Série d'exercices sur les Equations et Inequations

Correction :

a. $5x + 3 = 28$

$5x = 28 - 3$

$5x = 25$

$\boxed{x = 5}$

b. $3(x + 4) = 9$

$x + 4 = \frac{9}{3}$

$x + 4 = 3$

$\boxed{x = -1}$

c. $2x + 3 = 11$

$2x = 11 - 3$

$2x = 8$

$\boxed{x = 4}$

d. $5 - 3x = 17$

$-3x = 17 - 5$

$-3x = 12$

$\boxed{x = -4}$

e. $5 - 3x = 14$

$-3x = 14 - 5$

$-3x = 9$

$\boxed{x = -3}$

Correction :

a. Pour $10 - 3x = 4$ :

$10 - 3(2) = 10 - 6 = 4$. L'égalité est vérifiée.

$\boxed{\text{2 est solution.}}$

b. Pour $3x - 1 = 5x - 3$ :

$3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$ et $5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$. $5 \neq 7$. L'égalité n'est pas vérifiée.

$\boxed{\text{2 n'est pas solution.}}$

Correction :

a. $5x - 7 = 2x - 1$

$5x - 2x = -1 + 7$

$3x = 6$

$\boxed{x = 2}$

b. $3x + 1 = 4 - 2x$

$3x + 2x = 4 - 1$

$5x = 3$

$\boxed{x = \frac{3}{5}}$

c. $5x - 6 = -x + 3$

$5x + x = 3 + 6$

$6x = 9$

$\boxed{x = \frac{3}{2}}$

Correction :

a. $5(x + 4) = 7x + 6$

$5x + 20 = 7x + 6$

$20 - 6 = 7x - 5x$

$14 = 2x$

$\boxed{x = 7}$

b. $4(2 - x) = 3(x + 2)$

$8 - 4x = 3x + 6$

$8 - 6 = 3x + 4x$

$2 = 7x$

$\boxed{x = \frac{2}{7}}$

c. $\frac{9}{2}x - 1 = 2 + 3x$

$9x - 2 = 4 + 6x$ (multiplication par 2)

$9x - 6x = 4 + 2$

$3x = 6$

$\boxed{x = 2}$

d. $2x - \frac{1}{3} = 1$

$6x - 1 = 3$ (multiplication par 3)

$6x = 4$

$\boxed{x = \frac{2}{3}}$

Correction :

a. $\frac{x}{3} + 4 = 2x - 1$

$x + 12 = 6x - 3$ (multiplication par 3)

$15 = 5x$

$\boxed{x = 3}$

b. $x - \frac{1}{2} = \frac{x}{3} + 1$

$6x - 3 = 2x + 6$ (multiplication par 6)

$4x = 9$

$\boxed{x = \frac{9}{4}}$

c. $\frac{x}{4} = \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$

$3x = 4x - 6$ (multiplication par 12)

$\boxed{x = 6}$

d. $\frac{7x}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5x}{2}$

$7x - 4 = 15x$ (multiplication par 6)

$-4 = 8x$

$\boxed{x = -\frac{1}{2}}$

Correction :

a. $3x + 2 > 8$

$3x > 8 - 2$

$3x > 6$

$\boxed{x > 2}$

b. $-2x + 1 < 7$

$-2x < 7 - 1$

$-2x < 6$

$\boxed{x > -3}$ (on change le sens car on divise par un nombre négatif)

c. $-5x \geqslant -10$

$\boxed{x \leqslant 2}$ (on change le sens car on divise par un nombre négatif)

d. $\frac{2x}{5} < 4$

$2x < 20$ (multiplication par 5)

$\boxed{x < 10}$

Correction :

a. $\frac{7x}{3} \geqslant 0$

$7x \geqslant 0 \times 3$

$7x \geqslant 0$

$\boxed{x \geqslant 0}$

b. $-x + 5 > 3$

$-x > 3 - 5$

$-x > -2$

$\boxed{x < 2}$ (on change le sens car on multiplie par -1)

c. $x + 3 < 4 - x$

$x + x < 4 - 3$

$2x < 1$

$\boxed{x < \frac{1}{2}}$

Correction :

a. $1 - 2x \geqslant 7 + x$

$-2x - x \geqslant 7 - 1$

$-3x \geqslant 6$

$\boxed{x \leqslant -2}$ (on change le sens car on divise par -3)

b. $\frac{x}{2} + 3 \leqslant \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} \leqslant \frac{1}{2} - 3$

$\frac{x}{2} \leqslant \frac{1 - 6}{2}$

$\frac{x}{2} \leqslant -\frac{5}{2}$

$\boxed{x \leqslant -5}$

Correction :

a. $\frac{x}{2} + 3 \leqslant \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} \leqslant \frac{1}{3} - 3$

$\frac{x}{2} \leqslant \frac{1 - 9}{3}$

$\frac{x}{2} \leqslant -\frac{8}{3}$

$\boxed{x \leqslant -\frac{16}{3}}$

b. $\frac{x - 3}{5} \geqslant 1$

$x - 3 \geqslant 5$

$\boxed{x \geqslant 8}$

c. $\frac{1 - 5x}{2} < 3 - x$

$1 - 5x < 2(3 - x)$

$1 - 5x < 6 - 2x$

$-5x + 2x < 6 - 1$

$-3x < 5$

$\boxed{x > -\frac{5}{3}}$ (on change le sens car on divise par -3)

Correction :

a. $x^2 + 5x = 0$

Factorisons par $x$ :

$x(x + 5) = 0$

Les solutions sont donc :

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = -5}$

b. $2x - 10x^2 = 0$

Factorisons par $2x$ :

$2x(1 - 5x) = 0$

Les solutions sont donc :

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = \frac{1}{5}}$

Correction :

a. $(x+3)(x+2)+(3x-10)(x+3)=0$

Factorisons par $(x+3)$ :

$(x+3)((x+2)+(3x-10)) = 0$

$(x+3)(4x-8) = 0$

Les solutions sont donc :

$\boxed{x = -3 \text{ ou } x = 2}$

b. $(x+3)(x+2)-(3x-10)(x+3)=0$

Factorisons par $(x+3)$ :

$(x+3)((x+2)-(3x-10)) = 0$

$(x+3)(-2x+12) = 0$

Les solutions sont donc :

$\boxed{x = -3 \text{ ou } x = 6}$

Correction :

$6x^2 = 15x$

$6x^2 - 15x = 0$

Factorisons par $3x$ :

$3x(2x - 5) = 0$

Les solutions sont donc :

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = \frac{5}{2}}$

Correction :

a. $5x^2 + 3x = 0$

$x(5x + 3) = 0$

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = -\frac{3}{5}}$

b. $7x = 2x^2$

$2x^2 - 7x = 0$

$x(2x - 7) = 0$

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = \frac{7}{2}}$

c. $x^2 = x$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = 1}$

Correction :

a. $(3-2x)(2x+5)=(4x-5)(2x+5)$

$(3-2x)(2x+5)-(4x-5)(2x+5)=0$

$(2x+5)[(3-2x)-(4x-5)]=0$

$(2x+5)(3-2x-4x+5)=0$

$(2x+5)(8-6x)=0$

$\boxed{x = -\frac{5}{2} \text{ ou } x = \frac{4}{3}}$

b. $7(x+8)-(x+8)(x-3)=0$

$(x+8)[7-(x-3)]=0$

$(x+8)(7-x+3)=0$

$(x+8)(10-x)=0$

$\boxed{x = -8 \text{ ou } x = 10}$

c. $(8-x)^2=(3x+5)(8-x)$

$(8-x)^2-(3x+5)(8-x)=0$

$(8-x)[(8-x)-(3x+5)]=0$

$(8-x)(8-x-3x-5)=0$

$(8-x)(3-4x)=0$

$\boxed{x = 8 \text{ ou } x = \frac{3}{4}}$

Correction :

a. $x^3 = x^2$

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = 1}$

b. $x^3 = x$

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = 1 \text{ ou } x = -1}$

Correction :

1. Développons $(2x-3)(3x+9)$ :

$(2x-3)(3x+9) = 2x(3x) + 2x(9) - 3(3x) - 3(9)$

$= 6x^2 + 18x - 9x - 27$

$\boxed{= 6x^2 + 9x - 27}$

2. Pour résoudre $6x^2+9x-27=0$, nous utilisons la factorisation de la question 1 :

$6x^2+9x-27=0 \Leftrightarrow (2x-3)(3x+9)=0$

Donc les solutions sont données par :

$2x - 3 = 0$ ou $3x + 9 = 0$

$\boxed{x = \frac{3}{2} \text{ ou } x = -3}$

Correction :

1. Pour inventer une équation qui admette $-4$ comme solution, nous pouvons simplement prendre $x = -4$ et ajouter des opérations de chaque côté pour créer une équation plus complexe. Par exemple, multiplions par 2 et ajoutons 3 :

$x = -4$

$2x = -8$

$\boxed{2x + 3 = -5}$

2. Pour inventer une équation qui admette $-1$ et $3$ comme solutions, nous pouvons utiliser la forme factorisée d'une équation quadratique. Si $-1$ et $3$ sont les solutions, alors l'équation peut être écrite sous la forme :

$(x - (-1))(x - 3) = 0$

$(x + 1)(x - 3) = 0$

Développons cette expression :

$\boxed{x^2 - 2x - 3 = 0}$

Correction :

a. $(x-1)^2 = 0$

Pour qu'un carré soit nul, il faut que la base soit nulle.

$x - 1 = 0$

$\boxed{x = 1}$

b. $x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$\boxed{x = 1 \text{ ou } x = -1}$

c. $x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

$\boxed{\text{Pas de solution réelle}}$ (un carré ne peut être négatif)

Correction :

a. $9 - (x - 4)^2 = 0$

$3^2 - (x - 4)^2 = 0$

$[3 - (x - 4)][3 + (x - 4)] = 0$ (identité remarquable $a^2-b^2$)

$(3 - x + 4)(3 + x - 4) = 0$

$(7 - x)(x - 1) = 0$

$\boxed{x = 7 \text{ ou } x = 1}$

b. $(1 - 2x)^2 = (4x - 5)^2$

$(1 - 2x)^2 - (4x - 5)^2 = 0$

$[(1 - 2x) - (4x - 5)][(1 - 2x) + (4x - 5)] = 0$ (identité remarquable $a^2-b^2$)

$(1 - 2x - 4x + 5)(1 - 2x + 4x - 5) = 0$

$(6 - 6x)(2x - 4) = 0$

$\boxed{x = 1 \text{ ou } x = 2}$

Correction :

a. $x^2 = (4 - 3x)^2$

$x^2 - (4 - 3x)^2 = 0$

$[x - (4 - 3x)][x + (4 - 3x)] = 0$ (identité remarquable $a^2-b^2$)

$(x - 4 + 3x)(x + 4 - 3x) = 0$

$(4x - 4)(4 - 2x) = 0$

$\boxed{x = 1 \text{ ou } x = 2}$

b. $(3 - x)^2 = 3 - x$

$(3 - x)^2 - (3 - x) = 0$

$(3 - x)[(3 - x) - 1] = 0$ (factorisation par facteur commun)

$(3 - x)(2 - x) = 0$

$\boxed{x = 3 \text{ ou } x = 2}$

Correction :

a. $x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x - 5)^2 = 0$ (identité remarquable $(a-b)^2$)

$\boxed{x = 5}$

b. $4x^2 + 1 = 4x$

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

$(2x - 1)^2 = 0$ (identité remarquable $(a-b)^2$)

$\boxed{x = \frac{1}{2}}$

Correction :

a. $x^2 + 9 = 6x$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$ (identité remarquable $(a-b)^2$)

$\boxed{x = 3}$

b. $x^2 = 6x$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$ (factorisation par facteur commun)

$\boxed{x = 0 \text{ ou } x = 6}$

Correction :

a. $\frac{2}{x} + \frac{3}{x} = 5$

Puisque les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons les additionner directement :

$\frac{2+3}{x} = 5$

$\frac{5}{x} = 5$

Multiplions les deux côtés par $x$ (en supposant $x \neq 0$) :

$5 = 5x$

Divisons par $5$ :

$\boxed{x = 1}$

Vérifions que $x=1$ n'annule pas le dénominateur, ce qui est bien le cas.

b. $\frac{1}{x+1} = \frac{3}{x-1}$

Utilisons le produit en croix pour éliminer les fractions (en supposant $x \neq -1$ et $x \neq 1$) :

$1 \times (x-1) = 3 \times (x+1)$

$x - 1 = 3x + 3$

Regroupons les termes en $x$ et les constantes :

$-1 - 3 = 3x - x$

$-4 = 2x$

Divisons par $2$ :

$\boxed{x = -2}$

Vérifions que $x=-2$ n'annule pas les dénominateurs, ce qui est bien le cas.

c. $\frac{x}{x+2} = \frac{1}{2}$

Utilisons le produit en croix (en supposant $x \neq -2$) :

$x \times 2 = 1 \times (x+2)$

$2x = x + 2$

Regroupons les termes en $x$ :

$2x - x = 2$

$\boxed{x = 2}$

Vérifions que $x=2$ n'annule pas le dénominateur, ce qui est bien le cas.

Correction :

a. $\frac{4}{x-2} = 1$

$4 = x - 2$ (multiplication par $x-2$, pour $x \neq 2$)

$\boxed{x = 6}$

b. $\frac{1}{x} = 0$

$\boxed{\text{Pas de solution}}$ (un quotient ne peut être nul que si le numérateur est nul, or ici le numérateur est 1)

c. $x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$ (multiplication par $x$, pour $x \neq 0$)

$\boxed{x = 2 \text{ ou } x = -2}$

Correction :

a. $\frac{3x - 6}{1 - x} = 0$

$3x - 6 = 0$ (le numérateur doit être nul et $1-x \neq 0$)

$\boxed{x = 2}$ (vérifier que $x \neq 1$, ce qui est bien le cas)

b. $\frac{2x + 1}{3 - x} = 2$

$2x + 1 = 2(3 - x)$ (multiplication par $3-x$, pour $x \neq 3$)

$2x + 1 = 6 - 2x$

$4x = 5$

$\boxed{x = \frac{5}{4}}$

c. $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = 0$

$\frac{x+1 + 2x}{x(x+1)} = 0$ (réduction au même dénominateur)

$3x + 1 = 0$ (le numérateur doit être nul et $x \neq 0, x \neq -1$)

$\boxed{x = -\frac{1}{3}}$

Correction :

a. $\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$

$1(x + 1) = 2x$ (produit en croix, pour $x \neq 0, x \neq -1$)

$x + 1 = 2x$

$1 = x$

$\boxed{x = 1}$

b. $\frac{4}{7x - 7} = \frac{8}{3x - 3}$

$4(3x - 3) = 8(7x - 7)$ (produit en croix, pour $x \neq 1, x \neq \frac{3}{7}$)

$12x - 12 = 56x - 56$

$56 - 12 = 56x - 12x$

$44 = 44x$

$\boxed{x = 1}$

Attention ! $x=1$ est une valeur interdite car elle annule les dénominateurs de l'équation de départ.

$\boxed{\text{Pas de solution}}$

Correction :

$\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{1}{x} + 1$

$\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{1 + x}{x}$ (réduction au même dénominateur à droite)

$x(x + 2) = (x + 1)(x - 1)$ (produit en croix, pour $x \neq 0, x \neq 1$)

$x^2 + 2x = x^2 - 1$

$2x = -1$

$\boxed{x = -\frac{1}{2}}$

Correction :

a. $(2x+1)(3-x)=0$

$\boxed{x = -\frac{1}{2} \text{ ou } x = 3}$ (équation produit nul)

b. $(2x+1)+(3-x)=0$

$x + 4 = 0$

$\boxed{x = -4}$

c. $(2x+1)(x-3)=(1-x)(2x+1)$

$(2x+1)(x-3)-(1-x)(2x+1)=0$

$(2x+1)[(x-3)-(1-x)]=0$

$(2x+1)(2x-4)=0$

$\boxed{x = -\frac{1}{2} \text{ ou } x = 2}$

d. $(2x+1)^2=(3-x)^2$

$(2x+1)^2-(3-x)^2=0$

$[(2x+1)-(3-x)][(2x+1)+(3-x)]=0$

$(3x-2)(x+4)=0$

$\boxed{x = \frac{2}{3} \text{ ou } x = -4}$

e. $\frac{2x+1}{3-x}=0$

$2x+1=0$ (pour $x \neq 3$)

$\boxed{x = -\frac{1}{2}}$

f. $\frac{2x+1}{3-x}=2$

$2x+1=2(3-x)$ (pour $x \neq 3$)

$2x+1=6-2x$

$4x=5$

$\boxed{x = \frac{5}{4}}$

Correction :

$\frac{x^2-1}{x+1}=0$

$x^2 - 1 = 0$ (pour $x \neq -1$)

$x^2 = 1$

$x = 1$ ou $x = -1$

Mais $x \neq -1$ est une valeur interdite, donc nous rejetons $x = -1$.

$\boxed{x = 1}$

Correction :

$\frac{4x^2-25}{2x+10}=0$

$4x^2 - 25 = 0$ (pour $2x+10= 0 \Rightarrow x \neq -5$)

$4x^2 = 25$

$x^2 = \frac{25}{4}$

$x = \sqrt{\frac{25}{4}} \text{ ou } x = -\sqrt{\frac{25}{4}}$

$x = \frac{5}{2} \text{ ou } x = -\frac{5}{2}$

Vérifions si ces solutions annulent le dénominateur $2x+10$. Pour $x = \frac{5}{2}$, $2(\frac{5}{2}) + 10 = 5 + 10 = 15 \neq 0$. Pour $x = -\frac{5}{2}$, $2(-\frac{5}{2}) + 10 = -5 + 10 = 5 \neq 0$. Aucune des solutions n'est une valeur interdite.

$\boxed{x = \frac{5}{2} \text{ ou } x = -\frac{5}{2}}$