Évolutions Successives

Correction :

Le raisonnement de Paul est incorrect car il additionne directement les pourcentages de réduction successifs. Le taux de réduction global ne s'obtient pas par simple addition des taux intermédiaires. Il faut considérer l'effet multiplicatif des réductions sur le prix.

Pour calculer le taux de réduction global réel, il faut utiliser les coefficients multiplicateurs.

1. Calcul du coefficient multiplicateur de la première réduction de $20\%$ :

$CM_1 = 1 - \frac{20}{100} = 1 - 0,20 = 0,80$

2. Calcul du coefficient multiplicateur de la seconde réduction de $30\%$ :

$CM_2 = 1 - \frac{30}{100} = 1 - 0,30 = 0,70$

3. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_g$ :

$CM_g = CM_1 \times CM_2 = 0,80 \times 0,70 = 0,56$

4. Calcul du taux de réduction global $t_g$ en pourcentage :

$t_g = (CM_g - 1) \times 100 = (0,56 - 1) \times 100 = -0,44 \times 100 = -44\%$

Le signe négatif indique une réduction.

Conclusion : Le taux de réduction global réel est de $44\%$, et non de $50\%$ comme le pensait Paul. Le raisonnement correct implique de multiplier les coefficients multiplicateurs, et non d'additionner les pourcentages. Le prix final sera donc de $56\%$ du prix initial, et non de $50\%$.

Correction :

Pour calculer le taux d'évolution global, nous allons utiliser les coefficients multiplicateurs.

1. Calcul du coefficient multiplicateur de la première évolution (augmentation de 10%) :

Le coefficient multiplicateur $CM_1$ pour une augmentation de $t\%$ est donné par la formule : $CM_1 = 1 + \frac{t}{100}$.

Ici, $t = 10\%$, donc :

$CM_1 = 1 + \frac{10}{100} = 1 + 0,10 = 1,10$

2. Calcul du coefficient multiplicateur de la seconde évolution (baisse de 20%) :

Le coefficient multiplicateur $CM_2$ pour une baisse de $t\%$ est donné par la formule : $CM_2 = 1 - \frac{t}{100}$.

Ici, $t = 20\%$, donc :

$CM_2 = 1 - \frac{20}{100} = 1 - 0,20 = 0,80$

3. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_g$ :

Le coefficient multiplicateur global $CM_g$ est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_g = CM_1 \times CM_2$.

$CM_g = 1,10 \times 0,80 = 0,88$

4. Calcul du taux d'évolution global $t_g$ en pourcentage :

Le taux d'évolution global $t_g$ est donné par la formule : $t_g = (CM_g - 1) \times 100$.

$t_g = (0,88 - 1) \times 100 = -0,12 \times 100 = -12\%$

Le signe négatif indique une baisse.

Conclusion : Le taux d'évolution global de cet article est une baisse de $12\%$.

Correction :

Pour calculer le taux d'évolution global sur dix ans, nous allons utiliser le coefficient multiplicateur annuel et l'appliquer sur la période de dix ans.

1. Calcul du coefficient multiplicateur annuel $CM_a$ :

L'augmentation annuelle est de $2,5\%$. Le coefficient multiplicateur annuel $CM_a$ est :

$CM_a = 1 + \frac{2,5}{100} = 1 + 0,025 = 1,025$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_g$ sur dix ans :

Pour une évolution répétée pendant $n$ périodes, le coefficient multiplicateur global est $CM_g = (CM_a)^n$. Ici, $n=10$ ans.

$CM_g = (1,025)^{10} \approx 1,2800845...$

Nous allons arrondir à $1,2801$ pour faciliter la lecture du taux en pourcentage.

3. Calcul du taux d'évolution global $t_g$ en pourcentage :

Le taux d'évolution global $t_g$ est donné par la formule : $t_g = (CM_g - 1) \times 100$.

$t_g = (1,2801 - 1) \times 100 = 0,2801 \times 100 = 28,01\%$

Conclusion : Le salaire aura augmenté d'environ $28,01\%$ en dix ans.

Correction :

Question 1 : Comparaison de la réduction sur HT et TTC

Pour comparer, prenons un prix de base Hors Taxe (H.T.) de $100\ \text{\euro}$.

Cas 1 : Réduction de $15\%$ sur le prix H.T.

Prix H.T. initial : $100\ \text{\euro}$.

Réduction de $15\%$ sur le prix H.T. : $100 \times \frac{15}{100} = 15\ \text{\euro}$.

Nouveau prix H.T. après réduction : $100 - 15 = 85\ \text{\euro}$.

Calcul de la TVA (19,6\%) sur le prix H.T. réduit : $85 \times \frac{19,6}{100} = 16,66\ \text{\euro}$.

Prix T.T.C. final avec réduction sur H.T. : $85 + 16,66 = 101,66\ \text{\euro}$.

Cas 2 : Réduction de $15\%$ sur le prix T.T.C.

Prix H.T. initial : $100\ \text{\euro}$.

Calcul du prix T.T.C. initial (avant réduction) : $100 \times (1 + \frac{19,6}{100}) = 100 \times 1,196 = 119,6\ \text{\euro}$.

Réduction de $15\%$ sur le prix T.T.C. initial : $119,6 \times \frac{15}{100} = 17,94\ \text{\euro}$.

Prix T.T.C. final avec réduction sur T.T.C. : $119,6 - 17,94 = 101,66\ \text{\euro}$.

Conclusion question 1 : Dans les deux cas, le prix final T.T.C. est le même : $101,66\ \text{\euro}$. Il est donc indifférent pour l'acheteur d'avoir une réduction de $15\%$ sur le prix H.T. ou sur le prix T.T.C.

Question 2 : Calcul du prix payé avec une remise de $8\%$ sur le prix T.T.C.

Prix H.T. du véhicule : $\np{34698}\ \text{\euro}$.

Calcul du prix T.T.C. avant remise : $V_{TTC} = V_{HT} \times (1 + \frac{TVA}{100}) = \np{34698} \times (1 + \frac{19,6}{100}) = \np{34698} \times 1,196 = \np{41499,808}\ \text{\euro}$.

Remise de $8\%$ sur le prix T.T.C. : $Remise = V_{TTC} \times \frac{8}{100} = \np{41499,808} \times \frac{8}{100} = \np{3319,98464}\ \text{\euro}$.

Prix final payé : $Prix_{final} = V_{TTC} - Remise = \np{41499,808} - \np{3319,98464} = \np{38179,82336}\ \text{\euro}$.

Conclusion question 2 : Le prix payé par le client est d'environ $\np{38179,82}\ \text{\euro}$ (arrondi au centime près).

Correction :

Pour retrouver le prix initial, nous devons effectuer une évolution réciproque.

1. Détermination du coefficient multiplicateur de la baisse :

La baisse est de $12\%$. Le coefficient multiplicateur $CM$ correspondant à une baisse de $t\%$ est $CM = 1 - \frac{t}{100}$.

Ici, $t = 12\%$, donc :

$CM = 1 - \frac{12}{100} = 1 - 0,12 = 0,88$

2. Utilisation du coefficient multiplicateur réciproque pour retrouver le prix initial $V_D$ :

On connaît le prix après la baisse (valeur d'arrivée $V_A = 600\ \text{\euro}$) et le coefficient multiplicateur $CM = 0,88$. Pour retrouver la valeur de départ $V_D$, on utilise la formule : $V_D = \frac{V_A}{CM}$.

$V_D = \frac{600}{0,88} \approx 681,8181...$

Nous arrondirons au centime près.

Conclusion : Le prix initial de l'ordinateur était d'environ $681,82\ \text{\euro}$.

Correction :

Pour trouver le taux réciproque, nous allons d'abord calculer le coefficient multiplicateur de l'augmentation, puis le coefficient multiplicateur réciproque, et enfin le taux réciproque.

1. Calcul du coefficient multiplicateur de l'augmentation de $20\%$ :

Pour une augmentation de $t\%$, le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + \frac{t}{100}$. Ici, $t = 20\%$.

$CM = 1 + \frac{20}{100} = 1 + 0,20 = 1,20$

2. Calcul du coefficient multiplicateur réciproque $CM_r$ :

Le coefficient multiplicateur réciproque $CM_r$ est l'inverse du coefficient multiplicateur initial : $CM_r = \frac{1}{CM}$.

$CM_r = \frac{1}{1,20} = \frac{1}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} \approx 0,83333...$

3. Calcul du taux réciproque $t_r$ en pourcentage :

Le taux réciproque $t_r$ est donné par la formule : $t_r = (CM_r - 1) \times 100$.

$t_r = (0,83333 - 1) \times 100 = -0,16667 \times 100 = -16,667\%$

Arrondissons à deux décimales : $t_r \approx -16,67\%$. Le signe négatif indique une baisse.

Conclusion : Pour que l'article retrouve sa valeur initiale, il faut appliquer une baisse d'environ $16,67\%$.

Correction :

Pour calculer la consommation en 1998 (valeur de départ), nous utiliserons l'évolution réciproque à partir de la consommation en 2008 (valeur d'arrivée).

1. Détermination du coefficient multiplicateur de la baisse de $22,7\%$ :

Pour une baisse de $t\%$, le coefficient multiplicateur est $CM = 1 - \frac{t}{100}$. Ici, $t = 22,7\%$.

$CM = 1 - \frac{22,7}{100} = 1 - 0,227 = 0,773$

2. Calcul de la consommation en 1998 (valeur de départ $V_D$) :

On connaît la consommation en 2008 (valeur d'arrivée $V_A = 51,5\ \mathrm{kg}$) et le coefficient multiplicateur $CM = 0,773$. On utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM}$.

$V_D = \frac{51,5}{0,773} \approx 66,6235...$

Arrondissons au dixième de kg près.

Conclusion : La consommation annuelle par personne en 1998 était d'environ $66,6\ \mathrm{kg}$.

Correction :

Pour trouver le montant des dons en 2014 (valeur de départ), nous utiliserons l'évolution réciproque à partir du montant des dons en 2015 (valeur d'arrivée).

1. Détermination du coefficient multiplicateur de l'augmentation de $4\%$ :

Pour une augmentation de $t\%$, le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + \frac{t}{100}$. Ici, $t = 4\%$.

$CM = 1 + \frac{4}{100} = 1 + 0,04 = 1,04$

2. Calcul du montant des dons en 2014 (valeur de départ $V_D$) :

On connaît le montant des dons en 2015 (valeur d'arrivée $V_A = 4,5$ milliards d'euros) et le coefficient multiplicateur $CM = 1,04$. On utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM}$.

$V_D = \frac{4,5}{1,04} \approx 4,326923...$

Arrondissons au centième de milliard d'euros près.

Conclusion : Le montant des dons en 2014 était d'environ $4,33$ milliards d'euros.

Correction :

Pour calculer le taux d'évolution global sur six ans, nous devons multiplier les coefficients multiplicateurs annuels.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs annuels :

Pour chaque année, on calcule le coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + \frac{t_i}{100}$, où $t_i$ est le taux de croissance en pourcentage pour l'année $i$.

• 2004 : $CM_1 = 1 + \frac{11}{100} = 1,11$
• 2005 : $CM_2 = 1 + \frac{25}{100} = 1,25$
• 2006 : $CM_3 = 1 + \frac{47}{100} = 1,47$
• 2007 : $CM_4 = 1 + \frac{-9}{100} = 0,91$
• 2008 : $CM_5 = 1 + \frac{60}{100} = 1,60$
• 2009 : $CM_6 = 1 + \frac{-10}{100} = 0,90$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_g$ :

Le coefficient multiplicateur global $CM_g$ est le produit de tous les coefficients multiplicateurs annuels : $CM_g = CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times CM_4 \times CM_5 \times CM_6$.

$CM_g = 1,11 \times 1,25 \times 1,47 \times 0,91 \times 1,60 \times 0,90 \approx 2,6727246$

3. Calcul du taux d'évolution global $t_g$ en pourcentage :

Le taux d'évolution global $t_g$ est donné par la formule : $t_g = (CM_g - 1) \times 100$.

$t_g = (2,6727246 - 1) \times 100 \approx 167,27246\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près.

Conclusion : Le taux d'évolution global sur ces six années est d'environ $167,27\%$.

Correction :

Pour retrouver le nombre d'abonnés deux ans avant (valeur de départ), nous devons utiliser l'évolution réciproque des évolutions successives.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des augmentations successives :

Augmentation de $5\%$ la première année : $CM_1 = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

Augmentation de $8\%$ la deuxième année : $CM_2 = 1 + \frac{8}{100} = 1,08$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_g$ sur les deux années :

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs annuels : $CM_g = CM_1 \times CM_2$.

$CM_g = 1,05 \times 1,08 = 1,134$

3. Calcul du nombre d'abonnés deux ans avant (valeur de départ $V_D$) :

On connaît le nombre d'abonnés après deux ans (valeur d'arrivée $V_A = \np{62370}$) et le coefficient multiplicateur global $CM_g = 1,134$. On utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM_g}$.

$V_D = \frac{\np{62370}}{1,134} \approx 55000$

Puisqu'il s'agit d'un nombre d'abonnés, nous arrondissons à l'entier le plus proche.

Conclusion : Le nombre d'abonnés deux ans avant était d'environ $55000$.

Correction :

Pour trouver le taux de solde nécessaire pour revenir au prix initial, nous devons d'abord calculer l'évolution globale due aux augmentations, puis trouver l'évolution réciproque.

1. Calcul du coefficient multiplicateur global des augmentations de juillet et août :

Augmentation de $15\%$ en juillet : $CM_1 = 1 + \frac{15}{100} = 1,15$.

Augmentation de $20\%$ en août : $CM_2 = 1 + \frac{20}{100} = 1,20$.

Coefficient multiplicateur global des augmentations : $CM_{augmentations} = CM_1 \times CM_2 = 1,15 \times 1,20 = 1,38$.

2. Détermination du coefficient multiplicateur réciproque $CM_{r}$ pour revenir au prix initial :

Pour revenir à la valeur initiale, nous devons appliquer le coefficient multiplicateur réciproque $CM_{r} = \frac{1}{CM_{augmentations}}$.

$CM_{r} = \frac{1}{1,38} \approx 0,724637...$

3. Calcul du taux de solde $t_{solde}$ en pourcentage :

Le taux de solde $t_{solde}$ est donné par la formule : $t_{solde} = (CM_{r} - 1) \times 100$.

$t_{solde} = (0,724637 - 1) \times 100 \approx -27,5363\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près. Le signe négatif indique une baisse, donc un solde.

Conclusion : Pour revenir à son prix initial, l'article doit être soldé avec une baisse d'environ $27,54\%$.

Correction :

Pour résoudre ce problème, nous devons calculer la rémunération mensuelle totale actuelle du cadre dirigeant, puis déterminer l'augmentation de salaire nécessaire pour atteindre cette même rémunération sans le complément.

1. Calcul de la rémunération mensuelle totale actuelle :

Salaire mensuel actuel : $\np{7000}\ \text{\euro}$.

Complément annuel : $\np{90000}\ \text{\euro}$.

Complément mensuel équivalent : $\frac{\np{90000}}{12} = \np{7500}\ \text{\euro}$.

Rémunération mensuelle totale actuelle : Salaire mensuel + Complément mensuel = $\np{7000} + \np{7500} = \np{14500}\ \text{\euro}$.

2. Calcul de l'augmentation absolue du salaire mensuel nécessaire :

Le nouveau salaire mensuel doit être égal à la rémunération mensuelle totale actuelle pour maintenir le même niveau de couverture des frais.

Nouveau salaire mensuel = $\np{14500}\ \text{\euro}$.

Augmentation absolue du salaire mensuel : Nouveau salaire - Ancien salaire = $\np{14500} - \np{7000} = \np{7500}\ \text{\euro}$.

3. Calcul du pourcentage d'augmentation du salaire mensuel :

Pourcentage d'augmentation = $\frac{Augmentation\ absolue}{Salaire\ initial} \times 100 = \frac{\np{7500}}{\np{7000}} \times 100$.

Pourcentage d'augmentation $\approx 107,1428...\%$.

Arrondissons au centième de pourcentage près.

Conclusion : Il faut augmenter le salaire mensuel d'environ $107,14\%$ pour couvrir les mêmes frais en supprimant le complément annuel.

Correction :

Pour résoudre cet exercice, nous allons calculer l'évolution globale due aux deux augmentations, puis déterminer le taux de réduction réciproque nécessaire pour revenir au prix de départ.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des augmentations successives :

Première augmentation de $25\%$ : $CM_1 = 1 + \frac{25}{100} = 1,25$.

Seconde augmentation de $15\%$ : $CM_2 = 1 + \frac{15}{100} = 1,15$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{augmentations}$ :

Le coefficient multiplicateur global des augmentations est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{augmentations} = CM_1 \times CM_2$.

$CM_{augmentations} = 1,25 \times 1,15 = 1,4375$

3. Détermination du coefficient multiplicateur réciproque $CM_{r}$ pour revenir au prix initial :

Pour revenir au prix initial, nous devons appliquer le coefficient multiplicateur réciproque $CM_{r} = \frac{1}{CM_{augmentations}}$.

$CM_{r} = \frac{1}{1,4375} \approx 0,695652...$

4. Calcul du taux de réduction $t_{reduction}$ en pourcentage :

Le taux de réduction $t_{reduction}$ est donné par la formule : $t_{reduction} = (CM_{r} - 1) \times 100$.

$t_{reduction} = (0,695652 - 1) \times 100 \approx -30,4348\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près. Le signe négatif indique une réduction.

Conclusion : Pour revenir au prix initial, il faut appliquer une réduction d'environ $30,43\%$.

Correction :

Pour trouver la population en 2021 (valeur de départ), nous allons utiliser l'évolution réciproque des deux baisses de population successives.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des baisses successives :

Première baisse de $5\%$ en 2022 : $CM_1 = 1 - \frac{5}{100} = 0,95$.

Seconde baisse de $3\%$ en 2023 : $CM_2 = 1 - \frac{3}{100} = 0,97$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur les deux années :

Le coefficient multiplicateur global des baisses est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2$.

$CM_{global} = 0,95 \times 0,97 = 0,9215$

3. Calcul de la population en 2021 (valeur de départ $V_D$) :

On connaît la population en 2023 (valeur d'arrivée $V_A = 150\,000$ habitants) et le coefficient multiplicateur global $CM_{global} = 0,9215$. On utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM_{global}}$.

$V_D = \frac{150\,000}{0,9215} \approx 162\,778,08...$

Puisqu'il s'agit d'une population, nous arrondissons à l'entier le plus proche.

Conclusion : La population de la ville en 2021 était d'environ $162\,778$ habitants.

Correction :

Pour comparer les deux options, nous allons calculer le coefficient multiplicateur global pour chaque option et les comparer.

Option A : Augmentation de $10\%$ puis baisse de $5\%$

Coefficient multiplicateur de l'augmentation de $10\%$ : $CM_{A1} = 1 + \frac{10}{100} = 1,10$.

Coefficient multiplicateur de la baisse de $5\%$ : $CM_{A2} = 1 - \frac{5}{100} = 0,95$.

Coefficient multiplicateur global pour l'option A : $CM_{gA} = CM_{A1} \times CM_{A2} = 1,10 \times 0,95 = 1,045$.

Option B : Baisse de $5\%$ puis augmentation de $10\%$

Coefficient multiplicateur de la baisse de $5\%$ : $CM_{B1} = 1 - \frac{5}{100} = 0,95$.

Coefficient multiplicateur de l'augmentation de $10\%$ : $CM_{B2} = 1 + \frac{10}{100} = 1,10$.

Coefficient multiplicateur global pour l'option B : $CM_{gB} = CM_{B1} \times CM_{B2} = 0,95 \times 1,10 = 1,045$.

Comparaison des coefficients multiplicateurs globaux :

Nous constatons que $CM_{gA} = CM_{gB} = 1,045$.

Conclusion : Les deux options offrent le même rendement final. Cela illustre la propriété de commutativité de la multiplication : l'ordre des évolutions successives n'affecte pas le résultat global lorsque l'on travaille avec les coefficients multiplicateurs. Les deux options conduisent à une augmentation globale de $4,5\%$.

Correction :

Pour calculer le taux d'évolution global sur quatre ans, nous allons multiplier les coefficients multiplicateurs annuels.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs annuels :

Pour chaque année, on calcule le coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + \frac{t_i}{100}$, où $t_i$ est le taux d'évolution en pourcentage pour l'année $i$.

• Année 1 : $CM_1 = 1 + \frac{8}{100} = 1,08$
• Année 2 : $CM_2 = 1 + \frac{12}{100} = 1,12$
• Année 3 : $CM_3 = 1 + \frac{-3}{100} = 0,97$
• Année 4 : $CM_4 = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur quatre ans :

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit de tous les coefficients multiplicateurs annuels : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times CM_4$.

$CM_{global} = 1,08 \times 1,12 \times 0,97 \times 1,05 \approx 1,23403...$

3. Calcul du taux d'évolution global $t_{global}$ en pourcentage :

Le taux d'évolution global $t_{global}$ est donné par la formule : $t_{global} = (CM_{global} - 1) \times 100$.

$t_{global} = (1,23403 - 1) \times 100 \approx 23,403\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près.

Conclusion : Le taux d'évolution global du chiffre d'affaires sur ces quatre années est d'environ $23,40\%$.

Correction :

Pour calculer le prix final de l'essence, nous allons appliquer successivement les coefficients multiplicateurs correspondant à chaque évolution.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs mensuels :

Pour chaque mois, on calcule le coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + \frac{t_i}{100}$, où $t_i$ est le taux d'évolution en pourcentage pour le mois $i$.

• Mois 1 (augmentation de $5\%$) : $CM_1 = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$
• Mois 2 (augmentation de $8\%$) : $CM_2 = 1 + \frac{8}{100} = 1,08$
• Mois 3 (baisse de $3\%$) : $CM_3 = 1 + \frac{-3}{100} = 0,97$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur les trois mois :

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit de tous les coefficients multiplicateurs mensuels : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3$.

$CM_{global} = 1,05 \times 1,08 \times 0,97 \approx 1,09422$

3. Calcul du prix final de l'essence :

Le prix initial de l'essence est $V_D = 1,50\ \text{\euro}$ le litre. Le prix final $V_A$ est obtenu en multipliant le prix initial par le coefficient multiplicateur global : $V_A = V_D \times CM_{global}$.

$V_A = 1,50 \times 1,09422 \approx 1,64133\ \text{\euro}$

Arrondissons au centime près.

Conclusion : Le prix du litre d'essence après ces trois mois est d'environ $1,64\ \text{\euro}$.

Correction :

Pour calculer le nombre de visiteurs mensuels après trois années d'évolution, nous allons appliquer successivement les coefficients multiplicateurs annuels.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs annuels :

Pour chaque année, on calcule le coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + \frac{t_i}{100}$, où $t_i$ est le taux d'évolution en pourcentage pour l'année $i$.

• Année 1 (augmentation de $20\%$) : $CM_1 = 1 + \frac{20}{100} = 1,20$
• Année 2 (augmentation de $30\%$) : $CM_2 = 1 + \frac{30}{100} = 1,30$
• Année 3 (baisse de $10\%$) : $CM_3 = 1 + \frac{-10}{100} = 0,90$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur les trois années :

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit de tous les coefficients multiplicateurs annuels : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3$.

$CM_{global} = 1,20 \times 1,30 \times 0,90 = 1,404$

3. Calcul du nombre de visiteurs mensuels après trois années :

Le nombre initial de visiteurs mensuels est $V_D = 50\,000$. Le nombre de visiteurs mensuels après trois années $V_A$ est obtenu en multipliant le nombre initial par le coefficient multiplicateur global : $V_A = V_D \times CM_{global}$.

$V_A = 50\,000 \times 1,404 = 70\,200$

Conclusion : Après ces trois années, le site web compte $70\,200$ visiteurs mensuels.

Correction :

Pour calculer le prix de l'action à la fin de la semaine, nous allons appliquer successivement les coefficients multiplicateurs quotidiens.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs quotidiens :

Pour chaque jour, on calcule le coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + \frac{t_i}{100}$, où $t_i$ est le taux d'évolution en pourcentage pour le jour $i$.

• Lundi (augmentation de $2\%$) : $CM_1 = 1 + \frac{2}{100} = 1,02$
• Mardi (baisse de $3\%$) : $CM_2 = 1 + \frac{-3}{100} = 0,97$
• Mercredi (augmentation de $1,5\%$) : $CM_3 = 1 + \frac{1,5}{100} = 1,015$
• Jeudi (stagnation de $0\%$) : $CM_4 = 1 + \frac{0}{100} = 1,00$
• Vendredi (baisse de $0,5\%$) : $CM_5 = 1 + \frac{-0,5}{100} = 0,995$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur la semaine :

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit de tous les coefficients multiplicateurs quotidiens : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times CM_4 \times CM_5$.

$CM_{global} = 1,02 \times 0,97 \times 1,015 \times 1,00 \times 0,995 \approx 0,99924...$

3. Calcul du prix de l'action le vendredi soir :

Le prix initial de l'action le lundi matin est $V_D = 50\ \text{\euro}$. Le prix de l'action le vendredi soir $V_A$ est obtenu en multipliant le prix initial par le coefficient multiplicateur global : $V_A = V_D \times CM_{global}$.

$V_A = 50 \times 0,99924 \approx 49,962\ \text{\euro}$

Arrondissons au centime près.

Conclusion : Le prix de l'action à la fermeture du marché le vendredi soir est d'environ $49,96\ \text{\euro}$. On observe une légère baisse du prix de l'action sur la semaine.

Correction :

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les coefficients multiplicateurs et travailler à rebours pour trouver le taux de la deuxième augmentation.

1. Détermination du coefficient multiplicateur global $CM_g$ :

Le taux d'évolution global est de $18,5\%$. Le coefficient multiplicateur global $CM_g$ est donc :

$CM_g = 1 + \frac{18,5}{100} = 1 + 0,185 = 1,185$

2. Détermination du coefficient multiplicateur de la première augmentation $CM_1$ :

La première augmentation est de $10\%$. Le coefficient multiplicateur $CM_1$ est donc :

$CM_1 = 1 + \frac{10}{100} = 1 + 0,10 = 1,10$

3. Calcul du coefficient multiplicateur de la deuxième augmentation $CM_2$ :

Nous savons que le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_g = CM_1 \times CM_2$. Nous pouvons donc trouver $CM_2$ en divisant $CM_g$ par $CM_1$ : $CM_2 = \frac{CM_g}{CM_1}$.

$CM_2 = \frac{1,185}{1,10} \approx 1,07727...$

4. Calcul du taux de la deuxième augmentation $t_2$ en pourcentage :

Le taux de la deuxième augmentation $t_2$ est donné par la formule : $t_2 = (CM_2 - 1) \times 100$.

$t_2 = (1,07727 - 1) \times 100 \approx 7,727\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près.

Conclusion : Le taux de la deuxième augmentation est d'environ $7,73\%$.

Correction :

Pour retrouver le prix initial, nous allons utiliser les coefficients multiplicateurs des évolutions successives et appliquer l'évolution réciproque.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des évolutions successives :

Première augmentation de $15\%$ : $CM_1 = 1 + \frac{15}{100} = 1,15$.

Seconde baisse de $8\%$ : $CM_2 = 1 - \frac{8}{100} = 0,92$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ :

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2$.

$CM_{global} = 1,15 \times 0,92 = 1,058$

3. Calcul du prix initial $V_D$ :

On connaît le prix final après les deux évolutions (valeur d'arrivée $V_A = 588,60\ \text{\euro}$) et le coefficient multiplicateur global $CM_{global} = 1,058$. Pour retrouver le prix initial $V_D$, on utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM_{global}}$.

$V_D = \frac{588,60}{1,058} = 556,3327...$

Arrondissons au centime près.

Conclusion : Le prix initial du téléviseur était de $556,33\ \text{\euro}$.

Correction :

Pour déterminer le nombre initial de salariés, nous allons utiliser l'évolution réciproque des trois évolutions successives.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des évolutions successives :

Première augmentation de $3\%$ : $CM_1 = 1 + \frac{3}{100} = 1,03$.

Deuxième augmentation de $5\%$ : $CM_2 = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

Troisième baisse de $2\%$ : $CM_3 = 1 - \frac{2}{100} = 0,98$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ :

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3$.

$CM_{global} = 1,03 \times 1,05 \times 0,98 = 1,05921$

3. Calcul du nombre initial de salariés $V_D$ :

On connaît le nombre final de salariés après les trois évolutions (valeur d'arrivée $V_A = 2376$) et le coefficient multiplicateur global $CM_{global} = 1,05921$. Pour retrouver le nombre initial de salariés $V_D$, on utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM_{global}}$.

$V_D = \frac{2376}{1,05921} \approx 2243,16...$

Puisqu'il s'agit d'un nombre de salariés, nous arrondissons à l'entier le plus proche.

Conclusion : L'entreprise employait initialement environ $2243$ salariés.

Correction :

Pour retrouver le prix initial du panier de fruits (au début de l'hiver), nous allons utiliser l'évolution réciproque des quatre évolutions saisonnières successives.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des évolutions saisonnières :

Hiver (augmentation de $10\%$) : $CM_1 = 1 + \frac{10}{100} = 1,10$.

Printemps (augmentation de $5\%$) : $CM_2 = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

Été (baisse de $12\%$) : $CM_3 = 1 - \frac{12}{100} = 0,88$.

Automne (augmentation de $2\%$) : $CM_4 = 1 + \frac{2}{100} = 1,02$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur l'année :

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs saisonniers : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times CM_4$.

$CM_{global} = 1,10 \times 1,05 \times 0,88 \times 1,02 \approx 1,045412$

3. Calcul du prix initial du panier de fruits $V_D$ (au début de l'hiver) :

On connaît le prix final à la fin de l'automne (valeur d'arrivée $V_A = 32,40\ \text{\euro}$) et le coefficient multiplicateur global $CM_{global} = 1,045412$. Pour retrouver le prix initial $V_D$, on utilise la formule de l'évolution réciproque : $V_D = \frac{V_A}{CM_{global}}$.

$V_D = \frac{32,40}{1,045412} \approx 30,9923...$

Arrondissons au centime près.

Conclusion : Le prix du panier de fruits au début de l'hiver était d'environ $30,99\ \text{\euro}$.

Correction :

Pour trouver le taux d'évolution annuel moyen, nous allons utiliser le coefficient multiplicateur global et extraire le coefficient multiplicateur annuel équivalent.

1. Détermination du coefficient multiplicateur global $CM_g$ :

Le chiffre d'affaires a augmenté de $20\%$ en 3 ans. Le coefficient multiplicateur global $CM_g$ est donc :

$CM_g = 1 + \frac{20}{100} = 1,20$

2. Calcul du coefficient multiplicateur annuel moyen $CM_{annuel}$ :

Pour une évolution annuelle constante sur 3 ans, le coefficient multiplicateur global est donné par $CM_g = (CM_{annuel})^3$. Pour trouver le coefficient multiplicateur annuel moyen $CM_{annuel}$, nous devons donc calculer la racine cubique de $CM_g$ : $CM_{annuel} = \sqrt[3]{CM_g} = (CM_g)^{\frac{1}{3}}$.

$CM_{annuel} = \sqrt[3]{1,20} = (1,20)^{\frac{1}{3}} \approx 1,06265...$

3. Calcul du taux d'évolution annuel moyen $t_{annuel}$ en pourcentage :

Le taux d'évolution annuel moyen $t_{annuel}$ est donné par la formule : $t_{annuel} = (CM_{annuel} - 1) \times 100$.

$t_{annuel} = (1,06265 - 1) \times 100 \approx 6,265\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près.

Conclusion : Le taux d'évolution annuel moyen est d'environ $6,27\%$.

Correction :

Pour calculer le prix de l'appartement après trois années d'évolution, nous allons appliquer successivement les coefficients multiplicateurs annuels.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs annuels :

Pour chaque année, on calcule le coefficient multiplicateur $CM_i = 1 + \frac{t_i}{100}$, où $t_i$ est le taux d'évolution en pourcentage pour l'année $i$.

• Année 1 (augmentation de $15\%$) : $CM_1 = 1 + \frac{15}{100} = 1,15$
• Année 2 (augmentation de $8\%$) : $CM_2 = 1 + \frac{8}{100} = 1,08$
• Année 3 (baisse de $4\%$) : $CM_3 = 1 + \frac{-4}{100} = 0,96$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur les trois années :

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit de tous les coefficients multiplicateurs annuels : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times CM_3$.

$CM_{global} = 1,15 \times 1,08 \times 0,96 = 1,19088$

3. Calcul du prix de l'appartement après trois années :

Le prix initial de l'appartement est $V_D = 200\,000\ \text{\euro}$. Le prix de l'appartement après trois années $V_A$ est obtenu en multipliant le prix initial par le coefficient multiplicateur global : $V_A = V_D \times CM_{global}$.

$V_A = 200\,000 \times 1,19088 = 238\,176\ \text{\euro}$

Conclusion : Le prix de l'appartement après ces trois années est de $238\,176\ \text{\euro}$.

Correction :

Question 1 : Calcul du taux d'évolution global sur 5 ans

Prix initial du chiffre d'affaires $V_D = \np{500000}\ \text{\euro}$.

Prix final du chiffre d'affaires $V_A = \np{605000}\ \text{\euro}$.

1.1. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_g$ :

Le coefficient multiplicateur global $CM_g$ est donné par le rapport du prix final au prix initial : $CM_g = \frac{V_A}{V_D}$.

$CM_g = \frac{\np{605000}}{\np{500000}} = 1,21$

1.2. Calcul du taux d'évolution global $t_g$ en pourcentage :

Le taux d'évolution global $t_g$ est donné par la formule : $t_g = (CM_g - 1) \times 100$.

$t_g = (1,21 - 1) \times 100 = 21\%$

Conclusion question 1 : Le taux d'évolution global du chiffre d'affaires sur 5 ans est de $21\%$.

Question 2 : Calcul du taux d'évolution annuel moyen

2.1. Calcul du coefficient multiplicateur annuel moyen $CM_{annuel}$ :

Pour une évolution annuelle constante sur 5 ans, le coefficient multiplicateur global est donné par $CM_g = (CM_{annuel})^5$. Pour trouver le coefficient multiplicateur annuel moyen $CM_{annuel}$, nous devons donc calculer la racine cinquième de $CM_g$ : $CM_{annuel} = \sqrt[5]{CM_g} = (CM_g)^{\frac{1}{5}}$.

$CM_{annuel} = \sqrt[5]{1,21} = (1,21)^{\frac{1}{5}} \approx 1,03923...$

2.2. Calcul du taux d'évolution annuel moyen $t_{annuel}$ en pourcentage :

Le taux d'évolution annuel moyen $t_{annuel}$ est donné par la formule : $t_{annuel} = (CM_{annuel} - 1) \times 100$.

$t_{annuel} = (1,03923 - 1) \times 100 \approx 3,923\%$

Arrondissons au centième de pourcentage près.

Conclusion question 2 : Le taux d'évolution annuel moyen est d'environ $3,92\%$.

Correction :

Pour déterminer l'option la plus avantageuse, nous allons calculer le taux de réduction global pour chaque option et les comparer.

Option 1 : Deux réductions successives de $10\%$ et $20\%$

Coefficient multiplicateur de la première réduction de $10\%$ : $CM_1 = 1 - \frac{10}{100} = 0,90$.

Coefficient multiplicateur de la deuxième réduction de $20\%$ : $CM_2 = 1 - \frac{20}{100} = 0,80$.

Coefficient multiplicateur global pour l'option 1 : $CM_{g1} = CM_1 \times CM_2 = 0,90 \times 0,80 = 0,72$.

Taux de réduction global pour l'option 1 : $t_{g1} = (CM_{g1} - 1) \times 100 = (0,72 - 1) \times 100 = -28\%$. Le signe négatif indique une réduction de $28\%$.

Option 2 : Une réduction unique de $30\%$

Coefficient multiplicateur de la réduction unique de $30\%$ : $CM_{g2} = 1 - \frac{30}{100} = 0,70$.

Taux de réduction global pour l'option 2 : $t_{g2} = (CM_{g2} - 1) \times 100 = (0,70 - 1) \times 100 = -30\%$. Le signe négatif indique une réduction de $30\%$.

Comparaison des taux de réduction globaux :

Nous comparons les valeurs absolues des taux de réduction : $|-28\%| = 28\%$ et $|-30\%| = 30\%$. Comme $30\% > 28\%$, l'option 2 offre une réduction plus importante.

Conclusion : L'option la plus avantageuse pour le client est l'Option 2 : une réduction unique de $30\%$, car elle offre un taux de réduction global plus élevé que l'option 1 ($30\%$ contre $28\%$).

Correction :

Pour déterminer si le prix final est égal au prix initial, nous allons calculer le taux d'évolution global après la réduction et l'augmentation successives.

1. Calcul des coefficients multiplicateurs des évolutions successives :

Réduction de $20\%$ pendant les soldes : $CM_1 = 1 - \frac{20}{100} = 0,80$.

Augmentation de $20\%$ après les soldes : $CM_2 = 1 + \frac{20}{100} = 1,20$.

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ :

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs successifs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2$.

$CM_{global} = 0,80 \times 1,20 = 0,96$

3. Calcul du taux d'évolution global $t_{global}$ en pourcentage :

Le taux d'évolution global $t_{global}$ est donné par la formule : $t_{global} = (CM_{global} - 1) \times 100$.

$t_{global} = (0,96 - 1) \times 100 = -4\%$

Le signe négatif indique une baisse globale de $4\%$.

Conclusion : Non, le prix final de l'article n'est pas égal au prix initial. Après une réduction de $20\%$ suivie d'une augmentation de $20\%$, le prix final a subi une baisse globale de $4\%$ par rapport au prix initial. Il est donc inférieur au prix initial. Ceci montre qu'une augmentation de pourcentage ne compense pas exactement une baisse de pourcentage identique.

Correction :

Pour calculer la valeur du capital après 10 ans, nous allons utiliser le principe des évolutions successives avec un taux d'intérêt annuel constant.

1. Détermination du coefficient multiplicateur annuel $CM_{annuel}$ :

Le taux d'intérêt annuel est de $3\%$. Le coefficient multiplicateur annuel $CM_{annuel}$ est donc :

$CM_{annuel} = 1 + \frac{3}{100} = 1 + 0,03 = 1,03$

2. Calcul du coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ sur 10 ans :

Pour un placement à intérêts composés sur 10 ans avec un taux annuel constant, le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est donné par la formule : $CM_{global} = (CM_{annuel})^{10}$.

$CM_{global} = (1,03)^{10} \approx 1,343916...$

3. Calcul de la valeur du capital après 10 ans $V_{10}$ :

Le capital initial est $V_0 = \np{10000}\ \text{\euro}$. La valeur du capital après 10 ans $V_{10}$ est obtenue en multipliant le capital initial par le coefficient multiplicateur global : $V_{10} = V_0 \times CM_{global}$.

$V_{10} = \np{10000} \times 1,343916 \approx 13\,439,16\ \text{\euro}$

Arrondissons au centime près.

Conclusion : La valeur du capital après 10 ans sera d'environ $13\,439,16\ \text{\euro}$.