightarrow{AB}$. Pour construire $M$, prolongez la droite $(AB)$ au-delà de $B$. Puis, reportez $\frac{5}{2}$ fois la longueur $AB$ à partir de $A$ dans la direction de $\overrightarrow{AB}$.

3. Point $N$ tel que $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{AB}$ : Cette relation peut être réécrite comme $\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{AB}$. Le vecteur $\overrightarrow{AN}$ est colinéaire et de sens opposé à $\overrightarrow{AB}$, et sa longueur est $3$ fois celle de $\overrightarrow{AB}$. Prolongez la droite $(BA)$ au-delà de $A$. Reportez $3$ fois la longueur $AB$ à partir de $A$ dans la direction opposée à $\overrightarrow{AB}$.

4. Point $P$ tel que $\overrightarrow{BP}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ : Le vecteur $\overrightarrow{BP}$ est colinéaire et de sens opposé à $\overrightarrow{AB}$, et sa longueur est $\frac{1}{4}$ fois celle de $\overrightarrow{AB}$. Sur le segment $[BA]$, à partir de $B$, placez le point $P$ tel que $BP = \frac{1}{4}AB$.

La figure doit montrer les points $A$, $B$, $M$, $N$, et $P$ positionnés conformément à ces relations vectorielles.

Correction :

Puisque $I$ est le milieu du segment $[AB]$, par définition du milieu d'un segment, nous avons $AI = IB$ et les points $A$, $I$, $B$ sont alignés dans cet ordre.

1. Détermination de $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AI}=\lambda \overrightarrow{AB}$ :

Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, la longueur $AI$ est la moitié de la longueur $AB$, c'est-à-dire $AI = \frac{1}{2}AB$. De plus, les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction et le même sens. Par conséquent, $\lambda = \frac{1}{2}$.

$\boxed{\lambda = \frac{1}{2}}$

2. Détermination de $\lambda$ tel que $\overrightarrow{BI}=\lambda \overrightarrow{AB}$ :

Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, la longueur $BI$ est la moitié de la longueur $AB$, c'est-à-dire $BI = \frac{1}{2}AB$. Les vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction mais des sens opposés. Par conséquent, $\lambda = -\frac{1}{2}$.

$\boxed{\lambda = -\frac{1}{2}}$

Correction :

1. a) i) Construction de $L$ tel que $\overrightarrow{BL} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AB}$ :

Le vecteur $\overrightarrow{BL}$ a la même direction et le même sens que $\overrightarrow{AB}$, et sa longueur est $\frac{5}{2}$ fois celle de $\overrightarrow{AB}$. Pour construire $L$, prolongez la droite $(AB)$ au-delà de $B$. Reportez $\frac{5}{2}$ fois la longueur $AB$ à partir de $B$ dans la direction de $\overrightarrow{AB}$.

ii) Construction de $K$ tel que $\overrightarrow{AK} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{AB}$ :

Le vecteur $\overrightarrow{AK}$ a la même direction mais le sens opposé à $\overrightarrow{AB}$, et sa longueur est $\frac{4}{3}$ fois celle de $\overrightarrow{AB}$. Prolongez la droite $(BA)$ au-delà de $A$. Reportez $\frac{4}{3}$ fois la longueur $AB$ à partir de $A$ dans la direction opposée à $\overrightarrow{AB}$.

2. a) i) Relation entre $\overrightarrow{LK}$ et $\overrightarrow{AB}$ :

En utilisant la relation de Chasles, on a : $ \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{LB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} $.

Nous savons que $\overrightarrow{BL} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -\frac{5}{2} \overrightarrow{AB}$. De plus, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{AB}$.

Substituons ces expressions dans la relation pour $\overrightarrow{LK}$ : $ \overrightarrow{LK} = -\frac{5}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} - \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} $

Factorisons $\overrightarrow{AB}$ : $ \overrightarrow{LK} = \left(-\frac{5}{2} - 1 - \frac{4}{3}\right) \overrightarrow{AB} $

Réduisons au même dénominateur (6) : $ \overrightarrow{LK} = \left(-\frac{15}{6} - \frac{6}{6} - \frac{8}{6}\right) \overrightarrow{AB} $

$ \overrightarrow{LK} = -\frac{29}{6} \overrightarrow{AB} $

$\boxed{\overrightarrow{LK} = -\frac{29}{6} \overrightarrow{AB}}$

ii) Longueur $LK$ :

Nous avons $\overrightarrow{LK} = -\frac{29}{6} \overrightarrow{AB}$. En prenant les normes, on obtient : $ \| \overrightarrow{LK} \| = \left\| -\frac{29}{6} \overrightarrow{AB} \right\| $

$ LK = \left| -\frac{29}{6} \right| \times \| \overrightarrow{AB} \| $

$ LK = \frac{29}{6} \times AB $

Étant donné que $AB = 6$ unités de longueur : $ LK = \frac{29}{6} \times 6 $

$ LK = 29 $

$\boxed{LK = 29 \text{ unités de longueur}}$

Correction :

1. Figure :

Pour réaliser une figure, nous devons d'abord exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ à partir de la relation donnée : $3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \vec 0$.

$3 \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$

Cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, de même sens et que la longueur $AC$ est $\frac{3}{2}$ fois la longueur $AB$. Pour la figure, choisissez un point $A$, puis placez un point $B$. Ensuite, placez $C$ sur la droite $(AB)$ au-delà de $B$ tel que $AC = \frac{3}{2}AB$.

2. Expression de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$ :

Nous partons de la relation donnée : $3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC} = \vec 0$.

Utilisons la relation de Chasles pour exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.

Substituons cette expression dans l'équation : $3 \overrightarrow{AB} - 2 (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \vec 0$

Développons et simplifions : $3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{BC} = \vec 0$

$ \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{BC} = \vec 0 $

Isolons $\overrightarrow{AB}$ : $ \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{BC} $

$\boxed{\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{BC}}$

Justification : Nous avons utilisé la relation de Chasles pour décomposer $\overrightarrow{AC}$ en $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ et ensuite simplifié l'équation vectorielle donnée pour isoler $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.

Correction :

1. Figure :

Dessinez un parallélogramme $MNPQ$. Placez le point $R$ tel que $\overrightarrow{QR} = \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$. Puis placez le point $S$ tel que $\overrightarrow{MS} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$. Pour cela, prolongez la droite $(QM)$ au-delà de $M$ et reportez $\frac{4}{3}$ fois la longueur $MQ$ à partir de $M$ dans la direction opposée à $\overrightarrow{MQ}$.

2. a) i) Montrons que $\overrightarrow{MR} = $\overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$ :

Par la relation de Chasles, nous avons toujours $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QR}$.

L'énoncé donne $\overrightarrow{QR} = \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$.

En substituant l'expression de $\overrightarrow{QR}$ dans la relation de Chasles, on obtient : $ \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN} $

$\boxed{\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}}$

ii) Montrons que $\overrightarrow{NS} = -\overrightarrow{MN}-\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$ :

Par la relation de Chasles, nous avons toujours $\overrightarrow{NS} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MS}$.

L'énoncé donne $\overrightarrow{MS} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$. De plus, $\overrightarrow{NM} = -\overrightarrow{MN}$.

En substituant ces expressions dans la relation de Chasles, on obtient : $ \overrightarrow{NS} = -\overrightarrow{MN} - \frac{4}{3} \overrightarrow{MQ} $

$\boxed{\overrightarrow{NS} = -\overrightarrow{MN} - \frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}}$

iii) Relation entre $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$ :

De l'expression de $\overrightarrow{MR}$, nous avons $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN}$. Multiplions cette équation par $-\frac{4}{3}$ : $ -\frac{4}{3} \overrightarrow{MR} = -\frac{4}{3} \left( \overrightarrow{MQ} + \frac{3}{4} \overrightarrow{MN} \right) $

Distribuons $-\frac{4}{3}$ : $ -\frac{4}{3} \overrightarrow{MR} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ} - \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} \overrightarrow{MN} $

$ -\frac{4}{3} \overrightarrow{MR} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{MQ} - \overrightarrow{MN} $

Réarrangeons les termes : $ -\frac{4}{3} \overrightarrow{MR} = -\overrightarrow{MN} - \frac{4}{3} \overrightarrow{MQ} $

Comparons cette expression avec celle de $\overrightarrow{NS}$ trouvée en 2.a.ii) : $\overrightarrow{NS} = -\overrightarrow{MN} - \frac{4}{3} \overrightarrow{MQ}$.

Nous constatons que les expressions sont identiques, donc : $ \overrightarrow{NS} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{MR} $

$\boxed{\overrightarrow{NS} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{MR}}$

Correction :

Pour montrer que les segments $[VS]$ et $[AC]$ ont le même milieu, nous allons montrer que le quadrilatère $AVCS$ est un parallélogramme. Si $AVCS$ est un parallélogramme, alors ses diagonales $[VS]$ et $[AC]$ se coupent en leur milieu.

Pour montrer que $AVCS$ est un parallélogramme, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AV} = \overrightarrow{SC}$.

Nous savons que $\overrightarrow{AV} = 2 \overrightarrow{AB}$ (donné dans l'énoncé).

Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, nous avons $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Substituons $\overrightarrow{AB}$ par $\overrightarrow{DC}$ dans l'expression de $\overrightarrow{AV}$ : $ \overrightarrow{AV} = 2 \overrightarrow{DC} $

L'énoncé donne $\overrightarrow{CS} = 2 \overrightarrow{CD}$. Donc, $\overrightarrow{SC} = -\overrightarrow{CS} = -2 \overrightarrow{CD} = 2 \overrightarrow{DC}$.

Ainsi, nous avons $\overrightarrow{AV} = 2 \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{SC} = 2 \overrightarrow{DC}$.

Par conséquent, $\overrightarrow{AV} = \overrightarrow{SC}$.

Puisque $\overrightarrow{AV} = \overrightarrow{SC}$, le quadrilatère $AVCS$ est un parallélogramme.

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc, les diagonales $[VS]$ et $[AC]$ du parallélogramme $AVCS$ ont le même milieu.

$\boxed{\text{Les segments } [VS] \text{ et } [AC] \text{ ont le même milieu.}}$

Correction :

Soient $t_{\overrightarrow{AI}}$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AI}$. Par définition de la translation, nous avons $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AI}$.

Nous voulons montrer que $A'$ est le milieu de $[B'C']$, ce qui est équivalent à montrer que $\overrightarrow{B'A'} + \overrightarrow{C'A'} = \vec{0}$ ou encore $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{A'C'}$. Montrons plutôt que $\overrightarrow{A'B'} = -\overrightarrow{A'C'}$ ou $\overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} = \vec{0}$.

Puisque $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$, $I$ est le milieu de $[AA']$, donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IA'}$.

Considérons le vecteur $\overrightarrow{B'A'}$ : $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA'}$ (relation de Chasles).

Nous savons que $\overrightarrow{B'B} = -\overrightarrow{BB'} = -\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{AI}$.

Donc, $\overrightarrow{B'A'} = -\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI}$.

Maintenant, considérons le vecteur $\overrightarrow{A'C'}$ : $\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'}$ (relation de Chasles).

Nous savons que $\overrightarrow{A'A}$ = -$\overrightarrow{AA'} $= -2$\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{CC'}$ = $\overrightarrow{AI}$.

Donc, $\overrightarrow{A'C'} $= -2$\overrightarrow{AI} $+ $\overrightarrow{AC}$ +$ \overrightarrow{AI} $= $\overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{AI}$.

Nous voulons montrer que $\overrightarrow{B'A'}$ = -$\overrightarrow{A'C'}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AI}$ = -($\overrightarrow{AC}$ -$ \overrightarrow{AI}$) = -$\overrightarrow{AC}$ +$ \overrightarrow{AI}$.

Cela revient à montrer que $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AI}$ = -$\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{AI}$, ce qui se simplifie en $\overrightarrow{BA}$ = -$\overrightarrow{AC}$, ou encore $\overrightarrow{BA}$ +$ \overrightarrow{AC}$ = $\vec{0}$. Mais $\overrightarrow{BA}$ +$ \overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{BC}$ (relation de Chasles). Donc, nous devons montrer que $\overrightarrow{BC}$ = $\vec{0}$, ce qui est faux puisque $B$ et $C$ sont les sommets d'un triangle.

Reprenons : pour que $A'$ soit le milieu de $[B'C']$, il faut $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{A'C'}$.

On sait que $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AI}$. Donc $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$, ce qui implique que $BB'C'C$ est un parallélogramme. Par conséquent, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B'C'}$.

Puisque $I$ est le milieu de $[BC]$, $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Et $\overrightarrow{IA'} = $\overrightarrow{AI}$.

Considérons $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA'} = -\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BA}$.

Considérons $\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} = -2\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI}$.

Nous voulons $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{A'C'}$, donc $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI}$.

$2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}$.

Donc $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$. Ceci est la caractérisation vectorielle du milieu de $[BC]$. Comme $I$ est le milieu de $[BC]$, cette égalité est vraie.

Ainsi, nous avons bien $\overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{A'C'}$.

$\boxed{A' \text{ est le milieu de } [B'C']}$

Correction :

Soient $A(x_A; y_A) = (2; -1)$ et $C(x_C; y_C)$ les coordonnées des points $A$ et $C$.

Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_C - 2 \\ y_C - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_C - 2 \\ y_C + 1 \end{pmatrix}$.

On veut $\overrightarrow{AC} = \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Pour que deux vecteurs soient égaux, leurs coordonnées doivent être égales. Ainsi, on a le système d'équations : $ \begin{cases} x_C - 2 = -1 \\ y_C + 1 = 2 \end{cases} $

Résolvons ce système : $ x_C - 2 = -1 \implies x_C = -1 + 2 = 1 $ $ y_C + 1 = 2 \implies y_C = 2 - 1 = 1 $

Donc, les coordonnées du point $C$ sont $(1; 1)$.

$\boxed{C(1; 1)}$

Correction :

Dans un parallélogramme $ABCD$, on a l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ en fonction de $D(x_D; y_D)$ et $C(4; 3)$ : $ \overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - x_D \\ 3 - y_D \end{pmatrix} $

Égalons les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ : $ \begin{cases} 4 - x_D = 3 \\ 3 - y_D = 2 \end{cases} $

Résolvons ce système : $ 4 - x_D = 3 \implies x_D = 4 - 3 = 1 $ $ 3 - y_D = 2 \implies y_D = 3 - 2 = 1 $

Donc, les coordonnées du point $D$ sont $(1; 1)$.

$\boxed{D(1; 1)}$

Correction :

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$ avec $E(-1; 2)$ et $F(2; -3)$ :

$ \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} x_F - x_E \\ y_F - y_E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ -3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix} $

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{GH}$ avec $G(x_G; y_G)$ et $H(3; 1)$ : $ \overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix} x_H - x_G \\ y_H - y_G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - x_G \\ 1 - y_G \end{pmatrix} $

On veut $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$, donc égalisons les coordonnées : $ \begin{cases} 3 - x_G = 3 \\ 1 - y_G = -5 \end{cases} $

Résolvons ce système : $ 3 - x_G = 3 \implies x_G = 3 - 3 = 0 $ $ 1 - y_G = -5 \implies y_G = 1 - (-5) = 6 $

Donc, les coordonnées du point $G$ sont $(0; 6)$.

$\boxed{G(0; 6)}$

Correction :

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{PR}$ avec $P(1; -2)$ et $R(x_R; y_R)$ : $ \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} x_R - x_P \\ y_R - y_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_R - 1 \\ y_R - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_R - 1 \\ y_R + 2 \end{pmatrix} $

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{QR}$ avec $Q(-3; 1)$ et $R(x_R; y_R)$ : $ \overrightarrow{QR} = \begin{pmatrix} x_R - x_Q \\ y_R - y_Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_R - (-3) \\ y_R - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_R + 3 \\ y_R - 1 \end{pmatrix} $

L'équation vectorielle est $2\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{QR} = \vec{0}$. En termes de coordonnées : $ 2 \begin{pmatrix} x_R - 1 \\ y_R + 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_R + 3 \\ y_R - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $

Développons et additionnons les vecteurs : $ \begin{pmatrix} 2(x_R - 1) \\ 2(y_R + 2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_R + 3 \\ y_R - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_R - 2 + x_R + 3 \\ 2y_R + 4 + y_R - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_R + 1 \\ 3y_R + 3 \end{pmatrix} $

Égalons à $\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ : $ \begin{cases} 3x_R + 1 = 0 \\ 3y_R + 3 = 0 \end{cases} $

Résolvons ce système : $ 3x_R + 1 = 0 \implies 3x_R = -1 \implies x_R = -\frac{1}{3} $ $ 3y_R + 3 = 0 \implies 3y_R = -3 \implies y_R = -1 $

Donc, les coordonnées du point $R$ sont $\left(-\frac{1}{3}; -1\right)$.

$\boxed{R\left(-\frac{1}{3}; -1\right)}$

Correction :

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KL}$ avec $K(0; 0)$ et $L(4; 0)$ : $ \overrightarrow{KL} = \begin{pmatrix} x_L - x_K \\ y_L - y_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} $

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ avec $K(0; 0)$ et $M(2; 3)$ : $ \overrightarrow{KM} = \begin{pmatrix} x_M - x_K \\ y_M - y_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 0 \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $

On a $\overrightarrow{KN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{KL} + \frac{1}{3}\overrightarrow{KM}$. En termes de coordonnées : $ \overrightarrow{KN} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \times 4 \\ \frac{1}{2} \times 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 2 \\ \frac{1}{3} \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix} $

Additionnons les vecteurs : $ \overrightarrow{KN} = \begin{pmatrix} 2 + \frac{2}{3} \\ 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{3} + \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ 1 \end{pmatrix} $

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KN}$ sont $\begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ 1 \end{pmatrix}$. Puisque $K$ est l'origine $(0; 0)$, les coordonnées du point $N$ sont les mêmes que celles du vecteur $\overrightarrow{KN}$.

Donc, les coordonnées du point $N$ sont $\left(\frac{8}{3}; 1\right)$.

$\boxed{N\left(\frac{8}{3}; 1\right)}$

Correction :

Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$, alors ses coordonnées $(x_I; y_I)$ sont données par les formules : $ x_I = \frac{x_A + x_B}{2} $ et $ y_I = \frac{y_A + y_B}{2} $.

Avec $A(-3; 5)$ et $B(2; -1)$, on a : $ x_I = \frac{-3 + 2}{2} = \frac{-1}{2} $ $ y_I = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Donc, les coordonnées du point $I$, milieu de $[AB]$, sont $\left(-\frac{1}{2}; 2\right)$.

$\boxed{I\left(-\frac{1}{2}; 2\right)}$

Correction :

Les coordonnées $(x_G; y_G)$ du centre de gravité $G$ d'un triangle $RST$ sont données par les formules : $ x_G = \frac{x_R + x_S + x_T}{3} $ et $ y_G = \frac{y_R + y_S + y_T}{3} $.

Avec $R(0; -4)$, $S(6; 0)$ et $T(3; 5)$, on a : $ x_G = \frac{0 + 6 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 $ $ y_G = \frac{-4 + 0 + 5}{3} = \frac{1}{3} $

Donc, les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $RST$ sont $\left(3; \frac{1}{3}\right)$.

$\boxed{G\left(3; \frac{1}{3}\right)}$

Correction :

Pour déterminer si les points $U$, $V$ et $W$ sont alignés, nous allons utiliser la notion de colinéarité des vecteurs. Si les vecteurs $\overrightarrow{UV}$ et $\overrightarrow{VW}$ (ou $\overrightarrow{UV}$ et $\overrightarrow{UW}$, ou $\overrightarrow{VU}$ et $\overrightarrow{VW}$, etc.) sont colinéaires, alors les points $U$, $V$ et $W$ sont alignés.

Pour vérifier la colinéarité de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées, nous pouvons calculer leur déterminant. Si le déterminant est égal à zéro, alors les vecteurs sont colinéaires.

1. Calcul des coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{UV}$ et $\overrightarrow{VW}$ :

$ \overrightarrow{UV} = \begin{pmatrix} x_V - x_U \\ y_V - y_U \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 \\ 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{VW} = \begin{pmatrix} x_W - x_V \\ y_W - y_V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 7 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $

2. Calcul du déterminant des vecteurs $\overrightarrow{UV}$ et $\overrightarrow{VW}$ :

Le déterminant de deux vecteurs $\overrightarrow{UV} \begin{pmatrix} x_{UV} \\ y_{UV} \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{VW} \begin{pmatrix} x_{VW} \\ y_{VW} \end{pmatrix}$ est donné par la formule : $ \det(\overrightarrow{UV}, \overrightarrow{VW}) = (x_{UV})(y_{VW}) - (y_{UV})(x_{VW}) $

Appliquons cette formule avec les coordonnées que nous avons calculées : $ \det(\overrightarrow{UV}, \overrightarrow{VW}) = (3)(6) - (4)(4) = 18 - 16 = 2 $

3. Conclusion :

Puisque le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{UV}$ et $\overrightarrow{VW}$ est égal à $2$, et que $2 \neq 0$, alors les vecteurs $\overrightarrow{UV}$ et $\overrightarrow{VW}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points $U$, $V$ et $W$ ne sont pas alignés.

$\boxed{\text{Les points U, V et W ne sont pas alignés.}}$

Correction :

Pour déterminer la nature du quadrilatère $ABCD$, calculons les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ et comparons-les.

$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-2) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ -1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} $

Puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. Pour déterminer si c'est un rectangle, un losange ou un carré, nous devons examiner les longueurs des côtés et les diagonales ou vérifier l'orthogonalité des côtés.

Calculons le vecteur $\overrightarrow{AD}$ : $ \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} x_D - x_A \\ y_D - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} $

Vérifions si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire : $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (4)(3) + (2)(-4) = 12 - 8 = 4 $

Puisque le produit scalaire n'est pas nul (il vaut 4), les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas orthogonaux. Donc, $ABCD$ n'est pas un rectangle ni un carré.

Calculons les longueurs $AB$ et $AD$ : $ AB = \| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} $ $ AD = \| \overrightarrow{AD} \| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

Puisque $AB \neq AD$, le parallélogramme $ABCD$ n'est pas un losange.

Par conséquent, le quadrilatère $ABCD$ est un simple parallélogramme.

$\boxed{\text{Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.}}$

Correction :

Pour vérifier si le point $M(5; 3)$ appartient au cercle $C$ de centre $\Omega(2; -1)$ et de rayon $r = 5$, nous devons calculer la distance $\Omega M$ et la comparer au rayon $r$.

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega M}$ : $ \overrightarrow{\Omega M} = \begin{pmatrix} x_M - x_\Omega \\ y_M - y_\Omega \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $

Calculons la distance $\Omega M$, qui est la norme du vecteur $\overrightarrow{\Omega M}$ : $ \Omega M = \| \overrightarrow{\Omega M} \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $

Nous trouvons que $\Omega M = 5$. Puisque le rayon du cercle est $r = 5$, et que $\Omega M = r$, le point $M$ appartient au cercle $C$.

$\boxed{\text{Oui, le point M appartient au cercle C car } \Omega M = 5 = r}$

Correction :

Soit $C(x; y)$. On veut $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

$2\overrightarrow{AB} = 2 \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 2 \end{pmatrix}$

On doit avoir $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$, donc: $\begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}$

On obtient le système: $x + 1 = 8 \implies x = 7$ $y - 2 = -4 \implies y = -2$

$\boxed{C(7; -2)}$

Correction :

Calculons les vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$. Si ils sont colinéaires, alors les points sont alignés.

$\overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{RT} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 11 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$

On remarque que $\overrightarrow{RT} = -2 \overrightarrow{RS}$ car $-2 \times (-3) = 6$ et $-2 \times (-4) = 8$. Puisque $\overrightarrow{RT} = -2 \overrightarrow{RS}$, les vecteurs sont colinéaires, et comme ils ont le point $R$ en commun, les points $R$, $S$ et $T$ sont alignés.

$\boxed{\text{Oui, les points R, S et T sont alignés}}$

Correction :

Pour savoir si $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, on regarde si les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 7 - (-2) \\ -3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \end{pmatrix}$

Vérifions la colinéarité. Pour passer de la première coordonnée de $\overrightarrow{AB}$ à celle de $\overrightarrow{CD}$, on multiplie par $9/3 = 3$. Vérifions si c'est aussi le cas pour la seconde coordonnée : $3 \times (-3) = -9 \neq -6$. Donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Rectification : Refaisons le calcul de $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 7 - (-2) \\ -3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \end{pmatrix}$. Erreur de calcul : $3 \times (-3) = -9$. Ce n'est toujours pas $-6$.

Rectification 2 : Encore une erreur de calcul! $3 \times (-3) = -9$ et non $-6$. Revérifions la colinéarité autrement : est-ce que le déterminant est nul? Non pertinent en seconde. Essayons de trouver un facteur de proportionnalité $k$ tel que $\overrightarrow{CD} = k \overrightarrow{AB}$.

Pour les abscisses : $9 = k \times 3 \implies k = 3$. Pour les ordonnées : $-6 = k \times (-3) \implies k = \frac{-6}{-3} = 2$. Comme on ne trouve pas la même valeur de $k$, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.

$\boxed{\text{Non, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles}}$

Correction :

Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Soit $D(x; y)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 3 - x \\ 5 - y \end{pmatrix}$

On doit avoir $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, donc: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - x \\ 5 - y \end{pmatrix}$

On obtient le système: $3 - x = 3 \implies x = 0$ $5 - y = 1 \implies y = 4$

$\boxed{D(0; 4)}$

Correction :

Pour vérifier si le triangle est rectangle en $B$, on utilise le théorème de Pythagore : $AB^2 + BC^2 = AC^2$ si rectangle en $B$. Calculons les longueurs au carré.

$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} -2 - 0 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}$, $AB^2 = (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$

$\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4 - 0 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, $BC^2 = (4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$, $AC^2 = (6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$

On remarque que $AB^2 + BC^2 = 20 + 20 = 40 = AC^2$. Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

$\boxed{\text{Oui, le triangle ABC est rectangle en B}}$

Correction : Pour savoir si un quadrilatère est un parallélogramme, nous pouvons vérifier si ses vecteurs opposés sont égaux.

1. Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm DC}$. $\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\rm DC} = \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 8 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ Comme $\overrightarrow{\rm AB} \neq \overrightarrow{\rm DC}$ (car leurs abscisses sont différentes), alors $\rm ABCD$ n'est pas un parallélogramme.
2. Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm EC}$. Nous avons déjà $\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{\rm EC} = \begin{pmatrix} x_C - x_E \\ y_C - y_E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 7 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ Comme $\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm EC}$, alors $\rm ABCE$ est un parallélogramme.

Correction : Pour savoir si un quadrilatère est un parallélogramme, nous vérifions si ses vecteurs opposés sont égaux.

1. Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm DC}$. $\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 4 \\ 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\rm DC} = \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}$ Comme $\overrightarrow{\rm AB} \neq \overrightarrow{\rm DC}$ (car leurs abscisses et ordonnées sont opposées), alors $\rm ABCD$ n'est pas un parallélogramme.
2. Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CD}$. Nous avons déjà $\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{\rm CD} = \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 8 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \end{pmatrix}$ Comme $\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm CD}$, alors $\rm ABDC$ est un parallélogramme.

Correction : Pour qu'un quadrilatère $\rm ABCD$ soit un parallélogramme, il faut et il suffit que $\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm DC}$. De même, pour qu'un quadrilatère $\rm ABDC$ soit un parallélogramme, il faut et il suffit que $\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm CD}$. Notons $\rm D(x_D;y_D)$. Calculons d'abord les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$: $\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

1. Pour que $\rm ABCD$ soit un parallélogramme, il faut que $\overrightarrow{\rm DC} = \overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Or, $\overrightarrow{\rm DC} = \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - x_D \\ 1 - y_D \end{pmatrix}$. Donc, on doit résoudre le système d'équations: $\begin{cases} 7 - x_D = 2 \\ 1 - y_D = -3 \end{cases}$ Ce qui donne $\begin{cases} x_D = 7 - 2 = 5 \\ y_D = 1 - (-3) = 4 \end{cases}$ Donc, pour que $\rm ABCD$ soit un parallélogramme, les coordonnées de $\rm D$ doivent être $\rm D(5;4)$.
2. Pour que $\rm ABDC$ soit un parallélogramme, il faut que $\overrightarrow{\rm CD} = \overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Or, $\overrightarrow{\rm CD} = \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_D - 7 \\ y_D - 1 \end{pmatrix}$. Donc, on doit résoudre le système d'équations: $\begin{cases} x_D - 7 = 2 \\ y_D - 1 = -3 \end{cases}$ Ce qui donne $\begin{cases} x_D = 7 + 2 = 9 \\ y_D = 1 - 3 = -2 \end{cases}$ Donc, pour que $\rm ABDC$ soit un parallélogramme, les coordonnées de $\rm D$ doivent être $\rm D(9;-2)$.

Correction : Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm BA}$ et $\overrightarrow{\rm BC}$.

$\overrightarrow{\rm BA} = \begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 3 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\rm BC} = \begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Maintenant, calculons les coordonnées du vecteur $\vec u=2 \overrightarrow{\rm BA}-3 \overrightarrow{\rm BC}$.

$2 \overrightarrow{\rm BA} = 2 \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times (-4) \\ 2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix}$

$3 \overrightarrow{\rm BC} = 3 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times (-1) \\ 3 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$

Donc, $\vec u=2 \overrightarrow{\rm BA}-3 \overrightarrow{\rm BC} = \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 - (-3) \\ 6 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$

Les coordonnées du vecteur $\vec u$ sont $\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix}$. On peut aussi écrire $\vec u = (-5; 0)$.

Correction :

Notons $\rm M(x_M;y_M)$. On cherche à déterminer les coordonnées de $\rm M$ tel que $\overrightarrow{\rm AM}=2 \overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AC}$.

Calculons d'abord les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm BC}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.

$\overrightarrow{\rm BC} = \begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\rm AC} = \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Calculons maintenant les coordonnées de $2 \overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AC}$.

$2 \overrightarrow{\rm BC} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

$2 \overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

On sait que $\overrightarrow{\rm AM} = \begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - (-1) \\ y_M - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M + 1 \\ y_M - 2 \end{pmatrix}$.

On doit donc avoir $\overrightarrow{\rm AM} = 2 \overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AC}$, ce qui donne l'égalité vectorielle:

$\begin{pmatrix} x_M + 1 \\ y_M - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

Cela se traduit par le système d'équations:

$\begin{cases} x_M + 1 = 3 \\ y_M - 2 = 3 \end{cases}$

Ce qui donne $\begin{cases} x_M = 3 - 1 = 2 \\ y_M = 3 + 2 = 5 \end{cases}$

Donc les coordonnées du point $\rm M$ sont $\rm M(2;5)$.

1. Les coordonnées du point $\rm M$ tel que $\overrightarrow{\rm AM}=2 \overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AC}$ sont $\rm M(2;5)$.

Correction :

Notons $\rm M(x_M;y_M)$. On cherche à déterminer les coordonnées de $\rm M$ tel que $3\overrightarrow{\rm AM}+ \overrightarrow{\rm MC}=2\overrightarrow{\rm AB}$.

Calculons d'abord les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$.

$\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - (-1) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

Exprimons maintenant les vecteurs $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\overrightarrow{\rm MC}$ en fonction des coordonnées de $\rm M$, $\rm A$ et $\rm C$.

$\overrightarrow{\rm AM} = \begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M - (-1) \\ y_M - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_M + 1 \\ y_M - 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{\rm MC} = \begin{pmatrix} x_C - x_M \\ y_C - y_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - x_M \\ -1 - y_M \end{pmatrix}$

Exprimons l'équation vectorielle $3\overrightarrow{\rm AM}+ \overrightarrow{\rm MC}=2\overrightarrow{\rm AB}$ en coordonnées:

$3\overrightarrow{\rm AM} = 3 \begin{pmatrix} x_M + 1 \\ y_M - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(x_M + 1) \\ 3(y_M - 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_M + 3 \\ 3y_M - 3 \end{pmatrix}$

$3\overrightarrow{\rm AM}+ \overrightarrow{\rm MC} = \begin{pmatrix} 3x_M + 3 \\ 3y_M - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 - x_M \\ -1 - y_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3x_M + 3) + (3 - x_M) \\ (3y_M - 3) + (-1 - y_M) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_M + 6 \\ 2y_M - 4 \end{pmatrix}$

$2\overrightarrow{\rm AB} = 2 \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$

L'équation vectorielle $3\overrightarrow{\rm AM}+ \overrightarrow{\rm MC}=2\overrightarrow{\rm AB}$ est donc équivalente à l'égalité entre les vecteurs en coordonnées:

$\begin{pmatrix} 2x_M + 6 \\ 2y_M - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}$

Ce qui donne le système d'équations:

$\begin{cases} 2x_M + 6 = 10 \\ 2y_M - 4 = 4 \end{cases}$

On résout chaque équation:

$2x_M + 6 = 10 \Rightarrow 2x_M = 10 - 6 = 4 \Rightarrow x_M = \frac{4}{2} = 2$

$2y_M - 4 = 4 \Rightarrow 2y_M = 4 + 4 = 8 \Rightarrow y_M = \frac{8}{2} = 4$

Donc les coordonnées du point $\rm M$ sont $\rm M(2;4)$.