Équations de droites

Correction :

Pour déterminer une équation cartésienne d'une droite $\mathscr{D}$ passant par un point $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$, on utilise la condition de colinéarité entre le vecteur $\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}$ et $\vec{u}$. Cette condition s'écrit : $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$.

a) $A(2, -1)$ et $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - 2 & 3 \\ y - (-1) & 2 \end{vmatrix} = 2(x - 2) - 3(y + 1) = 2x - 4 - 3y - 3 = 2x - 3y - 7 = 0$.

Équation cartésienne : $\boxed{2x - 3y - 7 = 0}$.

b) $A(-3, 4)$ et $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - (-3) & -1 \\ y - 4 & 5 \end{vmatrix} = 5(x + 3) - (-1)(y - 4) = 5x + 15 + y - 4 = 5x + y + 11 = 0$.

Équation cartésienne : $\boxed{5x + y + 11 = 0}$.

c) $A(0, 0)$ et $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - 0 & 2 \\ y - 0 & -3 \end{vmatrix} = -3x - 2y = 0$.

Équation cartésienne : $\boxed{-3x - 2y = 0}$ ou $\boxed{3x + 2y = 0}$.

Correction :

Pour déterminer une équation cartésienne d'une droite $(AB)$ passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, on peut utiliser le vecteur directeur $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ et le point $A$ (ou $B$) pour appliquer la méthode de l'exercice précédent.

a) $A(1, 3)$ et $B(-2, 0)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}$. On peut simplifier et prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - 1 & 1 \\ y - 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(x - 1) - 1(y - 3) = x - 1 - y + 3 = x - y + 2 = 0$.

Équation cartésienne : $\boxed{x - y + 2 = 0}$.

b) $A(4, -2)$ et $B(4, 5)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 4 \\ 5 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}$. On peut prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - 4 & 0 \\ y - (-2) & 1 \end{vmatrix} = 1(x - 4) - 0(y + 2) = x - 4 = 0$.

Équation cartésienne : $\boxed{x - 4 = 0}$. C'est une droite verticale.

c) $A(-1, -1)$ et $B(2, -1)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ -1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$. On peut prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - (-1) & 1 \\ y - (-1) & 0 \end{vmatrix} = 0(x + 1) - 1(y + 1) = -y - 1 = 0$.

Équation cartésienne : $\boxed{-y - 1 = 0}$ ou $\boxed{y + 1 = 0}$. C'est une droite horizontale.

Correction :

Pour vérifier si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, on peut déterminer l'équation cartésienne de la droite $(AB)$ et vérifier si les coordonnées de $C$ satisfont cette équation.

a) $A(-2, 4)$, $B(7, 2)$ et $C(3, \frac{14}{9})$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 7 - (-2) \\ 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Équation cartésienne de $(AB)$: $\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = \begin{vmatrix} x - (-2) & 9 \\ y - 4 & -2 \end{vmatrix} = -2(x + 2) - 9(y - 4) = -2x - 4 - 9y + 36 = -2x - 9y + 32 = 0$.

Vérifions si $C$ appartient à $(AB)$: $-2 \times 3 - 9 \times \frac{14}{9} + 32 = -6 - 14 + 32 = 12 \neq 0$.

Conclusion : Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b) $A(-4, -1)$, $B(4, 3)$ et $C(2, 1)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - (-4) \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}$. On peut simplifier et prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Équation cartésienne de $(AB)$: $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - (-4) & 2 \\ y - (-1) & 1 \end{vmatrix} = 1(x + 4) - 2(y + 1) = x + 4 - 2y - 2 = x - 2y + 2 = 0$.

Vérifions si $C$ appartient à $(AB)$: $2 - 2 \times 1 + 2 = 2 - 2 + 2 = 2 \neq 0$.

Conclusion : Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Correction :

Si $\mathscr{D}$ est parallèle à $(AB)$, alors elles ont le même vecteur directeur. On peut prendre $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur de $\mathscr{D}$ et utiliser le point $C$ pour trouver l'équation cartésienne de $\mathscr{D}$.

a) $A(5, 4)$, $B(-1, 2)$ et $C(4, -3)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 - 5 \\ 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}$. On peut simplifier et prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

La droite $\mathscr{D}$ passe par $C(4, -3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{CM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - 4 & 3 \\ y - (-3) & 1 \end{vmatrix} = 1(x - 4) - 3(y + 3) = x - 4 - 3y - 9 = x - 3y - 13 = 0$.

Équation cartésienne de $\mathscr{D}$ : $\boxed{x - 3y - 13 = 0}$.

b) $A(-5, -1)$, $B(6, 4)$ et $C(1, 2)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 - (-5) \\ 4 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 5 \end{pmatrix}$.

La droite $\mathscr{D}$ passe par $C(1, 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 11 \\ 5 \end{pmatrix}$.

$\det(\overrightarrow{CM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x - 1 & 11 \\ y - 2 & 5 \end{vmatrix} = 5(x - 1) - 11(y - 2) = 5x - 5 - 11y + 22 = 5x - 11y + 17 = 0$.

Équation cartésienne de $\mathscr{D}$ : $\boxed{5x - 11y + 17 = 0}$.

Correction :

Si une droite a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$, alors un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.

a) $d_1: 3x - 2y + 5 = 0$. Ici, $a = 3$ et $b = -2$. Un vecteur directeur est $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix} -(-2) \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

b) $d_2: -x + 4y - 1 = 0$. Ici, $a = -1$ et $b = 4$. Un vecteur directeur est $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}$.

c) $d_3: 2x + 3 = 0$. Ici, $a = 2$ et $b = 0$. Un vecteur directeur est $\vec{u}_3 = \begin{pmatrix} -0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ ou plus simplement $\vec{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. (Droite verticale).

d) $d_4: -5y + 7 = 0$. Ici, $a = 0$ et $b = -5$. Un vecteur directeur est $\vec{u}_4 = \begin{pmatrix} -(-5) \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ ou plus simplement $\vec{u}_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. (Droite horizontale).

Correction :

Pour déterminer la position relative de deux droites données par leurs équations cartésiennes $d: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ et $d': a_2x + b_2y + c_2 = 0$, on compare leurs vecteurs directeurs $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b_1 \\ a_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -b_2 \\ a_2 \end{pmatrix}$.

a) $d: 3x - y + 2 = 0$ et $d': -6x + 2y - 4 = 0$.

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}$. On observe que $\vec{v} = -2\vec{u}$, donc les vecteurs sont colinéaires et les droites sont parallèles.

Pour savoir si elles sont confondues, on vérifie si un point de $d$ appartient à $d'$. Prenons un point de $d$, par exemple pour $x=0$, $-y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2$. Donc $A(0, 2) \in d$.

Vérifions si $A \in d'$: $-6 \times 0 + 2 \times 2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Donc $A \in d'$.

Conclusion : Les droites $d$ et $d'$ sont confondues.

b) $d: 2x + 5y - 1 = 0$ et $d': 5x - 2y + 3 = 0$.

$\vec{u} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -5 \times 5 - 2 \times 2 = -25 - 4 = -29 \neq 0$.

Conclusion : Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.

c) $d: x - 2y + 3 = 0$ et $d': x - 2y - 1 = 0$.

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Les vecteurs directeurs sont égaux (donc colinéaires), les droites sont parallèles.

Prenons un point de $d$, par exemple pour $x= -3$, $-3 - 2y + 3 = 0 \Rightarrow y = 0$. Donc $A(-3, 0) \in d$.

Vérifions si $A \in d'$: $-3 - 2 \times 0 - 1 = -4 \neq 0$. Donc $A \notin d'$.

Conclusion : Les droites $d$ et $d'$ sont strictement parallèles.

Correction :

Pour passer de l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ à l'équation réduite $y = mx + p$, on isole $y$ dans l'équation. Si $b \neq 0$, on peut toujours obtenir une équation de la forme $y = mx + p$. Si $b = 0$, l'équation est de la forme $x = r$, et la droite est verticale, elle n'a pas d'équation de la forme $y = mx + p$.

a) $d_1: 2x - y + 3 = 0$. On isole $y$: $y = 2x + 3$. Équation réduite : $\boxed{y = 2x + 3}$. Coefficient directeur $m = 2$, ordonnée à l'origine $p = 3$.

b) $d_2: 3x + 2y - 6 = 0$. On isole $y$: $2y = -3x + 6 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x + 3$. Équation réduite : $\boxed{y = -\frac{3}{2}x + 3}$. Coefficient directeur $m = -\frac{3}{2}$, ordonnée à l'origine $p = 3$.

c) $d_3: x - 5 = 0$. Équation de la forme $x = r$ avec $r = 5$. Cette droite est verticale, elle n'a pas d'équation réduite de la forme $y = mx + p$. Équation réduite de la forme $x=r$: $\boxed{x = 5}$.

d) $d_4: 4y + 8 = 0$. On isole $y$: $4y = -8 \Rightarrow y = -2$. Équation réduite : $\boxed{y = -2}$. Coefficient directeur $m = 0$, ordonnée à l'origine $p = -2$. (Droite horizontale).

Correction :

Pour passer de l'équation réduite à l'équation cartésienne, on réécrit l'équation de manière à avoir tous les termes du même côté et égal à 0. On s'assure que les coefficients soient entiers et que le coefficient de $x$ soit positif ou nul.

a) $d_1: y = 3x - 2$. On réarrange : $3x - y - 2 = 0$. Équation cartésienne : $\boxed{3x - y - 2 = 0}$.

b) $d_2: y = -\frac{1}{2}x + 4$. On multiplie par 2 pour éliminer la fraction : $2y = -x + 8$. On réarrange : $x + 2y - 8 = 0$. Équation cartésienne : $\boxed{x + 2y - 8 = 0}$.

c) $d_3: x = -3$. On réarrange : $x + 3 = 0$. Équation cartésienne : $\boxed{x + 3 = 0}$.

d) $d_4: y = 5$. On réarrange : $y - 5 = 0$ ou $-y + 5 = 0$. Pour avoir le coefficient de $x$ positif ou nul, on peut écrire $0x + y - 5 = 0$. Cependant, on peut aussi écrire simplement $y-5=0$ ou $0x+y-5=0$. Habituellement, on prend la forme la plus simple, donc $\boxed{y - 5 = 0}$ ou $\boxed{0x + y - 5 = 0}$.

Correction :

Pour une équation réduite de la forme $y = mx + p$, $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine.

a) $d_1: y = -2x + 7$. Coefficient directeur $m = \boxed{-2}$, ordonnée à l'origine $p = \boxed{7}$.

b) $d_2: y = \frac{3}{4}x - 1$. Coefficient directeur $m = $\boxed{\frac{3}{4}}$, ordonnée à l'origine $p = \boxed{-1}$.

c) $d_3: y = 6x$. Équation de la forme $y = 6x + 0$. Coefficient directeur $m = \boxed{6}$, ordonnée à l'origine $p = \boxed{0}$.

d) $d_4: y = -3$. Équation de la forme $y = 0x - 3$. Coefficient directeur $m = \boxed{0}$, ordonnée à l'origine $p = \boxed{-3}$.

Correction :

On cherche une équation réduite de la forme $y = mx + p$. On connaît $m$ et les coordonnées du point $A(x_A, y_A)$ qui appartient à la droite. On peut utiliser les coordonnées de $A$ pour trouver $p$. En substituant $x = x_A$ et $y = y_A$ dans l'équation $y = mx + p$, on obtient $y_A = mx_A + p$, ce qui permet de calculer $p = y_A - mx_A$.

a) $m = 2$ et $A(1, 4)$. On a $y = 2x + p$. En utilisant $A(1, 4)$, on obtient $4 = 2 \times 1 + p \Rightarrow p = 4 - 2 = 2$. Équation réduite : $\boxed{y = 2x + 2}$.

b) $m = -\frac{1}{3}$ et $A(-3, 2)$. On a $y = -\frac{1}{3}x + p$. En utilisant $A(-3, 2)$, on obtient $2 = -\frac{1}{3} \times (-3) + p \Rightarrow 2 = 1 + p \Rightarrow p = 2 - 1 = 1$. Équation réduite : $\boxed{y = -\frac{1}{3}x + 1}$.

c) $m = 0$ et $A(5, -1)$. On a $y = 0x + p = p$. Puisque $A(5, -1)$ appartient à la droite, l'ordonnée de tous les points de la droite est $-1$. Équation réduite : $\boxed{y = -1}$.

Correction :

Pour déterminer l'équation réduite $y = mx + p$ de la droite $(AB)$ passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, on commence par calculer le coefficient directeur $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ si $x_A \neq x_B$. Si $x_A = x_B$, la droite est verticale et n'a pas d'équation de la forme $y = mx + p$, mais une équation de la forme $x = x_A$. Une fois $m$ calculé (si possible), on utilise les coordonnées de $A$ (ou $B$) pour trouver $p$ en utilisant la méthode de l'exercice précédent.

a) $A(2, 3)$ et $B(4, 7)$. $x_A = 2 \neq x_B = 4$. $m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$. L'équation est de la forme $y = 2x + p$. En utilisant $A(2, 3)$, on obtient $3 = 2 \times 2 + p \Rightarrow p = 3 - 4 = -1$. Équation réduite : $\boxed{y = 2x - 1}$.

b) $A(-1, 5)$ et $B(2, -1)$. $x_A = -1 \neq x_B = 2$. $m = \frac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2$. L'équation est de la forme $y = -2x + p$. En utilisant $A(-1, 5)$, on obtient $5 = -2 \times (-1) + p \Rightarrow 5 = 2 + p \Rightarrow p = 5 - 2 = 3$. Équation réduite : $\boxed{y = -2x + 3}$.

c) $A(3, -2)$ et $B(3, 4)$. $x_A = x_B = 3$. La droite est verticale. Équation réduite de la forme $x = r$: $\boxed{x = 3}$.

d) $A(-2, -3)$ et $B(1, -3)$. $y_A = y_B = -3$. La droite est horizontale. Équation réduite de la forme $y = p$: $\boxed{y = -3}$. On peut aussi calculer $m = \frac{-3 - (-3)}{1 - (-2)} = \frac{0}{3} = 0$. L'équation est de la forme $y = 0x + p = p$. En utilisant $A(-2, -3)$, on obtient $p = -3$. Équation réduite : $\boxed{y = -3}$.

Correction :

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Pour trouver l'équation réduite de la droite $\mathscr{D}$ parallèle à $d$ et passant par $A$, on prend le même coefficient directeur que $d$ et on utilise les coordonnées de $A$ pour trouver l'ordonnée à l'origine de $\mathscr{D}$.

a) $d: y = 4x - 1$ et $A(2, 5)$. La droite $\mathscr{D}$ a le même coefficient directeur que $d$, donc $m = 4$. Son équation est de la forme $y = 4x + p$. En utilisant $A(2, 5)$, on obtient $5 = 4 \times 2 + p \Rightarrow p = 5 - 8 = -3$. Équation réduite : $\boxed{y = 4x - 3}$.

b) $d: y = -\frac{2}{3}x + 2$ et $A(-3, -1)$. La droite $\mathscr{D}$ a le même coefficient directeur que $d$, donc $m = -\frac{2}{3}$. Son équation est de la forme $y = -\frac{2}{3}x + p$. En utilisant $A(-3, -1)$, on obtient $-1 = -\frac{2}{3} \times (-3) + p \Rightarrow -1 = 2 + p \Rightarrow p = -1 - 2 = -3$. Équation réduite : $\boxed{y = -\frac{2}{3}x - 3}$.

c) $d: y = 7$. C'est une droite horizontale, son coefficient directeur est $m = 0$. La droite $\mathscr{D}$ parallèle à $d$ et passant par $A(0, 4)$ est aussi horizontale et a donc une équation de la forme $y = p$. Puisque $A(0, 4)$ appartient à $\mathscr{D}$, l'ordonnée de tous les points de $\mathscr{D}$ est $4$. Équation réduite : $\boxed{y = 4}$.

d) $d: x = 2$. C'est une droite verticale. Une droite parallèle à une droite verticale est aussi verticale. La droite $\mathscr{D}$ parallèle à $d$ et passant par $A(3, 1)$ est donc une droite verticale passant par $A(3, 1)$. Tous les points de $\mathscr{D}$ ont la même abscisse $3$. Équation réduite de la forme $x = r$: $\boxed{x = 3}$.

Correction :

Pour trouver le point d'intersection de deux droites données par leurs équations réduites, on résout le système formé par ces deux équations. Si les droites sont données sous la forme $y = m_1x + p_1$ et $y = m_2x + p_2$, on cherche $x$ tel que $m_1x + p_1 = m_2x + p_2$. Si on trouve une unique solution pour $x$, on calcule la valeur de $y$ correspondante en utilisant l'une des deux équations. Si on ne trouve pas de solution ou une infinité de solutions, les droites sont parallèles.

a) $d_1: y = 2x - 1$ et $d_2: y = -x + 5$. On résout $2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. On remplace $x = 2$ dans $d_1$ (ou $d_2$) : $y = 2 \times 2 - 1 = 3$. Point d'intersection : $\boxed{(2, 3)}$.

b) $d_1: y = 3x + 2$ et $d_2: y = 3x - 4$. On résout $3x + 2 = 3x - 4 \Rightarrow 2 = -4$. Cette équation n'a pas de solution. Les droites sont parallèles. Comme elles n'ont pas la même ordonnée à l'origine ($2 \neq -4$), elles sont strictement parallèles. Conclusion : Droites strictement parallèles. $\boxed{Pas~de~point~d'intersection}$.

c) $d_1: y = -\frac{1}{2}x + 3$ et $d_2: 2y = -x + 6$. On peut réécrire $d_2$ sous la forme $y = -\frac{1}{2}x + 3$. On observe que $d_1$ et $d_2$ ont la même équation réduite. Conclusion : Droites confondues. $\boxed{Infinité~de~points~d'intersection}$.

d) $d_1: x = 4$ et $d_2: y = -2x + 1$. La droite $d_1$ est verticale, tous ses points ont pour abscisse $4$. Pour trouver le point d'intersection, on remplace $x = 4$ dans l'équation de $d_2$: $y = -2 \times 4 + 1 = -8 + 1 = -7$. Point d'intersection : $\boxed{(4, -7)}$.

Correction :

1. Le prix d'une course est la somme de la prise en charge et du coût des kilomètres parcourus. Si $x$ est le nombre de kilomètres parcourus, le coût des kilomètres est $1,80x$. La prise en charge est de 2,50 €. Donc le prix $y$ d'une course en fonction de $x$ est donné par : $\boxed{y = 1,80x + 2,50}$.

2. La fonction définie par $y = 1,80x + 2,50$ est une $\boxed{fonction~affine}$. Sa représentation graphique est une droite. Le coefficient directeur est $m = 1,80$ et l'ordonnée à l'origine est $p = 2,50$.

3. Pour représenter graphiquement la fonction, on peut choisir quelques valeurs de $x$ et calculer les valeurs de $y$ correspondantes.

Pour $x = 0$, $y = 2,50$. Point $(0, 2.5)$.

Pour $x = 10$, $y = 1,80 \times 10 + 2,50 = 18 + 2,50 = 20,50$. Point $(10, 20.5)$.

On trace la droite passant par les points $(0, 2.5)$ et $(10, 20.5)$ pour $x$ variant de 0 à 10. (Représentation graphique non fournie ici, à réaliser sur un graphique).

4. Pour une course de 8 km, on calcule le prix en remplaçant $x$ par 8 dans l'équation : $y = 1,80 \times 8 + 2,50 = 14,40 + 2,50 = 16,90$. Le prix d'une course de 8 km est de $\boxed{16,90~€}$.

5. Pour savoir quelle distance on peut parcourir avec 20 €, on cherche $x$ tel que $y = 20$. On résout l'équation $1,80x + 2,50 = 20 \Rightarrow 1,80x = 20 - 2,50 = 17,50 \Rightarrow x = \frac{17,50}{1,80} \approx 9,72$. Avec 20 €, on peut parcourir environ $\boxed{9,72~km}$.