Exercices pour maîtriser le développement et la factorisation avec les identités remarquables.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les Identités Remarquables et les Puissances avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Les identités remarquables sont des outils essentiels pour simplifier, développer et factoriser des expressions algébriques. Elles sont au nombre de trois :
Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Permet de développer le carré d'une somme.
Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Permet de développer le carré d'une différence.
Produit de la somme par la différence : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Permet de factoriser une différence de deux carrés.
Utilisation : Ces identités sont utilisées dans les deux sens :
Développement : Transformer un produit ou une puissance en une somme de termes.
Factorisation : Transformer une somme de termes en un produit de facteurs, ce qui est crucial pour résoudre des équations, étudier des signes, etc.
Les règles de calcul sur les puissances sont fondamentales pour simplifier les expressions algébriques et numériques. Voici les principales règles à connaître :
Produit de puissances de même base : $a^n \times a^p = a^{n+p}$. Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants.
Puissance d'une puissance : $(a^n)^p = a^{n \times p}$. Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
Puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$. La puissance d'un produit est le produit des puissances.
Puissance d'un quotient : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$. La puissance d'un quotient est le quotient des puissances.
Quotient de puissances de même base : $\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$. Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants.
Puissance zéro : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$). Tout nombre non nul élevé à la puissance zéro vaut 1.
Puissance négative : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Une puissance négative indique l'inverse de la puissance positive correspondante.
Équations produits : Une équation produit est de la forme $A(x) \times B(x) = 0$.Elle est résolue en utilisant la propriété fondamentale : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.
Factorisation préalable : Pour résoudre des équations plus complexes, il est souvent nécessaire de factoriser l'équation pour la mettre sous forme de produit nul. Les identités remarquables et la mise en évidence de facteurs communs sont des techniques de factorisation essentielles.
Équations se ramenant au premier degré : Grâce à la factorisation, des équations de degré supérieur (comme le second degré) peuvent souvent être ramenées à la résolution d'équations du premier degré, beaucoup plus simples à résoudre.
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Développer et simplifier les expressions polynomiales suivantes :
a) $A(x)=(x+6)^2$.
b) $B(x)=(x-11)^2$.
c) $C(x)=\left(x+3^2\right)\left(x-3^2\right)$.
d) $D(x)=(2x-3)^2$.
e) $E(x)=(-7x+3)^2$.
f) $F(x)=(3x-6)(3x+6)$.
g) $G(x)=x(5x-7)^2$.
Factoriser au maximum les expressions polynomiales suivantes :
a) $A(x)=x^2+6x+9$.
b) $B(x)=49x^2-14x+1$.
c) $C(x)=x^2+2x+1$.
d) $D(x)=x^2-8$.
e) $E(x)=x^4-49$.
Résoudre les équations suivantes :
a) $x^2=81$.
b) $9x^2-42x+49=0$.
c) $x^2+4=0$.
d) $x^4-16=0$.
e) $3x=-\dfrac{1}{4}x^2-9$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = (x+1)^2-4$.
1. Développer et réduire l'expression de $f(x)$.
2. Factoriser au maximum l'expression de $f(x)$.
3. Pour chaque question suivante, indiquer la forme de $f(x)$ (développée, factorisée ou initiale) la plus adaptée pour répondre facilement, puis répondre à la question :
a) Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(-3)$, $f(-1)$ et $f\left( \sqrt{3} \right)$. Présenter les calculs.
b) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
c) Résoudre l'équation $f(x)=-4$.
d) Résoudre l'équation $f(x)=-3$.