Equations du premier degré

Correction :

a) Pour résoudre l'équation $2x - 5 = 7$, nous allons isoler $x$.

$2x - 5 = 7$

Ajoutons 5 aux deux membres de l'équation :

$2x - 5 + 5 = 7 + 5$

$2x = 12$

Divisons les deux membres par 2 :

$\frac{2x}{2} = \frac{12}{2}$

$x = 6$

L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\mathscr{S} = \{6\}}$

b) Pour résoudre l'équation $-3x + 8 = 2x - 12$, nous regroupons les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.

$-3x + 8 = 2x - 12$

Ajoutons $3x$ aux deux membres :

$-3x + 8 + 3x = 2x - 12 + 3x$

$8 = 5x - 12$

Ajoutons 12 aux deux membres :

$8 + 12 = 5x - 12 + 12$

$20 = 5x$

Divisons par 5 :

$\frac{20}{5} = \frac{5x}{5}$

$4 = x$

L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\mathscr{S} = \{4\}}$

c) Pour résoudre l'équation $\frac{x}{3} + 2 = -1$, nous isolons $x$.

$\frac{x}{3} + 2 = -1$

Soustrayons 2 aux deux membres :

$\frac{x}{3} + 2 - 2 = -1 - 2$

$\frac{x}{3} = -3$

Multiplions par 3 les deux membres :

$3 \times \frac{x}{3} = 3 \times (-3)$

$x = -9$

L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\mathscr{S} = \{-9\}}$

d) Pour résoudre l'équation $\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 3}{2}$, nous allons d'abord éliminer les fractions.

$\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 3}{2}$

Multiplions les deux membres par 4 (le plus petit commun multiple de 4 et 2) :

$4 \times \frac{2x - 1}{4} = 4 \times \frac{x + 3}{2}$

$2x - 1 = 2(x + 3)$

Développons le membre de droite :

$2x - 1 = 2x + 6$

Soustrayons $2x$ aux deux membres :

$2x - 1 - 2x = 2x + 6 - 2x$

$-1 = 6$

Nous obtenons une égalité fausse, ce qui signifie qu'il n'y a pas de solution à cette équation.

L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\mathscr{S} = \emptyset}$

Correction :

a) Pour résoudre l'équation $ax - 3 = 5$, nous devons discuter selon les valeurs de $a$.

$ax - 3 = 5$

Ajoutons 3 aux deux membres :

$ax = 8$

Nous devons maintenant diviser par $a$. Il faut distinguer les cas :

Cas 1 : $a \neq 0$

Si $a \neq 0$, on peut diviser par $a$ :

$x = \frac{8}{a}$

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \{\frac{8}{a}\}}$

Cas 2 : $a = 0$

Si $a = 0$, l'équation devient :

$0 \cdot x - 3 = 5$

$-3 = 5$

Cette égalité est fausse, donc il n'y a pas de solution.

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \emptyset}$

b) Pour résoudre l'équation $a(x + 2) = b$, nous devons discuter selon les valeurs de $a$ et $b$.

$a(x + 2) = b$

Cas 1 : $a \neq 0$

Si $a \neq 0$, on peut diviser par $a$ :

$x + 2 = \frac{b}{a}$

Soustrayons 2 aux deux membres :

$x = \frac{b}{a} - 2$

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \{\frac{b}{a} - 2\}}$

Cas 2 : $a = 0$

Si $a = 0$, l'équation devient :

$0 \cdot (x + 2) = b$

$0 = b$

Sous-cas 2.1 : $b = 0$

Si $b = 0$, l'équation devient $0 = 0$, ce qui est toujours vrai, quelle que soit la valeur de $x$.

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \mathbb{R}}$

Sous-cas 2.2 : $b \neq 0$

Si $b \neq 0$, l'équation devient $0 = b$, ce qui est faux. Il n'y a pas de solution.

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \emptyset}$

c) Pour résoudre l'équation $ax + b = 2x - 3b$, nous regroupons les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.

$ax + b = 2x - 3b$

Soustrayons $2x$ aux deux membres :

$ax - 2x + b = -3b$

Factorisons par $x$ les termes en $x$ :

$(a - 2)x + b = -3b$

Soustrayons $b$ aux deux membres :

$(a - 2)x = -3b - b$

$(a - 2)x = -4b$

Nous devons maintenant diviser par $(a - 2)$. Il faut distinguer les cas :

Cas 1 : $a - 2 \neq 0$, c'est-à-dire $a \neq 2$

Si $a \neq 2$, on peut diviser par $(a - 2)$ :

$x = \frac{-4b}{a - 2}$

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \{\frac{-4b}{a - 2}\}}$

Cas 2 : $a - 2 = 0$, c'est-à-dire $a = 2$

Si $a = 2$, l'équation devient :

$(2 - 2)x = -4b$

$0 \cdot x = -4b$

$0 = -4b$

Sous-cas 2.1 : $-4b = 0$, c'est-à-dire $b = 0$

Si $b = 0$, l'équation devient $0 = 0$, ce qui est toujours vrai, quelle que soit la valeur de $x$.

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \mathbb{R}}$

Sous-cas 2.2 : $-4b \neq 0$, c'est-à-dire $b \neq 0$

Si $b \neq 0$, l'équation devient $0 = -4b$, ce qui est faux. Il n'y a pas de solution.

Dans ce cas, l'ensemble des solutions est : $\boxed{\mathscr{S} = \emptyset}$

Correction :

a) Soient $x$, $x+1$ et $x+2$ les trois nombres consécutifs. Leur somme est donnée par :

$x + (x+1) + (x+2) = 54$

$3x + 3 = 54$

$3x = 51$

$x = \frac{51}{3} = 17$

Les trois nombres consécutifs sont donc 17, 18 et 19. Vérification : $17 + 18 + 19 = 54$.

Les trois nombres sont : $\boxed{17, 18 \text{ et } 19}$

b) Soit $x$ l'âge actuel du fils. L'âge actuel du père est donc $x + 30$. Dans 5 ans, l'âge du fils sera $x + 5$ et l'âge du père sera $(x + 30) + 5 = x + 35$. Selon l'énoncé, dans 5 ans, l'âge du père sera le double de l'âge du fils :

$x + 35 = 2(x + 5)$

$x + 35 = 2x + 10$

$35 - 10 = 2x - x$

$25 = x$

L'âge actuel du fils est 25 ans et l'âge actuel du père est $25 + 30 = 55$ ans. Vérification : dans 5 ans, le fils aura 30 ans et le père aura 60 ans, ce qui est bien le double.

L'âge actuel du fils est : $\boxed{25 \text{ ans}}$ et l'âge actuel du père est : $\boxed{55 \text{ ans}}$

c) Soit $l$ la largeur du rectangle. La longueur est donc $2l$. Le périmètre d'un rectangle est donné par $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$. Donc :

$2(2l + l) = 48$

$2(3l) = 48$

$6l = 48$

$l = \frac{48}{6} = 8$

La largeur est 8 cm et la longueur est $2 \times 8 = 16$ cm. Vérification : le périmètre est $2 \times (16 + 8) = 2 \times 24 = 48$ cm.

La largeur du rectangle est : $\boxed{8 \text{ cm}}$ et la longueur est : $\boxed{16 \text{ cm}}$

Correction :

Soit $x$ la part de Bob. Alors Alice reçoit $2x$, et Charlie reçoit $2x + 10$. La somme totale partagée est 120€. On a donc l'équation :

$x + 2x + (2x + 10) = 120$

$5x + 10 = 120$

$5x = 110$

$x = \frac{110}{5} = 22$

Bob reçoit 22€. Alice reçoit 44€. Charlie reçoit 54€. Vérification : 120€.

Alice reçoit : 44€, Bob reçoit : 22€ Charlie reçoit : 54€.

Correction :

Soit $x$ le volume (en litres) de la solution à 20%. Alors le volume de la solution à 50% est $60 - x$. La quantité de soluté dans la solution à 20% est $0.20x$, et dans la solution à 50% est $0.50(60 - x)$. Dans le mélange final de 60 litres à 30%, la quantité de soluté est $0.30 \times 60$. On a donc l'équation :

$0.20x + 0.50(60 - x) = 0.30 \times 60$

$0.20x + 30 - 0.50x = 18$

$-0.30x = 18 - 30$

$-0.30x = -12$

$x = \frac{-12}{-0.30} = 40$

On a utilisé 40 litres de la solution à 20% et $60 - 40 = 20$ litres de la solution à 50%. Vérification : $0.20 \times 40 + 0.50 \times 20 = 8 + 10 = 18$, et $0.30 \times 60 = 18$.

Solution à 20% : $\boxed{40 \text{ litres}}$, Solution à 50% : $\boxed{20 \text{ litres}}$

Correction :

Soit $t$ le temps (en heures) après lequel les deux trains se croisent. La distance parcourue par le train partant de A est $80t$, et la distance parcourue par le train partant de B est $70t$. La somme des distances parcourues doit être égale à la distance entre les villes, 300 km. On a donc l'équation :

$80t + 70t = 300$

$150t = 300$

$t = \frac{300}{150} = 2$

Les deux trains se croiseront après 2 heures.

Temps de rencontre : $\boxed{2 \text{ heures}}$

Correction :

Soit $n$ le nombre d'années dans lequel l'âge du père sera le double de celui de Marie. Dans $n$ années, Marie aura $24 + n$ ans et son père aura $50 + n$ ans. On veut que l'âge du père soit le double de celui de Marie, donc :

$50 + n = 2(24 + n)$

$50 + n = 48 + 2n$

$50 - 48 = 2n - n$

$2 = n$

Dans 2 ans, l'âge du père sera le double de celui de Marie. Vérification : dans 2 ans, Marie aura 26 ans et son père aura 52 ans, ce qui est bien le double.

Nombre d'années : $\boxed{2 \text{ ans}}$

Correction :

Soit $x$ la longueur du premier côté. Le deuxième côté mesure $x + 5$, et le troisième côté mesure $2x - 10$. Le périmètre est la somme des trois côtés, et il est égal à 85 cm. On a donc l'équation :

$x + (x + 5) + (2x - 10) = 85$

$4x - 5 = 85$

$4x = 90$

$x = \frac{90}{4} = 22.5$

Le premier côté mesure 22.5 cm. Le deuxième côté mesure $22.5 + 5 = 27.5$ cm. Le troisième côté mesure $2 \times 22.5 - 10 = 45 - 10 = 35$ cm. Vérification : $22.5 + 27.5 + 35 = 85$ cm.

Premier côté : $\boxed{22.5 \text{ cm}}$, Deuxième côté : $\boxed{27.5 \text{ cm}}$, Troisième côté : $\boxed{35 \text{ cm}}$

Correction :

Soit $x$ le premier nombre pair. Les quatre nombres pairs consécutifs sont $x$, $x+2$, $x+4$, et $x+6$. Leur somme est 100. On a donc l'équation :

$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 100$

$4x + 12 = 100$

$4x = 88$

$x = \frac{88}{4} = 22$

Les quatre nombres pairs consécutifs sont 22, 24, 26 et 28. Vérification : $22 + 24 + 26 + 28 = 100$.

Les nombres pairs sont : $\boxed{22, 24, 26 \text{ et } 28}$

Correction :

Soit $P$ le prix de vente. Le profit souhaité est de 25% du prix de vente, soit $0.25P$. Le prix de vente est le prix d'achat plus le profit. On a donc l'équation :

$P = 40 + 0.25P$

$P - 0.25P = 40$

$0.75P = 40$

$P = \frac{40}{0.75} = \frac{40}{\frac{3}{4}} = \frac{40 \times 4}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33$

Le commerçant doit vendre l'article à environ 53.33€.

Prix de vente : 53.33€ (arrondi au centime près)

Correction :

Soit $n$ le nombre d'années. Les intérêts simples annuels sont de 4% du capital initial, soit 0.04 $\times$ 2000 = 80€ par an. Après $n$ années, les intérêts cumulés seront $80n$. On veut que ces intérêts atteignent 400€.

On a donc l'équation :

$80n = 400$

$n = \frac{400}{80} = 5$

Après 5 ans, les intérêts cumulés atteindront 400€.

Nombre d'années : $\boxed{5 \text{ ans}}$

Correction :

Soit $x$ le volume de jus de fruit concentré ajouté (en litres). Le volume total de la boisson finale est $2 + x$. Le volume de jus de fruit dans la boisson finale est $x$. Selon l'énoncé, le jus de fruit représente 15% du volume total de la boisson finale, et aussi 1/3 du volume total. On peut utiliser la condition que le jus de fruit représente 1/3 du volume total pour simplifier. On a donc :

$x = \frac{1}{3}(2 + x)$

$3x = 2 + x$

$3x - x = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

On a ajouté 1 litre de jus de fruit concentré. Vérification : volume total $2 + 1 = 3$ litres. Volume de jus de fruit 1 litre, ce qui représente bien 1/3 du volume total. Vérifions la concentration : $\frac{1}{3} \approx 0.3333 = 33.33\%$. L'énoncé indique 15%, il y a probablement une incohérence dans l'énoncé ou une mauvaise interprétation. Reprenons avec 15% :

$x = 0.15(2 + x)$

$x = 0.3 + 0.15x$

$x - 0.15x = 0.3$

$0.85x = 0.3$

$x = \frac{0.3}{0.85} = \frac{30}{85} = \frac{6}{17} \approx 0.353$

En utilisant la condition 1/3 du volume total, on obtient 1L. En utilisant la condition 15% de concentration, on obtient environ 0.353L. L'énoncé original est potentiellement contradictoire. Si on assume que la condition 1/3 est la condition principale :

Volume de jus de fruit concentré ajouté : $\boxed{1 \text{ litre}}$ (si on considère la condition 1/3 prédominante)

Correction :

Soit $t$ le temps (en heures) nécessaire pour remplir la piscine avec les deux pompes ensemble. La pompe A remplit $\frac{1}{6}$ de la piscine par heure, et la pompe B remplit $\frac{1}{9}$ de la piscine par heure. Ensemble, elles remplissent $\frac{1}{6} + \frac{1}{9}$ de la piscine par heure. En $t$ heures, elles remplissent donc $t \times (\frac{1}{6} + \frac{1}{9})$ de la piscine. Pour remplir toute la piscine (1 piscine), on a l'équation :

$t \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right) = 1$

$t \left( \frac{3}{18} + \frac{2}{18} \right) = 1$

$t \left( \frac{5}{18} \right) = 1$

$t = \frac{1}{\frac{5}{18}} = \frac{18}{5} = 3.6$

Il faudra 3.6 heures, soit 3 heures et 0.6 heure (0.6 heure = $0.6 \times 60 = 36$ minutes), donc 3 heures et 36 minutes.

Temps pour remplir ensemble : $\boxed{3.6 \text{ heures}}$ ou $\boxed{3 \text{ heures et } 36 \text{ minutes}}$