Expressions fractionnaires

Exercices sur les expressions fractionnaires : simplification, opérations et forme irréductible.

Revoyons ensemble les points essentiels sur les Expressions Fractionnaires avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !

1. Simplification de Fractions

Simplifier une fraction signifie la réécrire avec des nombres plus petits, tout en conservant la même valeur. Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.

Forme irréductible : Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Technique de simplification :

  1. Trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur. Souvent, tester les nombres premiers (2, 3, 5, 7, ...) est efficace.
  2. Diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.
  3. Répéter les étapes 1 et 2 jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun évident autre que 1.

Exemple : Simplifions la fraction $\frac{36}{48}$.

$\frac{36}{48} = \frac{36 \div 2}{48 \div 2} = \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$. La fraction $\frac{3}{4}$ est irréductible.

2. Opérations sur les Fractions

Addition et Soustraction : Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

  1. Trouver un dénominateur commun. Le plus simple est souvent le produit des dénominateurs, mais le plus petit dénominateur commun (PPCM) est préférable pour simplifier les calculs.
  2. Réduire les fractions au dénominateur commun.
  3. Additionner ou soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur commun.

Exemple : Calculons $\frac{1}{3} + \frac{2}{5}$.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} + \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15}$.

Multiplication : Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple : Calculons $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$.

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$.

Division : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Exemple : Calculons $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$.

$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

3. Expressions Fractionnaires Littérales

Les mêmes règles d'opération s'appliquent aux expressions fractionnaires contenant des lettres (variables). Il est essentiel de simplifier, factoriser et réduire au même dénominateur pour manipuler ces expressions.

Simplification : Identique aux fractions numériques, on cherche des facteurs communs au numérateur et au dénominateur pour simplifier.

Opérations : Addition, soustraction, multiplication et division suivent les mêmes principes, mais en manipulant des expressions algébriques au lieu de simples nombres.

Réduction au même dénominateur : Pour additionner ou soustraire, il est souvent nécessaire de trouver un dénominateur commun qui sera une expression algébrique.

C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !

Expressions fractionnaires

Exercice 1 : Forme irréductible

Donnez les expressions irréductibles des nombres rationnels suivants :

  1. $A=\frac{2}{7} \times \frac{9}{4}$

  2. $B=5 \times \frac{7}{15}$

  3. $C=\frac{36}{35} \times \frac{21}{12}$

  4. $D=\left( \frac{4}{5} - \frac{1}{15} \right) \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right)$

  5. $E=\frac{4}{3} \times \left( \frac{1}{8}-1 \right)$

  6. $F= \frac{\frac{-9}{4} \times \frac{5}{9}}{1- \frac{7}{12} }$
Exercice 2 : Simplifications littérales

Soit $x$ un nombre. Simplifiez les écritures fractionnaires suivantes :

  1. $A=\frac{6x}{2}$

  2. $B=\frac{2x}{8}$

  3. $C=\frac{3x+9}{3}$

  4. $D= \frac{8x+12}{6}$
Exercice 3 : Expression fractionnaire unique

Soit $x$ un nombre. Écrivez chaque expression littérale sous forme d'une seule expression fractionnaire :

  1. $A=2x-\frac{x}{5}$

  2. $B= \frac{3}{2} x -5$

  3. $C= 5 \times \frac{4x-1}{3}$

  4. $D=\frac{2x-3}{4} -1$

  5. $E=2-\frac{3x+2}{3}$

  6. $F=\frac{x}{6}- \frac{5x-4}{4}$

  7. $G=x+\frac{x-4}{2}$

  8. $H=3-\frac{x-1}{4}$

  9. $I=\frac{3x-2}{8} - \frac{5x+1}{6}$
Exercice 4 : Expressions fractionnaires avec dénominateurs littéraux

Soit $x$ un nombre. On supposera que les dénominateurs des expressions fractionnaires considérés sont tous non nuls. Écrivez chaque expression littérale sous forme d'une seule expression fractionnaire :

  1. $A=\frac{2}{x+1} - \frac{x}{x+1}$

  2. $B= \frac{1}{x+1}+ \frac{1}{x}$

  3. $C=\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$

  4. $D= \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x+3}$

  5. $E= \frac{x}{x+1} + \frac{2x-1}{x}$

  6. $F= \frac{x}{x-1} -x$
Exercice 5 : Réduction au même dénominateur et somme

Réduisez au même dénominateur puis sommez :

  1. $f(x)=3+ \frac{1}{x-2}$

  2. $f(x)=2x-1-\frac{1}{x}$

  3. $f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$

  4. $f(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{3x-1}$

  5. $f(x)=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{2}{x-1}$

  6. $f(x)=\frac{x}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}$

  7. $f(x)=\frac{x-2}{3x-1}-\frac{x+1}{3x+1}$

  8. $f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{4}{(x-1)(x-5)}$
Exercice 6 : Suite et fractions

Soit $n \in \mathbb{N}$.

  1. Montrez que: $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$.

  2. Déduisez-en $\frac{1}{1\times 2}+ \frac{1}{2 \times 3}+ \dots + \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$.