Inéquations Produits et Quotients (Seconde)

Correction :

a) Pour trouver les valeurs qui annulent chaque facteur, on résout les équations :

b) On établit le tableau de signes :

c) On cherche les intervalles où le produit $(x - 3)(x + 2)$ est strictement positif (> 0). D'après le tableau de signes, cela se produit lorsque $x < -2$ ou $x > 3$.

Donc, l'ensemble des solutions est $S = ]-\infty; -2[ \cup ]3; +\infty[$.

d) On peut vérifier graphiquement en traçant la courbe de la fonction $f(x) = (x - 3)(x + 2)$. Les solutions de l'inéquation sont les intervalles où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

Correction :

a) Pour trouver les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur, on résout les équations :

b) La valeur interdite est $x = 4$ car le dénominateur ne peut pas être égal à zéro. La division par zéro est impossible en mathématiques.

c) On établit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient $\frac{x + 1}{x - 4}$ est inférieur ou égal à 0 (≤ 0). D'après le tableau de signes, cela se produit lorsque $-1 \leq x < 4$. On inclut -1 car l'inéquation est ≤ 0, mais on exclut 4 car c'est une valeur interdite.

Donc, l'ensemble des solutions est $S = [-1; 4[$.

d) On peut interpréter la solution en considérant les fonctions $f(x) = x+1$ et $g(x) = x-4$. La solution de l'inéquation correspond aux valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe de la fonction $\frac{f(x)}{g(x)}$ est en dessous de l'axe des abscisses.

Correction :

a) Le facteur $(x - 1)^2$ est un carré, donc il est toujours positif ou nul. Il s'annule seulement quand $x = 1$.

b) Pour trouver les valeurs qui annulent chaque facteur, on résout les équations :

c) On établit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit $(x - 1)^2(x + 2)$ est supérieur ou égal à 0 (≥ 0). D'après le tableau de signes, cela se produit lorsque $x \geq -2$. Il faut aussi inclure la valeur $x = 1$ car l'inéquation est ≥ 0 et le facteur $(x - 1)^2$ s'annule en 1.

Donc, l'ensemble des solutions est $S = [-2; +\infty[$.

d) On peut représenter l'ensemble des solutions sur une droite numérique en coloriant la partie de la droite correspondant à l'intervalle $[-2; +\infty[$.

Correction :

a) Le facteur $x^2$ est un carré, donc il est toujours positif ou nul. Il s'annule seulement quand $x = 0$.

b) Pour trouver les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur, on résout les équations :

c) La valeur interdite est $x = 3$ car le dénominateur ne peut pas être égal à zéro.

d) On établit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient $\frac{x^2}{x - 3}$ est strictement positif (> 0). D'après le tableau de signes, cela se produit lorsque $x > 3$. On exclut 3 car c'est une valeur interdite et 0 car l'inéquation est strictement supérieure à 0.

Donc, l'ensemble des solutions est $S = ]3; +\infty[$.

e) La valeur $x=0$ annule le numérateur mais comme l'inéquation est strictement supérieure à 0, on exclut cette valeur de l'ensemble des solutions.

Correction :

a) Pour trouver les valeurs qui annulent chaque facteur, on résout les équations :

b) On établit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit $(x + 1)(x - 2)(x - 5)$ est strictement négatif (< 0). D'après le tableau de signes, cela se produit lorsque $x < -1$ ou $2 < x < 5$.

Donc, l'ensemble des solutions est $S = ]-\infty; -1[ \cup ]2; 5[$.

c) On peut vérifier la solution en utilisant un grapheur pour tracer la fonction $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 5)$. Les solutions de l'inéquation correspondent aux intervalles où la courbe est en dessous de l'axe des abscisses.

Correction :

a) Les valeurs qui annulent chaque facteur sont :

b) La valeur interdite est $x = 4$ car elle annule le dénominateur.

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient est supérieur ou égal à zéro. D'après le tableau, la solution est $S = [-2; 1] \cup ]4; +\infty[$.

d) La valeur interdite, $x=4$, est exclue de l'ensemble des solutions et délimite un intervalle ouvert car elle annule le dénominateur, rendant le quotient indéfini.

Correction :

a) Le facteur -2 inverse le signe du produit.

b) Les valeurs qui annulent les facteurs variables sont :

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit est inférieur ou égal à zéro. D'après le tableau, la solution est $S = ]-\infty; -3] \cup [1; +\infty[$.

d) Le facteur constant -2 inverse tous les signes de la ligne du produit dans le tableau de signes, ce qui affecte directement la détermination des intervalles de solutions.

Correction :

a) Le facteur -3 inverse le signe du quotient.

b) La valeur qui annule le dénominateur est $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. C'est une valeur interdite.

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient est strictement négatif. D'après le tableau, la solution est $S = ]-2; +\infty[$.

d) Si le numérateur était positif, l'inéquation serait $\frac{3}{x+2} < 0$. Or, comme 3 est toujours positif, le quotient est positif si et seulement si le dénominateur est positif, ce qui est impossible. Il n'y aurait donc pas de solution.

Correction :

a) $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (identité remarquable : $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$)

b) Les valeurs qui annulent chaque facteur sont :

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit est strictement positif. D'après le tableau, la solution est $S = ]-2; -1[ \cup ]2; +\infty[$.

d) Il est crucial de factoriser avant de résoudre l'inéquation car cela permet d'identifier clairement les valeurs qui annulent chaque facteur, facilitant ainsi l'établissement du tableau de signes.

Correction :

a) $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

b) Les valeurs qui annulent chaque facteur sont :

c) Les valeurs interdites sont $x = 1$ et $x = -1$ car elles annulent le dénominateur.

d) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient est inférieur ou égal à zéro. D'après le tableau, la solution est $S = ]-\infty; -3] \cup ]-1; 1[$.

e) Les valeurs interdites ($x = 1$ et $x = -1$) ne peuvent pas être incluses dans l'ensemble des solutions. Elles délimitent des intervalles ouverts.

Correction :

a) $x^2$ est toujours positif ou nul, donc $x^2 + 1$ est toujours supérieur ou égal à 1, et donc toujours positif.

b) La valeur qui annule le second facteur est $x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit est strictement positif. D'après le tableau, la solution est $S = ]4; +\infty[$.

d) Puisque $(x^2 + 1)$ est toujours positif, on peut diviser les deux côtés de l'inéquation par $(x^2 + 1)$ sans changer le sens de l'inégalité. L'inéquation se simplifie donc à $(x - 4) > 0$.

Correction :

a) $x^2$ est toujours positif ou nul, donc $x^2 + 4$ est toujours supérieur ou égal à 4, et donc toujours positif.

b) La valeur qui annule le numérateur est $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient est inférieur ou égal à zéro. D'après le tableau, la solution est $S = ]-\infty; 2]$.

d) L'absence de valeurs interdites signifie que tous les réels sont possibles en tant que solutions, sauf ceux qui annulent le numérateur et vérifient l'inégalité.

Correction :

a) La valeur qui annule $(x-3)^2$ est $x=3$, et la valeur qui annule $(x+1)$ est $x=-1$.

b) $(x-3)^2$ est toujours positif ou nul.

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit est inférieur ou égal à zéro. D'après le tableau, la solution est $S = ]-\infty; -1] \cup \{3\}$.

d) La double racine en $x=3$ fait que le produit est nul en cette valeur, elle est donc incluse dans l'ensemble des solutions même si elle ne change pas le signe autour.

Correction :

a) La valeur qui annule $(x-2)$ est $x=2$, et la valeur qui annule $(x+1)^2$ est $x=-1$.

b) La valeur interdite est $x=-1$ car elle annule le dénominateur.

c) Tableau de signes :

On cherche les intervalles où le quotient est supérieur ou égal à zéro. D'après le tableau, la solution est $S = [2; +\infty[$.

d) La double racine au dénominateur fait que $x=-1$ reste une valeur interdite. De plus, le signe du dénominateur ne change pas autour de cette valeur.

Correction :

b) $|x-1| = 0 \Leftrightarrow x = 1$, et $(x+2)=0 \Leftrightarrow x = -2$.

Comme $|x-1| \ge 0$, l'inéquation $|x-1|(x+2)>0$ se réduit à $x+2 > 0$ et $x \ne 1$.

Donc $x>-2$ et $x \ne 1$.

$S = ]-2;1[ \cup ]1; +\infty[$.

d) Puisque la valeur absolue est toujours positive ou nulle, elle permet de simplifier l'inéquation en se concentrant uniquement sur le signe de l'autre facteur, à condition de retirer les valeurs qui annulent la valeur absolue.

Correction :

a) $|x-2|$ est toujours positif ou nul.

b) $x+3 = 0 \Leftrightarrow x = -3$, et $|x-2| = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

c) $x=2$ est une valeur interdite.

Comme $|x-2| > 0 $ (car valeur interdite), l'inéquation $\frac{x+3}{|x-2|} < 0$ se réduit à $x+3<0$.

Donc $x<-3$.

$S = ]-\infty;-3[$.

e) Puisque la valeur absolue est toujours positive ou nulle, elle permet de simplifier le tableau de signes en considérant uniquement le signe du numérateur, à condition de retirer les valeurs qui annulent la valeur absolue du dénominateur.

Correction :

a) $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

b) $x = -2$, $x=2$ et $x=-1$ sont les valeurs qui annulent les facteurs.

c) $x=-1$ est la valeur interdite.

On a donc $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 1}$. On étudie le signe de chaque facteur.

$f(x)>0$ sur $]-2;-1[\cup]2; +\infty[$.

$f(x) < 0$ sur $]-\infty; -2[ \cup ]-1; 2[$.

e) L'étude du signe d'une fonction permet de résoudre des inéquations de la forme $f(x) > 0$ ou $f(x) < 0$, en identifiant les intervalles où la fonction est positive ou négative.

Correction :

a) $f(x) - g(x) = x^2 - (2x+3) = x^2 - 2x -3$.

b) $f(x) > g(x) \Leftrightarrow x^2 - 2x -3 > 0$ qui est équivalente à $(x-3)(x+1)>0$.

On construit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où $(x-3)(x+1)>0$

On a donc $S = ]-\infty;-1[\cup]3; +\infty[$.

Donc, $f(x) > g(x)$ sur $]-\infty; -1[ \cup ]3; +\infty[$.

c) Graphiquement, $f(x) > g(x)$ signifie que la courbe de la fonction $f$ est située au-dessus de la courbe de la fonction $g$ sur les intervalles de solutions.

Correction :

a) On factorise $x^2 - 5x + 6$. Le discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$. Les racines sont $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$. Donc $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

b) L'inéquation devient $(x - 2)(x - 3)(x + 1) \geq 0$.

On construit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où $(x - 2)(x - 3)(x + 1) \geq 0$.

$S = [-1; 2] \cup [3; +\infty[$.

c) Les racines du polynôme du second degré déterminent les points où le signe du polynôme change, influençant ainsi les intervalles où l'inéquation est vérifiée.

Correction :

a) On factorise $x^2 - 3x + 2$. Le discriminant est $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1$. Les racines sont $x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$. Donc $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

b) L'inéquation devient $\frac{x + 4}{(x - 1)(x - 2)} \leq 0$.

On construit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où $\frac{x + 4}{(x - 1)(x - 2)} \leq 0$.

$S = ]-\infty; -4] \cup ]1; 2[$.

c) Les valeurs interdites sont les valeurs qui annulent le dénominateur. Elles doivent être exclues de l'ensemble des solutions et délimitent les intervalles ouverts.

Correction :

a) On factorise $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

b) L'inéquation devient $(x-1)^2(x - 2)(x + 2) \le 0$.

On construit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où $(x-1)^2(x - 2)(x + 2) \le 0$.

$S = [-2;2]$.

c) La présence du facteur carré signifie que même si $x=1$, l'inéquation reste vraie (car $(x-1)^2 = 0$), même si cela ne change pas le signe du produit autour de $x=1$.

Correction :

a) On factorise $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

b) L'inéquation devient $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x+2)^2} \ge 0$ avec $x\neq -2$

On construit le tableau de signes :

On cherche les intervalles où $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x+2)^2} \ge 0$.

$S = ]-\infty; -3] \cup [3; +\infty[$.

c) Lorsque le dénominateur est un carré, la valeur qui annule ce carré est une valeur interdite, mais le signe du quotient ne change pas autour de cette valeur.

Correction :

a) Il faut que les deux quantités existent donc $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ et $x-1 \ge 0$ (car la racine est positive) $\Rightarrow x \ge 1$.

b) Si ces deux conditions sont remplies, on peut élever au carré des deux côtés pour avoir : $x+1<(x-1)^2$. On développe : $x+1$ < $x^2-2x+1$, puis on simplifie pour obtenir $x^2 - 3x$ > 0. L'inéquation devient $x(x-3)$>0.

On construit le tableau de signes :

La solution de $x(x-3)>0$ est $]-\infty; 0[ \cup ]3; +\infty[$. En tenant compte de la condition initiale $x \ge 1$, la solution est donc $]3; +\infty[$.

c) Il est crucial de vérifier les solutions après avoir élevé au carré car cette opération peut introduire de fausses solutions (solutions extrêmes) qui ne vérifient pas l'inéquation de départ.

Correction :

a) Le fait que la courbe soit au dessus de la droite signifie que $f(x)>x$.

b) Nous devons résoudre l'inéquation $f(x)>x$ qui est équivalente à $x^3 - 3x>x$. Cela donne $x^3 - 4x>0$ et donc $x(x^2 - 4)>0$.

On factorise : $x(x - 2)(x + 2)>0$.

On construit le tableau de signes :

La solution de $x(x - 2)(x + 2)>0$ est $]-2;0[ \cup ]2; +\infty[$.

c) En étudiant le signe de la différence entre deux fonctions, on peut déterminer les intervalles où une courbe est située au-dessus ou en dessous de l'autre.

Correction :

a) Soit $y$ la longueur de l'autre côté. Le périmètre est $2x + 2y = 100$, donc $y = 50 - x$.

b) L'aire est $A(x) = x \times y = x(50 - x) = 50x - x^2$.

c) Comme $x$ et $y$ sont des longueurs, ils doivent être positifs. Donc $x > 0$ et $50 - x > 0$, ce qui implique $0 < x < 50$.

d) On calcule $A(x)-A(25) = -x^2+50x -(-25^2+50*25)= -x^2+50x-625 = -(x-25)^2$. On a donc $A(x) - A(25) \le 0$. Donc A(x) maximale en $x=25$. L'aire est maximale lorsque l'enclos est un carré de côté 25 mètres.

e) Le domaine de définition restreint les valeurs possibles de $x$, assurant que les longueurs des côtés restent positives et réalistes pour le problème.

Correction :

a) Le prix d'entrée est $20 - x$.

b) Le nombre de spectateurs est $500 + 50x$.

c) La recette est $R(x) = (20 - x)(500 + 50x) = 10000 + 1000x - 500x - 50x^2 = -50x^2 + 500x + 10000$.

d) On calcule

$R(x)-R(15) = -50x^2 + 500x + 10000 - (-50*15^2 + 500*15 + 10000)$

e) Les limites de ce modèle sont qu'il suppose une relation linéaire entre la baisse du prix et l'augmentation du nombre de spectateurs, ce qui peut ne pas être vrai en réalité. Il ne prend pas en compte d'autres facteurs comme la capacité de la salle, les coûts fixes, ou l'élasticité de la demande.

Correction :

a) $x$ doit être positif et inférieur à la moitié du côté du carré, donc $0 < x < 10$.

b) Le volume est $V(x) = (20 - 2x)(20 - 2x)x = (20 - 2x)^2 x = (400 - 80x + 4x^2)x = 4x^3 - 80x^2 + 400x$.

c) En utilisant une calculatrice ou un logiciel de tracé de courbes, on observe que le volume semble maximal aux alentours de $x \approx 3.33$ cm.

d) Le problème est contraint par les dimensions physiques de la plaque de carton car $x$ ne peut pas être supérieur à la moitié du côté de la plaque, sinon il serait impossible de former la boîte.

Correction :

a) L'aire de AMN est $\frac{AM \cdot AN}{2} = \frac{x \cdot 2x}{2} = x^2$.

b) L'aire de MBQ est $\frac{MB \cdot BQ}{2} = \frac{(10-x) \cdot 3(10-x)}{2} = \frac{3(10-x)^2}{2}= \frac{3(100 - 20x + x^2)}{2}=\frac{3x^2-60x+300}{2}$.

Soit $S(x)$ la somme des aires : $S(x) =x^2+\frac{3x^2-60x+300}{2} = \frac{2x^2+3x^2-60x+300}{2}= \frac{5x^2-60x+300}{2}$.

d) La longueur du segment [AB] contraint les valeurs possibles de $x$ (car M est sur [AB] et AM = $x$), ce qui influence la taille des triangles et donc la somme des aires.

Correction :

a) $0 \le x \le 6$, car le point C doit être situé entre A et le point de la rive opposée situé à la verticale de B.

b) Temps pour $AC = \frac{x}{5}$. Temps pour $CB = \frac{\sqrt{(6-x)^2 + 2^2}}{3} = \frac{\sqrt{x^2 - 12x + 40}}{3}$.

c) Le temps total est $T(x) = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{x^2 - 12x + 40}}{3}$. En utilisant une calculatrice, on a un minimum pour x environ égal à 2,4.

d) Plus la vitesse du bateau est rapide par rapport à la vitesse de marche, plus le randonneur aura intérêt à marcher une distance plus courte et à accoster plus tôt.

Correction :

1. (a) Pour calculer le coût de fabrication d'une tonne, on remplace $q$ par 1 dans l'expression de $C(q)$:

$C(1) = 0.02(1)^2 + 0.1(1) + 9 = 0.02 + 0.1 + 9 = 9.12$ milliers d'euros. Cela correspond à 9120 euros.

(b) Pour calculer le prix de vente d'une tonne, on remplace $q$ par 1 dans l'expression de $R(q)$:

$R(1) = 1.2(1) = 1.2$ milliers d'euros, soit 1200 euros.

(c) Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût. Pour une tonne :

$Bénéfice(1) = R(1) - C(1) = 1200 - 9120 = -7920$ euros. Comme le bénéfice est négatif, l'entreprise subit une perte de 7920 euros lorsqu'elle produit et vend une tonne. Elle n'est donc pas bénéficiaire.

2. Pour conjecturer les quantités où l'entreprise est bénéficiaire, on utilise la calculatrice graphique. On trace la courbe représentative de la fonction bénéfice $B(q) = -0.02q^2 + 1.1q - 9$. On recherche les intervalles où la courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses (ce qui correspond à un bénéfice positif, $B(q) > 0$). Graphiquement, on observe que la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses entre environ $q = 10$ et $q = 45$.

*Note: Remplacez "chemin/vers/graphe_exercice23.png" par le chemin réel vers l'image du graphe.*

3. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : $B(q) = R(q) - C(q)$. On remplace $R(q)$ et $C(q)$ par leurs expressions :

$B(q) = 1.2q - (0.02q^2 + 0.1q + 9) = 1.2q - 0.02q^2 - 0.1q - 9 = -0.02q^2 + 1.1q - 9$.

4. Pour démontrer l'égalité, on développe l'expression factorisée :

$-0.02(q - 45)(q - 10) = -0.02(q^2 - 10q - 45q + 450) = -0.02(q^2 - 55q + 450) = -0.02q^2 + 1.1q - 9$. On retrouve bien l'expression de $B(q)$ trouvée à la question précédente.

5. L'entreprise est bénéficiaire lorsque $B(q) > 0$. Grâce à la forme factorisée, on a : $-0.02(q - 45)(q - 10) > 0$. Le coefficient -0.02 est négatif. Un produit de facteurs est positif si et seulement si un nombre pair de facteurs sont négatifs. Ici, comme -0.02 est négatif, il faut que $(q - 45)(q - 10)$ soit négatif. Un trinôme du second degré est du signe opposé à son coefficient dominant entre ses racines. Les racines sont 10 et 45. Donc, $(q - 45)(q - 10) < 0$ quand $q$ est compris entre 10 et 45. L'entreprise est donc bénéficiaire lorsqu'elle produit et vend entre 10 et 45 tonnes de pâte à papier.

Correction :

1. On calcule le bénéfice $B(q)$ comme la différence entre la recette $R(q)$ et le coût $C(q)$:

$B(q) = R(q) - C(q) = 120q - (2q^2 + 10q + 900) = 120q - 2q^2 - 10q - 900 = -2q^2 + 110q - 900$

On vérifie la forme factorisée en développant :

$-2(q - 10)(q - 45) = -2(q^2 - 45q - 10q + 450) = -2(q^2 - 55q + 450) = -2q^2 + 110q - 900$. On retrouve bien l'expression de $B(q)$.

2. La production est rentable lorsque le bénéfice est positif, c'est-à-dire lorsque $B(q) > 0$. On utilise la forme factorisée pour étudier le signe de $B(q)$:

$-2(q - 10)(q - 45) > 0$

Le coefficient -2 est négatif. Le trinôme $(q - 10)(q - 45)$ est un produit de deux facteurs. Il est négatif lorsque les deux facteurs ont des signes opposés. Les racines du trinôme sont $q = 10$ et $q = 45$. Le trinôme est du signe de -2 (donc négatif) à l'extérieur des racines, et du signe opposé (donc positif) entre les racines. Donc, $B(q) > 0$ lorsque $10 < q < 45$. La production est rentable pour un nombre d'articles compris entre 10 et 45.

Correction :

1. Le prix de vente est de 30000 euros la tonne, soit 30 milliers d'euros. La recette pour $x$ tonnes est donc :

$g(x) = 30x$

2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : $B(x) = g(x) - f(x)$.

$B(x) = 30x - (x^3 - 12x^2 + 50x) = 30x - x^3 + 12x^2 - 50x = -x^3 + 12x^2 - 20x$

3. On développe :

$(x - 2)(x - 10) = x^2 - 10x - 2x + 20 = x^2 - 12x + 20$

4. On veut résoudre $B(x) \ge 0$, c'est-à-dire $-x^3 + 12x^2 - 20x \ge 0$. On factorise par $-x$ :

$-x(x^2 - 12x + 20) \ge 0$

On reconnaît l'expression développée à la question précédente :

$-x(x - 2)(x - 10) \ge 0$

Pour résoudre cette inéquation, on construit un tableau de signes :

On cherche les intervalles où le produit est positif ou nul. Les solutions sont donc $x \in [0; 2] \cup [10; +\infty[$. Cependant, le contexte limite $x$ à l'intervalle $[0; 11]$. Donc, la solution finale est $x \in [0; 2] \cup [10; 11]$.

5. L'entreprise réalise un bénéfice (ou est à l'équilibre) lorsqu'elle produit entre 0 et 2 tonnes de produit, ou entre 10 et 11 tonnes de produit.

Correction :

1. Vérification de l'égalité :

Calculons $f(x) - g(x)$ :

$f(x) - g(x) = x^2 - (2x + 1) = x^2 - 2x - 1$.

Développons $(x-1)^2 - 2$ :

$(x-1)^2 - 2 = (x^2 - 2x + 1) - 2 = x^2 - 2x - 1$.

Conclusion : On a bien $f(x) - g(x) = (x - 1)^2 - 2$ pour tout réel $x$.

2. Résolution de l'inéquation $f(x) \le g(x)$ :

Résoudre $f(x) \le g(x)$ est équivalent à résoudre $f(x) - g(x) \le 0$. On utilise l'expression de la question 1 :

$(x - 1)^2 - 2 \le 0$

On reconnaît une identité remarquable : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, avec $a = (x - 1)$ et $b = \sqrt{2}$.

$(x - 1)^2 - (\sqrt{2})^2 \le 0$

$(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2}) \le 0$

On réalise un tableau de signes pour déterminer le signe du produit :

On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression est négative ou nulle (inférieure ou égale à 0). D'après le tableau de signes, la solution est l'intervalle :

$x \in [1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}]$.

On note $S = [1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}] $

Correction :

1. Les deux disques ont le même rayon. La somme de leurs diamètres est égale à la largeur du rectangle, qui est $x$. Donc, le diamètre de chaque disque est $x/2$, et le rayon de chaque disque est $(x/2) / 2 = x/4$.

L'aire d'un disque est $\pi \times rayon^2$. L'aire des deux disques (aire rose) est donc :

$2 \times \pi \times (x/4)^2 = 2\pi \times (x^2/16) = \pi x^2/8$

L'aire du rectangle est longueur $\times$ largeur = $4 \times x = 4x$.

L'aire bleue est la différence entre l'aire du rectangle et l'aire des deux disques :

$Aire(bleue) = 4x - \pi x^2/8$

On veut que l'aire bleue soit supérieure à l'aire rose. On a donc l'inéquation :

$4x - \pi x^2/8 > \pi x^2/8$

$4x > \pi x^2/4$

On divise par 2 chaque membre de l'inégalité :

$2x > \pi x^2/8$

On soustrait $2x$ de chaque membre, on obtient :

$0 > \pi x^2/8 - 2x$

Ce qui équivaut bien à $(\pi/8)x^2 - 2x < 0$.

2. On a l'inéquation $(\pi/8)x^2 - 2x < 0$. On factorise par $x$ :

$x((\pi/8)x - 2) < 0$

Les racines de ce trinôme sont $x = 0$ et $x = 16/\pi$ (car $(\pi/8)x - 2 = 0 \Leftrightarrow (\pi/8)x = 2 \Leftrightarrow x = 16/\pi$).

Le coefficient dominant (devant $x^2$) est $\pi/8$, qui est positif. Le trinôme est donc négatif entre les racines. La solution de l'inéquation est donc l'intervalle ouvert $]0; 16/\pi[$. Or $x$ est compris entre 0 et 8 (inclus). On prend donc l'intersection entre $[0,8]$ et $]0; 16/\pi[$. Comme $16/\pi \approx 5.09 < 8$, l'intersection est $[0; 16/\pi[$.

Correction :

a) La longueur $AD$, notée $x$, est une partie du segment $[AB]$. Elle est donc positive ou nulle, et inférieure ou égale à la longueur de $[AB]$, qui est de 6 cm. Les valeurs possibles de $x$ sont donc comprises dans l'intervalle $[0; 6]$.

b) Pour exprimer $DE$ en fonction de $x$, on utilise le théorème de Thalès dans le triangle ABC. Les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont parallèles (car ADEF est un rectangle). On a donc les rapports égaux suivants :

$\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}$

On connaît $BA = 6$, $AC = 8$, et $BD = BA - AD = 6 - x$. On remplace dans l'égalité :

$\frac{6 - x}{6} = \frac{DE}{8}$

On isole $DE$ en multipliant les deux membres par 8 :

$DE = 8 \times \frac{6 - x}{6} = \frac{48 - 8x}{6} = 8 - \frac{4}{3}x$

On peut simplifier la fraction 8/6 en 4/3, mais on peut également laisser $DE$ sous la forme $\frac{8(6-x)}{6}$.

c) L'aire du rectangle ADEF est donnée par le produit de ses côtés adjacents, $AD$ et $DE$ :

$Aire(ADEF) = AD \times DE = x \times (8 - \frac{4}{3}x) = 8x - \frac{4}{3}x^2$

d) Pour déterminer la valeur de $x$ qui maximise l'aire, on peut utiliser la calculatrice graphique en traçant la courbe de la fonction $A(x) = 8x - \frac{4}{3}x^2$. On cherche alors l'abscisse du sommet de la parabole. On peut aussi utiliser le fait que l'abscisse du sommet d'une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ est donnée par $-b/(2a)$. Ici, $a = -4/3$ et $b = 8$, donc l'abscisse du sommet est $-8 / (2 \times (-4/3)) = -8 / (-8/3) = 3$. L'aire est donc maximale pour $x = 3$.

e) Les dimensions du triangle ABC influencent directement les coefficients de la fonction quadratique qui représente l'aire du rectangle. Le rapport $AC/AB$ (8/6 = 4/3 dans cet exercice) apparaît dans l'expression de $DE$ en fonction de $x$, et donc dans l'expression de l'aire. Ce rapport détermine la "forme" de la parabole représentant l'aire, et donc la position de son sommet, qui correspond à l'aire maximale.

Correction :

a) Le poste de secours est situé entre les bouées A et B. La distance $x$ entre la bouée A et le poste de secours est donc comprise entre 0 (poste de secours confondu avec A) et 20 mètres (poste de secours confondu avec B). Les valeurs possibles de $x$ sont donc dans l'intervalle $[0; 20]$.

b) Soit S la position du poste de secours. Le baigneur en difficulté est en un point N. On note P la projection orthogonale de N sur la plage. On a donc un triangle SPN rectangle en P. On sait que $AP = 8$m et $PN = 4$m.

La distance parcourue par le sauveteur sur la plage est $AS = x$.

La distance parcourue par le sauveteur à la nage est $SN$. On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle SPN :

$SN^2 = SP^2 + PN^2$. $SP = |AP - AS| = |8 - x|$. Donc $SN^2= (8 - x)^2 + 4^2 = x^2 - 16x + 64 + 16 = x^2 - 16x + 80$.

$SN = \sqrt{x^2 - 16x + 80}$

Soit $v$ la vitesse de course du sauveteur sur la plage. Sa vitesse de nage est $v/2$.

Le temps total $T(x)$ est la somme du temps de course sur la plage et du temps de nage :

$T(x) = \frac{distance \ plage}{vitesse \ course} + \frac{distance \ nage}{vitesse \ nage}$

$T(x) = \frac{x}{v} + \frac{\sqrt{x^2 - 16x + 80}}{v/2} = \frac{x + 2\sqrt{x^2 - 16x + 80}}{v}$

c) Pour trouver la valeur de $x$ qui minimise le temps, on trace la courbe de la fonction $T(x)$ à la calculatrice. On peut omettre le facteur $1/v$ car il ne change pas la position du minimum, seulement l'ordonnée. On cherche l'abscisse du minimum de la courbe. Graphiquement, on trouve que le minimum est atteint pour $x \approx 5.33$ mètres.

d) La position du baigneur en détresse influence directement les distances à parcourir par le sauveteur, à la fois sur la plage et à la nage. Ces distances interviennent dans l'expression du temps total $T(x)$. Modifier la position du baigneur revient à modifier les coefficients dans cette expression, ce qui déplace la position du minimum de la fonction $T(x)$, et donc la position optimale du poste de secours.

Correction :

1. Pour calculer l'aire du carré MNPQ, on peut soustraire l'aire des quatre triangles rectangles (AMQ, BNM, CPN, et DQP) de l'aire du grand carré ABCD.

L'aire du carré ABCD est $20 \times 20 = 400 \text{ cm}^2$.

Les quatre triangles sont superposables (égaux). Considérons le triangle AMQ. Il est rectangle en A. $AM = x$ et $AQ = AB - QB = 20 - x$.

L'aire du triangle AMQ est donc $\frac{1}{2} \times AM \times AQ = \frac{1}{2} \times x \times (20 - x) = \frac{1}{2}(20x - x^2) = 10x - \frac{1}{2}x^2$.

L'aire des quatre triangles est donc $4 \times (10x - \frac{1}{2}x^2) = 40x - 2x^2$.

L'aire du carré MNPQ, $g(x)$, est donc : $g(x) = Aire(ABCD) - 4 \times Aire(AMQ) = 400 - (40x - 2x^2) = 2x^2 - 40x + 400$.

2. On veut montrer que $g(x) > 272$ équivaut à $2x^2 - 40x + 128 > 0$.

$g(x) > 272 \Leftrightarrow 2x^2 - 40x + 400 > 272 \Leftrightarrow 2x^2 - 40x + 400 - 272 > 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 40x + 128 > 0$.

3. On trace la courbe de $f(x) = 2x^2 - 40x + 128$ à la calculatrice. On observe une parabole tournée vers le haut (car le coefficient devant $x^2$ est positif). On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (car on veut $f(x) > 0$). On voit que la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, et qu'elle est au-dessus de l'axe des abscisses à l'extérieur de ces deux points. On conjecture que ces points sont $x=4$ et $x=16$. Les solutions seraient donc $x$ dans l'intervalle $[0, 4[$ et $]16, 20]$.

4. (a) On développe l'expression factorisée : $2(x - 4)(x - 16) = 2(x^2 - 16x - 4x + 64) = 2(x^2 - 20x + 64) = 2x^2 - 40x + 128 = f(x)$.

(b) Pour étudier le signe de $f(x) = 2(x - 4)(x - 16)$, on construit un tableau de signes :

Le trinome est positif à l'extérieur des racines et négatifs entre les racines.

(c) On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) > 0$. D'après le tableau de signes, ce sont les valeurs de $x$ telles que $x < 4$ ou $x > 16$. De plus, on sait que $0 \le x \le 20$. Donc, les solutions du problème sont $x \in [0; 4[ \cup ]16; 20]$.

Correction :

1. Le triangle AED est rectangle en A. L'aire d'un triangle rectangle est donnée par (base * hauteur) / 2. Ici, on peut prendre AD comme base et AE comme hauteur (ou vice-versa).

On a $AD = x$ (car ABCD est un carré de côté $x$).

On a $AE = AB - EB = x - 6$ (car E est sur [AB] et $EB = 6$).

Donc, $Aire(AED) = \frac{AD \times AE}{2} = \frac{x(x - 6)}{2} = \frac{x^2 - 6x}{2} = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

2. L'aire du carré ABCD est $x^2$.

Le triple de l'aire du triangle AED est $3 \times Aire(AED) = 3 \times (\frac{1}{2}x^2 - 3x) = \frac{3}{2}x^2 - 9x$.

On cherche à savoir si l'on peut trouver $x$ tel que $Aire(ABCD) > 3 \times Aire(AED)$, c'est-à-dire :

$x^2 > \frac{3}{2}x^2 - 9x$

On passe tout du même côté :

$x^2 - \frac{3}{2}x^2 + 9x > 0$

$-\frac{1}{2}x^2 + 9x > 0$

On factorise par $x$ :

$x(-\frac{1}{2}x + 9) > 0$

On a un produit de deux facteurs. On étudie le signe de chaque facteur :

- $x$ est positif ou nul car $x>6$ (donné dans l'énoncé).

-$-\frac{1}{2}x + 9 = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x = -9 \Leftrightarrow x = 18$.

On fait un tableau de signes (en se rappelant que $x>6$):

On veut que le produit $x(-\frac{1}{2}x + 9)$ soit strictement positif. D'après le tableau de signes, cela se produit lorsque $6 < x < 18$.

Conclusion : Oui, on peut trouver des valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du carré est strictement supérieure au triple de l'aire du triangle. Ces valeurs sont celles comprises dans l'intervalle $]6; 18[$.