Colinéarité de deux vecteurs

Correction :

a) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$, nous observons que les coordonnées de $\vec{v}$ sont le double de celles de $\vec{u}$. En effet, $4 = 2 \times 2$ et $6 = 2 \times 3$. Ainsi, $\vec{v} = 2\vec{u}$.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

b) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -15 \end{pmatrix}$, nous remarquons que les coordonnées de $\vec{v}$ sont $-3$ fois celles de $\vec{u}$. En effet, $3 = -3 \times (-1)$ et $-15 = -3 \times 5$. Ainsi, $\vec{v} = -3\vec{u}$.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

c) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$, nous vérifions si les coordonnées sont proportionnelles en calculant le déterminant :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) - (1)(3) = 3 - 3 = 0$.

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. On peut aussi remarquer que $\vec{v} = \sqrt{3} \vec{u}$.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

d) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{4} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, calculons le déterminant :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (\frac{1}{2})(3) - (-\frac{3}{4})(-2) = \frac{3}{2} - \frac{6}{4} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$.

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. On peut aussi remarquer que $\vec{v} = -4 \vec{u}$.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

a) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ -4 \end{pmatrix}$, calculons le déterminant :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (5)(-4) - (-2)(10) = -20 - (-20) = 0$.

Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

b) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, calculons le déterminant :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (-3)(1) - (7)(2) = -3 - 14 = -17$.

Puisque le déterminant est non nul, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

c) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{6} \\ -1 \end{pmatrix}$, commençons par simplifier $\vec{v}$. On a $-\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$, donc $\vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ -1 \end{pmatrix}$. Calculons le déterminant :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (\frac{2}{3})(-1) - (\frac{1}{2})(-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$.

Puisque le déterminant est non nul, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Correction :

a) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}$, pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. On doit donc résoudre l'équation $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (4)(2) - (-1)(x) = 8 + x$.

On résout $8 + x = 0$, ce qui donne $x = -8$.

Conclusion : Pour $x = -8$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

b) Pour $\vec{u} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ x \end{pmatrix}$, de même, on cherche $x$ tel que le déterminant soit nul.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (-6)(x) - (3)(2) = -6x - 6$.

On résout $-6x - 6 = 0$, ce qui donne $-6x = 6$, puis $x = \frac{6}{-6} = -1$.

Conclusion : Pour $x = -1$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, nous devons d'abord calculer leurs coordonnées.

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - 1, 5 - 2) = (2, 3)$. Donc $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $(x_D - x_C, y_D - y_C) = (0 - (-2), 3 - 0) = (2, 3)$. Donc $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Ensuite, nous calculons le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ :

$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = (2)(3) - (3)(2) = 6 - 6 = 0$.

Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Conclusion : Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. On remarque ici qu'ils sont même égaux, ce qui implique qu'ils sont bien entendu colinéaires.

Correction :

Pour déterminer si les points $E$, $F$, et $G$ sont alignés, nous allons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont colinéaires. Si c'est le cas, alors les points seront alignés.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$.

$\overrightarrow{EF}$ a pour coordonnées $(x_F - x_E, y_F - y_E) = (2 - (-1), 1 - 4) = (3, -3)$. Donc $\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{EG}$ a pour coordonnées $(x_G - x_E, y_G - y_E) = (5 - (-1), -2 - 4) = (6, -6)$. Donc $\overrightarrow{EG} = \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \end{pmatrix}$.

Calculons maintenant le déterminant de $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ :

$\det(\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}) = (3)(-6) - (-3)(6) = -18 - (-18) = 0$.

Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont colinéaires.

Conclusion : Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont colinéaires, et par conséquent, les points $E$, $F$, et $G$ sont alignés. On peut observer que $\overrightarrow{EG} = 2\overrightarrow{EF}$, ce qui confirme la colinéarité et l'alignement des points.

Correction :

Pour déterminer si les droites $(RS)$ et $(TU)$ sont parallèles, nous devons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TU}$ sont colinéaires.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TU}$.

$\overrightarrow{RS}$ a pour coordonnées $(x_S - x_R, y_S - y_R) = (4 - 0, 0 - (-2)) = (4, 2)$. Donc $\overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{TU}$ a pour coordonnées $(x_U - x_T, y_U - y_T) = (9 - 5, -1 - (-3)) = (4, 2)$. Donc $\overrightarrow{TU} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Calculons le déterminant de $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TU}$ :

$\det(\overrightarrow{RS}, \overrightarrow{TU}) = (4)(2) - (2)(4) = 8 - 8 = 0$.

Le déterminant est nul, donc les vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TU}$ sont colinéaires.

Conclusion : Les vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{TU}$ sont colinéaires, donc les droites $(RS)$ et $(TU)$ sont parallèles. En fait, on remarque que $\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{TU}$, ce qui implique que les droites sont même parallèles et "dans le même sens".

Correction :

Pour que les points $J$, $K$ et $L$ soient alignés, les vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{JL}$ doivent être colinéaires. Nous allons donc chercher la valeur de $y$ pour laquelle le déterminant de ces deux vecteurs est nul.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{JL}$.

$\overrightarrow{JK}$ a pour coordonnées $(x_K - x_J, y_K - y_J) = (1 - (-2), -1 - 3) = (3, -4)$. Donc $\overrightarrow{JK} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{JL}$ a pour coordonnées $(x_L - x_J, y_L - y_J) = (5 - (-2), y - 3) = (7, y - 3)$. Donc $\overrightarrow{JL} = \begin{pmatrix} 7 \\ y - 3 \end{pmatrix}$.

Calculons le déterminant de $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{JL}$ et égalisons-le à zéro :

$\det(\overrightarrow{JK}, \overrightarrow{JL}) = (3)(y - 3) - (-4)(7) = 3y - 9 - (-28) = 3y - 9 + 28 = 3y + 19$.

Nous voulons $\det(\overrightarrow{JK}, \overrightarrow{JL}) = 0$, donc nous devons résoudre l'équation $3y + 19 = 0$.

$3y + 19 = 0 \Leftrightarrow 3y = -19 \Leftrightarrow y = -\frac{19}{3}$.

Conclusion : Pour $y = -\frac{19}{3}$, les points $J$, $K$ et $L$ sont alignés.

Correction :

Pour déterminer si les droites $(VW)$ et $(XY)$ sont sécantes, nous devons vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{VW}$ et $\overrightarrow{XY}$ ne sont pas colinéaires. Si ils ne sont pas colinéaires, alors les droites sont sécantes.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{VW}$ et $\overrightarrow{XY}$.

$\overrightarrow{VW}$ a pour coordonnées $(x_W - x_V, y_W - y_V) = (2 - (-3), 4 - 1) = (5, 3)$. Donc $\overrightarrow{VW} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{XY}$ a pour coordonnées $(x_Y - x_X, y_Y - y_X) = (5 - 0, 0 - (-2)) = (5, 2)$. Donc $\overrightarrow{XY} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Calculons le déterminant de $\overrightarrow{VW}$ et $\overrightarrow{XY}$ :

$\det(\overrightarrow{VW}, \overrightarrow{XY}) = (5)(2) - (3)(5) = 10 - 15 = -5$.

Le déterminant est non nul, donc les vecteurs $\overrightarrow{VW}$ et $\overrightarrow{XY}$ ne sont pas colinéaires.

Conclusion : Les vecteurs $\overrightarrow{VW}$ et $\overrightarrow{XY}$ ne sont pas colinéaires, donc les droites $(VW)$ et $(XY)$ sont sécantes.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (x+1)(x-1) - (2)(3)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$(x+1)(x-1) - 6 = 0$.

Développons et simplifions l'équation :

$(x+1)(x-1) - 6 = x^2 - 1 - 6 = x^2 - 7$.

L'équation à résoudre est donc $x^2 - 7 = 0$.

Conclusion : Les solutions de l'équation $x^2 = 7$ sont $x = \sqrt{7}$ et $x = -\sqrt{7}$. Pour ces deux valeurs de $x$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (x)(x) - (x+2)(x-1)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$x^2 - (x+2)(x-1) = 0$.

Développons et simplifions l'équation :

$x^2 - (x+2)(x-1) = x^2 - (x^2 - x + 2x - 2) = x^2 - (x^2 + x - 2) = x^2 - x^2 - x + 2 = -x + 2$.

L'équation à résoudre est donc $-x + 2 = 0$.

Résolvons cette équation du premier degré :

$-x + 2 = 0 \Leftrightarrow -x = -2 \Leftrightarrow x = 2$.

Conclusion : Pour $x = 2$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (x)(x) - (4)(x)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$x^2 - 4x = 0$.

Factorisons cette équation pour la résoudre comme une équation produit nul :

$x^2 - 4x = x(x - 4) = 0$.

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. Donc, soit $x = 0$, soit $x - 4 = 0$.

Cela nous donne deux solutions possibles pour $x$ : $x = 0$ ou $x = 4$.

Conclusion : Pour $x = 0$ ou $x = 4$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (x+3)(x+3) - (x-3)(x-3)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$(x+3)^2 - (x-3)^2 = 0$.

Reconnaissons une différence de deux carrés de la forme $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = (x+3)$ et $b = (x-3)$. Factorisons :

$[(x+3) - (x-3)][(x+3) + (x-3)] = 0$.

Simplifions chaque facteur :

$[x+3 - x + 3][x+3 + x - 3] = [6][2x] = 12x$.

L'équation à résoudre est donc $12x = 0$.

Résolvons cette équation :

$12x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Conclusion : Pour $x = 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = (x-2)(2-x) - (x+2)(x+2)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$(x-2)(2-x) - (x+2)^2 = 0$.

Remarquons que $(2-x) = -(x-2)$. On peut réécrire le premier terme : $(x-2)(2-x) = -(x-2)(x-2) = -(x-2)^2$. L'équation devient :

$-(x-2)^2 - (x+2)^2 = 0$.

Multiplions par $-1$ pour simplifier les signes :

$(x-2)^2 + (x+2)^2 = 0$.

Analysons cette équation. Nous avons une somme de deux carrés égale à zéro. Un carré étant toujours positif ou nul, la somme de deux carrés ne peut être nulle que si chaque carré est nul séparément. Donc, nous devons avoir simultanément $(x-2)^2 = 0$ et $(x+2)^2 = 0$.

Pour $(x-2)^2 = 0$, on doit avoir $x-2 = 0$, donc $x = 2$.

Pour $(x+2)^2 = 0$, on doit avoir $x+2 = 0$, donc $x = -2$.

Il faudrait donc que $x$ soit égal à $2$ et à $-2$ en même temps, ce qui est impossible. Par conséquent, il n'y a aucune valeur de $x$ réelle qui puisse satisfaire cette équation.

Conclusion : Il n'existe aucune valeur réelle de $x$ pour laquelle les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = x(x+1) \times (3) - (x) \times 2(x+1)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$3x(x+1) - 2x(x+1) = 0$.

Nous remarquons que $x(x+1)$ est un facteur commun aux deux termes de l'expression. Factorisons par ce facteur commun :

$x(x+1)[3 - 2] = 0$.

Simplifions l'expression entre crochets :

$x(x+1)[1] = x(x+1)$.

L'équation à résoudre est donc $x(x+1) = 0$.

Nous avons une équation produit nul. Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. Donc, soit $x = 0$, soit $x+1 = 0$.

Résolvons ces deux équations simples :

$x = 0$ est déjà une solution.

$x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -1$.

Conclusion : Pour $x = 0$ ou $x = -1$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Correction :

Pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, leur déterminant doit être nul. Calculons le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = ((x-1)^2)(2) - (x^2-1)(x-1)$.

Pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires, il faut que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$. Nous devons donc résoudre l'équation :

$2(x-1)^2 - (x^2-1)(x-1) = 0$.

Nous remarquons que $(x-1)$ est un facteur commun. Factorisons par $(x-1)$ :

$(x-1)[2(x-1) - (x^2-1)] = 0$.

Nous avons donc une première solution $x-1 = 0$, soit $x = 1$. Pour trouver les autres solutions, nous devons résoudre l'équation obtenue en annulant le second facteur : $2(x-1) - (x^2-1) = 0$.

Développons et simplifions l'expression entre crochets :

$2(x-1) - (x^2-1) = 2x - 2 - x^2 + 1 = -x^2 + 2x - 1$.

Nous devons résoudre l'équation $-x^2 + 2x - 1 = 0$. Multiplions par $-1$ pour simplifier le terme en $x^2$: $x^2 - 2x + 1 = 0$.

Reconnaissons l'identité remarquable $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ avec $a=x$ et $b=1$. L'équation devient :

$(x-1)^2 = 0$.

Cette équation implique $x-1 = 0$, donc $x = 1$. Nous retrouvons la même solution $x=1$. En fait, la factorisation initiale nous a donné $(x-1)$ comme facteur, et le second facteur, après simplification, nous redonne aussi $(x-1)$ au carré. Il y a donc une seule solution qui se répète.

Conclusion : Pour $x = 1$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Il s'agit de la seule valeur de $x$ pour laquelle ils sont colinéaires.