Fonctions Carré, Cube, Inverse et Racine carré

Correction :

a. $(-3)^2 = 9$ $\boxed{9}$

a. $-3^2 = -9$ $\boxed{-9}$

b. $(\sqrt 5)^2 = 5$ $\boxed{5}$

c. $(2\sqrt 7)^2 = 4 \times 7 = 28$ $\boxed{28}$

c. $(2+\sqrt 7)^2 = 4 + 4\sqrt 7 + 7 = 11 + 4\sqrt 7$ $\boxed{11 + 4\sqrt 7}$

d. $(-3\sqrt 2)^2 = 9 \times 2 = 18$ $\boxed{18}$

Correction :

a. $(\dfrac 23)^2 = \dfrac 49$ $\boxed{\dfrac 49}$

b. $(-\dfrac 57)^2 = \dfrac {25}{49}$ $\boxed{\dfrac {25}{49}}$

c. $(10^3)^2 = 10^6$ $\boxed{10^6}$

d. $(3^7)^2 = 3^{14}$ $\boxed{3^{14}}$

e. $(0,01)^2 = 0,0001 = 10^{-4}$ $\boxed{10^{-4}}$

Correction :

a. $x^2=9 \Leftrightarrow x=\sqrt 9=3$ ou $x=-\sqrt 9=-3$. $\boxed{3 \text{ et } -3}$

b. $x^2=1 \Leftrightarrow x=\sqrt 1=1$ ou $x=-\sqrt 1=-1$. $\boxed{1 \text{ et } -1}$

c. $x^2=0 \Leftrightarrow x=0$. $\boxed{0}$

d. $x^2=2 \Leftrightarrow $x=\sqrt 2$ ou $x=-\sqrt 2$. $\boxed{\sqrt 2 \text{ et } -\sqrt 2}$

e. $x^2=5 \Leftrightarrow x=\sqrt 5$ ou $x=-\sqrt 5$. $\boxed{\sqrt 5 \text{ et } -\sqrt 5}$

f. $x^2=\dfrac 94 \Leftrightarrow x=\sqrt {\dfrac 94}=\dfrac 32$ ou $x=-\sqrt {\dfrac 94}=-\dfrac 32$. $\boxed{\dfrac 32 \text{ et } -\dfrac 32}$

Correction :

a. $-8 \lt -5 \lt 0$. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$. Donc $(-8)^2 \gt (-5)^2$. $\boxed{(-8)^2 \gt (-5)^2}$

b. $0 \lt 1,135 \lt 1,14$. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$. Donc $1,14^2 \gt 1,135^2$. $\boxed{1,14^2 \gt 1,135^2}$

c. $-3,24 \lt 0 \lt 2$. Donc $(-3,24)^2$ et $2^2$ sont positifs. De plus $|-3,24|=3,24$ et $|2|=2$. Comme $3,24 \gt 2$, alors $(-3,24)^2 \gt 2^2$. $\boxed{(-3,24)^2 \gt 2^2}$

d. $\pi \approx 3,14$ et $-3$. Donc $\pi \gt 0$ et $-3 \lt 0$. De plus $\pi \approx 3,14 \gt 3 = |-3|$. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$. Donc $\pi^2 \gt 3^2 = (-3)^2$. $\boxed{{\pi}^2 \gt (-3)^2}$

Correction :

a. $x^2=7 \Leftrightarrow x=\sqrt 7$ ou $x=-\sqrt 7$. $\boxed{S=\{-\sqrt 7;\sqrt 7\}}$

b. $x^2=25 \Leftrightarrow x=\sqrt {25}=5$ ou $x=-\sqrt {25}=-5$. $\boxed{S=\{-5;5\}}$

c. $x^2=-1$. Un carré est toujours positif. Impossible. $\boxed{S=\emptyset}$

d. $x^2=0 \Leftrightarrow x=0$. $\boxed{S=\{0\}}$

Correction :

a. $x^2=5 \Leftrightarrow x=\sqrt 5$ ou $x=-\sqrt 5$. $\boxed{S=\{-\sqrt 5;\sqrt 5\}}$

b. $x^2+3=1 \Leftrightarrow x^2=1-3=-2$. Un carré est toujours positif. Impossible. $\boxed{S=\emptyset}$

c. $7x^2+8=8 \Leftrightarrow 7x^2=8-8=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Leftrightarrow x=0$. $\boxed{S=\{0\}}$

Correction :

a. $x^2-16=0 \Leftrightarrow x^2=16 \Leftrightarrow x=\sqrt {16}=4$ ou $x=-\sqrt {16}=-4$. $\boxed{S=\{-4;4\}}$

b. $x^2=\dfrac 49 \Leftrightarrow x=\sqrt {\dfrac 49}=\dfrac 23$ ou $x=-\sqrt {\dfrac 49}=-\dfrac 23$. $\boxed{S=\{-\dfrac 23;\dfrac 23\}}$

c. $10-x^2=1 \Leftrightarrow -x^2=1-10=-9 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x=\sqrt 9=3$ ou $x=-\sqrt 9=-3$. $\boxed{S=\{-3;3\}}$

d. $2x^2=\dfrac 12 \Leftrightarrow x^2=\dfrac 1{2\times 2}=\dfrac 14 \Leftrightarrow x=\sqrt {\dfrac 14}=\dfrac 12$ ou $x=-\sqrt {\dfrac 14}=-\dfrac 12$. $\boxed{S=\{-\dfrac 12;\dfrac 12\}}$

Correction :

a. $2x^2=32 \Leftrightarrow x^2=\dfrac {32}2=16 \Leftrightarrow x=\sqrt {16}=4$ ou $x=-\sqrt {16}=-4$. $\boxed{S=\{-4;4\}}$

b. $-x^2+4=0 \Leftrightarrow -x^2=-4 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\sqrt 4=2$ ou $x=-\sqrt 4=-2$. $\boxed{S=\{-2;2\}}$

c. $(x-7)^2=0 \Leftrightarrow x-7=0 \Leftrightarrow x=7$. $\boxed{S=\{7\}}$

Correction :

a. $x^2=49 \Leftrightarrow x=\sqrt {49}=7$ ou $x=-\sqrt {49}=-7$. $\boxed{S=\{-7;7\}}$

b. $(2x-1)^2=9 \Leftrightarrow 2x-1=\sqrt 9=3$ ou $2x-1=-\sqrt 9=-3$.
Si $2x-1=3 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x=2$.
Si $2x-1=-3 \Leftrightarrow 2x=-2 \Leftrightarrow x=-1$. $\boxed{S=\{-1;2\}}$

Correction :

a. $x^2\lt 3 \Leftrightarrow -\sqrt 3 \lt x \lt \sqrt 3$. $\boxed{S=]-\sqrt 3;\sqrt 3[}$

b. $x^2\geqslant 4 \Leftrightarrow x \leqslant -\sqrt 4=-2$ ou $x \geqslant \sqrt 4=2$. $\boxed{S=]-\infty;-2] \cup [2;+\infty[}$

c. $10-x^2\leqslant 1 \Leftrightarrow -x^2\leqslant 1-10=-9 \Leftrightarrow x^2\geqslant 9 \Leftrightarrow x \leqslant -\sqrt 9=-3$ ou $x \geqslant \sqrt 9=3$. $\boxed{S=]-\infty;-3] \cup [3;+\infty[}$

d. $1+x^2\gt 0 \Leftrightarrow x^2 \gt -1$. Un carré est toujours positif ou nul donc toujours supérieur à $-1$. $\boxed{S=\mathbb{R}}$

Correction :

a. $1\leqslant x^2\leqslant 16$.
$1\leqslant x^2 \Leftrightarrow x \leqslant -1$ ou $x \geqslant 1$.
$x^2\leqslant 16 \Leftrightarrow -4 \leqslant x \leqslant 4$.
On fait l'intersection des deux intervalles. $\boxed{S=[-4;-1] \cup [1;4]}$

b. $x^2-36\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2\geqslant 36 \Leftrightarrow x \leqslant -\sqrt {36}=-6$ ou $x \geqslant \sqrt {36}=6$. $\boxed{S=]-\infty;-6] \cup [6;+\infty[}$

c. $-2(5-x^2)\leqslant 8 \Leftrightarrow 5-x^2 \geqslant \dfrac 8{-2}=-4 \Leftrightarrow -x^2 \geqslant -4-5=-9 \Leftrightarrow x^2 \leqslant 9 \Leftrightarrow -\sqrt 9 \leqslant x \leqslant \sqrt 9$. $\boxed{S=[-3;3]}$

Correction :

a. $-2\leqslant x\leqslant 5$. Sur $[-2;0]$, la fonction carré est décroissante et sur $[0;5]$ croissante. Le minimum est donc atteint en $x=0$ et vaut $0^2=0$. Le maximum est atteint en $x=5$ ou $x=-2$. $(-2)^2=4$ et $5^2=25$. Le maximum est donc $25$. $\boxed{0\leqslant x^2\leqslant 25}$

b. $x\in [-3;2]$. Sur $[-3;0]$, la fonction carré est décroissante et sur $[0;2]$ croissante. Le minimum est donc atteint en $x=0$ et vaut $0^2=0$. Le maximum est atteint en $x=-3$ ou $x=2$. $(-3)^2=9$ et $2^2=4$. Le maximum est donc $9$. $\boxed{0\leqslant x^2\leqslant 9}$

Correction :

x$\in[-4;1]$. Sur $[-4;0]$, la fonction carré est décroissante et sur $[0;1]$ croissante. Le minimum de $x^2$ est donc atteint en $x=0$ et vaut $0^2=0$. Le maximum de $x^2$ est atteint en $x=-4$ ou $x=1$. $(-4)^2=16$ et $1^2=1$. Le maximum est donc $16$.
Donc $0\leqslant x^2\leqslant 16$.

On multiplie par $-2$ (nombre négatif donc on change l'ordre) : $0\geqslant -2x^2\geqslant -32$ soit $-32\leqslant -2x^2\leqslant 0$.

On ajoute $5$ à chaque membre : $5-32\leqslant 5-2x^2\leqslant 5+0$.

Finalement $\boxed{-27\leqslant 5-2x^2\leqslant 5}$.

Correction :

1. FAUX. Si $-2\leqslant x\leqslant 5$ alors $0\leqslant x^2\leqslant 25$. Contre-exemple : $x=0$.

2. FAUX. Si $x\leqslant 5$ alors $x^2$ peut être supérieur à $25$. Contre-exemple : $x=-6$. $(-6)^2=36 \gt 25$.

3. VRAI. Si $x\gt 5$, alors comme la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$, alors $x^2 \gt 5^2=25$.

4. VRAI. Si $-5\leqslant x\leqslant -2$. Sur $[-5;-2]$, la fonction carré est décroissante. Donc si $-5\leqslant x\leqslant -2$ alors $(-2)^2 \leqslant x^2 \leqslant (-5)^2$ soit $4\leqslant x^2\leqslant 25$.

Correction :

1. FAUX. Si $x^2=y^2$ alors $x=y$ ou $x=-y$. Contre-exemple : $x=2$ et $y=-2$. $x^2=4$ et $y^2=4$ mais $x\neq y$.

2. VRAI. Si $x=y$, alors en multipliant par $x=y$ de chaque côté, on obtient $x\times x = y\times y$ soit $x^2=y^2$.

3. FAUX. Pour tout réel $x$, $x^2$ est supérieur ou égal à $x$. Contre-exemple : $x=\dfrac 12$. $x^2 = (\dfrac 12)^2 = \dfrac 14 = 0,25$ et $x=\dfrac 12 = 0,5$. Donc $x^2 \lt x$.

Correction :

Pour démontrer que la fonction carré est paire, il faut démontrer que pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$.
Soit $f(x)=x^2$.

Calculons $f(-x)$. $f(-x) = (-x)^2 = (-1\times x)^2 = (-1)^2 \times x^2 = 1 \times x^2 = x^2 = f(x)$.
Donc $\boxed{f(-x)=f(x)}$. La fonction carré est bien paire.

Correction :

1. Graphiquement, on conjecture que :
Sur $]-\infty;0] \cup [1;+\infty[$, la courbe de la fonction carré est au-dessus de la droite d'équation $y=x$.
Sur $[0;1]$, la droite d'équation $y=x$ est au-dessus de la courbe de la fonction carré.

2. Pour comparer les positions relatives des courbes, on étudie le signe de la différence des ordonnées : $x^2-x$.
$x^2-x = x(x-1)$.

On étudie le signe de $x(x-1)$ à l'aide d'un tableau de signes :

Correction :

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0\leqslant a \lt b$.
Comparons $f(a)=a^2$ et $f(b)=b^2$.

$f(b)-f(a) = b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$.
Comme $0\leqslant a \lt b$, alors $b-a \gt 0$ et $b+a \gt 0$. Donc $f(b)-f(a) = (b-a)(b+a) \gt 0$.
Donc $f(b) \gt f(a)$. La fonction carré conserve l'ordre sur $[0;+\infty[$.
$\boxed{La~fonction~carré~est~croissante~sur~[0;+\infty[}$.

2. La fonction carré est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Comme elle est croissante sur $[0;+\infty[$, elle est donc décroissante sur $]-\infty;0]$.
$\boxed{La~fonction~carré~est~décroissante~sur~]-\infty;0]}$.

Correction :

Le volume d'un cylindre est $V=\pi R^2 h$. Ici $h=20$ cm. Donc $V=20\pi R^2$.

On sait que $0,8 \leqslant R \leqslant 0,9$. La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$.
Donc $(0,8)^2 \leqslant R^2 \leqslant (0,9)^2$.

$(0,8)^2 = 0,64$ et $(0,9)^2 = 0,81$.
Donc $0,64 \leqslant R^2 \leqslant 0,81$.

On multiplie par $20\pi$ (nombre positif donc on conserve l'ordre) : $20\pi \times 0,64 \leqslant 20\pi R^2 \leqslant 20\pi \times 0,81$.
$20\pi \times 0,64 = 12,8\pi$ et $20\pi \times 0,81 = 16,2\pi$.
Donc $\boxed{12,8\pi \leqslant V \leqslant 16,2\pi}$.

Correction :

a. $2^3 = 8$ $\boxed{8}$

b. $(-3)^3 = -27$ $\boxed{-27}$

c. $(\sqrt 5)^3 = (\sqrt 5)^2 \times \sqrt 5 = 5\sqrt 5$ $\boxed{5\sqrt 5}$

d. $(-3\sqrt 2)^3 = (-3)^3 \times (\sqrt 2)^3 = -27 \times 2\sqrt 2 = -54\sqrt 2$ $\boxed{-54\sqrt 2}$

Correction :

a. $(\dfrac 12)^3 = \dfrac 18$ $\boxed{\dfrac 18}$

b. $(-0,1)^3 = -0,001 = -10^{-3}$ $\boxed{-10^{-3}}$

c. $(10^2)^3 = 10^6$ $\boxed{10^6}$

d. $(5^7)^3 = 5^{21}$ $\boxed{5^{21}}$

Correction :

a. $x^3=27 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{27}=3$. $\boxed{3}$

b. $x^3=1 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{1}=1$. $\boxed{1}$

c. $x^3=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{0}=0$. $\boxed{0}$

d. $x^3=-8 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-8}=-2$. $\boxed{-2}$

Correction :

a. $0 \lt 0,3 \lt 1$. Donc $0,3^3 \lt 0,3^2$. $\boxed{(0,3)^2 \gt (0,3)^3}$

b. $1,35 \lt 1,4$. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Donc $1,35^3 \lt 1,4^3$. $\boxed{1,35^3 \lt 1,4^3}$

c. $0 \lt 0,9 \lt 1$. Donc $0,9^3 \lt 0,9$. $\boxed{0,9 \gt 0,9^3}$

d. $-\pi \approx -3,14$ et $-3$. Donc $-\pi \lt -3$. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Donc $(-\pi)^3 \lt (-3)^3$. $\boxed{(-\pi)^3 \lt (-3)^3}$

e. $\dfrac 45 = 0,8$ et $\dfrac 23 \approx 0,66$. Donc $\dfrac 23 \lt \dfrac 45$. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Donc $\left(\dfrac 45\right)^3 \gt \left(\dfrac 23\right)^3$. $\boxed{\left(\dfrac 45\right)^3 \gt \left(\dfrac 23\right)^3}$

f. $\dfrac 8{27} = (\dfrac 23)^3$ et $\left(\dfrac 56\right)^3$. $\dfrac 23 \approx 0,66$ et $\dfrac 56 \approx 0,83$. Donc $\dfrac 23 \lt \dfrac 56$. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Donc $\left(\dfrac 23\right)^3 \lt \left(\dfrac 56\right)^3$. $\boxed{\dfrac 8{27} \lt \left(\dfrac 56\right)^3}$

Correction :

a. $x^3=8 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{8}=2$. $\boxed{S=\{2\}}$

b. $x^3=-1 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-1}=-1$. $\boxed{S=\{-1\}}$

c. $x^3=-1000 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-1000}=-10$. $\boxed{S=\{-10\}}$

Correction :

a. $x^3\leqslant 27 \Leftrightarrow x \leqslant \sqrt[3]{27}=3$. $\boxed{S=]-\infty;3]}$

b. $x^3\gt 8 \Leftrightarrow x \gt \sqrt[3]{8}=2$. $\boxed{S=]2;+\infty[}$

c. $x^3\geqslant -1 \Leftrightarrow x \geqslant \sqrt[3]{-1}=-1$. $\boxed{S=[-1;+\infty[}$

d. $-8\leqslant x^3\leqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{-8} \leqslant x \leqslant \sqrt[3]{1} \Leftrightarrow -2 \leqslant x \leqslant 1$. $\boxed{S=[-2;1]}$

Correction :

Pour démontrer que la fonction cube est impaire, il faut démontrer que pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$.
Soit $f(x)=x^3$.

Calculons $f(-x)$. $f(-x) = (-x)^3 = (-1\times x)^3 = (-1)^3 \times x^3 = -1 \times x^3 = -x^3 = -f(x)$.
Donc $\boxed{f(-x)=-f(x)}$. La fonction cube est bien impaire.

Correction :

1. Graphiquement, sur $[0;+\infty[$, on conjecture que :
Sur $[0;1]$, la droite d'équation $y=x$ est au-dessus de la courbe de la fonction carré qui est au-dessus de la courbe de la fonction cube.
Sur $[1;+\infty[$, la courbe de la fonction cube est au-dessus de la courbe de la fonction carré qui est au-dessus de la droite d'équation $y=x$.

2. Comparons $x^2$ et $x^3$ sur $[0;+\infty[$. On étudie le signe de la différence $x^2-x^3 = x^2(1-x)$.

Sur $[0;1]$, $1-x \geqslant 0$ et $x^2 \geqslant 0$. Donc $x^2(1-x) \geqslant 0$. Donc $x^2 \geqslant x^3$. La courbe de la fonction carré est au-dessus de la courbe de la fonction cube sur $[0;1]$.
Sur $[1;+\infty[$, $1-x \leqslant 0$ et $x^2 \geqslant 0$. Donc $x^2(1-x) \leqslant 0$. Donc $x^2 \leqslant x^3$. La courbe de la fonction cube est au-dessus de la courbe de la fonction carré sur $[1;+\infty[$.
On sait déjà que sur $[0;1]$, $x \geqslant x^2$ et sur $[1;+\infty[$, $x^2 \geqslant x$.
Finalement, sur $[0;1]$, $x \geqslant x^2 \geqslant x^3$ et sur $[1;+\infty[$, $x^3 \geqslant x^2 \geqslant x$.
$\boxed{La~conjecture~graphique~est~démontrée.}$

Correction :

1. Développons $(b-a)(b^2+ab+a^2) = b(b^2+ab+a^2) - a(b^2+ab+a^2) = b^3+ab^2+a^2b - ab^2-a^2b-a^3 = b^3-a^3$.
$\boxed{b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)}$

2. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0\leqslant a \lt b$.
Comparons $f(a)=a^3$ et $f(b)=b^3$.

$f(b)-f(a) = b^3-a^3 = (b-a)(b^2+ab+a^2)$.
Comme $0\leqslant a \lt b$, alors $b-a \gt 0$.
Comme $0\leqslant a \lt b$, alors $a^2 \geqslant 0$, $b^2 \geqslant 0$ et $ab \geqslant 0$. Donc $b^2+ab+a^2 \gt 0$.
Donc $f(b)-f(a) = (b-a)(b^2+ab+a^2) \gt 0$.
Donc $f(b) \gt f(a)$. La fonction cube conserve l'ordre sur $[0;+\infty[$.
$\boxed{La~fonction~cube~est~strictement~croissante~sur~[0;+\infty[}$.

3. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \lt b \leqslant 0$.
Alors $0 \leqslant -b \lt -a$.

Comme la fonction cube est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, alors $f(-b) \lt f(-a)$ soit $(-b)^3 \lt (-a)^3$ soit $-b^3 \lt -a^3$ soit en multipliant par $-1$ (on change l'ordre) $b^3 \gt a^3$ soit $f(b) \gt f(a)$.
Donc $f(a) \lt f(b)$. La fonction cube conserve l'ordre sur $]-\infty;0]$.
$\boxed{La~fonction~cube~est~strictement~croissante~sur~]-\infty;0]}$.

Correction :

1. Le volume d'une sphère de rayon $r$ est $V=\dfrac 43 \pi r^3$.
On veut le rayon maximum $r$ tel que le volume de la sphère soit inférieur ou égal à 10 m$^3$.

Donc $\dfrac 43 \pi r^3 \leqslant 10$.
On multiplie par $\dfrac 34$ de chaque côté (nombre positif donc on conserve l'ordre) : $\dfrac 34 \times \dfrac 43 \pi r^3 \leqslant \dfrac 34 \times 10$.
$\pi r^3 \leqslant \dfrac {30}4 = \dfrac {15}2$.

On divise par $\pi$ (nombre positif donc on conserve l'ordre) : $\dfrac {\pi r^3}\pi \leqslant \dfrac {15}{2\pi}$.
$\boxed{r^3 \leqslant \dfrac {15}{2\pi}}$.

2. A la calculatrice, $\dfrac {15}{2\pi} \approx 2,3873$.
On cherche $r$ tel que $r^3 \leqslant 2,3873$.
$r \leqslant \sqrt[3]{2,3873} \approx 1,3368$.
Au centième près, $r \approx 1,34$ m. $\boxed{r \approx 1,34~m}$.

Correction :

a. L'inverse de $2$ est $\dfrac 12 = 0,5$. $\boxed{0,5}$

b. L'inverse de $\dfrac 23$ est $\dfrac 32 = 1,5$. $\boxed{1,5}$

c. L'inverse de $-4$ est $-\dfrac 14 = -0,25$. $\boxed{-0,25}$

d. L'inverse de $0,1 = \dfrac 1{10}$ est $10$. $\boxed{10}$

e. L'inverse de $10^3 = 1000$ est $\dfrac 1{1000} = 0,001$. $\boxed{0,001}$

Correction :

a. $x\in \left[\dfrac 12;8\right[$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc $\dfrac 18 \lt \dfrac 1x \leqslant \dfrac 1{\frac 12} = 2$. $\boxed{\dfrac 18 \lt \dfrac 1x \leqslant 2}$

b. $x\geqslant 2 \Leftrightarrow x\in [2;+\infty[$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc $0 \lt \dfrac 1x \leqslant \dfrac 12$. $\boxed{0 \lt \dfrac 1x \leqslant \dfrac 12}$

c. $-2 \leqslant x\leqslant -0.25 \Leftrightarrow x\in [-2;-0.25]$. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.
Donc $\dfrac 1{-0.25} \leqslant \dfrac 1x \leqslant \dfrac 1{-2}$. $\dfrac 1{-0.25} = -4$ et $\dfrac 1{-2} = -0,5$.
Donc $\boxed{-4 \leqslant \dfrac 1x \leqslant -0,5}$

Correction :

a. $0\lt x\leqslant 10 \Leftrightarrow x\in ]0;10]$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc $\dfrac 1{10} \leqslant \dfrac 1x \lt \lim_{x\to 0^+} \dfrac 1x = +\infty$. $\boxed{\dfrac 1{10} \leqslant \dfrac 1x \lt +\infty}$

b. $0,2 \leqslant x\leqslant \dfrac 14 = 0,25 \Leftrightarrow x\in [0,2;0,25]$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc $\dfrac 1{0,25} \leqslant \dfrac 1x \leqslant \dfrac 1{0,2}$. $\dfrac 1{0,25} = 4$ et $\dfrac 1{0,2} = 5$.
Donc $\boxed{4 \leqslant \dfrac 1x \leqslant 5}$

c. $x\in ]0,01;0,1]$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc $\dfrac 1{0,1} \leqslant \dfrac 1x \lt \dfrac 1{0,01}$. $\dfrac 1{0,1} = 10$ et $\dfrac 1{0,01} = 100$.
Donc $\boxed{10 \leqslant \dfrac 1x \lt 100}$

d. $x\in [-5;-1]$. La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.
Donc $\dfrac 1{-1} \leqslant \dfrac 1x \leqslant \dfrac 1{-5}$. $\dfrac 1{-1} = -1$ et $\dfrac 1{-5} = -0,2$.
Donc $\boxed{-1 \leqslant \dfrac 1x \leqslant -0,2}$

Correction :

$\dfrac 14\lt x \leqslant 8 \Leftrightarrow x\in ]\dfrac 14;8]$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc $\dfrac 18 \leqslant \dfrac 1x \lt \dfrac 1{\frac 14} = 4$. $\dfrac 18 \leqslant \dfrac 1x \lt 4$.

On multiplie par $-1$ (nombre négatif donc on change l'ordre) : $-4 \lt -\dfrac 1x \leqslant -\dfrac 18$.

On ajoute $2$ à chaque membre : $2-4 \lt 2-\dfrac 1x \leqslant 2-\dfrac 18$.

$2-4 = -2$ et $2-\dfrac 18 = \dfrac {16}8 - \dfrac 18 = \dfrac {15}8 = 1,875$.
Donc $\boxed{-2 \lt 2-\dfrac 1x \leqslant \dfrac {15}8}$

Correction :

On compare les dénominateurs : $3 \lt 5 \lt 7 \lt \pi \approx 3,14 \lt \sqrt 9 = 3$. Donc $\sqrt 3 \lt 3 \lt \pi \lt 5 \lt 7$.

On passe aux inverses (nombres positifs donc on change l'ordre) : $\dfrac 1{\sqrt 3} \gt \dfrac 13 \gt \dfrac 1{\pi} \gt \dfrac 15 \gt \dfrac 17$.

On multiplie par $-1$ (nombres négatifs donc on change l'ordre) : $-\dfrac 1{\sqrt 3} \lt -\dfrac 13 \lt -\dfrac 1{\pi} \lt -\dfrac 15 \lt -\dfrac 17$.

De plus $-2 = -\dfrac 21 = -\dfrac {14}7$. $-\dfrac 17 = -\dfrac 2{14}$. Donc $-2 \lt -\dfrac 17$.
Finalement, $\boxed{-2 \lt -\dfrac 17 \lt -\dfrac 15 \lt -\dfrac 1{\pi} \lt -\dfrac 1{\sqrt 3}}$.

Correction :

a. $\dfrac 4x=5 \Leftrightarrow 5x=4 \Leftrightarrow x=\dfrac 45$. $\boxed{S=\{\dfrac 45\}}$

b. $\dfrac 1{2x}+3=1 \Leftrightarrow \dfrac 1{2x}=1-3=-2 \Leftrightarrow -2(2x)=1 \Leftrightarrow -4x=1 \Leftrightarrow x=-\dfrac 14$. $\boxed{S=\{-\dfrac 14\}}$

c. $-\dfrac 6x=2 \Leftrightarrow 2x=-6 \Leftrightarrow x=-\dfrac 62=-3$. $\boxed{S=\{-3\}}$

d. $\dfrac 4x=0,01 \Leftrightarrow 0,01x=4 \Leftrightarrow x=\dfrac 4{0,01} = \dfrac 4{\frac 1{100}} = 400$. $\boxed{S=\{400\}}$

e. $\dfrac 4x=\dfrac 23 \Leftrightarrow 2x=4\times 3=12 \Leftrightarrow x=\dfrac {12}2=6$. $\boxed{S=\{6\}}$

f. $\dfrac 4x=0$. Impossible car un inverse n'est jamais nul. $\boxed{S=\emptyset}$

Correction :

a. Graphiquement, on trace la courbe de la fonction inverse et la droite horizontale d'équation $y=3$. L'intersection des deux courbes donne la solution de l'équation. On lit graphiquement $x \approx 0,33 = \dfrac 13$.

b. Algébriquement, $\dfrac 1x=3 \Leftrightarrow 3x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac 13$. $\boxed{S=\{\dfrac 13\}}$

Correction :

a. $\dfrac 1x\geqslant 4$. On distingue deux cas :
Si $x \gt 0$, alors $1 \geqslant 4x \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac 14$. Donc $x\in ]0;\dfrac 14]$.
Si $x \lt 0$, alors $1 \leqslant 4x \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac 14$. Impossible car $x \lt 0$.
$\boxed{S=]0;\dfrac 14]}$

b. $\dfrac 1x\leqslant 2$. On distingue deux cas :
Si $x \gt 0$, alors $1 \leqslant 2x \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac 12$. Donc $x\in [\dfrac 12;+\infty[$.
Si $x \lt 0$, alors $1 \geqslant 2x \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac 12$. Toujours vrai car $x \lt 0$. Donc $x\in ]-\infty;0[$.
$\boxed{S=]-\infty;0[ \cup [\dfrac 12;+\infty[}$

Correction :

a. $\dfrac 2x\leqslant 5$. On distingue deux cas :
Si $x \gt 0$, alors $2 \leqslant 5x \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac 25$. Donc $x\in [\dfrac 25;+\infty[$.
Si $x \lt 0$, alors $2 \geqslant 5x \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac 25$. Toujours vrai car $x \lt 0$. Donc $x\in ]-\infty;0[$.
$\boxed{S=]-\infty;0[ \cup [\dfrac 25;+\infty[}$

b. $-\dfrac 1x \leqslant 5$. On distingue deux cas :
Si $x \gt 0$, alors $-1 \leqslant 5x \Leftrightarrow x \geqslant -\dfrac 15$. Toujours vrai car $x \gt 0$. Donc $x\in ]0;+\infty[$.
Si $x \lt 0$, alors $-1 \geqslant 5x \Leftrightarrow x \leqslant -\dfrac 15$. Donc $x\in ]-\infty;-\dfrac 15]$.
$\boxed{S=]-\infty;-\dfrac 15] \cup ]0;+\infty[}$

c. $-\dfrac 2x +3\geqslant 7 \Leftrightarrow -\dfrac 2x \geqslant 7-3=4 \Leftrightarrow -\dfrac 2x \geqslant 4$. On distingue deux cas :
Si $x \gt 0$, alors $-2 \geqslant 4x \Leftrightarrow x \leqslant -\dfrac 24 = -\dfrac 12$. Impossible car $x \gt 0$.
Si $x \lt 0$, alors $-2 \leqslant 4x \Leftrightarrow x \geqslant -\dfrac 24 = -\dfrac 12$. Donc $x\in [-\dfrac 12;0[$.
$\boxed{S=[-\dfrac 12;0[}$

Correction :

1. FAUX. L'inverse d'un nombre $x$ non nul est $\dfrac 1x$.

2. VRAI. Si $x \gt 0$, alors $\dfrac 1x \gt 0$. Si $x \lt 0$, alors $\dfrac 1x \lt 0$.

3. FAUX. Si $a\lt b$ alors $\dfrac 1a \gt \dfrac 1b$ seulement si $a \gt 0$ et $b \gt 0$ ou $a \lt 0$ et $b \lt 0$. Si $a \lt 0 \lt b$, alors $\dfrac 1a \lt 0 \lt \dfrac 1b$.

4. FAUX. Si $0,5\leqslant x\leqslant 4$ alors $\dfrac 14\leqslant \dfrac 1x\leqslant \dfrac 1{0,5}=2$. VRAI.

Correction :

Pour démontrer que la fonction inverse est impaire, il faut démontrer que pour tout réel $x$ non nul, $f(-x)=-f(x)$.
Soit $f(x)=\dfrac 1x$.

Calculons $f(-x)$. $f(-x) = \dfrac 1{-x} = -\dfrac 1x = -f(x)$.
Donc $\boxed{f(-x)=-f(x)}$. La fonction inverse est bien impaire.

Correction :

1. Graphiquement, on conjecture que :
Sur $]-\infty;-1] \cup ]0;1]$, la droite d'équation $y=x$ est au-dessus de l'hyperbole de la fonction inverse.
Sur $[-1;0[ \cup [1;+\infty[$, l'hyperbole de la fonction inverse est au-dessus de la droite d'équation $y=x$.

2. Pour comparer les positions relatives des courbes, on étudie le signe de la différence des ordonnées : $\dfrac 1x - x$.
$\dfrac 1x - x = \dfrac {1-x^2}x = \dfrac {(1-x)(1+x)}x = -\dfrac {(x-1)(x+1)}x$.

On étudie le signe de $\dfrac {1-x^2}x$ à l'aide d'un tableau de signes :

Correction :

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \lt a \lt b$.
Comparons $f(a)=\dfrac 1a$ et $f(b)=\dfrac 1b$.

$f(b)-f(a) = \dfrac 1b - \dfrac 1a = \dfrac {a-b}{ab}$.
Comme $0 \lt a \lt b$, alors $a-b \lt 0$ et $ab \gt 0$. Donc $f(b)-f(a) = \dfrac {a-b}{ab} \lt 0$.
Donc $f(b) \lt f(a)$. La fonction inverse inverse l'ordre sur $]0;+\infty[$.
$\boxed{La~fonction~inverse~est~décroissante~sur~]0;+\infty[}$.

2. La fonction inverse est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Comme elle est décroissante sur $]0;+\infty[$, elle est donc décroissante sur $]-\infty;0[$.
$\boxed{La~fonction~inverse~est~décroissante~sur~]-\infty;0]}$.

Correction :

On cherche l'inverse de $2-\dfrac 1x$. C'est donc $\dfrac 1{2-\dfrac 1x}$.

On réduit au même dénominateur $2-\dfrac 1x = \dfrac {2x}x - \dfrac 1x = \dfrac {2x-1}x$.
Donc l'inverse est $\dfrac 1{\dfrac {2x-1}x} = \dfrac x{2x-1}$.
$\boxed{\dfrac x{2x-1}}$

Correction :

a. L'image de $49$ par la fonction racine carré est $\sqrt{49} = 7$. $\boxed{7}$

b. L'image de $121$ par la fonction racine carré est $\sqrt{121} = 11$. $\boxed{11}$

c. L'image de $0.04$ par la fonction racine carré est $\sqrt{0.04} = 0.2$. $\boxed{0.2}$

d. L'image de $\dfrac{100}{81}$ par la fonction racine carré est $\sqrt{\dfrac{100}{81}} = \dfrac{10}{9}$. $\boxed{\dfrac{10}{9}}$

e. L'image de $7$ par la fonction racine carré est $\sqrt{7}$. $\boxed{\sqrt{7}}$

Correction :

a. On cherche $x$ tel que $\sqrt{x} = 10$. En élevant au carré, on obtient $x = 10^2 = 100$. $\boxed{100}$

b. On cherche $x$ tel que $\sqrt{x} = 0.5 = \dfrac{1}{2}$. En élevant au carré, on obtient $x = (0.5)^2 = 0.25 = \dfrac{1}{4}$. $\boxed{\dfrac{1}{4}}$

c. On cherche $x$ tel que $\sqrt{x} = \sqrt{3}$. En élevant au carré, on obtient $x = (\sqrt{3})^2 = 3$. $\boxed{3}$

d. On cherche $x$ tel que $\sqrt{x} = 0$. En élevant au carré, on obtient $x = 0^2 = 0$. $\boxed{0}$

e. On cherche $x$ tel que $\sqrt{x} = -1$. La fonction racine carré est toujours positive ou nulle. Impossible. $\boxed{Pas~d'antécédent}$

Correction :

a. $4 = \sqrt{16}$. $15 < 16$. La fonction racine carré est croissante sur $[0;+\infty[$. Donc $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$. $\boxed{\sqrt{15} < 4}$

b. $1 = \sqrt{1}$. $\dfrac{1}{2} < 1$. La fonction racine carré est croissante sur $[0;+\infty[$. Donc $\sqrt{\dfrac{1}{2}} < \sqrt{1} = 1$. $\boxed{\sqrt{\dfrac{1}{2}} < 1}$

c. $\sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$. $\sqrt{36}+\sqrt{64} = 6+8 = 14$. Donc $\sqrt{36+64} < \sqrt{36}+\sqrt{64}$. $\boxed{\sqrt{36+64} < \sqrt{36}+\sqrt{64}}$

d. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$. $5 > -5$. Donc $\sqrt{(-5)^2} > -5$. $\boxed{\sqrt{(-5)^2} > -5}$

e. Comparons $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$ et $(\sqrt{5})^2$.
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
$5 + 2\sqrt{6} > 5$. Donc $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 > (\sqrt{5})^2$. La fonction racine carré est croissante sur $[0;+\infty[$. Donc $\sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{5}$. $\boxed{\sqrt{2} + \sqrt{3} > \sqrt{5}}$

Correction :

a. $\sqrt{x} + 3 = 10 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 10 - 3 = 7$. On élève au carré les deux membres: $(\sqrt{x})^2 = 7^2 \Leftrightarrow x = 49$. $\boxed{S=\{49\}}$

b. $5 - \sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow -\sqrt{x} = 2 - 5 = -3 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 3$. On élève au carré les deux membres: $(\sqrt{x})^2 = 3^2 \Leftrightarrow x = 9$. $\boxed{S=\{9\}}$

c. $\sqrt{2x-1} = 3$. On élève au carré les deux membres: $(\sqrt{2x-1})^2 = 3^2 \Leftrightarrow 2x-1 = 9 \Leftrightarrow 2x = 10 \Leftrightarrow x = 5$. $\boxed{S=\{5\}}$

d. $\dfrac{\sqrt{x}}{4} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 2 \times 4 = 8$. On élève au carré les deux membres: $(\sqrt{x})^2 = 8^2 \Leftrightarrow x = 64$. $\boxed{S=\{64\}}$

Correction :

a. $\sqrt{x} - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} \leqslant 1$. On élève au carré les deux membres (positifs) : $(\sqrt{x})^2 \leqslant 1^2 \Leftrightarrow x \leqslant 1$. De plus, la racine carré est définie pour $x \geqslant 0$. Donc $\boxed{S=[0;1]}$

b. $2\sqrt{x} + 5 > 11 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} > 11 - 5 = 6 \Leftrightarrow \sqrt{x} > 3$. On élève au carré les deux membres (positifs) : $(\sqrt{x})^2 > 3^2 \Leftrightarrow x > 9$. $\boxed{S=]9;+\infty[}$

c. $3 - \sqrt{x} \geqslant 0 \Leftrightarrow 3 \geqslant \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x} \leqslant 3$. On élève au carré les deux membres (positifs) : $(\sqrt{x})^2 \leqslant 3^2 \Leftrightarrow x \leqslant 9$. De plus, la racine carré est définie pour $x \geqslant 0$. Donc $\boxed{S=[0;9]}$

d. $\dfrac{\sqrt{x}}{2} < 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2$. On élève au carré les deux membres (positifs) : $(\sqrt{x})^2 < 2^2 \Leftrightarrow x < 4$. De plus, la racine carré est définie pour $x \geqslant 0$. Donc $\boxed{S=[0;4[}$

Correction :

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a < b$. Comparons $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$.

On utilise la quantité conjuguée : $\sqrt{b} - \sqrt{a} = (\sqrt{b} - \sqrt{a}) \times \dfrac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \dfrac{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$.

Comme $0 \leqslant a < b$, alors $b - a > 0$. Comme $0 \leqslant a < b$, alors $\sqrt{a} \geqslant 0$ et $\sqrt{b} > 0$, donc $\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0$.

Donc $\dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0$. Donc $\sqrt{b} - \sqrt{a} > 0$. Donc $\sqrt{b} > \sqrt{a}$.

La fonction racine carrée conserve l'ordre sur $[0;+\infty[$. Donc La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

Correction :

a. $x \in [4; 9]$. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, donc sur $[4; 9]$. Donc $\sqrt{4} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{9}$. $\boxed{2 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 3}$

b. $2\sqrt{x} - 1$. On part de l'encadrement précédent: $2 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 3$. On multiplie par $2$ (nombre positif): $2 \times 2 \leqslant 2\sqrt{x} \leqslant 2 \times 3 \Leftrightarrow 4 \leqslant 2\sqrt{x} \leqslant 6$. On soustrait $1$: $4 - 1 \leqslant 2\sqrt{x} - 1 \leqslant 6 - 1$. $\boxed{3 \leqslant 2\sqrt{x} - 1 \leqslant 5}$

c. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. On part de l'encadrement de $\sqrt{x}$: $2 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 3$. On passe à l'inverse (nombres positifs, on inverse l'ordre): $\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant \dfrac{1}{2}$. $\boxed{\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant \dfrac{1}{2}}$

d. $\sqrt{x^2} = |x|$. Comme $x \in [4; 9]$, $x > 0$, donc $|x| = x$. $\boxed{4 \leqslant \sqrt{x^2} \leqslant 9}$

Correction :

a. $x \in [1; 25]$. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, donc sur $[1; 25]$. Donc $\sqrt{1} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{25}$. $\boxed{1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 5}$

b. $3\sqrt{x}$. On part de l'encadrement précédent: $1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 5$. On multiplie par $3$ (nombre positif): $3 \times 1 \leqslant 3\sqrt{x} \leqslant 3 \times 5$. $\boxed{3 \leqslant 3\sqrt{x} \leqslant 15}$

c. $\sqrt{x} + 4$. On part de l'encadrement de $\sqrt{x}$: $1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 5$. On ajoute $4$: $1 + 4 \leqslant \sqrt{x} + 4 \leqslant 5 + 4$. $\boxed{5 \leqslant \sqrt{x} + 4 \leqslant 9}$

d. $\sqrt{x} - 2$. On part de l'encadrement de $\sqrt{x}$: $1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 5$. On soustrait $2$: $1 - 2 \leqslant \sqrt{x} - 2 \leqslant 5 - 2$. $\boxed{-1 \leqslant \sqrt{x} - 2 \leqslant 3}$

Correction :

a. $x \in [\frac{1}{4}; 1]$. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, donc sur $[\frac{1}{4}; 1]$. Donc $\sqrt{\frac{1}{4}} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{1}$. $\boxed{\dfrac{1}{2} \leqslant \sqrt{x} \leqslant 1}$

b. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. On part de l'encadrement précédent: $\dfrac{1}{2} \leqslant \sqrt{x} \leqslant 1$. On passe à l'inverse (nombres positifs, on inverse l'ordre): $\dfrac{1}{1} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant \dfrac{1}{\frac{1}{2}}$. $\boxed{1 \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant 2}$

c. $2 - \sqrt{x}$. On part de l'encadrement de $\sqrt{x}$: $\dfrac{1}{2} \leqslant \sqrt{x} \leqslant 1$. On multiplie par $-1$ (nombre négatif, on change l'ordre): $-1 \leqslant -\sqrt{x} \leqslant -\dfrac{1}{2}$. On ajoute $2$: $2 - 1 \leqslant 2 - \sqrt{x} \leqslant 2 - \dfrac{1}{2}$. $\boxed{1 \leqslant 2 - \sqrt{x} \leqslant \dfrac{3}{2}}$

d. $5 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. On part de l'encadrement de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$: $1 \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant 2$. On ajoute $5$: $5 + 1 \leqslant 5 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant 5 + 2$. $\boxed{6 \leqslant 5 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant 7}$

Correction :

a. $1 \leqslant x \leqslant 4 \Rightarrow \sqrt{1} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{4} \Rightarrow 1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 2$. $9 \leqslant y \leqslant 16 \Rightarrow \sqrt{9} \leqslant \sqrt{y} \leqslant \sqrt{16} \Rightarrow 3 \leqslant \sqrt{y} \leqslant 4$. On additionne membre à membre (encadrements de nombres positifs): $1 + 3 \leqslant \sqrt{x} + \sqrt{y} \leqslant 2 + 4$. $\boxed{4 \leqslant \sqrt{x} + \sqrt{y} \leqslant 6}$

b. $\sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{x} + (-\sqrt{y})$. On a $3 \leqslant \sqrt{y} \leqslant 4$. On multiplie par $-1$: $-4 \leqslant -\sqrt{y} \leqslant -3$. On a $1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 2$. On additionne membre à membre: $1 - 4 \leqslant \sqrt{x} - \sqrt{y} \leqslant 2 - 3$. $\boxed{-3 \leqslant \sqrt{x} - \sqrt{y} \leqslant -1}$

c. $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$. On a $1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 2$ et $3 \leqslant \sqrt{y} \leqslant 4$. On multiplie membre à membre (encadrements de nombres positifs): $1 \times 3 \leqslant \sqrt{x} \times \sqrt{y} \leqslant 2 \times 4$. $\boxed{3 \leqslant \sqrt{xy} \leqslant 8}$

d. $\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \sqrt{y} \times \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. On a $1 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 2$. On passe à l'inverse: $\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}} \leqslant \dfrac{1}{1} = 1$. On a $3 \leqslant \sqrt{y} \leqslant 4$. On multiplie membre à membre: $\dfrac{1}{2} \times 3 \leqslant \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \leqslant 1 \times 4$. $\boxed{\dfrac{3}{2} \leqslant \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \leqslant 4}$