Inéquations du premier degré et intervalles

Correction :

Pour cet exercice, il faut tracer une droite numérique et placer les points donnés en fonction de leurs abscisses.

$A(-6) < L(-5+\sqrt{7} \approx -2.35) < C(-1) < E(-\frac{1}{2} = -0.5) $

$< O(0) < K(\frac{1}{3} \approx 0.33) < I(1) < D(1,5) < B(2) < J(\sqrt{9} = 3) < F(2^2 = 4) = G((-2)^2 = 4)$.

Notez que $F$ et $G$ ont la même abscisse.

Correction :

Pour cet exercice, il faut tracer une droite numérique et représenter les intervalles donnés. Voici la description de chaque intervalle :

a) $I_1=[-3;0]$: Intervalle fermé de -3 à 0, bornes incluses.

b) $I_2=[2,4]$: Intervalle fermé de 2 à 4, bornes incluses.

c) $I_3=]-2;1]$: Intervalle ouvert en -2 et fermé en 1, -2 exclu, 1 inclus.

d) $I_4=[2,+\infty[$: Intervalle fermé en 2 et ouvert à l'infini, 2 inclus, infini exclu.

e) $I_5=]-\infty, -1]$: Intervalle ouvert à moins l'infini et fermé en -1, moins l'infini exclu, -1 inclus.

f) $I_6= \left[ -\frac{1}{3},4\right[$: Intervalle fermé en $-\frac{1}{3}$ et ouvert en 4, $-\frac{1}{3}$ inclus, 4 exclu.

g) $I_7= ]-4;3[$: Intervalle ouvert de -4 à 3, bornes exclues.

h) $I_8= \left] \sqrt{2},+\infty\right[$: Intervalle ouvert en $\sqrt{2}$ et ouvert à l'infini, $\sqrt{2}$ exclu, infini exclu.

i) $I_9= ]-\infty, -4[$: Intervalle ouvert à moins l'infini et ouvert en -4, moins l'infini exclu, -4 exclu.

Correction :

Pour cet exercice, il faut tracer une droite numérique et représenter les intervalles décrits en français. Voici la notation de chaque intervalle :

a) "L'intervalle ouvert en $-1$, fermé en $0$": $]-1;0]$.

b) "L'intervalle fermé en $-2$ et en $3$": $[-2;3]$.

c) "L'intervalle fermé en $-4$, $+\infty$": $[-4;+\infty[$.

d) "L'intervalle ouvert en $4$, $+\infty$": $]4;+\infty[$.

e) "L'intervalle $-\infty$, fermé en $3$": $]-\infty;3]$.

f) "L'intervalle fermé en $-4$ et ouvert en $2$": $[-4;2[$.

g) "L'intervalle fermé en $-4$, $+\infty$": $[-4;+\infty[$. (Redondant avec le 3ème)

h) "L'intervalle $-\infty$, ouvert en $3$": $]-\infty;3[$.

i) "L'intervalle fermé en $-4$, ouvert en $-1$": $[-4;-1[$.

Correction :

Pour déterminer si un nombre $a$ appartient à un intervalle $I$, il faut vérifier si la condition définissant l'intervalle est respectée par le nombre $a$.

a) Pour $a=-1$ et $I=]-\infty,-2]$, on cherche à savoir si $-1 \in ]-\infty,-2]$. L'intervalle $]-\infty,-2]$ représente tous les nombres inférieurs ou égaux à $-2$. Or, $-1$ est supérieur à $-2$. Donc, $a=-1 \notin ]-\infty,-2]$.

b) Pour $a=\pi$ et $I=[3,05;3,8]$, on cherche à savoir si $\pi \in [3,05;3,8]$. Sachant que $\pi \approx 3.14159...$, on a bien $3.05 \le \pi \le 3.8$. Donc, $a=\pi \in [3,05;3,8]$.

c) Pour $a=-3$ et $I=[-3,245;+\infty[$, on cherche à savoir si $-3 \in [-3,245;+\infty[$. L'intervalle $[-3,245;+\infty[$ représente tous les nombres supérieurs ou égaux à $-3,245$. Or, $-3$ est supérieur à $-3,245$. Donc, $a=-3 \in [-3,245;+\infty[$.

d) Pour $a=\frac{1}{3}$ et $I= \left[ 0; \frac{1}{2} \right]$, on cherche à savoir si $\frac{1}{3} \in \left[ 0; \frac{1}{2} \right]$. On a $0 \le \frac{1}{3} \approx 0.333... \le \frac{1}{2} = 0.5$. Donc, $a=\frac{1}{3} \in \left[ 0; \frac{1}{2} \right]$.

e) Pour $a=10^3$ et $]1000;+\infty[$, on cherche à savoir si $10^3 \in ]1000;+\infty[$. L'intervalle $]1000;+\infty[$ représente tous les nombres strictement supérieurs à $1000$. Or, $a=10^3 = 1000$, qui n'est pas strictement supérieur à $1000$. Donc, $a=10^3 \notin ]1000;+\infty[$.

f) Pour $a=-\frac{1}{4}$ et $I= \left]-\frac{1}{3},0 \right[$, on cherche à savoir si $-\frac{1}{4} \in \left]-\frac{1}{3},0 \right[$. On a $-\frac{1}{3} \approx -0.333...$ et $-\frac{1}{4} = -0.25$. On a bien $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4} < 0$. Donc, $a=-\frac{1}{4} \in \left]-\frac{1}{3},0 \right[$.

g) Pour $a=-2$ et $I=[-4;-2[$, on cherche à savoir si $-2 \in [-4;-2[$. L'intervalle $[-4;-2[$ représente tous les nombres supérieurs ou égaux à $-4$ et strictement inférieurs à $-2$. Or, $-2$ n'est pas strictement inférieur à $-2$. Donc, $a=-2 \notin [-4;-2[$.

Correction :

Pour traduire une inégalité en intervalle, il faut identifier les bornes et le type d'intervalle (ouvert ou fermé).

a) $-6>x$ : Cette inégalité signifie que $x$ est strictement inférieur à $-6$. L'ensemble des nombres strictement inférieurs à $-6$ est l'intervalle $]-\infty;-6[$.

b) $12\leqslant x \leqslant 100$ : Cette inégalité signifie que $x$ est compris entre $12$ et $100$, bornes incluses. L'intervalle correspondant est $[12;100]$.

c) $-3< x \leqslant 11$ : Cette inégalité signifie que $x$ est strictement supérieur à $-3$ et inférieur ou égal à $11$. L'intervalle correspondant est $]-3; 11]$.

d) $-11\leqslant x<-1$ : Cette inégalité signifie que $x$ est supérieur ou égal à $-11$ et strictement inférieur à $-1$. L'intervalle correspondant est $[-11;-1[$.

e) $8>x>\frac{1}{2}$ : Cette inégalité signifie que $x$ est strictement supérieur à $\frac{1}{2}$ et strictement inférieur à $8$. L'intervalle correspondant est $\left] \frac{1}{2} ;8 \right[$.

f) $4\leqslant x$ : Cette inégalité signifie que $x$ est supérieur ou égal à $4$. L'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $4$ est l'intervalle $[4;+\infty[$.

g) $x\geqslant 10^{-3}$ : Cette inégalité signifie que $x$ est supérieur ou égal à $10^{-3}$. L'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à $10^{-3}$ est l'intervalle $[10^{-3};+\infty[$.

Correction :

Voici le tableau complété :

Notation	Inéquations (encadrement)	Description
$[-2 ;13]$	$-2\le x \le 13$	Intervalle fermé en $-2$ et en $13$.
$[4\ ;\ 8[$	$4\le x < 8$	Intervalle fermé en $4$ et ouvert en $8$.
$]-\infty\ ;\ -5]$	$x \le -5$	Intervalle moins l'infini, fermé en $-5$.
$[\pi \ ;\ 8[$	$\pi \le x <8$	Intervalle fermé en $\pi$ et ouvert en $8$.
$]-6\ ;\ 2]$	$-6 < x \le 2$	Intervalle ouvert en $-6$ et fermé en $2$.

Correction :

Voici le tableau complété :

Notation	Inéquations (encadrement)	Description
$[-2 , +\infty [$	$-2\le x$	Intervalle fermé en $-2$, plus l'infini.
$] -\infty ;\ 8[$	$x < 8$	Intervalle moins l'infini, ouvert en $8$.
$] -3\ ;\ +\infty[$	$ x >-3 $	Intervalle ouvert en $-3$, plus l'infini.
$] -\infty\ ;\ -6[$	$x < -6$	Intervalle moins l'infini, ouvert en $-6$.

Correction :

Voici le tableau complété :

Notation	Inéquation(s)	Description
$]-2\ ;\ +\infty[$	$x > -2$	Intervalle ouvert en $-2$, plus l'infini.
$ [5\ ;\ 8]$	$5 \le x \le 8$	Intervalle fermé en $5$ et en $8$.
$]-3\ ;\ 4]$	$-3 < x \le 4$	Intervalle ouvert en $-3$ et fermé en $4$.
$]-5\ ;\ 7]$	$-5 < x \le 7$	Intervalle ouvert en $-5$ et fermé en $7$.

Correction :

Pour cet exercice, il faut observer la figure géométrique et utiliser les longueurs des segments indiquées.

a) Si $M \in [AB]$, cela signifie que $M$ est un point du segment $AB$. La distance $AM$ varie de $0$ (si $M=A$) à $AB=3$ (si $M=B$). Donc, $AM \in [0;3]$.

b) Si $M \in [BC]$, cela signifie que $M$ est un point du segment $BC$. La distance $BM$ varie de $0$ (si $M=B$) à $BC=2$ (si $M=C$). Donc, $BM \in [0;2]$.

c) Si $M \in [CD]$, cela signifie que $M$ est un point du segment $CD$. La distance $CM$ varie de $0$ (si $M=C$) à $CD=2\sqrt{2}$ (si $M=D$). Donc, $CM \in [0;2\sqrt{2}]$.

d) Si $M \in [DE]$, cela signifie que $M$ est un point du segment $DE$. La distance $EM$ varie de $0$ (si $M=E$) à $DE=\frac{5}{2}$ (si $M=D$). Donc, $EM \in \left[ 0;\frac{5}{2} \right]$.

e) Si $M \in [GF]$, cela signifie que $M$ est un point du segment $GF$. La distance $GM$ varie de $0$ (si $M=G$) à $GF=1,5$ (si $M=F$). Donc, $GM \in [0;1,5]$.

f) Si $M \in [EF]$, on cherche à encadrer la somme $AB+BC+CD+DE+EM$. Comme $M \in [EF]$, $EM$ varie de $0$ (si $M=E$) à $EF=3,5$ (si $M=F$). La somme $AB+BC+CD+DE = 3 + 2 + 2\sqrt{2} + \frac{5}{2} = \frac{6+4+5}{2} + 2\sqrt{2} = \frac{15}{2} + 2\sqrt{2} = 7,5 + 2\sqrt{2}$. Donc, $AB+BC+CD+DE+EM$ varie de $7,5 + 2\sqrt{2}$ (si $M=E$, $EM=0$) à $7,5 + 2\sqrt{2} + 3,5 = 11 + 2\sqrt{2}$ (si $M=F$, $EM=EF=3,5$). Ainsi, $AB+BC+CD+DE+EM \in [7,5+2\sqrt{2};11+2\sqrt{2}]$.

Correction :

Pour chaque inéquation, il s'agit de déterminer l'ensemble de tous les nombres réels $x$ qui vérifient l'inégalité, et d'exprimer cet ensemble sous forme d'intervalle.

a) $x<-1$ : Cette inéquation est déjà sous la forme souhaitée. Elle décrit tous les nombres strictement inférieurs à $-1$. L'intervalle correspondant est $]-\infty;-1[$.

b) $3\geqslant x$ : Cette inéquation est équivalente à $x \leqslant 3$. Elle décrit tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$. L'intervalle correspondant est $]-\infty;3]$.

c) $\frac{1}{2} \leqslant x$ : Cette inéquation est équivalente à $x \geqslant \frac{1}{2}$. Elle décrit tous les nombres supérieurs ou égaux à $\frac{1}{2}$. L'intervalle correspondant est $\left[ \frac{1}{2};+\infty\right[$.

d) $-\sqrt{2}$. Elle décrit tous les nombres strictement supérieurs à $-\sqrt{2}$. L'intervalle correspondant est $]-\sqrt{2};+\infty[$.

e) $10^3>x$ : Cette inéquation est équivalente à $x < 10^3$. Elle décrit tous les nombres strictement inférieurs à $10^3$. L'intervalle correspondant est $]-\infty;10^3[$.

f) $x\leqslant 2,14$ : Cette inéquation est déjà sous la forme souhaitée. Elle décrit tous les nombres inférieurs ou égaux à $2,14$. L'intervalle correspondant est $]-\infty; 2,14]$.

g) $x>\sqrt{\pi}$ : Cette inéquation est déjà sous la forme souhaitée. Elle décrit tous les nombres strictement supérieurs à $\sqrt{\pi}$. L'intervalle correspondant est $]\sqrt{\pi};+\infty[$.

h) $x \geqslant -2,1$ : Cette inéquation est déjà sous la forme souhaitée. Elle décrit tous les nombres supérieurs ou égaux à $-2,1$. L'intervalle correspondant est $[-2,1;+\infty[$.

Correction :

Pour résoudre une inéquation, on isole l'inconnue $x$ en appliquant les règles suivantes : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif sans changer le sens de l'inégalité. Si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.

a) $-3x+7 < x+2$ : $-3x+7 < x+2 \Leftrightarrow -3x-x < 2-7 \Leftrightarrow -4x < -5 \Leftrightarrow x > \frac{-5}{-4} \Leftrightarrow x > \frac{5}{4}$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}= \left] \frac{5}{4} ; +\infty \right[$.

b) $-5x-2\le 0$ : $-5x-2 \le 0 \Leftrightarrow -5x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{-5} \Leftrightarrow x \ge -\frac{2}{5}$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}= \left[ -\frac{2}{5} ; +\infty \right[$.

c) $-x>9$ : $-x>9 \Leftrightarrow x < \frac{9}{-1} \Leftrightarrow x<-9$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}= \left] -\infty ; -9 \right[$.

d) $-x+5\leqslant 7-6x$ : $-x+5\leqslant 7-6x \Leftrightarrow -x+6x \leqslant 7-5 \Leftrightarrow 5x \leqslant 2 \Leftrightarrow x \leqslant \frac{2}{5}$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}= \left]-\infty, \frac{2}{5} \right]$.

e) $2(3-x)\geqslant 8$ : $2(3-x)\geqslant 8 \Leftrightarrow 6-2x \geqslant 8 \Leftrightarrow -2x \geqslant 2 \Leftrightarrow x \leqslant -1$. L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}= \left]-\infty, -1 \right]$.

f) $2x-7 < (3x-4)-x$ : $2x-7<(3x-4)-x \Leftrightarrow 2x-7 <2x-4 \Leftrightarrow -7<-4$. Cette inégalité est toujours vraie, quelque soit la valeur choisie pour $x$. L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \mathbb{R}$.

g) $3x-(4+3x)>2$ : $3x-(4+3x)>2 \Leftrightarrow -4>2$. Cette inégalité est toujours fausse, quelque soit la valeur choisie pour $x$. L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}= \emptyset$.

h) $(2x-1)(2x+3)\leqslant (2x+4)^2$ : $(2x-1)(2x+3)\leqslant (2x+4)^2 \Leftrightarrow 4x^2+4x-3 \leqslant 4x^2+16x+16 \Leftrightarrow -19\leqslant 12x \Leftrightarrow x \geqslant -\frac{19}{12}$. $\mathcal{S}= \left[ -\frac{19}{12};+\infty \right[$.

Correction :

Pour résoudre un système d'inéquations, il faut résoudre chaque inéquation séparément, puis trouver l'intersection des ensembles de solutions.

a) $\left\{ \begin{array}{l} x+7 \le 12\\ x-5 \ge -17 \\ \end{array} \right.$

Première inéquation: $x+7 \le 12 \Leftrightarrow x \le 5$.

Deuxième inéquation: $x-5 \ge -17 \Leftrightarrow x \ge -12$.

L'intersection des solutions $x \le 5$ et $x \ge -12$ est l'intervalle $[-12; 5]$.

b) $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x+13 \\ 4x-23 \le 10+x \end{array} \right.$

Première inéquation: $2x-8 \le 5x+13 \Leftrightarrow -3x \le 21 \Leftrightarrow x \ge -7$.

Deuxième inéquation: $4x-23 \le 10+x \Leftrightarrow 3x \le 33 \Leftrightarrow x \le 11$.

L'intersection des solutions $x \ge -7$ et $x \le 11$ est l'intervalle $[-7;11]$.

c) $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \ge 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$

Première inéquation: $2x-8 \ge 5x +13 \Leftrightarrow -3x \ge 21 \Leftrightarrow x \le -7$.

Deuxième inéquation: $4x-23 \ge 10 + x \Leftrightarrow 3x \ge 33 \Leftrightarrow x \ge 11$.

Il n'y a pas d'intersection entre $x \le -7$ et $x \ge 11$. L'ensemble des solutions est $\emptyset$.

d) $\left\{ \begin{array}{l} 2x-8 \le 5x +13 \\ 4x-23 \ge 10 + x \end{array} \right.$

Première inéquation: $2x-8 \le 5x +13 \Leftrightarrow -3x \le 21 \Leftrightarrow x \ge -7$.

Deuxième inéquation: $4x-23 \ge 10 + x \Leftrightarrow 3x \ge 33 \Leftrightarrow x \ge 11$.

L'intersection des solutions $x \ge -7$ et $x \ge 11$ est l'ensemble des $x$ qui vérifient les deux conditions, soit $x \ge 11$. L'ensemble des solutions est $[11 ; +\infty [$.

Correction :

Cet exercice relie la résolution d'équations et d'inéquations à la détermination des domaines de définition de fonctions.

1. Résolution de l'équation et de l'inéquation :

a) $8x-4=0$ : Pour résoudre cette équation, on isole $x$: $8x-4=0 \Leftrightarrow 8x=4 \Leftrightarrow x=\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. La solution de l'équation est $x=\frac{1}{2}$.

b) $8x-4\geqslant 0$ : Pour résoudre cette inéquation, on isole $x$: $8x-4\geqslant 0 \Leftrightarrow 8x \geqslant 4 \Leftrightarrow x \geqslant \frac{4}{8} \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}$. L'ensemble des solutions est $\left[ \frac{1}{2} ,+\infty\right[$.

2. Déduction des ensembles de définition :

a) $g:x \mapsto \dfrac{1}{8x-4}$ : Une fraction est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. Ici, le dénominateur est $8x-4$. D'après la question 1.a), $8x-4 = 0$ si $x = \frac{1}{2}$. Donc, la fonction $g$ est définie pour tous les nombres réels sauf $\frac{1}{2}$. $\mathscr{D}_g= \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\}$.

b) $h:x \mapsto \sqrt{8x-4}$ : Une racine carrée est définie si et seulement si l'expression sous la racine est non négative. Ici, l'expression sous la racine est $8x-4$. D'après la question 1.b), $8x-4 \geqslant 0$ si $x \geqslant \frac{1}{2}$. Donc, la fonction $h$ est définie pour tous les nombres réels supérieurs ou égaux à $\frac{1}{2}$. $\mathscr{D}_h= \left[ \frac{1}{2} ,+\infty\right[$.

Correction :

Pour comparer les coûts des deux transporteurs, on va exprimer le coût de chaque transporteur en fonction de la distance parcourue, puis comparer ces coûts à l'aide d'une inéquation.

Soit $x$ la distance en kilomètres.

Le coût du premier transporteur est une somme de frais fixes et de frais variables proportionnels à la distance : $C_1(x) = 460 + 3.50x$.

De même, le coût du second transporteur est : $C_2(x) = 1000 + 2x$.

On cherche à savoir pour quelles distances le second transporteur est plus avantageux, c'est-à-dire quand son coût est inférieur à celui du premier transporteur : $C_2(x) < C_1(x)$.

On résout l'inéquation : $1000 + 2x < 460 + 3.5x$.

$1000 + 2x < 460 + 3.5x \Leftrightarrow 1000 - 460 < 3.5x - 2x \Leftrightarrow 540 < 1.5x$.

Pour isoler $x$, on divise par $1.5$ (qui est positif, donc on ne change pas le sens de l'inégalité) : $x > \frac{540}{1.5} \Leftrightarrow x > 360$.

Conclusion : Il est plus avantageux de s'adresser au second transporteur pour une distance de plus de 360 km.

Correction :

Pour résoudre ce problème, on doit traduire la question en une inéquation. Soit $x$ le nombre de livres imprimés par jour.

Le coût total de production pour $x$ livres est la somme du coût fixe de location de la machine et du coût variable de fabrication par livre : $C(x) = 750 + 3.75x$.

Le prix de revient d'un livre est le coût total divisé par le nombre de livres imprimés : $P(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{750 + 3.75x}{x}$.

On veut que ce prix de revient soit inférieur ou égal à 6 euros : $P(x) \leqslant 6$, soit $\frac{750 + 3.75x}{x} \leqslant 6$.

Pour résoudre cette inéquation, on multiplie les deux côtés par $x$. Comme $x$ représente un nombre de livres, $x$ est nécessairement positif, donc on ne change pas le sens de l'inégalité : $750 + 3.75x \leqslant 6x$.

On isole $x$: $750 \leqslant 6x - 3.75x \Leftrightarrow 750 \leqslant 2.25x \Leftrightarrow x \geqslant \frac{750}{2.25} \Leftrightarrow x \geqslant \frac{75000}{225} \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1000}{3} \approx 333.33$.

Comme le nombre de livres doit être un entier, et que $\frac{1000}{3} \approx 333.33$, il faut imprimer au minimum 334 livres par jour pour que le prix de revient d'un livre soit inférieur ou égal à 6 euros.

Correction :

Pour trouver les valeurs possibles de $p$, nous devons traduire l'information "valeur approchée par excès à $10^{-3}$ près $1,118$" en un encadrement de $\frac{p}{q}$.

Si $1,118$ est la valeur approchée par excès à $10^{-3}$ près de $\frac{p}{q}$, cela signifie que la vraie valeur $\frac{p}{q}$ est inférieure à $1,118$, mais la différence entre $1,118$ et $\frac{p}{q}$ est inférieure à $10^{-3}$. Autrement dit, $\frac{p}{q}$ est dans l'intervalle $[1,118 - 10^{-3} ; 1,118[ = [1,117 ; 1,118[$.

On a donc l'encadrement : $1,117\le \frac{p}{q} < 1,118$. Sachant que $q = 1789$, on a : $1,117 \le \frac{p}{1789} < 1,118$.

Pour trouver les valeurs possibles de $p$, on multiplie tous les termes de l'encadrement par $q = 1789$, qui est un nombre positif. Cela ne change pas le sens des inégalités : $1789 \times 1,117 \le p < 1789 \times 1,118$.

En effectuant les multiplications, on obtient : $1998, 313 \le p < 2000,102$.

Puisque $p$ doit être un entier, les valeurs entières possibles pour $p$ sont les entiers compris dans l'intervalle $[1998, 313 ; 2000,102[$. Les valeurs entières possibles pour $p$ sont donc $1999$ et $2000$.

Vérifions ces valeurs : Pour $p = 1999$, $\frac{1999}{1789} = \frac{1999}{1789} \approx 1,11738$. La valeur approchée par excès à $10^{-3}$ près est $1,118$. Pour $p = 2000$, $\frac{2000}{1789} = \frac{2000}{1789} \approx 1,11794$. La valeur approchée par excès à $10^{-3}$ près est $1,118$.

Les valeurs possibles pour $p$ sont donc $1999$ et $2000$.