Exercices - Valeur absolue et distance

Revoyons ensemble les points essentiels sur la Valeur Absolue et la Distance avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !

1. Définition et Propriétés de la Valeur Absolue

Définition : La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est la distance de ce nombre à zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle.

Propriétés clés :

Positivité : Pour tout réel $x$, $|x| \geq 0$.

Symétrie : Pour tout réel $x$, $|-x| = |x|$.

Distance à zéro : $|x| = d(x, 0)$, où $d(x, 0)$ est la distance entre $x$ et l'origine.

Racine carrée : Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$.

Calcul de la valeur absolue :

Si $x \geq 0$, alors $|x| = x$.

Si $x < 0$, alors $|x| = -x$.

2. Distance sur la Droite Réelle

Distance entre deux points : Sur la droite numérique, la distance entre deux points $A$ d'abscisse $x_A$ et $B$ d'abscisse $x_B$ est donnée par la valeur absolue de la différence de leurs abscisses :

$AB = |x_B - x_A| = |x_A - x_B|$

Ensemble des points à une distance donnée : L'ensemble des points $M$ d'abscisse $x$ situés à une distance $r$ d'un point $A$ d'abscisse $a$ est décrit par l'équation :

$|x - a| = r$

Les solutions de cette équation correspondent aux abscisses des points $M$ situés à la distance $r$ de $A$. Il y a généralement deux solutions : $x = a + r$ et $x = a - r$, sauf si $r=0$ (une seule solution $x=a$).

3. Équations et Inéquations avec Valeur Absolue

Équations de la forme $|x - a| = r$ :

Si $r \geq 0$, les solutions sont $x = a + r$ et $x = a - r$. Cela correspond aux points situés à une distance $r$ de $a$ sur la droite réelle.

Inéquations de la forme $|x - a| \leq r$ :

Si $r \geq 0$, les solutions sont tous les $x$ tels que $a - r \leq x \leq a + r$. Cela correspond à l'intervalle fermé $[a-r, a+r]$, c'est-à-dire tous les points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ de $a$ sur la droite réelle.

Inéquations de la forme $|x - a| \geq r$ :

Si $r \geq 0$, les solutions sont tous les $x$ tels que $x \leq a - r$ ou $x \geq a + r$. Cela correspond à l'union des intervalles $]-\infty, a-r] \cup [a+r, +\infty[$, c'est-à-dire tous les points situés à une distance supérieure ou égale à $r$ de $a$ sur la droite réelle.

C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !

Exercice 1 : Calculs de valeurs absolues

Calculez les expressions suivantes en détaillant les étapes :

a. $A = |7 - 3|$

b. $B = |-5 + 2|$

c. $C = |2 \times (-4)|$

d. $D = |-12 \div 3|$

e. $E = |5 - 9 + 2|$

f. $F = |\frac{1}{2} - \frac{3}{4}|$

g. $G = |(-2)^3 + 5|$

Correction :

Pour calculer la valeur absolue d'une expression, on effectue d'abord les opérations à l'intérieur des barres de valeur absolue, puis on prend la valeur absolue du résultat. Rappelons que la valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro, et est toujours positive ou nulle.

a. $A = |7 - 3| = |4| = 4$. Ici, $7 - 3 = 4$, et la valeur absolue de $4$ est $4$.

b. $B = |-5 + 2| = |-3| = 3$. Ici, $-5 + 2 = -3$, et la valeur absolue de $-3$ est $3$.

c. $C = |2 \times (-4)| = |-8| = 8$. Ici, $2 \times (-4) = -8$, et la valeur absolue de $-8$ est $8$.

d. $D = |-12 \div 3| = |-4| = 4$. Ici, $-12 \div 3 = -4$, et la valeur absolue de $-4$ est $4$.

e. $E = |5 - 9 + 2| = |-4 + 2| = |-2| = 2$. Ici, $5 - 9 + 2 = -4 + 2 = -2$, et la valeur absolue de $-2$ est $2$.

f. $F = |\frac{1}{2} - \frac{3}{4}| = |\frac{2}{4} - \frac{3}{4}| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Ici, $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$, et la valeur absolue de $-\frac{1}{4}$ est $\frac{1}{4}$.

g. $G = |(-2)^3 + 5| = |-8 + 5| = |-3| = 3$. Ici, $(-2)^3 = -8$, $-8 + 5 = -3$, et la valeur absolue de $-3$ est $3$.

Exercice 2 : Résolution d'équations avec valeur absolue

Résolvez les équations suivantes :

a. $|x| = 5$

b. $|x - 2| = 3$

c. $|2x + 1| = 7$

d. $|3 - x| = 4$

e. $|4x - 5| = 0$

f. $|x + \frac{1}{2}| = \frac{3}{2}$

g. $|-2x + 6| = 10$

Correction :

Pour résoudre une équation de la forme $|X| = a$ où $a \geq 0$, on utilise le fait que $X = a$ ou $X = -a$. Appliquons cette méthode à chaque équation.

a. $|x| = 5$. Ici, $x = 5$ ou $x = -5$. Les solutions sont $S = \{-5, 5\}$.

b. $|x - 2| = 3$. Ici, $x - 2 = 3$ ou $x - 2 = -3$.

Si $x - 2 = 3$, alors $x = 3 + 2 = 5$.

Si $x - 2 = -3$, alors $x = -3 + 2 = -1$.

c. $|2x + 1| = 7$. Ici, $2x + 1 = 7$ ou $2x + 1 = -7$.

Si $2x + 1 = 7$, alors $2x = 7 - 1 = 6$, donc $x = \frac{6}{2} = 3$.

Si $2x + 1 = -7$, alors $2x = -7 - 1 = -8$, donc $x = \frac{-8}{2} = -4$.

d. $|3 - x| = 4$. Ici, $3 - x = 4$ ou $3 - x = -4$.

Si $3 - x = 4$, alors $-x = 4 - 3 = 1$, donc $x = -1$.

Si $3 - x = -4$, alors $-x = -4 - 3 = -7$, donc $x = 7$.

e. $|4x - 5| = 0$. Ici, $4x - 5 = 0$.

Alors $4x = 5$, donc $x = \frac{5}{4}$.

f. $|x + \frac{1}{2}| = \frac{3}{2}$. Ici, $x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ou $x + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Si $x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, alors $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Si $x + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$, alors $x = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$.

g. $|-2x + 6| = 10$. Ici, $-2x + 6 = 10$ ou $-2x + 6 = -10$.

Si $-2x + 6 = 10$, alors $-2x = 10 - 6 = 4$, donc $x = \frac{4}{-2} = -2$.

Si $-2x + 6 = -10$, alors $-2x = -10 - 6 = -16$, donc $x = \frac{-16}{-2} = 8$.

Exercice 3 : Résolution d'inéquations avec valeur absolue

Résolvez les inéquations suivantes et exprimez les solutions sous forme d'intervalles :

a. $|x| \leq 3$

b. $|x + 1| < 2$

c. $|2x - 3| \leq 5$

d. $|x - 4| > 1$

e. $|3 - 2x| \geq 3$

f. $|x + 2| \leq 0$

g. $|5x - 10| > 5$

Correction :

Pour résoudre les inéquations avec valeur absolue, nous utilisons les propriétés suivantes :

• $|X| \leq a \Leftrightarrow -a \leq X \leq a$ (pour $a \geq 0$)

• $|X| < a \Leftrightarrow -a < X < a$ (pour $a > 0$)

• $|X| \geq a \Leftrightarrow X \leq -a$ ou $X \geq a$ (pour $a \geq 0$)

• $|X| > a \Leftrightarrow X < -a$ ou $X > a$ (pour $a > 0$)

a. $|x| \leq 3 \Leftrightarrow -3 \leq x \leq 3$. La solution est $S = [-3, 3]$.

b. $|x + 1| < 2 \Leftrightarrow -2 < x + 1 < 2$. Soustrayons 1 à chaque membre : $-2 - 1 < x < 2 - 1 \Leftrightarrow -3 < x < 1$. La solution est $S = ]-3, 1[$.

c. $|2x - 3| \leq 5 \Leftrightarrow -5 \leq 2x - 3 \leq 5$. Ajoutons 3 à chaque membre : $-5 + 3 \leq 2x \leq 5 + 3 \Leftrightarrow -2 \leq 2x \leq 8$. Divisons par 2 : $-1 \leq x \leq 4$. La solution est $S = [-1, 4]$.

d. $|x - 4| > 1 \Leftrightarrow x - 4 < -1$ ou $x - 4 > 1$.

Si $x - 4 < -1$, alors $x < -1 + 4 \Leftrightarrow x < 3$.

Si $x - 4 > 1$, alors $x > 1 + 4 \Leftrightarrow x > 5$.

e. $|3 - 2x| \geq 3 \Leftrightarrow 3 - 2x \leq -3$ ou $3 - 2x \geq 3$.

Si $3 - 2x \leq -3$, alors $-2x \leq -3 - 3 \Leftrightarrow -2x \leq -6$. Divisons par -2 (et inversons le sens de l'inégalité) : $x \geq \frac{-6}{-2} \Leftrightarrow x \geq 3$.

Si $3 - 2x \geq 3$, alors $-2x \geq 3 - 3 \Leftrightarrow -2x \geq 0$. Divisons par -2 (et inversons le sens de l'inégalité) : $x \leq \frac{0}{-2} \Leftrightarrow x \leq 0$.

f. $|x + 2| \leq 0$. La valeur absolue est toujours positive ou nulle. Donc $|x+2| \leq 0$ est possible seulement si $|x+2| = 0$, ce qui implique $x+2 = 0$, donc $x = -2$. La solution est $S = \{-2\}$.

g. $|5x - 10| > 5 \Leftrightarrow 5x - 10 < -5$ ou $5x - 10 > 5$.

Si $5x - 10 < -5$, alors $5x < -5 + 10 \Leftrightarrow 5x < 5$. Divisons par 5 : $x < 1$.

Si $5x - 10 > 5$, alors $5x > 5 + 10 \Leftrightarrow 5x > 15$. Divisons par 5 : $x > 3$.

Exercice 4 : Distance et intervalles

Pour chaque paire de points A et B sur la droite numérique, calculez la distance AB et exprimez l'ensemble des points M tels que AM $\leq$ AB sous forme d'intervalle :

a. A a pour abscisse 2, B a pour abscisse 7.

b. A a pour abscisse -3, B a pour abscisse 1.

c. A a pour abscisse -5, B a pour abscisse -1.

d. A a pour abscisse 0, B a pour abscisse 4.

e. A a pour abscisse -2, B a pour abscisse 2.

f. A a pour abscisse -6, B a pour abscisse -8.

g. A a pour abscisse 3, B a pour abscisse -2.

Correction :

La distance entre deux points A et B d'abscisses $x_A$ et $x_B$ sur la droite numérique est donnée par AB = $|x_B - x_A|$. L'ensemble des points M d'abscisse $x$ tels que AM $\leq$ AB est l'ensemble des $x$ vérifiant $|x - x_A| \leq AB$.

a. A(2), B(7). Distance AB = $|7 - 2| = |5| = 5$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - 2| \leq 5 \Leftrightarrow -5 \leq x - 2 \leq 5 \Leftrightarrow -3 \leq x \leq 7$. Intervalle : $[-3, 7]$.

b. A(-3), B(1). Distance AB = $|1 - (-3)| = |1 + 3| = |4| = 4$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - (-3)| \leq 4 \Leftrightarrow |x + 3| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq x + 3 \leq 4 \Leftrightarrow -7 \leq x \leq 1$. Intervalle : $[-7, 1]$.

c. A(-5), B(-1). Distance AB = $|-1 - (-5)| = |-1 + 5| = |4| = 4$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - (-5)| \leq 4 \Leftrightarrow |x + 5| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq x + 5 \leq 4 \Leftrightarrow -9 \leq x \leq -1$. Intervalle : $[-9, -1]$.

d. A(0), B(4). Distance AB = $|4 - 0| = |4| = 4$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - 0| \leq 4 \Leftrightarrow |x| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq x \leq 4$. Intervalle : $[-4, 4]$.

e. A(-2), B(2). Distance AB = $|2 - (-2)| = |2 + 2| = |4| = 4$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - (-2)| \leq 4 \Leftrightarrow |x + 2| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq x + 2 \leq 4 \Leftrightarrow -6 \leq x \leq 2$. Intervalle : $[-6, 2]$.

f. A(-6), B(-8). Distance AB = $|-8 - (-6)| = |-8 + 6| = |-2| = 2$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - (-6)| \leq 2 \Leftrightarrow |x + 6| \leq 2 \Leftrightarrow -2 \leq x + 6 \leq 2 \Leftrightarrow -8 \leq x \leq -4$. Intervalle : $[-8, -4]$.

g. A(3), B(-2). Distance AB = $|-2 - 3| = |-5| = 5$. AM $\leq$ AB $\Leftrightarrow |x - 3| \leq 5 \Leftrightarrow -5 \leq x - 3 \leq 5 \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 8$. Intervalle : $[-2, 8]$.