Proportion

Correction :

Pour calculer la longueur de l'écran, il faut multiplier la largeur par la proportion donnée, qui est $\dfrac{16}{9}$.

Calculons : $\dfrac{16}{9} \times 41,4\ \mathrm{cm} = 73,6\ \mathrm{cm}$.

Correction :

Notons $x$ le prix d'une chemise. Le prix d'une cravate est de $\frac{3}{5} \times x$. Le coût total de l'achat est la somme du prix des chemises et des cravates. On peut donc écrire l'équation suivante :

$4 \times \frac{3}{5} \times x + 3 \times x = 1080$

Simplifions et résolvons cette équation :

$\frac{12}{5}x + 3x = 1080 \Leftrightarrow \frac{12x + 15x}{5} = 1080 \Leftrightarrow \frac{27}{5}x = 1080$

Pour isoler $x$, on multiplie les deux côtés par $\frac{5}{27}$:

$x = 1080 \times \frac{5}{27} = 40 \times 5 = 200$

Donc, le prix d'une chemise est $x = 200$ francs.

Le prix d'une cravate est $\frac{3}{5} \times x = \frac{3}{5} \times 200 = 3 \times 40 = 120$ francs.

Conclusion : Une chemise coûte $200$ francs et une cravate coûte $120$ francs.

Correction :

1. Complétons le tableau :

Le nombre total d'élèves interrogés est de $2 \times 24 = 48$. L'effectif total doit être de $48$. Pour trouver l'effectif manquant, il suffit de soustraire les effectifs connus du total : $48 - 6 - 24 - 3 = 15$.

Temps $t$ en $\mathrm{min}$	$0 \leqslant t <15$	$15 \leqslant t <30$	$30 \leqslant t <45$	$t \geqslant 45$
Effectif	$6$	$24$	$15$	$3$

2. Effectif d'élèves passant au moins 30 minutes :

Les élèves passant au moins $30$ minutes sont ceux des catégories $30 \leqslant t <45$ et $t \geqslant 45$. L'effectif total est $15 + 3 = 18$ élèves.

3. Pourcentage d'élèves passant au moins une demi-heure :

Pour calculer le pourcentage, on divise l'effectif par le total et on multiplie par $100$: $\frac{18}{48} \times 100 = 37,5 \%$.

Conclusion : $37,5\%$ des élèves passent au moins une demi-heure dans l'autobus.

Correction :

Pour compléter le tableau, il faut calculer les pourcentages de chaque catégorie par rapport au nombre total d'accidentés, qui est 418000.

Pourcentage de tués: $\frac{12500}{418000} \times 100 \approx 3,0 \%$.

Pourcentage de blessés légers: $\frac{321000}{418000} \times 100 \approx 76,8 \%$.

Pourcentage de blessés graves: $\frac{84500}{418000} \times 100 \approx 20,2 \%$.

	Nombre des tués	Nombre de blessés légers	Nombre de blessés graves	Nombre total d'accidentés
Effectifs	12500	321000	84500	418000
Pourcentages	$3,0\%$	$76,8\%$	$20,2\%$	$100\%$

Correction :

Pour calculer le pourcentage d'élèves qui font du ski, on divise le nombre d'élèves qui font du ski par le nombre total d'élèves dans la classe et on multiplie par $100$.

Soit $P$ le pourcentage recherché : $P = \frac{9}{35} \times 100$.

Calculons la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près : $P \approx 25,71 \%$.

Conclusion : $25,71\%$ des élèves font du ski.

Correction :

1. Pourcentage de places assises :

Le nombre total de places est la somme des places assises et debout : $9000 + 21000 = 30000$.

Pourcentage de places assises : $\frac{9000}{30000} \times 100 = 30 \%$.

2. Pourcentage de places debout :

Pourcentage de places debout : $\frac{21000}{30000} \times 100 = 70 \%$.

Conclusion : $30\%$ des places sont assises et $70\%$ des places sont debout.

Correction :

1. Habitants vivant de la pêche :

Pour trouver le nombre d'habitants vivant de la pêche, on applique la fraction $\frac{5}{6}$ au nombre total d'habitants : $\frac{5}{6} \times 720 = 600$.

2. Nombre d'habitants dans le village voisin :

Soit $N$ le nombre total d'habitants du village. On sait que $82\%$ de $N$ est égal à $697$. On peut écrire l'équation : $0,82 \times N = 697$.

Pour trouver $N$, on divise $697$ par $0,82$: $N = \frac{697}{0,82} = 850$.

Conclusion : 600 habitants vivent de la pêche dans le petit port, et il y a 850 habitants dans le village voisin.

Correction :

1. Pourcentage de crayons verts :

Le pourcentage total de crayons est $100\%$. On connaît le pourcentage de crayons bleus ($53\%$) et la proportion de crayons rouges ($\frac{3}{10} = 30\%$). Pour trouver le pourcentage de crayons verts, on soustrait les pourcentages connus du total : $100\% - 53\% - 30\% = 17\%$.

2. Nombre de crayons bleus :

Pour trouver le nombre de crayons bleus, on applique le pourcentage de $53\%$ au nombre total de crayons ($300$) : $300 \times \frac{53}{100} = 159$.

Conclusion : Les crayons verts représentent $17\%$ du total, et il y a $159$ crayons bleus.

Correction :

1. Nombre de candidats au baccalauréat technologique :

Soit $N$ le nombre total de candidats. On sait que $79,7\%$ de $N$ est égal à 129979. On peut écrire l'équation : $0,797 \times N = 129979$.

Pour trouver $N$, on divise 129979 par $0,797$: $N = \frac{129979}{0,797} \approx 163085$.

2. Nombre de candidats dans le lycée :

Soit $M$ le nombre total de candidats dans le lycée. Si le taux de réussite est de $95\%$, alors le taux d'échec est de $100\% - 95\% = 5\%$. On sait que $5\%$ de $M$ est égal à $12$. On peut écrire l'équation : $0,05 \times M = 12$.

Pour trouver $M$, on divise $12$ par $0,05$: $M = \frac{12}{0,05} = 240$.

Conclusion : Il y avait environ 163085 candidats au baccalauréat technologique, et il y avait $240$ candidats dans le lycée.

Correction :

Si les cotisations salariales représentent $23\%$ du salaire brut, alors le salaire hors cotisations salariales représente le reste, soit $100\% - 23\% = 77\%$ du salaire brut.

Pour calculer le salaire hors cotisations, on applique ce pourcentage au salaire brut :

13200 euros $ \times \frac{77}{100} = 10164$ euros.

Conclusion : Le salaire de Sophie hors cotisations salariales est de 10164 euros.

Correction :

1. Tableau des pourcentages :

	$H$ (Hommes)	$\overline{H}$ (Femmes)
$A$ (Transports en commun)	$16,25\%$	$29,41\%$
$B$ (À pied)	$4,02\%$	$6,19\%$
$C$ (Voiture)	$34,83\%$	$9,29\%$

2. Ensemble $\overline{H}$ :

L'ensemble $\overline{H}$ est l'ensemble complémentaire de $H$, donc l'ensemble des employés qui ne sont pas des hommes. Dans le contexte de l'entreprise, $\overline{H}$ est l'ensemble des femmes employées.

3. Proportion d'hommes dans l'entreprise :

Pour calculer la proportion d'hommes dans l'entreprise, nous additionnons le nombre d'hommes dans chaque catégorie de transport et nous divisons par le nombre total d'employés : $\frac{210+52+450}{1292} \approx 0,5511$. Ainsi, la proportion d'hommes dans l'entreprise est d'environ $0,5511$, soit $55,11\%$.

4. Ensemble $A \cap H$ :

L'ensemble $A \cap H$ représente l'intersection des ensembles $A$ et $H$. Cela signifie que $A \cap H$ est constitué des employés qui appartiennent à la fois à $A$ et à $H$. En d'autres termes, ce sont les employés qui utilisent les transports en commun ET qui sont des hommes.

Pour calculer le pourcentage d'employés dans cet ensemble, nous utilisons directement les données du tableau : le nombre d'hommes utilisant les transports en commun est de $210$. Le pourcentage correspondant est donc :

$P(A \cap H) = \frac{210}{1292} \approx 0,1625$, soit $16,25\%$.

5. Ensemble $C \cap \overline{H}$ :

L'ensemble $C \cap \overline{H}$ représente l'intersection des ensembles $C$ et $\overline{H}$. Ce sont donc les employés qui appartiennent à la fois à $C$ et à $\overline{H}$. En d'autres termes, ce sont les employés qui utilisent leur voiture ET qui sont des femmes.

Pour calculer le pourcentage d'employés dans cet ensemble, nous utilisons directement les données du tableau : le nombre de femmes utilisant leur voiture est de $120$. Le pourcentage correspondant est donc :

$P(C \cap \overline{H}) = \frac{120}{1292} \approx 0,0929$, soit $9,29\%$.

6. Ensemble $\overline{C}$ :

L'ensemble $\overline{C}$ représente l'ensemble complémentaire de $C$. Il s'agit donc de tous les employés qui ne sont pas dans l'ensemble $C$. Autrement dit, ce sont les employés qui n'utilisent pas leur voiture pour se rendre au travail. Cela inclut donc les employés qui utilisent les transports en commun (ensemble $A$) et ceux qui viennent à pied (ensemble $B$). Pourcentage : $16,25\% + 4,02\% + 29,41\% + 6,19\% \approx 55,87\%$.

Correction :

1. Tableau d'effectifs complété :

	Habitant en zone rurale	Habitant en zone urbaine	Total
Personnes interrogées par téléphone	$150$	$330$	$480$
Personnes interrogées en « face à face »	$50$	$270$	$320$
Total	$200$	$600$	$800$

2. Calcul des proportions :

a) Proportion de personnes en zone urbaine parmi celles consultées par téléphone : $\frac{330}{480} = 0,6875 = 68,75\%$.

b) Proportion de personnes en zone urbaine parmi celles interrogées en face à face : $\frac{270}{320} = 0,8438$ (arrondi à $10^{-4}$) $= 84,38\%$.

c) Comparaison de l'ordre des proportions et des effectifs : Non, l'ordre n'est pas le même. Pour les effectifs, il y a plus de personnes interrogées par téléphone en zone urbaine (330) que face à face en zone urbaine (270). Mais pour les proportions, la proportion de personnes en zone urbaine est plus élevée parmi celles interrogées face à face ($84,38\%$) que par téléphone ($68,75\%$).

Correction :

1. Tableau d'effectifs complété :

	Menu à $16\ \text{\euro}$	Menu à $24\ \text{\euro}$	Total
Clients ayant choisi un café	$135$	$225$	$360$
Clients ayant choisi un apéritif	$165$	$75$	$240$
Total	$300$	$300$	$600$

2. Analyse des sous-populations et calculs de proportions :

a) Définition des sous-populations : $A \cap B$ : Sous-population des clients ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ et un apéritif. $A \cup B$ : Sous-population des clients ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ ou un apéritif (ou les deux).

b) Calcul des proportions : $P(A) = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$. $P(B) = \frac{240}{600} = \frac{2}{5}$. $P(A \cap B) = \frac{165}{600} = \frac{11}{40}$. $P(A \cup B) = \frac{165+135+225}{600} = \frac{525}{600} = \frac{7}{8}$.

c) Calcul de $P(A)+P(B)-P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{11}{40} = \frac{20+16-11}{40} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$. On remarque que $P(A)+P(B)-P(A \cap B) = P(A \cup B)$.

d) Disjonction des sous-populations et calcul de $P(B)+ P(C)$ : $A$ et $C$ ne sont pas disjointes car il y a des clients ayant choisi un menu à $16\ \text{\euro}$ et un café (135 clients). $B$ et $C$ sont disjointes car chaque client choisit soit un apéritif soit un café, mais pas les deux. $P(C) = \frac{360}{600} = \frac{3}{5}$. $P(B) + P(C) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Correction :

1. Tableau d'effectifs complété :

	Modèle $m_1$	Modèle $m_2$	Total
Forfait $1$	$384$	$576$	$960$
Forfait $2$	$816$	$224$	$1040$
Total	$1200$	$800$	$2000$

2. Analyse des sous-populations et calculs de proportions :

a) Proportion $P(F_1)$ : $P(F_1) = \frac{960}{2000} = 0,48$.

b) Proportion $P(M_2)$ : Sachant que 1200 clients ont acheté le modèle $m_1$ sur un total de 2000, le nombre de clients ayant acheté le modèle $m_2$ est $2000 - 1200 = 800$. Donc, $P(M_2) = \frac{800}{2000} = 0,4$.

c) Définition des sous-populations : $F_1 \cap M_2$ : Ensemble des clients ayant choisi le forfait $1$ et le modèle $m_2$. $F_1 \cup M_2$ : Ensemble des clients ayant choisi le forfait $1$ ou le modèle $m_2$ (ou les deux).

d) Proportion $P(F_1 \cap M_2)$ : D'après le tableau complété, le nombre de clients ayant choisi le forfait $1$ et le modèle $m_2$ est $576$. Donc, $P(F_1 \cap M_2) = \frac{576}{2000} = 0,288$.

e) Proportion $P(F_1 \cup M_2)$ : On utilise la formule $P(F_1 \cup M_2) = P(F_1) + P(M_2) - P(F_1 \cap M_2) = 0,48 + 0,4 - 0,288 = 0,592$. En pourcentage, $P(F_1 \cup M_2) = 0,592 \times 100 = 59,2 \%$.

Correction :

Pour trouver la proportion de films avec Bruce Willis sur le serveur, sachant que ces films représentent une partie des films d'action, qui eux-mêmes représentent une partie du total des films, on doit multiplier les proportions successives.

Proportion de films d'action sur le serveur : $30\% = 0,30$.

Parmi ces films d'action, proportion de films avec Bruce Willis : $60\% = 0,60$.

Proportion de films avec Bruce Willis sur le serveur : $0,30 \times 0,60 = 0,18$.

Conclusion : $18\%$ des films du serveur sont des films avec Bruce Willis.

Correction :

1. Nombre total d'élèves dans la classe :

Soit $N$ le nombre total d'élèves dans la classe. On sait que $45\%$ des élèves sont des garçons, et que $\frac{1}{3}$ de ces garçons portent des lunettes. La proportion de garçons à lunettes par rapport à la classe est donc $45\% \times \frac{1}{3} = 15\%$. On sait aussi que ce nombre de garçons à lunettes est de $3$.

On a donc $15\%$ de $N$ qui est égal à $3$, ce qui s'écrit $0,15 \times N = 3$.

Pour trouver $N$, on divise $3$ par $0,15$: $N = \frac{3}{0,15} = 20$.

2. Nombre de filles dans la classe :

Si $45\%$ des élèves sont des garçons, alors $100\% - 45\% = 55\%$ des élèves sont des filles. Pour trouver le nombre de filles, on applique ce pourcentage au nombre total d'élèves : $20 \times \frac{55}{100} = 11$.

Conclusion : Il y a $20$ élèves dans la classe, dont $11$ filles.

Correction :

Pour trouver la proportion de cadres supérieurs par rapport à l'ensemble des salariés, on doit multiplier les proportions successives, car les cadres supérieurs sont une sous-catégorie des cadres, qui sont eux-mêmes une sous-catégorie des salariés.

Proportion de cadres parmi les salariés : $40\% = 0,40$.

Proportion de cadres supérieurs parmi les cadres : $20\% = 0,20$.

Proportion de cadres supérieurs parmi les salariés : $0,40 \times 0,20 = 0,08$.

Conclusion : La proportion de cadres supérieurs par rapport aux salariés est de $0,08$, soit $8\%$.

Correction :

1. Part de clients ayant choisi le forfait illimité (forfait $C$) :

La somme des parts des forfaits $A$, $B$ et $C$ doit être égale à $1$ (ou $100\%$). On connaît la part de $A$ ($0,35$) et la part de $B$ (la moitié, soit $0,5$). On peut trouver la part de $C$ en soustrayant les parts de $A$ et $B$ du total : $1 - 0,35 - 0,5 = 0,15$.

En pourcentage, cela représente $0,15 \times 100 = 15\%$.

2. Part des clients avec forfait $C$ mais sans internet illimité :

Parmi les clients ayant choisi le forfait $C$, $80\%$ ont l'internet illimité. Donc, le pourcentage de ceux qui n'ont pas l'internet illimité est de $100\% - 80\% = 20\%$. Pour trouver la part de ces clients par rapport à la clientèle totale, on multiplie la proportion de clients ayant le forfait $C$ par la proportion de ceux n'ayant pas l'internet illimité parmi les clients forfait $C$: $15\% \times 20\% = 0,15 \times 0,20 = 0,03$.

En pourcentage, cela représente $0,03 \times 100 = 3\%$.

Conclusion : $15\%$ des clients ont choisi le forfait illimité, et $3\%$ des clients ont un forfait $C$ sans internet illimité.

Correction :

1. Tableau complété :

	Service Administratif	Service Logistique	Service Transport	Total
Résidant à moins de $30\ \mathrm{min}$	$24,3\%$	$13,8\%$	$16,1\%$	$54,2\%$
Résidant à $30\ \mathrm{min}$ ou plus	$20,7\%$	$9,2\%$	$15,4\%$	$45,3\%$
Total	$45\%$	$23\%$	$32\%$	$100\%$

2. Proportions au sein des services :

• Service Administratif : Pourcentage d'employés résidant à moins de $30\ \mathrm{min}$ : $ \frac{24,3}{45} \times 100 = 54\%$.

• Service Transport : Pourcentage d'employés résidant à moins de $30\ \mathrm{min}$ : $ \frac{5,4}{32} \times 100 = 16,875\% \approx 16,9\%$.

3. Comparaison des proportions :

a) Le service ayant la plus forte proportion d'employés résidant à moins de $30\ \mathrm{min}$ est le service Logistique ($60\%$).

b) Le service ayant la plus forte proportion d'employés résidant à $30\ \mathrm{min}$ ou plus est le service Transport ($83,125\% \approx 83,1\%$).

Correction :

1. Volume du cube :

Le volume d'un cube d'arête $a$ est $V_{cube} = a^3$. Ici, $a = 8\ \mathrm{cm}$, donc $V_{cube} = 8^3 = 512\ \mathrm{cm}^3$.

2. Volume du cône :

a) Valeur exacte du volume du cône : Le volume d'un cône de révolution est donné par $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur. Ici, le diamètre de la base est $8\ \mathrm{cm}$, donc le rayon est $r = 4\ \mathrm{cm}$, et la hauteur est $h = 8\ \mathrm{cm}$. Donc, $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (4^2) \times 8 = \frac{128\pi}{3}\ \mathrm{cm}^3$.

b) Volume arrondi au $\mathrm{cm}^3$ : $V_{cone} = \frac{128\pi}{3} \approx 134\ \mathrm{cm}^3$ (arrondi à l'unité).

3. Pourcentage du volume du cube occupé par le cône :

Pour déterminer si le cône occupe plus de $30\%$ du volume du cube, on calcule le rapport des volumes et on le multiplie par $100$: $\frac{V_{cone}}{V_{cube}} \times 100 = \frac{128\pi/3}{512} \times 100 = \frac{128\pi}{3 \times 512} \times 100 = \frac{\pi}{12} \times 100 \approx 26,18\%$.

Conclusion : Le cône occupe environ $26,18\%$ du volume du cube, ce qui est moins de $30\%$.

Correction :

Pour déterminer si l'affirmation est vraie ou fausse, il faut vérifier si, quelles que soient les données manquantes (nombre d'exercices traités par chacun chaque semaine), le pourcentage de réussite de Boris sur l'ensemble de la quinzaine est toujours supérieur à celui d'Armelle. Pour cela, testons avec des exemples.

Exemple 1 : Supposons qu'Armelle et Boris traitent le même nombre d'exercices chaque semaine, disons 10 exercices.

Semaine 1: Armelle réussit $50\%$ de $10 = 5$ exercices, Boris réussit $90\%$ de $10 = 9$ exercices.

Semaine 2: Armelle réussit $20\%$ de $10 = 2$ exercices, Boris réussit $40\%$ de $10 = 4$ exercices.

Total sur la quinzaine: Armelle réussit $5+2=7$ exercices sur $20$, soit $\frac{7}{20} = 35\%$. Boris réussit $9+4=13$ exercices sur $20$, soit $\frac{13}{20} = 65\%$. Dans ce cas, Boris a un meilleur pourcentage de réussite.

Exemple 2 : Supposons maintenant qu'Armelle traite beaucoup plus d'exercices la semaine 2, et Boris beaucoup plus la semaine 1.

Semaine 1: Armelle traite $10$ exercices (5 réussis), Boris traite $100$ exercices (90 réussis).

Semaine 2: Armelle traite $100$ exercices (20 réussis), Boris traite $10$ exercices (4 réussis).

Total sur la quinzaine: Armelle réussit $5+20=25$ exercices sur $110$, soit $\frac{25}{110} \approx 22,7\%$. Boris réussit $90+4=94$ exercices sur $110$, soit $\frac{94}{110} \approx 85,5\%$. Dans ce cas aussi, Boris a un meilleur pourcentage de réussite.

Exemple 3 : Essayons de trouver un contre-exemple où Armelle a un meilleur pourcentage global.

Semaine 1: Armelle traite $100$ exercices (50 réussis), Boris traite $10$ exercices (9 réussis).

Semaine 2: Armelle traite $10$ exercices (2 réussis), Boris traite $100$ exercices (40 réussis).

Total sur la quinzaine: Armelle réussit $50+2=52$ exercices sur $110$, soit $\frac{52}{110} \approx 47,3\%$. Boris réussit $9+40=49$ exercices sur $110$, soit $\frac{49}{110} \approx 44,5\%$. Dans ce cas, Armelle a un meilleur pourcentage de réussite.

On a trouvé un contre-exemple, donc l'affirmation est fausse. C'est un exemple du paradoxe de Simpson : comparer des pourcentages de sous-groupes ne donne pas nécessairement le classement des pourcentages globaux.

Conclusion : L'affirmation est FAUSSE.