Résoudre un système d'équations

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y &=& 8 & (1) \\ 3x - y &=& 3 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), nous pouvons exprimer $y$ en fonction de $x$: $$-y = 3 - 3x$$ $$y = 3x - 3 \quad (3)$$ Substituons l'expression de $y$ donnée par (3) dans l'équation (1): $$x + 2(3x - 3) = 8$$ $$x + 6x - 6 = 8$$ $$7x = 8 + 6$$ $$7x = 14$$ $$x = \frac{14}{7} = 2$$ Maintenant, substituons $x = 2$ dans l'équation (3) pour trouver $y$: $$y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, 3)$.

b) Système 2 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y &=& 7 & (1) \\ x - y &=& -1 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (2x + y) + (x - y) = 7 + (-1)$$ $$3x = 6$$ $$x = \frac{6}{3} = 2$$ Substituons $x = 2$ dans l'équation (1) pour trouver $y$: $$2(2) + y = 7$$ $$4 + y = 7$$ $$y = 7 - 4 = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, 3)$.

c) Système 3 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x - 3y &=& 6 & (1) \\ 2x + 3y &=& 12 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (4x - 3y) + (2x + 3y) = 6 + 12$$ $$6x = 18$$ $$x = \frac{18}{6} = 3$$ Substituons $x = 3$ dans l'équation (2) pour trouver $y$: $$2(3) + 3y = 12$$ $$6 + 3y = 12$$ $$3y = 12 - 6$$ $$3y = 6$$ $$y = \frac{6}{3} = 2$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (3, 2)$.

d) Système 4 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 10 & (1) \\ x - 2y &=& -2 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (1), nous exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 10 - y \quad (3)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (3) dans l'équation (2): $$(10 - y) - 2y = -2$$ $$10 - 3y = -2$$ $$-3y = -2 - 10$$ $$-3y = -12$$ $$y = \frac{-12}{-3} = 4$$ Maintenant, substituons $y = 4$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x = 10 - 4 = 6$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (6, 4)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ (2 ; 3) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ (2 ; 3) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ (3 ; 2) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ (6 ; 4) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - y &=& 4 & (1) \\ 2x + 3y &=& -3 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (1), nous exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 4 + y \quad (3)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (3) dans l'équation (2): $$2(4 + y) + 3y = -3$$ $$8 + 2y + 3y = -3$$ $$5y = -3 - 8$$ $$5y = -11$$ $$y = \frac{-11}{5}$$ Maintenant, substituons $y = -\frac{11}{5}$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x = 4 + \left(-\frac{11}{5}\right) = \frac{20}{5} - \frac{11}{5} = \frac{9}{5}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{9}{5} ; -\frac{11}{5}\right)$.

b) Système 2 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -x + 2y &=& 5 & (1) \\ 3x + y &=& 6 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (2) par -2 : $$-2 \times (2) \Rightarrow -2 \times (3x + y) = -2 \times 6$$ $$-6x - 2y = -12 \quad (3)$$ Additionnons l'équation (1) et (3) membre à membre : $$(1) + (3) \Rightarrow (-x + 2y) + (-6x - 2y) = 5 + (-12)$$ $$-7x = -7$$ $$x = \frac{-7}{-7} = 1$$ Substituons $x = 1$ dans l'équation (2) pour trouver $y$: $$3(1) + y = 6$$ $$3 + y = 6$$ $$y = 6 - 3 = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (1, 3)$.

c) Système 3 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -2x - y &=& -8 & (1) \\ x - 2y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), nous exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 1 + 2y \quad (3)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (3) dans l'équation (1): $$-2(1 + 2y) - y = -8$$ $$-2 - 4y - y = -8$$ $$-5y = -8 + 2$$ $$-5y = -6$$ $$y = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5}$$ Maintenant, substituons $y = \frac{6}{5}$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x = 1 + 2\left(\frac{6}{5}\right) = \frac{5}{5} + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{17}{5} ; \frac{6}{5}\right)$.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -3x + 2y &=& 7 & (1) \\ 2x - y &=& -5 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (2) par 2 : $$2 \times (2) \Rightarrow 2 \times (2x - y) = 2 \times (-5)$$ $$4x - 2y = -10 \quad (3)$$ Additionnons l'équation (1) et (3) membre à membre : $$(1) + (3) \Rightarrow (-3x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + (-10)$$ $$x = -3$$ Substituons $x = -3$ dans l'équation (2) pour trouver $y$: $$2(-3) - y = -5$$ $$-6 - y = -5$$ $$-y = -5 + 6$$ $$-y = 1$$ $$y = -1$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (-3, -1)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ \left(\frac{9}{5} ; -\frac{11}{5}\right) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ (1 ; 3) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ \left(\frac{17}{5} ; \frac{6}{5}\right) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ (-3 ; -1) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 5x + 2y &=& 16 & (1) \\ 3x - 2y &=& 0 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (5x + 2y) + (3x - 2y) = 16 + 0$$ $$8x = 16$$ $$x = \frac{16}{8} = 2$$ Substituons $x = 2$ dans l'équation (2) pour trouver $y$: $$3(2) - 2y = 0$$ $$6 - 2y = 0$$ $$-2y = -6$$ $$y = \frac{-6}{-2} = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, 3)$, qui est bien composé d'entiers.

b) Système 2 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - 4y &=& -11 & (1) \\ 2x + y &=& 5 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), nous exprimons $y$ en fonction de $x$: $$y = 5 - 2x \quad (3)$$ Substituons l'expression de $y$ donnée par (3) dans l'équation (1): $$x - 4(5 - 2x) = -11$$ $$x - 20 + 8x = -11$$ $$9x = -11 + 20$$ $$9x = 9$$ $$x = \frac{9}{9} = 1$$ Maintenant, substituons $x = 1$ dans l'équation (3) pour trouver $y$: $$y = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (1, 3)$, qui est bien composé d'entiers.

c) Système 3 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x + 5y &=& 21 & (1) \\ x + y &=& 5 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), nous exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 5 - y \quad (3)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (3) dans l'équation (1): $$3(5 - y) + 5y = 21$$ $$15 - 3y + 5y = 21$$ $$2y = 21 - 15$$ $$2y = 6$$ $$y = \frac{6}{2} = 3$$ Maintenant, substituons $y = 3$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x = 5 - 3 = 2$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, 3)$, qui est bien composé d'entiers.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x - y &=& 14 & (1) \\ x + 3y &=& -3 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (1) par 3 : $$3 \times (1) \Rightarrow 3 \times (4x - y) = 3 \times 14$$ $$12x - 3y = 42 \quad (3)$$ Additionnons l'équation (2) et (3) membre à membre : $$(2) + (3) \Rightarrow (x + 3y) + (12x - 3y) = -3 + 42$$ $$13x = 39$$ $$x = \frac{39}{13} = 3$$ Substituons $x = 3$ dans l'équation (2) pour trouver $y$: $$3 + 3y = -3$$ $$3y = -3 - 3$$ $$3y = -6$$ $$y = \frac{-6}{3} = -2$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (3, -2)$, qui est bien composé d'entiers.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ (2 ; 3) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ (1 ; 3) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ (2 ; 3) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ (3 ; -2) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y &=& 2x + 1 & (1) \\ 3x + y &=& 11 & (2) \end{array} \right. $$ L'équation (1) donne directement l'expression de $y$ en fonction de $x$. Substituons cette expression dans l'équation (2): $$3x + (2x + 1) = 11$$ $$5x + 1 = 11$$ $$5x = 11 - 1$$ $$5x = 10$$ $$x = \frac{10}{5} = 2$$ Maintenant, substituons $x = 2$ dans l'équation (1) pour trouver $y$: $$y = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, 5)$.

b) Système 2 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 3 - y & (1) \\ 2x - y &=& 4 & (2) \end{array} \right. $$ L'équation (1) donne directement l'expression de $x$ en fonction de $y$. Substituons cette expression dans l'équation (2): $$2(3 - y) - y = 4$$ $$6 - 2y - y = 4$$ $$6 - 3y = 4$$ $$-3y = 4 - 6$$ $$-3y = -2$$ $$y = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$$ Maintenant, substituons $y = \frac{2}{3}$ dans l'équation (1) pour trouver $x$: $$x = 3 - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{7}{3} ; \frac{2}{3}\right)$.

c) Système 3 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y &=& -x + 5 & (1) \\ 4x - 2y &=& 2 & (2) \end{array} \right. $$ L'équation (1) donne directement l'expression de $y$ en fonction de $x$. Substituons cette expression dans l'équation (2): $$4x - 2(-x + 5) = 2$$ $$4x + 2x - 10 = 2$$ $$6x - 10 = 2$$ $$6x = 2 + 10$$ $$6x = 12$$ $$x = \frac{12}{6} = 2$$ Maintenant, substituons $x = 2$ dans l'équation (1) pour trouver $y$: $$y = -2 + 5 = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, 3)$.

d) Système 4 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 2y - 3 & (1) \\ x + 5y &=& 11 & (2) \end{array} \right. $$ L'équation (1) donne directement l'expression de $x$ en fonction de $y$. Substituons cette expression dans l'équation (2): $$(2y - 3) + 5y = 11$$ $$7y - 3 = 11$$ $$7y = 11 + 3$$ $$7y = 14$$ $$y = \frac{14}{7} = 2$$ Maintenant, substituons $y = 2$ dans l'équation (1) pour trouver $x$: $$x = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (1, 2)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ (2 ; 5) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ \left(\frac{7}{3} ; \frac{2}{3}\right) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ (2 ; 3) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ (1 ; 2) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 7 & (1) \\ x - y &=& 3 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (x + y) + (x - y) = 7 + 3$$ $$2x = 10$$ $$x = \frac{10}{2} = 5$$ Substituons $x = 5$ dans l'équation (1) pour trouver $y$: $$5 + y = 7$$ $$y = 7 - 5 = 2$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (5, 2)$.

b) Système 2 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y &=& 9 & (1) \\ -2x + 3y &=& -1 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $x$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (2x + y) + (-2x + 3y) = 9 + (-1)$$ $$4y = 8$$ $$y = \frac{8}{4} = 2$$ Substituons $y = 2$ dans l'équation (1) pour trouver $x$: $$2x + 2 = 9$$ $$2x = 9 - 2$$ $$2x = 7$$ $$x = \frac{7}{2}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{7}{2} ; 2\right)$.

c) Système 3 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - 2y &=& 5 & (1) \\ -3x + y &=& -4 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $x$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (3x - 2y) + (-3x + y) = 5 + (-4)$$ $$-y = 1$$ $$y = -1$$ Substituons $y = -1$ dans l'équation (2) pour trouver $x$: $$-3x + (-1) = -4$$ $$-3x = -4 + 1$$ $$-3x = -3$$ $$x = \frac{-3}{-3} = 1$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (1, -1)$.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x + 3y &=& 17 & (1) \\ -x - 3y &=& -8 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(1) + (2) \Rightarrow (4x + 3y) + (-x - 3y) = 17 + (-8)$$ $$3x = 9$$ $$x = \frac{9}{3} = 3$$ Substituons $x = 3$ dans l'équation (2) pour trouver $y$: $$-3 - 3y = -8$$ $$-3y = -8 + 3$$ $$-3y = -5$$ $$y = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(3, \frac{5}{3}\right)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ (5 ; 2) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ \left(\frac{7}{2} ; 2\right) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ (1 ; -1) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ \left(3, \frac{5}{3}\right) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + 3y &=& 8 & (1) \\ x - y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), nous exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 1 + y \quad (3)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (3) dans l'équation (1): $$2(1 + y) + 3y = 8$$ $$2 + 2y + 3y = 8$$ $$5y = 8 - 2$$ $$5y = 6$$ $$y = \frac{6}{5}$$ Maintenant, substituons $y = \frac{6}{5}$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x = 1 + \frac{6}{5} = \frac{5}{5} + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{11}{5} ; \frac{6}{5}\right)$.

b) Système 2 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - y &=& 10 & (1) \\ 2x + 2y &=& 4 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (1) par 2 : $$2 \times (1) \Rightarrow 2 \times (3x - y) = 2 \times 10$$ $$6x - 2y = 20 \quad (3)$$ Additionnons l'équation (2) et (3) membre à membre : $$(2) + (3) \Rightarrow (2x + 2y) + (6x - 2y) = 4 + 20$$ $$8x = 24$$ $$x = \frac{24}{8} = 3$$ Substituons $x = 3$ dans l'équation (1) pour trouver $y$: $$3(3) - y = 10$$ $$9 - y = 10$$ $$-y = 10 - 9$$ $$-y = 1$$ $$y = -1$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (3, -1)$.

c) Système 3 : Méthode par substitution

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 5x - 3y &=& 16 & (1) \\ x + 2y &=& -2 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), nous exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = -2 - 2y \quad (3)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (3) dans l'équation (1): $$5(-2 - 2y) - 3y = 16$$ $$-10 - 10y - 3y = 16$$ $$-13y = 16 + 10$$ $$-13y = 26$$ $$y = \frac{26}{-13} = -2$$ Maintenant, substituons $y = -2$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x = -2 - 2(-2) = -2 + 4 = 2$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (2, -2)$.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -x + 4y &=& 9 & (1) \\ 2x - 3y &=& -5 & (2) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $x$, nous multiplions l'équation (1) par 2 : $$2 \times (1) \Rightarrow 2 \times (-x + 4y) = 2 \times 9$$ $$-2x + 8y = 18 \quad (3)$$ Additionnons l'équation (2) et (3) membre à membre : $$(2) + (3) \Rightarrow (2x - 3y) + (-2x + 8y) = -5 + 18$$ $$5y = 13$$ $$y = \frac{13}{5}$$ Substituons $y = \frac{13}{5}$ dans l'équation (1) pour trouver $x$: $$-x + 4\left(\frac{13}{5}\right) = 9$$ $$-x + \frac{52}{5} = 9$$ $$-x = 9 - \frac{52}{5} = \frac{45}{5} - \frac{52}{5} = -\frac{7}{5}$$ $$x = \frac{7}{5}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{7}{5} ; \frac{13}{5}\right)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ \left(\frac{11}{5} ; \frac{6}{5}\right) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ (3 ; -1) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ (2 ; -2) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ \left(\frac{7}{5} ; \frac{13}{5}\right) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 0.5x + y &=& 3 & (1) \\ x - 0.2y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 2 et l'équation (2) par 5 pour éliminer les décimaux : $$2 \times (1) \Rightarrow x + 2y = 6 \quad (3)$$ $$5 \times (2) \Rightarrow 5x - y = 5 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y &=& 6 & (3) \\ 5x - y &=& 5 & (4) \end{array} \right. $$ De l'équation (3), exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 6 - 2y \quad (5)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (5) dans l'équation (4): $$5(6 - 2y) - y = 5$$ $$30 - 10y - y = 5$$ $$-11y = 5 - 30$$ $$-11y = -25$$ $$y = \frac{-25}{-11} = \frac{25}{11}$$ Maintenant, substituons $y = \frac{25}{11}$ dans l'équation (5) pour trouver $x$: $$x = 6 - 2\left(\frac{25}{11}\right) = \frac{66}{11} - \frac{50}{11} = \frac{16}{11}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{16}{11} ; \frac{25}{11}\right)$.

b) Système 2 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 1.2x - 0.3y &=& 3 & (1) \\ 0.4x + 0.3y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) et l'équation (2) par 10 pour éliminer les décimaux : $$10 \times (1) \Rightarrow 12x - 3y = 30 \quad (3)$$ $$10 \times (2) \Rightarrow 4x + 3y = 10 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 12x - 3y &=& 30 & (3) \\ 4x + 3y &=& 10 & (4) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(3) + (4) \Rightarrow (12x - 3y) + (4x + 3y) = 30 + 10$$ $$16x = 40$$ $$x = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$$ Substituons $x = \frac{5}{2}$ dans l'équation (4) pour trouver $y$: $$4\left(\frac{5}{2}\right) + 3y = 10$$ $$10 + 3y = 10$$ $$3y = 10 - 10$$ $$3y = 0$$ $$y = 0$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{5}{2} ; 0\right)$.

c) Système 3 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 0.1x - 0.5y &=& -2.3 & (1) \\ 0.3x + 0.2y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) et l'équation (2) par 10 pour éliminer les décimaux : $$10 \times (1) \Rightarrow x - 5y = -23 \quad (3)$$ $$10 \times (2) \Rightarrow 3x + 2y = 10 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x - 5y &=& -23 & (3) \\ 3x + 2y &=& 10 & (4) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $x$, nous multiplions l'équation (3) par -3 : $$-3 \times (3) \Rightarrow -3x + 15y = 69 \quad (5)$$ Additionnons l'équation (4) et (5) membre à membre : $$(4) + (5) \Rightarrow (3x + 2y) + (-3x + 15y) = 10 + 69$$ $$17y = 79$$ $$y = \frac{79}{17}$$ Substituons $y = \frac{79}{17}$ dans l'équation (3) pour trouver $x$: $$x - 5\left(\frac{79}{17}\right) = -23$$ $$x = -23 + \frac{395}{17} = \frac{-391}{17} + \frac{395}{17} = \frac{4}{17}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{4}{17} ; \frac{79}{17}\right)$.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2.5x + 1.5y &=& 1 & (1) \\ 0.5x - 0.5y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) et l'équation (2) par 10 pour éliminer les décimaux : $$10 \times (1) \Rightarrow 25x + 15y = 10 \quad (3)$$ $$10 \times (2) \Rightarrow 5x - 5y = 10 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 25x + 15y &=& 10 & (3) \\ 5x - 5y &=& 10 & (4) \end{array} \right. $$ Divisons l'équation (3) par 5 et l'équation (4) par 5 pour simplifier les coefficients : $$\frac{(3)}{5} \Rightarrow 5x + 3y = 2 \quad (5)$$ $$\frac{(4)}{5} \Rightarrow x - y = 2 \quad (6)$$ Nous avons le système équivalent plus simple : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 5x + 3y &=& 2 & (5) \\ x - y &=& 2 & (6) \end{array} \right. $$ De l'équation (6), exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 2 + y \quad (7)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (7) dans l'équation (5): $$5(2 + y) + 3y = 2$$ $$10 + 5y + 3y = 2$$ $$8y = 2 - 10$$ $$8y = -8$$ $$y = \frac{-8}{8} = -1$$ Maintenant, substituons $y = -1$ dans l'équation (7) pour trouver $x$: $$x = 2 + (-1) = 1$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (1, -1)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ \left(\frac{16}{11} ; \frac{25}{11}\right) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ \left(\frac{5}{2} ; 0\right) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ \left(\frac{4}{17} ; \frac{79}{17}\right) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ (1 ; -1) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}x + y &=& 4 & (1) \\ x - \frac{1}{3}y &=& 2 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 2 et l'équation (2) par 3 pour éliminer les fractions : $$2 \times (1) \Rightarrow x + 2y = 8 \quad (3)$$ $$3 \times (2) \Rightarrow 3x - y = 6 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y &=& 8 & (3) \\ 3x - y &=& 6 & (4) \end{array} \right. $$ De l'équation (3), exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 8 - 2y \quad (5)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (5) dans l'équation (4): $$3(8 - 2y) - y = 6$$ $$24 - 6y - y = 6$$ $$-7y = 6 - 24$$ $$-7y = -18$$ $$y = \frac{-18}{-7} = \frac{18}{7}$$ Maintenant, substituons $y = \frac{18}{7}$ dans l'équation (5) pour trouver $x$: $$x = 8 - 2\left(\frac{18}{7}\right) = \frac{56}{7} - \frac{36}{7} = \frac{20}{7}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{20}{7} ; \frac{18}{7}\right)$.

b) Système 2 : Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y &=& 1 & (1) \\ x + y &=& 5 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 6 pour éliminer les fractions : $$6 \times (1) \Rightarrow 4x - 3y = 6 \quad (3)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x - 3y &=& 6 & (3) \\ x + y &=& 5 & (2) \end{array} \right. $$ De l'équation (2), exprimons $x$ en fonction de $y$: $$x = 5 - y \quad (4)$$ Substituons l'expression de $x$ donnée par (4) dans l'équation (3): $$4(5 - y) - 3y = 6$$ $$20 - 4y - 3y = 6$$ $$-7y = 6 - 20$$ $$-7y = -14$$ $$y = \frac{-14}{-7} = 2$$ Maintenant, substituons $y = 2$ dans l'équation (4) pour trouver $x$: $$x = 5 - 2 = 3$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (3, 2)$.

c) Système 3 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y &=& 2 & (1) \\ \frac{1}{2}x - y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 4 et l'équation (2) par 2 pour éliminer les fractions : $$4 \times (1) \Rightarrow x + 2y = 8 \quad (3)$$ $$2 \times (2) \Rightarrow x - 2y = 2 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y &=& 8 & (3) \\ x - 2y &=& 2 & (4) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(3) + (4) \Rightarrow (x + 2y) + (x - 2y) = 8 + 2$$ $$2x = 10$$ $$x = \frac{10}{2} = 5$$ Substituons $x = 5$ dans l'équation (3) pour trouver $y$: $$5 + 2y = 8$$ $$2y = 8 - 5$$ $$2y = 3$$ $$y = \frac{3}{2}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(5, \frac{3}{2}\right)$.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{3}{4}x - y &=& -1 & (1) \\ x + \frac{1}{2}y &=& 4 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 4 et l'équation (2) par 2 pour éliminer les fractions : $$4 \times (1) \Rightarrow 3x - 4y = -4 \quad (3)$$ $$2 \times (2) \Rightarrow 2x + y = 8 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - 4y &=& -4 & (3) \\ 2x + y &=& 8 & (4) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (4) par 4 : $$4 \times (4) \Rightarrow 8x + 4y = 32 \quad (5)$$ Additionnons l'équation (3) et (5) membre à membre : $$(3) + (5) \Rightarrow (3x - 4y) + (8x + 4y) = -4 + 32$$ $$11x = 28$$ $$x = \frac{28}{11}$$ Substituons $x = \frac{28}{11}$ dans l'équation (4) pour trouver $y$: $$2\left(\frac{28}{11}\right) + y = 8$$ $$y = 8 - \frac{56}{11} = \frac{88}{11} - \frac{56}{11} = \frac{32}{11}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{28}{11} ; \frac{32}{11}\right)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ \left(\frac{20}{7} ; \frac{18}{7}\right) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ (3 ; 2) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ \left(5, \frac{3}{2}\right) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ \left(\frac{28}{11} ; \frac{32}{11}\right) \right\}$

Correction :

a) Système 1: Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 0.2x + \frac{1}{2}y &=& 2 & (1) \\ x - 0.5y &=& 3 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 10 et l'équation (2) par 2 pour éliminer les décimaux et les fractions: $$ 10 \times (1) \Rightarrow 2x + 5y = 20 \quad (3) $$ $$ 2 \times (2) \Rightarrow 2x - y = 6 \quad (4) $$ Nous avons le système équivalent: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + 5y &=& 20 & (3) \\ 2x - y &=& 6 & (4) \end{array} \right. $$ De l'équation (4) on exprime y en fonction de x: $$ y = 2x - 6 \quad (5) $$ On substitue (5) dans (3): $$ 2x + 5(2x - 6) = 20 $$ $$ 2x + 10x - 30 = 20 $$ $$ 12x = 50 $$ $$ x = \frac{50}{12} = \frac{25}{6} $$ On substitue la valeur de x dans (5): $$ y = 2\left(\frac{25}{6}\right) - 6 = \frac{25}{3} - 6 = \frac{25}{3} - \frac{18}{3} = \frac{7}{3} $$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left( \frac{25}{6}; \frac{7}{3} \right) $

b) Système 2: Méthode par combinaison après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{2}{5}x - 0.1y &=& 1 & (1) \\ 0.5x + \frac{1}{4}y &=& 2 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 10 et l'équation (2) par 4: $$ 10 \times (1) \Rightarrow 4x - y = 10 \quad (3) $$ $$ 4 \times (2) \Rightarrow 2x + y = 8 \quad (4) $$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x - y &=& 10 & (3) \\ 2x + y &=& 8 & (4) \end{array} \right. $$ Additionnons (3) et (4): $$ (3) + (4) \Rightarrow 6x = 18 $$ $$ x = 3 $$ Substituons x dans (4): $$ 2(3) + y = 8 $$ $$ y = 2 $$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = (3, 2)$.

c) Système 3: Méthode par combinaison après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 1.5x + \frac{1}{3}y &=& 4 & (1) \\ \frac{1}{2}x - 0.2y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions (1) par 6 et (2) par 10 $$ 6 \times (1) \Rightarrow 9x + 2y = 24 \quad (3) $$ $$ 10 \times (2) \Rightarrow 5x - 2y = 10 \quad (4) $$ Nous avons le système équivalent: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 9x + 2y &=& 24 & (3) \\ 5x - 2y &=& 10 & (4) \end{array} \right. $$ Additionnons (3) et (4) $$ (3) + (4) \Rightarrow 14x = 34 $$ $$ x = \frac{34}{14} = \frac{17}{7} $$ Substituons x dans (4): $$ 5 \times \frac{17}{7} - 2y = 10 $$ $$ \frac{85}{7} - 2y = 10 $$ $$ -2y = 10 - \frac{85}{7} = \frac{70 - 85}{7} = \frac{-15}{7} $$ $$ y = \frac{15}{14} $$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left( \frac{17}{7}; \frac{15}{14} \right) $

d) Système 4: Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 0.75x - \frac{1}{4}y &=& 2 & (1) \\ \frac{1}{2}x + 0.5y &=& 3 & (2) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (1) par 4 et l'équation (2) par 2 pour éliminer les décimaux et fractions : $$4 \times (1) \Rightarrow 3x - y = 8 \quad (3)$$ $$2 \times (2) \Rightarrow x + y = 6 \quad (4)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - y &=& 8 & (3) \\ x + y &=& 6 & (4) \end{array} \right. $$ De l'équation (4), exprimons $y$ en fonction de $x$: $$y = 6 - x \quad (5)$$ Substituons l'expression de $y$ donnée par (5) dans l'équation (3): $$3x - (6 - x) = 8$$ $$3x - 6 + x = 8$$ $$4x = 8 + 6$$ $$4x = 14$$ $$x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$$ Maintenant, substituons $x = \frac{7}{2}$ dans l'équation (5) pour trouver $y$: $$y = 6 - \frac{7}{2} = \frac{12}{2} - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{7}{2} ; \frac{5}{2}\right)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ \left(\frac{25}{6} ; \frac{7}{3}\right) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ (3 ; 2) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ \left(\frac{17}{7} ; \frac{15}{14}\right) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ \left(\frac{7}{2} ; \frac{5}{2}\right) \right\}$

Correction :

a) Système 1 : Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{2}{4}x + \frac{3}{6}y &=& 2 & (1) \\ \frac{5}{5}x - \frac{2}{2}y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Simplifions les fractions : $$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{5}{5} = 1, \quad \frac{2}{2} = 1 $$ Le système simplifié devient : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y &=& 2 & (3) \\ x - y &=& 1 & (4) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (3) par 2 pour éliminer les fractions : $$2 \times (3) \Rightarrow x + y = 4 \quad (5)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 4 & (5) \\ x - y &=& 1 & (4) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous additionnons directement les deux équations membre à membre : $$(5) + (4) \Rightarrow (x + y) + (x - y) = 4 + 1$$ $$2x = 5$$ $$x = \frac{5}{2}$$ Substituons $x = \frac{5}{2}$ dans l'équation (5) pour trouver $y$: $$\frac{5}{2} + y = 4$$ $$y = 4 - \frac{5}{2} = \frac{8}{2} - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{5}{2} ; \frac{3}{2}\right)$.

b) Système 2 : Méthode par substitution après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{10}{5}x + 0.5y &=& 5 & (1) \\ 1.5x - \frac{6}{3}y &=& -3 & (2) \end{array} \right. $$ Simplifions les fractions et décimaux : $$ \frac{10}{5} = 2, \quad 0.5 = \frac{1}{2}, \quad 1.5 = \frac{3}{2}, \quad \frac{6}{3} = 2 $$ Le système simplifié devient : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + \frac{1}{2}y &=& 5 & (3) \\ \frac{3}{2}x - 2y &=& -3 & (4) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (3) par 2 et l'équation (4) par 2 pour éliminer les fractions : $$2 \times (3) \Rightarrow 4x + y = 10 \quad (5)$$ $$2 \times (4) \Rightarrow 3x - 4y = -6 \quad (6)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x + y &=& 10 & (5) \\ 3x - 4y &=& -6 & (6) \end{array} \right. $$ De l'équation (5), exprimons $y$ en fonction de $x$: $$y = 10 - 4x \quad (7)$$ Substituons l'expression de $y$ donnée par (7) dans l'équation (6): $$3x - 4(10 - 4x) = -6$$ $$3x - 40 + 16x = -6$$ $$19x = -6 + 40$$ $$19x = 34$$ $$x = \frac{34}{19}$$ Maintenant, substituons $x = \frac{34}{19}$ dans l'équation (7) pour trouver $y$: $$y = 10 - 4\left(\frac{34}{19}\right) = \frac{190}{19} - \frac{136}{19} = \frac{54}{19}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{34}{19} ; \frac{54}{19}\right)$.

c) Système 3 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{9}{3}x - 0.25y &=& 6 & (1) \\ 0.2x + \frac{4}{2}y &=& 5 & (2) \end{array} \right. $$ Simplifions les fractions et décimaux : $$ \frac{9}{3} = 3, \quad 0.25 = \frac{1}{4}, \quad 0.2 = \frac{1}{5}, \quad \frac{4}{2} = 2 $$ Le système simplifié devient : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x - \frac{1}{4}y &=& 6 & (3) \\ \frac{1}{5}x + 2y &=& 5 & (4) \end{array} \right. $$ Multiplions l'équation (3) par 4 et l'équation (4) par 5 pour éliminer les fractions : $$4 \times (3) \Rightarrow 12x - y = 24 \quad (5)$$ $$5 \times (4) \Rightarrow x + 10y = 25 \quad (6)$$ Nous avons le système équivalent : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 12x - y &=& 24 & (5) \\ x + 10y &=& 25 & (6) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (5) par 10 : $$10 \times (5) \Rightarrow 120x - 10y = 240 \quad (7)$$ Additionnons l'équation (6) et (7) membre à membre : $$(6) + (7) \Rightarrow (x + 10y) + (120x - 10y) = 25 + 240$$ $$121x = 265$$ $$x = \frac{265}{121}$$ Substituons $x = \frac{265}{121}$ dans l'équation (6) pour trouver $y$: $$\frac{265}{121} + 10y = 25$$ $$10y = 25 - \frac{265}{121} = \frac{3025}{121} - \frac{265}{121} = \frac{2760}{121}$$ $$y = \frac{2760}{121 \times 10} = \frac{276}{121}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{265}{121} ; \frac{276}{121}\right)$.

d) Système 4 : Méthode par combinaison linéaire après simplification

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{12}{4}x + \frac{8}{2}y &=& 14 & (1) \\ \frac{6}{3}x - \frac{3}{3}y &=& 1 & (2) \end{array} \right. $$ Simplifions les fractions : $$ \frac{12}{4} = 3, \quad \frac{8}{2} = 4, \quad \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{3}{3} = 1 $$ Le système simplifié devient : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} 3x + 4y &=& 14 & (3) \\ 2x - y &=& 1 & (4) \end{array} \right. $$ Pour éliminer $y$, nous multiplions l'équation (4) par 4 : $$4 \times (4) \Rightarrow 8x - 4y = 4 \quad (5)$$ Additionnons l'équation (3) et (5) membre à membre : $$(3) + (5) \Rightarrow (3x + 4y) + (8x - 4y) = 14 + 4$$ $$11x = 18$$ $$x = \frac{18}{11}$$ Substituons $x = \frac{18}{11}$ dans l'équation (4) pour trouver $y$: $$2\left(\frac{18}{11}\right) - y = 1$$ $$\frac{36}{11} - y = 1$$ $$-y = 1 - \frac{36}{11} = \frac{11}{11} - \frac{36}{11} = -\frac{25}{11}$$ $$y = \frac{25}{11}$$ La solution du système est donc le couple $(x, y) = \left(\frac{18}{11} ; \frac{25}{11}\right)$.

Solutions :

a) $\mathscr{S}_1 = \left\{ \left(\frac{5}{2} ; \frac{3}{2}\right) \right\}$

b) $\mathscr{S}_2 = \left\{ \left(\frac{34}{19} ; \frac{54}{19}\right) \right\}$

c) $\mathscr{S}_3 = \left\{ \left(\frac{265}{121} ; \frac{276}{121}\right) \right\}$

d) $\mathscr{S}_4 = \left\{ \left(\frac{18}{11} ; \frac{25}{11}\right) \right\}$

Correction :

Soient :

$x$ le nombre de pommiers.

$y$ le nombre de poiriers.

Nous pouvons établir le système d'équations suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 & \text{(nombre total d'arbres)} \\ 150x + 120y &=& 6900 & \text{(production totale en kg)} \end{array} \right. $$

Simplifions la deuxième équation en divisant par 30:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 \\ 5x + 4y &=& 230 \end{array} \right. $$

Exprimons $x$ en fonction de $y$ à partir de la première équation: $x = 50 - y$.

Substituons cette expression dans la deuxième équation :

$$5(50 - y) + 4y = 230$$

$$250 - 5y + 4y = 230$$

$$-y = -20$$

$$y = 20$$

Substituons $y = 20$ dans l'équation $x = 50 - y$ :

$$x = 50 - 20 = 30$$

L'agriculteur a donc 30 pommiers et 20 poiriers.

Correction :

Soient :

$x$ le nombre de billets adultes.

$y$ le nombre de billets enfants.

Le système d'équations est :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 250 \\ 9x + 6y &=& 1950 \end{array} \right. $$

Exprimons $x$ en fonction de $y$: $x = 250 - y$.

Substituons dans la deuxième équation :

$$9(250 - y) + 6y = 1950$$

$$2250 - 9y + 6y = 1950$$

$$-3y = -300$$

$$y = 100$$

Substituons $y = 100$ dans $x = 250 - y$: $x = 250 - 100 = 150$.

Il y a eu 150 billets adultes et 100 billets enfants.

Correction :

Soient :

$x$ l'âge actuel de Marie.

$y$ l'âge actuel de son père.

Le système est :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 \\ y + 15 &=& 2(x + 15) \end{array} \right. $$

Simplifions la deuxième équation :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 \\ y + 15 &=& 2x + 30 \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 \\ y &=& 2x + 15 \end{array} \right. $$

Substituons la deuxième équation dans la première :

$$x + (2x + 15) = 50$$

$$3x + 15 = 50$$

$$3x = 35$$

$$x = \frac{35}{3}$$

$$y = 2\left(\frac{35}{3}\right) + 15 = \frac{70}{3} + \frac{45}{3} = \frac{115}{3}$$

Marie a $\frac{35}{3}$ ans (environ 11,67 ans), et son père a $\frac{115}{3}$ ans (environ 38,33 ans).

Correction :

Soient :

$x$ le nombre de pièces de 20 centimes.

$y$ le nombre de pièces de 50 centimes.

Le système est (attention à bien tout mettre en centimes ou en euros) :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 10 \\ 20x + 50y &=& 290 \end{array} \right. $$

Exprimons $x$ en fonction de $y$: $x= 10 - y$.

Substituons dans la deuxième équation :

$$20(10 - y) + 50y = 290$$

$$200 - 20y + 50y = 290$$

$$30y = 90$$

$$y = 3$$

Substituons $y=3$ dans $x = 10 - y$ : $x = 10 - 3 = 7$.

Il y a 7 pièces de 20 centimes et 3 pièces de 50 centimes.

Correction :

Soient:

$x$ la quantité de café Arabica (en kg).

$y$ la quantité de café Robusta (en kg).

Le système d'équations est le suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 & \text{(masse totale du mélange)}\\ 12x + 9y &=& 50 \times 10.20 & \text{(coût total du mélange)} \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 50 \\ 12x + 9y &=& 510 \end{array} \right. $$

Exprimons $x$ en fonction de $y$: $x = 50 - y$.

Substituons dans la deuxième équation :

$$12(50 - y) + 9y = 510$$

$$600 - 12y + 9y = 510$$

$$-3y = -90$$

$$y = 30$$

Substituons $y = 30$ dans $x = 50 - y$: $x = 50 - 30 = 20$.

Il faut 20 kg de café Arabica et 30 kg de café Robusta.

Correction :

Soient:

$x$ la durée de la location (en heures).

$y$ le prix à payer (en €).

Le système d'équations est :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y &=& 5 + 0.50x & \text{(Tarif A)}\\ y &=& 1x & \text{(Tarif B)} \end{array} \right. $$

Comme les deux équations sont déjà exprimées en fonction de $y$, on peut les égaliser :

$$5 + 0.50x = 1x$$

$$5 = 0.50x$$

$$x = 10$$

Substituons $x = 10$ dans l'une des équations (par exemple, la deuxième) : $y = 1 \times 10 = 10$.

Les tarifs sont équivalents pour une durée de 10 heures, et le prix à payer est alors de 10 €.

Correction :

Soient:

$x$ la longueur initiale du rectangle.

$y$ la largeur initiale du rectangle.

Le système est :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + 2y &=& 28 \\ 2(2x) + 2(3y) &=& 66 \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + 2y &=& 28 \\ 4x + 6y &=& 66 \end{array} \right. $$

Simplifions la première équation: $x + y = 14$, donc $x = 14 - y$.

Substituons dans la deuxième équation :

$$4(14 - y) + 6y = 66$$

$$56 - 4y + 6y = 66$$

$$2y = 10$$

$$y = 5$$

Substituons $y = 5$ dans $x = 14 - y$: $x = 14 - 5 = 9$.

Les dimensions initiales sont : longueur = 9 cm, largeur = 5 cm.

Correction :

Soient :

$x$ le temps (en heures) jusqu'à la rencontre.

$y$ la distance (en km) parcourue par la première voiture jusqu'à la rencontre.

La distance parcourue par la seconde voiture sera alors $480 - y$.

Le système est (distance = vitesse × temps) :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y &=& 70x \\ 480 - y &=& 90x \end{array} \right. $$

Substituons la première équation dans la deuxième :

$$480 - 70x = 90x$$

$$480 = 160x$$

$$x = 3$$

Substituons $x = 3$ dans $y = 70x$: $y = 70 \times 3 = 210$.

Elles se rencontreront après 3 heures. La rencontre aura lieu à 210 km de la ville de départ de la première voiture.

Correction :

Soient :

$x$ le nombre de poules.

$y$ le nombre de lapins.

Le système d'équations est le suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 35 &\text{(nombre de têtes)}\\ 2x + 4y &=& 94 &\text{(nombre de pattes)} \end{array} \right. $$

Exprimons $x$ en fonction de $y$ à partir de la première équation: $x = 35 - y$.

Substituons cette expression dans la deuxième équation:

$$ 2(35-y) + 4y = 94 $$

$$ 70 - 2y + 4y = 94 $$

$$ 2y = 24 $$

$$ y = 12 $$

On substitue la valeur de y dans l'équation $x = 35 - y$ :

$$ x = 35 - 12 = 23 $$

Il y a donc 23 poules et 12 lapins.

Correction :

Soient :

$x$ la masse (en g) du premier alliage (80% or).

$y$ la masse (en g) du second alliage (30% or).

Le système d'équations est :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 100 & \text{(masse totale)}\\ 0.8x + 0.3y &=& 0.6 \times 100 & \text{(masse d'or)} \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x + y &=& 100 \\ 0.8x + 0.3y &=& 60 \end{array} \right. $$

Exprimons $x$ en fonction de $y$: $x = 100 - y$.

Substituons dans la deuxième équation:

$$0.8(100 - y) + 0.3y = 60$$

$$80 - 0.8y + 0.3y = 60$$

$$-0.5y = -20$$

$$y = 40$$

Substituons $y = 40$ dans $x = 100 - y$: $x = 100 - 40 = 60$.

Il faut 60g du premier alliage et 40g du second.