Fonctions : Images et Antécédents

Correction :

L'objectif de cet exercice est de bien maîtriser les différentes formulations pour exprimer une égalité du type $f(x) = y$. Ici, on a l'égalité $f(-1) = 8$.

• Avec le mot "image" et le verbe "avoir" :

Pour utiliser "image" et "avoir", on part de la valeur de $x$ (ici $-1$) et on dit que $y$ (ici $8$) est son image.

Phrase : $8$ est l'image de $-1$ par la fonction $f$.

• Avec le mot "image" et le verbe "être" :

C'est une formulation très proche de la précédente, mais avec le verbe "être".

Phrase : L'image de $-1$ par la fonction $f$ est $8$.

• Avec le mot "antécédent" et le verbe "avoir" :

Pour utiliser "antécédent" et "avoir", on part de la valeur de $y$ (ici $8$) et on dit que $x$ (ici $-1$) est un de ses antécédents.

Phrase : $8$ a pour antécédent $-1$ par la fonction $f$.

• Avec le mot "antécédent" et le verbe "être" :

Formulation similaire à la précédente, avec le verbe "être".

Phrase : $-1$ est un antécédent de $8$ par la fonction $f$.

• Avec le mot "courbe" :

On utilise ici le lien entre la notation fonctionnelle et la représentation graphique. $f(-1) = 8$ signifie que le point de la courbe d'abscisse $-1$ a pour ordonnée $8$.

Phrase : La courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point de coordonnées $(-1; 8)$.

Correction :

Dans cet exercice, Antoine, Lætitia et Lotfi ne sont pas d'accord sur la relation entre $-3$ et $16$ par la fonction $g$ définie par $g(x) = -7x - 5$. Il faut déterminer qui a raison.

Pour cela, calculons l'image de $16$ par la fonction $g$.

On remplace $x$ par $16$ dans l'expression de $g(x)$ : $g(16) = -7 \times 16 - 5$.

On calcule : $-7 \times 16 = -112$, puis $-112 - 5 = -117$. Donc $g(16) = -117$.

L'image de $16$ par $g$ est $-117$, et non $-3$. Donc Lætitia a tort.

Maintenant, cherchons l'antécédent de $-3$ par la fonction $g$. On cherche la valeur de $x$ telle que $g(x) = -3$.

On doit résoudre l'équation $-7x - 5 = -3$.

On ajoute $5$ aux deux côtés : $-7x - 5 + 5 = -3 + 5$, ce qui donne $-7x = 2$.

On divise par $-7$ des deux côtés : $\dfrac{-7x}{-7} = \dfrac{2}{-7}$, ce qui donne $x = -\dfrac{2}{7}$.

L'antécédent de $-3$ par $g$ est $-\dfrac{2}{7}$, et non $16$. Donc Antoine a tort.

Lotfi affirme que "$16$ a pour antécédent $-3$ par $g$". Cela voudrait dire que l'antécédent de $16$ est $-3$. Vérifions si l'image de $-3$ est $16$.

Calculons $g(-3) = -7 \times (-3) - 5 = 21 - 5 = 16$.

On trouve bien $g(-3) = 16$. Donc l'image de $-3$ est $16$. Cela signifie que $-3$ est un antécédent de $16$.

Donc Lotfi a raison en disant que $16$ a pour antécédent $-3$ par $g$.

Conclusion : Lotfi a raison. Antoine et Lætitia se sont trompés en confondant image et antécédent, et en faisant des erreurs de calcul.

Correction :

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x + 5$. Il faut vérifier si les affirmations sont vraies ou fausses.

• "L'image de 4 est 17."

Pour vérifier cela, on calcule l'image de $4$ par $f$, c'est-à-dire $f(4)$.

$f(4) = 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$. On trouve bien $f(4) = 17$.

Réponse : Vrai.

• "-1 est l'image de 2."

Pour vérifier cela, on calcule l'image de $2$ par $f$, c'est-à-dire $f(2)$.

$f(2) = 3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11$. On trouve $f(2) = 11$, et non $-1$.

Réponse : Faux.

• "Un antécédent de 1 est 8."

Pour vérifier cela, on calcule l'image de $8$ par $f$, c'est-à-dire $f(8)$.

$f(8) = 3 \times 8 + 5 = 24 + 5 = 29$. On trouve $f(8) = 29$, et non $1$.

Réponse : Faux.

• "-3 a pour antécédent -4."

Pour vérifier cela, on calcule l'image de $-4$ par $f$, c'est-à-dire $f(-4)$.

$f(-4) = 3 \times (-4) + 5 = -12 + 5 = -7$. On trouve $f(-4) = -7$, et non $-3$.

Réponse : Faux.

Bilan des affirmations :

• L'image de 4 est 17. VRAI

• -1 est l'image de 2. FAUX

• Un antécédent de 1 est 8. FAUX

• -3 a pour antécédent -4. FAUX

Correction :

On étudie ici la trajectoire d'une balle lancée en l'air, représentée par la fonction $h(t)$. On va répondre aux questions en lisant le graphique.

Question 1 : Déterminer graphiquement $h(2,4)$. Interpréter.

Pour trouver $h(2,4)$, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $t=2,4$. Sur le graphique, on se place à $t=2,4$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, et on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe vertical. On lit environ $h(2,4) \approx 10$.

Interprétation : Au bout de $2,4$ secondes, la hauteur de la balle est d'environ $10$ mètres.

Question 2 : Déterminer graphiquement l'image de $0$ par la fonction $h$. Interpréter.

L'image de $0$ par $h$ est $h(0)$. On cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $t=0$. Sur le graphique, à $t=0$, la courbe passe par le point d'ordonnée environ $15$. Donc $h(0) \approx 15$.

Interprétation : À l'instant initial (au moment du lancer, $t=0$), la hauteur de la balle est d'environ $15$ mètres. Cela correspond à la hauteur à laquelle la balle a été lancée (probablement à hauteur d'épaule ou au dessus de la tête).

Question 3 : Déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de $18$ par la fonction $h$. Interpréter.

Les antécédents de $18$ sont les valeurs de $t$ pour lesquelles $h(t) = 18$. Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $18$. On trace la droite horizontale d'équation $y=18$. Cette droite coupe la courbe en un point au sommet. On lit l'abscisse de ce point sur l'axe horizontal. On lit environ $t \approx 0,4$. et $t \approx 1,6$.

Interprétation : La balle atteint une hauteur de $18$ mètres environ une seule fois, approximativement $0,4$ et $1,6$ secondes après le lancer, au moment où elle atteint sa hauteur maximale.

Question 4 : Pour quelle valeur de $t$ a-t-on $h(t) = 0$ ? Interpréter.

On cherche la ou les valeurs de $t$ pour lesquelles $h(t) = 0$. Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $0$. Ce sont les points d'intersection de la courbe avec l'axe horizontal. On lit une seule valeur : $t \approx 2,9$. (Approximativement, la lecture graphique).

Interprétation : La hauteur de la balle est de $0$ mètre au bout d'environ $2,9$ secondes. Cela signifie que la balle retombe au sol au bout d'environ $2,9$ secondes.

Correction :

Dans cet exercice, il faut trouver l'expression de fonctions à partir d'une description en français. On cherche à exprimer l'image de $x$ en fonction de $x$ dans chaque cas.

Question 1 : Fonction $f$ qui associe au côté $x$ d'un triangle équilatéral son périmètre.

Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Si le côté mesure $x$ cm, alors le périmètre est la somme des trois côtés, soit $x + x + x = 3x$.

Réponse : $f(x) = 3x$.

Question 2 : Fonction $g$ qui associe au rayon $x$ d'un disque son aire.

La formule de l'aire d'un disque de rayon $R$ est $\pi R^2$. Ici, le rayon est $x$. Donc l'aire est $\pi x^2$.

Réponse : $g(x) = \pi x^2$.

Question 3 : Fonction $h$ qui associe à la quantité $x$ de pommes achetée son prix, sachant que le kg de pommes coûte $1,50$ €.

Si on achète $x$ kg de pommes et que chaque kg coûte $1,50$ €, alors le prix total est obtenu en multipliant la quantité par le prix au kg, soit $x \times 1,50 = 1,5x$.

Réponse : $h(x) = 1,5x$.

Question 4 : Fonction $v$ qui associe au côté $x$ d'un cube son volume.

Le volume d'un cube de côté $c$ est $c^3 = c \times c \times c$. Ici, le côté est $x$. Donc le volume est $x^3 = x \times x \times x$.

Réponse : $v(x) = x^3$.

Correction :

On travaille avec la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 - 4x + 3$.

Question 1 : Calculer l'image de $4$.

Pour calculer l'image de $4$, on remplace $x$ par $4$ dans l'expression de $f(x)$.

$f(4) = 2 \times 4^2 - 4 \times 4 + 3$.

On calcule d'abord $4^2 = 16$. Puis $2 \times 16 = 32$. Et $4 \times 4 = 16$.

Donc $f(4) = 32 - 16 + 3 = 16 + 3 = 19$.

Réponse : L'image de $4$ par $f$ est $19$.

Question 2 : Calculer $f(-3)$.

Pour calculer $f(-3)$, on remplace $x$ par $-3$ dans l'expression de $f(x)$.

$f(-3) = 2 \times (-3)^2 - 4 \times (-3) + 3$.

On calcule d'abord $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. Puis $2 \times 9 = 18$. Et $4 \times (-3) = -12$, donc $-4 \times (-3) = -(-12) = +12$.

Donc $f(-3) = 18 + 12 + 3 = 30 + 3 = 33$.

Réponse : $f(-3) = 33$.

Question 3 : Vérifier que $-1$ et $3$ sont des antécédents d'un même nombre.

Pour vérifier que $-1$ et $3$ sont des antécédents d'un même nombre, il faut calculer l'image de $-1$ et l'image de $3$ et vérifier si on obtient le même résultat.

Calculons $f(-1) = 2 \times (-1)^2 - 4 \times (-1) + 3$.

$(-1)^2 = 1$. $2 \times 1 = 2$. $-4 \times (-1) = 4$.

Donc $f(-1) = 2 + 4 + 3 = 9$.

Calculons $f(3) = 2 \times 3^2 - 4 \times 3 + 3$.

$3^2 = 9$. $2 \times 9 = 18$. $4 \times 3 = 12$.

Donc $f(3) = 18 - 12 + 3 = 6 + 3 = 9$.

On constate que $f(-1) = 9$ et $f(3) = 9$. Les images de $-1$ et $3$ sont bien égales.

Réponse : Oui, $-1$ et $3$ sont des antécédents du même nombre $9$.