Ensembles de nombres

Correction :

Voici les ensembles de nombres pour chaque nombre proposé :

a) $A = -15$. Le plus petit ensemble auquel appartient $-15$ est l'ensemble des entiers relatifs : $\boxed{\mathbb{Z}}$.

b) $B = \frac{3}{7}$. $\frac{3}{7}$ n'est pas un nombre décimal car sa fraction irréductible a un dénominateur autre que $2^n \times 5^p$. C'est un nombre rationnel. Le plus petit ensemble auquel appartient $\frac{3}{7}$ est l'ensemble des nombres rationnels : $\boxed{\mathbb{Q}}$.

c) $C = 3,14159$. Ce nombre a une écriture décimale finie, c'est donc un nombre décimal. Le plus petit ensemble auquel appartient $3,14159$ est l'ensemble des nombres décimaux : $\boxed{\mathbb{D}}$.

d) $D = \sqrt{9} = 3$. $3$ est un entier naturel. Le plus petit ensemble auquel appartient $\sqrt{9}$ est l'ensemble des entiers naturels : $\boxed{\mathbb{N}}$.

e) $E = \frac{12}{4} = 3$. $3$ est un entier naturel. Le plus petit ensemble auquel appartient $\frac{12}{4}$ est l'ensemble des entiers naturels : $\boxed{\mathbb{N}}$.

f) $F = \sqrt{2}$. $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel (non rationnel). Le plus petit ensemble auquel appartient $\sqrt{2}$ est l'ensemble des nombres réels : $\boxed{\mathbb{R}}$.

g) $G = -\frac{25}{5} = -5$. $-5$ est un entier relatif. Le plus petit ensemble auquel appartient $-\frac{25}{5}$ est l'ensemble des entiers relatifs : $\boxed{\mathbb{Z}}$.

h) $H = 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. $0,75$ a une écriture décimale finie, c'est donc un nombre décimal. Le plus petit ensemble auquel appartient $0,75$ est l'ensemble des nombres décimaux : $\boxed{\mathbb{D}}$.

i) $I = -\frac{1}{3}$. $-\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. C'est un nombre rationnel négatif. Le plus petit ensemble auquel appartient $-\frac{1}{3}$ est l'ensemble des nombres rationnels : $\boxed{\mathbb{Q}}$.

j) $J = 10^{6}$. $10^{6} = 1\,000\,000$ est un entier naturel. Le plus petit ensemble auquel appartient $10^{6}$ est l'ensemble des entiers naturels : $\boxed{\mathbb{N}}$.

Correction :

Voici les simplifications des expressions d'intervalles :

a) $I_1 = [-3\,;\, 5] \cap [2\,;\, 7]$. L'intersection de ces deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent aux deux intervalles. Visuellement, on prend la partie commune. $\boxed{I_1 = [2\,;\, 5]}$

b) $I_2 = ]-\infty \,;\, 2[ \cup [-1\,;\, 3]]$. L'union de ces deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à au moins un des deux intervalles. $\boxed{I_2 = ]-\infty \,;\, 3]}$

c) $I_3 = [0\,;\, 4] \setminus [2\,;\, 6] = [0\,;\, 4] \cap [2\,;\, 6]^c$. $[2\,;\, 6]^c = ]-\infty \,;\, 2[ \cup ]6\,;\, +\infty[$. Donc, $I_3 = [0\,;\, 4] \cap (]-\infty \,;\, 2[ \cup ]6\,;\, +\infty[) = ([0\,;\, 4] \cap ]-\infty \,;\, 2[) \cup ([0\,;\, 4] \cap ]6\,;\, +\infty[)$. La seconde intersection est vide. Donc, $\boxed{I_3 = [0\,;\, 2[}$

d) $I_4 = (]-\infty \,;\, 1] \cup [3\,;\, +\infty[) \cap [0\,;\, 5]$. On distribue l'intersection : $I_4 = (]-\infty \,;\, 1] \cap [0\,;\, 5]) \cup ([3\,;\, +\infty[ \cap [0\,;\, 5])$. $\boxed{I_4 = [0\,;\, 1] \cup [3\,;\, 5]}$

e) $I_5 = ]-2\,;\, 2[ \cup [2\,;\, 5]$. On remarque que l'intervalle commence juste après la fin du premier et inclut la borne. $\boxed{I_5 = ]-2\,;\, 5]}$

Correction :

Voici les réponses aux questions avec justifications :

a) $\frac{5}{8}$. Pour savoir si $\frac{5}{8}$ est décimal, on regarde la décomposition du dénominateur en facteurs premiers. $8 = 2^3$. Comme le dénominateur ne contient que des facteurs 2 (ou 5), $\frac{5}{8}$ est un nombre décimal. On peut le vérifier : $\frac{5}{8} = 0,625$. $\boxed{\text{Oui, } \frac{5}{8} \text{ est un nombre décimal.}}$

b) $\frac{7}{3}$. Par définition, un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{p}{q}$ où $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$. $\frac{7}{3}$ est déjà sous cette forme. Donc, $\frac{7}{3}$ est rationnel. Pour savoir si $\frac{7}{3}$ est décimal, on regarde le dénominateur 3 qui n'est ni 2 ni 5. Donc $\frac{7}{3}$ n'est pas décimal. Sa division décimale donne $2,333...$ qui est infinie et périodique. $\boxed{\text{Oui, } \frac{7}{3} \text{ est rationnel, mais non décimal.}}$

c) $0,123456789101112...$. Ce nombre a une écriture décimale infinie et non périodique (la suite des chiffres après la virgule n'a pas de motif qui se répète). Donc, ce n'est pas un nombre rationnel. Par contre, tous les nombres qui ont une écriture décimale (finie ou infinie) sont des nombres réels. $\boxed{\text{Non, ce n'est pas un nombre rationnel, mais oui, c'est un nombre réel.}}$

d) Peut-on trouver un nombre irrationnel entre deux nombres rationnels distincts ? Oui. Entre deux rationnels distincts, il existe toujours une infinité de rationnels (densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$) mais aussi une infinité d'irrationnels (densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$). Par exemple, si $a < b$ sont deux rationnels, alors $a + \frac{\sqrt{2}}{n}$ (pour $n$ assez grand) est un irrationnel entre $a$ et $b$. $\boxed{\text{Oui.}}$

e) Inclusions entre décimaux et rationnels. Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n} = \frac{a}{2^n \times 5^n}$, donc est bien une fraction, et donc un nombre rationnel. L'inclusion $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ est vraie. L'inclusion réciproque est fausse. Par exemple $\frac{1}{3}$ est rationnel mais pas décimal. $\boxed{\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \text{ est vrai, mais } \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \text{ est faux.}}$

Correction :

Voici les réponses "Vrai ou Faux" justifiées :

a) Tout nombre entier naturel est un nombre entier relatif. $\boxed{\text{VRAI}}$. $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$ et $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Tout élément de $\mathbb{N}$ est bien dans $\mathbb{Z}$.

b) Tout nombre entier relatif est un nombre entier naturel. $\boxed{\text{FAUX}}$. Par exemple, $-3$ est un entier relatif ($\mathbb{Z}$) mais n'est pas un entier naturel ($\mathbb{N}$).

c) Tout nombre décimal est un nombre rationnel. $\boxed{\text{VRAI}}$. Un nombre décimal s'écrit $\frac{a}{10^n}$, qui est bien une fraction de deux entiers. Donc $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

d) Tout nombre rationnel est un nombre décimal. $\boxed{\text{FAUX}}$. Par exemple, $\frac{1}{3}$ est rationnel ($\mathbb{Q}$) mais n'est pas décimal ($\mathbb{D}$).

e) Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels. $\boxed{\text{VRAI}}$. Les nombres irrationnels, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$, sont réels mais pas rationnels.

f) Il existe des nombres rationnels qui ne sont pas réels. $\boxed{\text{FAUX}}$. Par définition, les nombres rationnels sont un sous-ensemble des nombres réels ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).

g) L'intersection de deux intervalles est toujours un intervalle. $\boxed{\text{VRAI}}$. L'intersection de deux intervalles est un ensemble connexe, donc un intervalle (éventuellement vide ou réduit à un point).

h) La réunion de deux intervalles est toujours un intervalle. $\boxed{\text{FAUX}}$. Par exemple, $I_1 = [0\,;\, 1]$ et $I_2 = [2\,;\, 3]$ sont des intervalles, mais leur réunion $I_1 \cup I_2 = [0\,;\, 1] \cup [2\,;\, 3]$ n'est pas un intervalle unique, mais une union de deux intervalles disjoints.

i) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}$ $\boxed{\text{FAUX}}$. L'inclusion incorrecte est $\mathbb{Q} \subset \mathbb{D}$. C'est l'inverse qui est vrai : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.

j) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ $\boxed{\text{VRAI}}$. Cette chaîne d'inclusions est correcte. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.

Correction :

Pour comparer ces nombres, il est utile de les convertir sous une forme commune, par exemple, en fractions ou en décimaux. Comparons-les deux à deux :

- Comparaison de $K = \frac{3}{5}$ et $L = 0,5 = \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$. $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0,6$ et $0,5$. Clairement, $L < K$. $0,5 < 0,6$.

- Comparaison de $K = \frac{3}{5} = \frac{27}{45}$ et $M = \frac{5}{9} = \frac{25}{45}$. Dénominateur commun 45. $27 > 25$, donc $M < K$.

- Comparaison de $N = 0,67$ et $K = 0,6$. Clairement $K < N$.

- Comparaison de $P = \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$ et $M = \frac{5}{9}$. Dénominateur commun 9. $6 > 5$, donc $M < P$.

- Comparaison de $P = \frac{2}{3} \approx 0,666...$ et $N = 0,67$. Clairement $P < N$.

On a donc : $L < M < K < P < N$. Vérifions : $L = 0,5$ $M = \frac{5}{9} = 0,555...$ $K = \frac{3}{5} = 0,6$ $P = \frac{2}{3} = 0,666...$ $N = 0,67$

Le classement par ordre croissant est : $\boxed{L < M < K < P < N}$ soit $0,5 < \frac{5}{9} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3} < 0,67$.

Correction :

Voici les réponses justifiées pour chaque affirmation :

a) $\sqrt{4} \in \mathbb{N}$. $\sqrt{4} = 2$, et $2$ est un entier naturel. $\boxed{\text{VRAI}}$

b) $\sqrt{5} \in \mathbb{Q}$. $\sqrt{5}$ est un nombre irrationnel, donc il n'appartient pas à $\mathbb{Q}$. $\boxed{\text{FAUX}}$

c) $-\pi \in \mathbb{R}$. $\pi$ est un nombre réel, et l'opposé d'un nombre réel est aussi un nombre réel. $\boxed{\text{VRAI}}$

d) $\frac{1}{7} \in \mathbb{D}$. $\frac{1}{7}$ n'a pas une écriture décimale finie et son dénominateur n'est pas de la forme $2^n \times 5^p$. $\boxed{\text{FAUX}}$

e) $-2,5 \in \mathbb{Z}$. $-2,5 = -\frac{5}{2}$ n'est pas un entier. $\boxed{\text{FAUX}}$

f) $\frac{18}{6} \in \mathbb{N}$. $\frac{18}{6} = 3$, et $3$ est un entier naturel. $\boxed{\text{VRAI}}$

g) $0,333... \in \mathbb{D}$. $0,333... = \frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. $\boxed{\text{FAUX}}$

h) $\mathbb{Z} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N}$. L'intersection de $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{N}$ est l'ensemble des éléments communs aux deux, qui est bien $\mathbb{N}$ car $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$. $\boxed{\text{VRAI}}$

i) $\mathbb{D} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{D}$. La réunion de $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $\mathbb{D}$ ou dans $\mathbb{Q}$ ou dans les deux. Comme $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, la réunion est $\mathbb{Q}$, et non $\mathbb{D}$. $\boxed{\text{FAUX}}$

j) $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \emptyset$. $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels, c'est l'ensemble des nombres irrationnels, qui n'est pas vide. $\boxed{\text{FAUX}}$

Correction :

Voici les expressions sous forme d'intervalles :

a) $\{x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x \le 3\} = \boxed{[-1\,;\, 3]}$

b) $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = \boxed{]2\,;\, +\infty[}$

c) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0 \text{ ou } x > 5\} = \boxed{]-\infty \,;\, 0] \cup ]5\,;\, +\infty[}$

d) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 4\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 4 \text{ ou } x > 4\} = \boxed{]-\infty \,;\, 4[ \cup ]4\,;\, +\infty[}$

e) $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \le 6 \text{ et } x < 3\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 3\} = \boxed{]1\,;\, 3[}$

f) $\{x \in \mathbb{R} \mid |x| \le 2\} = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 2\} = \boxed{[-2\,;\, 2]}$

g) $\{x \in \mathbb{R} \mid |x-1| < 3\} = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x-1 < 3\} = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x < 4\} = \boxed{]-2\,;\, 4[}$

h) $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 9\} = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \le x \le 3\} = \boxed{[-3\,;\, 3]}$

i) $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 > 16\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -4 \text{ ou } x > 4\} = \boxed{]-\infty \,;\, -4[ \cup ]4\,;\, +\infty[}$

j) $\{x \in \mathbb{R} \mid \frac{1}{x} \ge 2\}$. On distingue deux cas : - Si $x > 0$, alors $1 \ge 2x$, donc $x \le \frac{1}{2}$. D'où $x \in ]0\,;\, \frac{1}{2}]$. - Si $x < 0$, alors $1 \le 2x$ devient $1 \le 2x < 0$, ce qui est impossible. Donc, l'ensemble est $\boxed{]0\,;\, \frac{1}{2}]}$

Correction :

Voici les réponses justifiées pour chaque opération :

a) Addition de deux entiers naturels : résultat dans $\mathbb{N}$ ? $\boxed{\text{OUI}}$. La somme de deux entiers naturels est toujours un entier naturel. $\mathbb{N}$ est stable par addition.

b) Soustraction de deux entiers naturels : résultat dans $\mathbb{N}$ ? $\boxed{\text{NON}}$. Par exemple, $2 - 5 = -3$, qui n'est pas un entier naturel.

c) Multiplication de deux entiers relatifs : résultat dans $\mathbb{Z}$ ? $\boxed{\text{OUI}}$. Le produit de deux entiers relatifs est toujours un entier relatif. $\mathbb{Z}$ est stable par multiplication.

d) Division de deux entiers relatifs (le second non nul) : résultat dans $\mathbb{Z}$ ? $\boxed{\text{NON}}$. Par exemple, $\frac{3}{2} = 1,5$, qui n'est pas un entier relatif.

e) Addition de deux nombres rationnels : résultat dans $\mathbb{Q}$ ? $\boxed{\text{OUI}}$. La somme de deux rationnels $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ est encore un rationnel. $\mathbb{Q}$ est stable par addition.

f) Multiplication de deux nombres décimaux : résultat dans $\mathbb{D}$ ? $\boxed{\text{OUI}}$. Le produit de deux décimaux est toujours un décimal. $\mathbb{D}$ est stable par multiplication.

g) Racine carrée d'un nombre rationnel positif : résultat dans $\mathbb{Q}$ ? $\boxed{\text{NON}}$. Par exemple, $\sqrt{2}$ est irrationnel, et $2$ est rationnel positif.

h) Opposé d'un nombre entier relatif : résultat dans $\mathbb{Z}$ ? $\boxed{\text{OUI}}$. L'opposé d'un entier relatif est toujours un entier relatif. $\mathbb{Z}$ est stable par l'opération "opposé".

i) Inverse d'un nombre entier relatif non nul : résultat dans $\mathbb{Z}$ ? $\boxed{\text{NON}}$. Par exemple, l'inverse de $2$ est $\frac{1}{2} = 0,5$, qui n'est pas un entier relatif.

j) Carré d'un nombre réel : résultat dans $\mathbb{R}$ ? $\boxed{\text{OUI}}$. Le carré d'un nombre réel est toujours un nombre réel. $\mathbb{R}$ est stable par l'opération "carré".

Correction :

Voici les simplifications des expressions d'intervalles :

a) $I_1 = [-5\,;\, 3] \cap ]-2\,;\, 6[ = \boxed{]-2\,;\, 3]}$

b) $I_2 = ]-\infty \,;\, 0[ \cup [0\,;\, 2] = \boxed{]-\infty \,;\, 2]}$

c) $I_3 = ]-3\,;\, 4] \cap (]-\infty \,;\, 1] \cup [3\,;\, +\infty[) = (]-3\,;\, 4] \cap ]-\infty \,;\, 1]) \cup (]-3\,;\, 4] \cap [3\,;\, +\infty[) = ]-3\,;\, 1] \cup [3\,;\, 4] = \boxed{]-3\,;\, 1] \cup [3\,;\, 4]}$

d) $I_4 = ([-2\,;\, 5] \cap [1\,;\, 7]) \cup ]4\,;\, 8[ = [1\,;\, 5] \cup ]4\,;\, 8[ = \boxed{[1\,;\, 8[}$

e) $I_5 = \mathbb{R} \cap [-1\,;\, 1] = \boxed{[-1\,;\, 1]}$

f) $I_6 = \mathbb{R} \cup [0\,;\, +\infty[ = \boxed{\mathbb{R}}$

g) $I_7 = \emptyset \cup [2\,;\, 3] = \boxed{[2\,;\, 3]}$

h) $I_8 = \emptyset \cap [-4\,;\, -2] = \boxed{\emptyset}$

i) $I_9 = ([-1\,;\, 2] \cup [3\,;\, 5]) \cap [2\,;\, 4] = ([-1\,;\, 2] \cap [2\,;\, 4]) \cup ([3\,;\, 5] \cap [2\,;\, 4]) = \{2\} \cup [3\,;\, 4] = \boxed{\{2\} \cup [3\,;\, 4]}$

j) $I_{10} = (]0\,;\, 1[ \cap ]1\,;\, 2[) \cup [0\,;\, 2] = \emptyset \cup [0\,;\, 2] = \boxed{[0\,;\, 2]}$

Correction :

Voici les solutions aux problèmes de logique :

a) Nombre entier relatif, rationnel et décimal, mais pas entier naturel : $\boxed{-2}$. $-2$ est bien dans $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{D}$ mais pas dans $\mathbb{N}$.

b) Nombre réel et rationnel, mais pas décimal : $\boxed{\frac{1}{3}}$. $\frac{1}{3}$ est dans $\mathbb{Q}$ donc dans $\mathbb{R}$, mais n'est pas décimal.

c) Nombre réel, mais ni rationnel, ni entier : $\boxed{\sqrt{2}}$. $\sqrt{2}$ est irrationnel, donc réel et non rationnel, et non entier.

d) Existe-t-il un nombre qui soit entier naturel et irrationnel ? $\boxed{\text{NON}}$. Par définition, les nombres irrationnels ne sont pas rationnels, et les entiers naturels sont rationnels.

e) Existe-t-il un nombre qui soit décimal et irrationnel ? $\boxed{\text{NON}}$. Les nombres décimaux sont rationnels, donc ne peuvent pas être irrationnels.

f) Existe-t-il un nombre qui soit rationnel et irrationnel ? $\boxed{\text{NON}}$. Par définition, un nombre est soit rationnel, soit irrationnel, mais pas les deux à la fois.

g) Intervalle de $\mathbb{R}$ contenant rationnels et irrationnels : $\boxed{[0\,;\, 1]}$. Tout intervalle non vide de $\mathbb{R}$ contient à la fois des rationnels et des irrationnels (densité de $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$).

h) Intervalle de $\mathbb{R}$ sans nombre rationnel ? $\boxed{\text{NON}}$. Tout intervalle non vide contient des rationnels.

i) Intervalle de $\mathbb{R}$ sans nombre entier relatif ? $\boxed{\text{OUI}}$. Par exemple, $]0,5\,;\, 0,6[$ ne contient aucun entier relatif.

j) Intervalle de $\mathbb{R}$ avec uniquement 0 et aucun autre rationnel ? $\boxed{\text{NON}}$. Si un intervalle contient $0$, et est non réduit à $\{0\}$, alors il contient forcément d'autres nombres réels, et parmi eux, des nombres rationnels (densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$). Un intervalle qui contient uniquement $\{0\}$ est l'intervalle réduit à un point $[0\,;\, 0] = \{0\}$.