Exercices pour maîtriser les vecteurs directeurs et le parallélisme des droites en géométrie plane.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les Vecteurs Directeurs et le Parallélisme avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Définition : Un vecteur directeur $\vec{u}$ d'une droite $d$ donne la direction de cette droite. Si on "suit" le vecteur directeur à partir d'un point de la droite, on reste sur la droite.
Comment le trouver ?
À partir de deux points A et B de la droite : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$.
À partir de l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ : $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.
À partir de l'équation réduite $y = mx + p$ : $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.
Infinité de vecteurs directeurs : Une droite a une infinité de vecteurs directeurs. Ils sont tous colinéaires entre eux.
Une droite $d$ passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\vec{u}$. C'est la base pour retrouver l'équation cartésienne !
Deux vecteurs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$. C'est très utile pour vérifier si un vecteur est directeur ou si des points sont alignés.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Pour vérifier le parallélisme, on regarde si leurs vecteurs directeurs ont un déterminant nul, ou si l'un est multiple de l'autre.
Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Encore une fois, le déterminant est votre ami pour vérifier cela ! $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$ ? Alors alignés !
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Dans chacun des cas suivants, indiquez si le vecteur $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
Dans chacun des cas suivants, calculez les coordonnées de trois vecteurs directeurs de $(AB)$.
| Cas 1 | Cas 2 | Cas 3 | Cas 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Points A et B | $A(2;3)$ et $B(-1;2)$ | $A(-5;4)$ et $B(3;1)$ | $A(3;0)$ et $B(0;3)$ | $A(7;8)$ et $B(7;9)$ |
On considère les points $A(1; 2)$, $B(4; 6)$, $C(-1; 3)$ et $D(2; 7)$.
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
2. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
3. Donner un vecteur directeur de la droite $(AB)$ et un vecteur directeur de la droite $(CD)$.
Soient les points $E(-2; 1)$ et $F(3; -2)$. On donne le vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.
1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$.
2. Le vecteur $\vec{v}$ est-il un vecteur directeur de la droite $(EF)$ ? Justifier.
3. Donner un autre vecteur directeur de la droite $(EF)$ différent de $\overrightarrow{EF}$ et $\vec{v}$ (si $\vec{v}$ est un vecteur directeur).
Soit le point $G(0; -1)$ et le vecteur directeur $\vec{u} \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$.
1. Déterminer les coordonnées de deux autres points $H$ et $I$ appartenant à la droite $d$ passant par $G$ et de vecteur directeur $\vec{u}$.
2. Le point $J(2; 3)$ appartient-il à la droite $d$ ? Justifier.
3. Donner un vecteur directeur de la droite $(GJ)$. Si $J$ n'appartient pas à $d$, donner un vecteur directeur d'une droite parallèle à $d$ et passant par $J$.
On donne les points $K(-3; 5)$, $L(1; -3)$ et $M(5; -11)$.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{KL}$ et $\overrightarrow{LM}$.
2. Les vecteurs $\overrightarrow{KL}$ et $\overrightarrow{LM}$ sont-ils colinéaires ? Justifier.
3. Les points $K$, $L$ et $M$ sont-ils alignés ? Justifier.
4. Si les points sont alignés, donner un vecteur directeur de la droite $(KM)$. Sinon, donner un vecteur directeur de $(KL)$ et un de $(LM)$.
On considère la droite $d_1$ passant par $P(2; -3)$ et de vecteur directeur $\vec{w} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. On considère aussi le point $Q(5; 3)$.
1. Déterminer si le point $Q$ appartient à la droite $d_1$. Justifier.
2. Donner un vecteur directeur de la droite $(PQ)$.
3. Déterminer si la droite $(PQ)$ est parallèle à la droite $d_1$. Justifier.
4. Donner un point $R$ tel que la droite $(QR)$ soit parallèle à $d_1$ et distincte de $d_1$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère la droite $d_2$ passant par l'origine $O(0; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{k} = 2\vec{i} - \vec{j}$.
1. Donner les coordonnées du vecteur $\vec{k}$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
2. Donner les coordonnées de trois points distincts appartenant à la droite $d_2$.
3. Soit le point $T(4; -2)$. Le point $T$ appartient-il à la droite $d_2$ ? Justifier.
4. Donner un vecteur directeur de la droite $(OT)$. Si $T$ n'appartient pas à $d_2$, donner un vecteur directeur d'une droite parallèle à $d_2$ passant par $T$.
Un avion se déplace en ligne droite. À 14h00, il est au point $X(100; 200)$ et à 14h15, il est au point $Y(400; 350)$, les coordonnées étant en kilomètres par rapport à un repère terrestre.
1. Déterminer le vecteur déplacement de l'avion entre 14h00 et 14h15.
2. Donner un vecteur directeur de la trajectoire de l'avion.
3. Si l'avion continue sur la même trajectoire et à vitesse constante, où sera-t-il à 14h30 ?
4. Un aéroport se trouve au point $Z(700; 500)$. L'avion passera-t-il au-dessus de cet aéroport ? Justifier.
On considère une droite $d_3$. On donne un tableau de valeurs pour des points de $d_3$ :
| x | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 4 | 1 | -2 |
Soient $R(-2; 7)$ et $S(0; 4)$ deux points de $d_3$ d'après le tableau.
1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{RS}$.
2. Donner un vecteur directeur de la droite $d_3$.
3. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{ST}$ est colinéaire à $\overrightarrow{RS}$, où $T(2; 1)$ est un autre point donné par le tableau.
4. Déterminer l'ordonnée du point de $d_3$ d'abscisse $x=6$, en utilisant le vecteur directeur trouvé.
Soit une droite $d_4$ de vecteur directeur $\vec{b} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ passant par le point $A(1; 1)$.
1. Donner trois vecteurs directeurs différents de la droite $d_4$.
2. Donner un vecteur directeur de la droite parallèle à $d_4$ passant par l'origine $O(0; 0)$.
3. Donner un vecteur directeur de la droite parallèle à $d_4$ passant par le point $B(-2; 5)$.
4. Est-ce que toutes les droites parallèles à $d_4$ ont le même vecteur directeur ? Expliquer.
On donne les points $C(-4; -1)$, $D(2; 2)$, $E(0; -2)$ et $F(3; -0.5)$.
1. Déterminer un vecteur directeur de la droite $(CD)$ et un vecteur directeur de la droite $(EF)$.
2. Les droites $(CD)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
3. Le point $E$ appartient-il à la droite $(CD)$ ? Justifier.
4. Si les droites $(CD)$ et $(EF)$ sont parallèles, sont-elles confondues ou strictement parallèles ? Justifier.