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Correction :

1. Calcul des coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ :

Pour trouver les coordonnées du milieu $M$ d'un segment $[AB]$ avec $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, on utilise les formules :

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Ici, $A(2; -3)$ et $B(-4; 5)$, donc $x_A = 2$, $y_A = -3$, $x_B = -4$, $y_B = 5$.

Calcul de l'abscisse de $M$ :

$x_M = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Calcul de l'ordonnée de $M$ :

$y_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ sont donc $(-1; 1)$.

Conclusion :

$\boxed{M(-1; 1)}$

Correction :

1. Calcul de la distance $AB$ :

On utilise la formule de la distance entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ dans un repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Ici, $A(-5; 2)$ et $B(3; -4)$, donc $x_A = -5$, $y_A = 2$, $x_B = 3$, $y_B = -4$.

$AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 5)^2 + (-6)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

La valeur exacte de la distance $AB$ est $10$. La valeur approchée au centième près est également $10,00$ car c'est un nombre entier.

Correction :

1. Détermination des coordonnées du point $D$ :

Soient $C(x_C; y_C)$, $D(x_D; y_D)$ et $M(x_M; y_M)$ le milieu de $[CD]$. Les coordonnées du milieu $M$ sont données par les formules : $x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$ et $y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$.

Nous connaissons $C(-2; 3)$ et $M(1; 0)$. Nous cherchons $D(x_D; y_D)$.

Pour l'abscisse : $x_M = \frac{x_C + x_D}{2} \implies 1 = \frac{-2 + x_D}{2} \implies 2 = -2 + x_D \implies x_D = 2 + 2 = 4$.

Pour l'ordonnée : $y_M = \frac{y_C + y_D}{2} \implies 0 = \frac{3 + y_D}{2} \implies 0 = 3 + y_D \implies y_D = -3$.

Les coordonnées du point $D$ sont donc $(4; -3)$.

Correction :

Correction :

Pour démontrer que le triangle $NPQ$ est isocèle en $N$, il faut montrer que les longueurs $NP$ et $NQ$ sont égales.

Calculons $NP$ et $NQ$ en utilisant la formule de la distance dans un repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Calcul de $NP$ :

$NP = \sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2} = \sqrt{(-2-1)^2+(-1-1)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

Calcul de $NQ$ :

$NQ = \sqrt{(x_Q-x_N)^2+(y_Q-y_N)^2} = \sqrt{(3-1)^2+(-2-1)^2} = \sqrt{(2)^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

On constate que $NP = NQ = \sqrt{13}$.

Comme $NP = NQ$, le triangle $NPQ$ est bien isocèle en $N$.

Conclusion :

$\boxed{NPQ \text{ est isocèle en } N}$

Correction :

Pour démontrer que le triangle $KLM$ est rectangle en $L$, nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Il faut calculer les longueurs des trois côtés du triangle et vérifier si la relation de Pythagore est satisfaite : $KL^2 + LM^2 = MK^2$.

Calcul des longueurs :

Calcul de $KL$ :

$KL = \sqrt{(x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2} = \sqrt{(-1-(-1))^2+(4-7)^2} = \sqrt{(0)^2+(-3)^2} = \sqrt{0+9} = \sqrt{9} = 3$

Calcul de $LM$ :

$LM = \sqrt{(x_M-x_L)^2+(y_M-y_L)^2} = \sqrt{(3-(-1))^2+(4-4)^2} = \sqrt{(4)^2+(0)^2} = \sqrt{16+0} = \sqrt{16} = 4$

Calcul de $MK$ :

$MK = \sqrt{(x_K-x_M)^2+(y_K-y_M)^2} = \sqrt{(-1-3)^2+(7-4)^2} = \sqrt{(-4)^2+(3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

Vérification du théorème de Pythagore :

$KL^2 + LM^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$MK^2 = 5^2 = 25$

On constate que $KL^2 + LM^2 = MK^2 = 25$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.

Conclusion :

$\boxed{KLM \text{ est rectangle en } L}$

Correction :

Pour démontrer que le point $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $21\sqrt{10}$, il faut vérifier que la distance entre $I$ et $M$ est égale au rayon du cercle.

Calculons la distance $IM$ en utilisant la formule de la distance dans un repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Calcul de $IM$ :

$IM = \sqrt{(x_M-x_I)^2+(y_M-y_I)^2} = \sqrt{(25-4)^2+(13-(-50))^2} = \sqrt{(21)^2+(63)^2} = \sqrt{441+3969} = \sqrt{4410}$

Simplification de $\sqrt{4410}$ :

$\sqrt{4410} = \sqrt{441 \times 10} = \sqrt{21^2 \times 10} = 21\sqrt{10}$

On constate que $IM = 21\sqrt{10}$, ce qui est égal au rayon du cercle.

Comme la distance entre $I$ et $M$ est égale au rayon du cercle, le point $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $21\sqrt{10}$.

Conclusion :

$\boxed{M \text{ appartient au cercle de centre } I \text{ et de rayon } 21\sqrt{10}}$

Correction :

Voici une fonction en Python qui calcule la longueur $AB$ lorsque $A(x,y)$ et $B(u,v)$.

from math import sqrt

def distance(x, y, u, v):
  """
  Calcule la distance entre deux points A(x, y) et B(u, v) dans un repère orthonormé.

  Args:
      x (float): Abscisse du point A.
      y (float): Ordonnée du point A.
      u (float): Abscisse du point B.
      v (float): Ordonnée du point B.

  Returns:
      float: Longueur AB.
  """
  return sqrt((x - u)**2 + (y - v)**2)

# Exemple d'utilisation
x_A = 1
y_A = 2
x_B = 4
y_B = 6
longueur_AB = distance(x_A, y_A, x_B, y_B)
print(f"La longueur AB est : {longueur_AB}")
                                

Correction :

Pour déterminer la nature du triangle $EFG$, nous allons calculer les longueurs des côtés $EF$, $FG$ et $EG$ et comparer ces longueurs pour identifier si le triangle est isocèle, équilatéral, rectangle ou quelconque.

Calcul des longueurs :

Calcul de $EF$ :

$EF = \sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2} = \sqrt{(-2-3)^2+(-3-(-2))^2} = \sqrt{(-5)^2+(-1)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$

Calcul de $FG$ :

$FG = \sqrt{(x_G-x_F)^2+(y_G-y_F)^2} = \sqrt{(-3-(-2))^2+(2-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2+(5)^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$

Calcul de $EG$ :

$EG = \sqrt{(x_G-x_E)^2+(y_G-y_E)^2} = \sqrt{(-3-3)^2+(2-(-2))^2} = \sqrt{(-6)^2+(4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$

Comparaison des longueurs :

On observe que $EF = FG = \sqrt{26}$. Le triangle $EFG$ est donc isocèle en $F$.

Vérifions si le triangle est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore :

$EF^2 + FG^2 = (\sqrt{26})^2 + (\sqrt{26})^2 = 26 + 26 = 52$

$EG^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$

On constate que $EF^2 + FG^2 = EG^2 = 52$. D'après le théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.

Conclusion :

$\boxed{\text{Le triangle } EFG \text{ est isocèle rectangle en } F}$

Correction :

1. Démontrons que le triangle $ABC$ est isocèle :

Pour montrer que le triangle $ABC$ est isocèle, nous devons comparer les longueurs de ses côtés.

Calcul des longueurs :

Calcul de $AB$ :

$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = \sqrt{(6-4)^2+(-4-2)^2} = \sqrt{(2)^2+(-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Calcul de $BC$ :

$BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} = \sqrt{(0-6)^2+(-2-(-4))^2} = \sqrt{(-6)^2+(2)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Calcul de $AC$ :

$AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} = \sqrt{(0-4)^2+(-2-2)^2} = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Comparaison des longueurs :

On observe que $AB = BC = 2\sqrt{10}$. Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $B$.

Conclusion (question 1) :

$\boxed{ABC \text{ est isocèle en } B}$

2. Calcul des longueurs $AH$ et $BH$ :

Dans un triangle isocèle en $B$, la hauteur issue de $B$ est aussi la médiane issue de $B$. Donc $H$ est le milieu de $[AC]$.

Calcul de $AH$ :

Comme $H$ est le milieu de $[AC]$, $AH = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Calcul de $BH$ :

Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ (car $BH$ est la hauteur). On peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$ : $AH^2 + BH^2 = AB^2$.

$(2\sqrt{2})^2 + BH^2 = (2\sqrt{10})^2$

$8 + BH^2 = 40$

$BH^2 = 40 - 8 = 32$

$BH = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Conclusion (question 2) :

$\boxed{AH = 2\sqrt{2} \text{ et } BH = 4\sqrt{2}}$

Correction :

Pour montrer que $K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$, il faut vérifier que $K$ est équidistant des points $A$ et $B$, i.e. $AK = BK$.

Calcul des distances $AK$ et $BK$ :

Calcul de $AK$ :

$AK = \sqrt{(x_K-x_A)^2+(y_K-y_A)^2} = \sqrt{(3-4)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$

Calcul de $BK$ :

$BK = \sqrt{(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2} = \sqrt{(3-(-1))^2+(-1-0)^2} = \sqrt{(4)^2+(-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$

Comparaison des distances :

On constate que $AK = BK = \sqrt{17}$.

Comme $AK = BK$, le point $K$ est équidistant des points $A$ et $B$. Par conséquent, $K$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.

Conclusion :

$\boxed{K \text{ appartient à la médiatrice de } [AB]}$

Correction :

Le point d'intersection du segment $[RS]$ et de sa médiatrice est le milieu $M$ du segment $[RS]$.

Pour trouver les coordonnées du milieu $M$, on utilise les formules :

$x_M = \frac{x_R+x_S}{2}$ et $y_M = \frac{y_R+y_S}{2}$

Calcul de $x_M$ :

$x_M = \frac{x_R+x_S}{2} = \frac{2+(-256)}{2} = \frac{-254}{2} = -127$

Calcul de $y_M$ :

$y_M = \frac{y_R+y_S}{2} = \frac{5+(-1002)}{2} = \frac{-997}{2} = -498.5$

Les coordonnées du milieu $M$ sont donc $(-127; -498.5)$.

Conclusion :

$\boxed{M \left( -127; -\frac{997}{2} \right)}$

Correction :

Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $S$, alors $S$ est le milieu du segment $[AA']$.

Soient $A(x_A; y_A)$, $A'(x_{A'}; y_{A'})$ et $S(x_S; y_S)$. Les formules du milieu donnent :

$x_S = \frac{x_A+x_{A'}}{2}$ et $y_S = \frac{y_A+y_{A'}}{2}$

Nous connaissons $A(6;5)$ et $S(2;3)$. Nous cherchons $A'(x_{A'}; y_{A'})$.

Calcul de $x_{A'}$ :

$2 = \frac{6+x_{A'}}{2}$

$4 = 6+x_{A'}$

$x_{A'} = 4 - 6 = -2$

Calcul de $y_{A'}$ :

$3 = \frac{5+y_{A'}}{2}$

$6 = 5+y_{A'}$

$y_{A'} = 6 - 5 = 1$

Les coordonnées du point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $S$ sont $(-2; 1)$.

Conclusion :

$\boxed{A'(-2;1)}$

Correction :

Voici une fonction Python qui calcule les coordonnées du milieu $M$ d'un segment $[AB]$ lorsque les coordonnées de $A$ et $B$ sont données.

def milieu_segment(x_A, y_A, x_B, y_B):
  """
  Calcule les coordonnées du milieu M d'un segment [AB].

  Args:
      x_A (float): Abscisse du point A.
      y_A (float): Ordonnée du point A.
      x_B (float): Abscisse du point B.
      y_B (float): Ordonnée du point B.

  Returns:
      tuple: Coordonnées (x_M, y_M) du milieu M.
  """
  x_M = (x_A + x_B) / 2
  y_M = (y_A + y_B) / 2
  return (x_M, y_M)

# Exemple d'utilisation
x_A = 1
y_A = 2
x_B = 4
y_B = 6
milieu = milieu_segment(x_A, y_A, x_B, y_B)
print(f"Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées : {milieu}")
                                

Correction :

1. Calcul des coordonnées de $E$, milieu de $[AT]$ :

$x_E = \frac{x_A+x_T}{2} = \frac{0+5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

$y_E = \frac{y_A+y_T}{2} = \frac{-1+(-2)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

Donc $E(2.5; -1.5)$.

2. Utilisation du théorème de Thalès :

Dans le triangle $PAT$, la droite $(EF)$ est parallèle à $(TP)$ et passe par le milieu $E$ de $[AT]$. D'après le théorème de Thalès (ou théorème des milieux), $F$ est le milieu de $[PA]$.

3. Calcul des coordonnées de $F$, milieu de $[PA]$ :

$x_F = \frac{x_P+x_A}{2} = \frac{-2+0}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_F = \frac{y_P+y_A}{2} = \frac{4+(-1)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Donc $F(-1; 1.5)$.

Conclusion :

$\boxed{F(-1; 1.5)}$

Correction :

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Soit $M$ le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. Les coordonnées du milieu de $[AC]$ doivent être égales à celles du milieu de $[BD]$.

Calcul des coordonnées du milieu $M$ de $[AC]$ :

$x_M = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{7+107}{2} = \frac{114}{2} = 57$

Donc $M(1; 57)$.

Calcul de l'ordonnée $y_D$ en utilisant le milieu de $[BD]$ :

$y_M = \frac{y_B+y_D}{2}$

$57 = \frac{100+y_D}{2}$

$114 = 100+y_D$

$y_D = 114 - 100 = 14$

Conclusion :

$\boxed{y_D = 14}$

Correction :

1. Figure :

2. Prouvons que le triangle $ABC$ est rectangle :

Calculons les longueurs des côtés $AB$, $BC$ et $AC$.

$AB^2 = (0-6)^2 + (4-0)^2 = 36 + 16 = 52$

$BC^2 = (1-0)^2 + (-1-4)^2 = 1 + 25 = 26$

$AC^2 = (1-6)^2 + (-1-0)^2 = 25 + 1 = 26$

On observe que $BC^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52 = AB^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Conclusion (question 2) :

$\boxed{ABC \text{ est rectangle en } C}$

3. Coordonnées de $K$ et appartenance à la médiatrice de $[OC]$ :

a. Calcul des coordonnées de $K$, milieu de $[AB]$ :

$x_K = \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{6+0}{2} = 3$

$y_K = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{0+4}{2} = 2$

Donc $K(3;2)$.

b. Prouvons que $K$ appartient à la médiatrice de $[OC]$. Il faut montrer que $KO = KC$.

$KO^2 = (0-3)^2 + (0-2)^2 = 9 + 4 = 13$

$KC^2 = (1-3)^2 + (-1-2)^2 = 4 + 9 = 13$

Comme $KO^2 = KC^2 = 13$, alors $KO = KC = \sqrt{13}$. Donc $K$ est équidistant de $O$ et $C$, et appartient à la médiatrice de $[OC]$.

Conclusion (question 3) :

$\boxed{K(3;2) \text{ et } K \text{ appartient à la médiatrice de } [OC]}$

Correction :

1. Quadrilatère $MNPQ$ :

Après représentation, on conjecture que $MNPQ$ n'est pas un parallélogramme.

Calculons les milieux des diagonales $[MP]$ et $[NQ]$ :

Milieu de $[MP]$ : $I\left(\frac{-1+3}{2}; \frac{3+(-2)}{2}\right) = I\left(1; \frac{1}{2}\right)$

Milieu de $[NQ]$ : $J\left(\frac{3+(-2)}{2}; \frac{2+(-1)}{2}\right) = J\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$

Les milieux sont différents, donc $MNPQ$ n'est pas un parallélogramme.

Conclusion (question 1) :

$\boxed{MNPQ \text{ n'est pas un parallélogramme}}$

2. Quadrilatère $ABCD$ :

Après représentation, on conjecture que $ABCD$ est un parallélogramme.

Calculons les milieux des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ :

Milieu de $[AC]$ : $I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{3+(-1)}{2}\right) = I\left(2; 1\right)$

Milieu de $[BD]$ : $J\left(\frac{5+(-1)}{2}; \frac{1+1}{2}\right) = J\left(2; 1\right)$

Les milieux sont identiques, donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Conclusion (question 2) :

$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme}}$

3. Quadrilatère $EFGH$ :

Après représentation, on conjecture que $EFGH$ est un rectangle.

On démontre que $EFGH$ est un parallélogramme (milieux des diagonales coïncident) et on calcule les longueurs des diagonales :

Milieu de $[EG]$ : $I\left(\frac{3+(-4)}{2}; \frac{1+0}{2}\right) = I\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$

Milieu de $[FH]$ : $J\left(\frac{2+(-3)}{2}; \frac{3+(-2)}{2}\right) = J\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$

Les milieux sont identiques, donc $EFGH$ est un parallélogramme.

$EG^2 = (-4-3)^2 + (0-1)^2 = 49 + 1 = 50$

$FH^2 = (-3-2)^2 + (-2-3)^2 = 25 + 25 = 50$

Comme $EG^2 = FH^2$, les diagonales ont la même longueur. Donc $EFGH$ est un rectangle.

Conclusion (question 3) :

$\boxed{EFGH \text{ est un rectangle}}$

4. Quadrilatère $PQRS$ :

Après représentation, on conjecture que $PQRS$ est un losange.

On démontre que $PQRS$ est un parallélogramme (milieux des diagonales coïncident) et on calcule les longueurs de deux côtés consécutifs :

Milieu de $[PR]$ : $I\left(\frac{-3+1}{2}; \frac{4+0}{2}\right) = I\left(-1; 2\right)$

Milieu de $[QS]$ : $J\left(\frac{-2+0}{2}; \frac{1+3}{2}\right) = J\left(-1; 2\right)$

Les milieux sont identiques, donc $PQRS$ est un parallélogramme.

$PQ^2 = (-2-(-3))^2 + (1-4)^2 = 1 + 9 = 10$

$QR^2 = (1-(-2))^2 + (0-1)^2 = 9 + 1 = 10$

Comme $PQ^2 = QR^2$, deux côtés consécutifs ont la même longueur. Donc $PQRS$ est un losange.

Conclusion (question 4) :

$\boxed{PQRS \text{ est un losange}}$

5. Quadrilatère $UVWS$ :

Après représentation, on conjecture que $UVWS$ est un carré.

On démontre que $UVWS$ est un losange (milieux des diagonales coïncident et côtés consécutifs égaux) et on vérifie si c'est un rectangle (diagonales égales) :

Milieu de $[UW]$ : $I\left(\frac{1+(-1)}{2}; \frac{3+(-3)}{2}\right) = I\left(0; 0\right)$

Milieu de $[VS]$ : $J\left(\frac{3+(-3)}{2}; \frac{-1+1}{2}\right) = J\left(0; 0\right)$

Les milieux sont identiques, donc $UVWS$ est un parallélogramme.

$UV^2 = (3-1)^2 + (-1-3)^2 = 4 + 16 = 20$

$VW^2 = (-1-3)^2 + (-3-(-1))^2 = 16 + 4 = 20$

Comme $UV^2 = VW^2$, deux côtés consécutifs ont la même longueur. Donc $UVWS$ est un losange.

$UW^2 = (-1-1)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40$

$VS^2 = (-3-3)^2 + (1-(-1))^2 = 36 + 4 = 40$

Comme $UW^2 = VS^2$, les diagonales ont la même longueur. Donc $UVWS$ est un rectangle. Un losange qui est aussi un rectangle est un carré.

Conclusion (question 5) :

$\boxed{UVWS \text{ est un carré}}$

Correction :

La distance d'un point à l'axe des abscisses est la valeur absolue de son ordonnée.

Pour chaque point :

A. Point $R(5; 2)$, distance à l'axe des abscisses : $|2| = 2$.

B. Point $S(-3; -1)$, distance à l'axe des abscisses : $|-1| = 1$.

C. Point $T(0; 4)$, distance à l'axe des abscisses : $|4| = 4$.

D. Point $U(2; -0.5)$, distance à l'axe des abscisses : $|-0.5| = 0.5$.

La plus petite distance est $0.5$, qui correspond au point $U$.

Conclusion :

$\boxed{\text{Le point le plus proche de l'axe des abscisses est } D. U(2; -0.5)}$