Diviseurs et Multiples

Correction :

Pour chaque division euclidienne, nous devons trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$.

a) Pour $a = 175$ et $b = 12$ : Nous cherchons le plus grand multiple de $12$ inférieur ou égal à $175$. On a $12 \times 14 = 168$ et $12 \times 15 = 180$. Donc, le quotient est $q = 14$. Le reste est $r = 175 - 12 \times 14 = 175 - 168 = 7$. On vérifie bien que $0 \leq 7 < 12$. La division euclidienne de $175$ par $12$ s'écrit : $\boxed{175 = 12 \times 14 + 7}$. Le quotient est $14$ et le reste est $7$.

b) Pour $a = 328$ et $b = 25$ : Nous cherchons le plus grand multiple de $25$ inférieur ou égal à $328$. On a $25 \times 13 = 325$ et $25 \times 14 = 350$. Donc, le quotient est $q = 13$. Le reste est $r = 328 - 25 \times 13 = 328 - 325 = 3$. On vérifie bien que $0 \leq 3 < 25$. La division euclidienne de $328$ par $25$ s'écrit : $\boxed{328 = 25 \times 13 + 3}$. Le quotient est $13$ et le reste est $3$.

c) Pour $a = 95$ et $b = 15$ : Nous cherchons le plus grand multiple de $15$ inférieur ou égal à $95$. On a $15 \times 6 = 90$ et $15 \times 7 = 105$. Donc, le quotient est $q = 6$. Le reste est $r = 95 - 15 \times 6 = 95 - 90 = 5$. On vérifie bien que $0 \leq 5 < 15$. La division euclidienne de $95$ par $15$ s'écrit : $\boxed{95 = 15 \times 6 + 5}$. Le quotient est $6$ et le reste est $5$.

Correction :

a) Pour $234$ :

• Divisible par 2 ? Oui, car le chiffre des unités est $4$, qui est pair.
• Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $2+3+4 = 9$ est divisible par $3$.
• Divisible par 5 ? Non, car le chiffre des unités n'est ni $0$ ni $5$.
• Divisible par 9 ? Oui, car la somme des chiffres $2+3+4 = 9$ est divisible par $9$.
• Divisible par 10 ? Non, car le chiffre des unités n'est pas $0$.

b) Pour $585$ :

• Divisible par 2 ? Non, car le chiffre des unités est $5$, qui est impair.
• Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $5+8+5 = 18$ est divisible par $3$.
• Divisible par 5 ? Oui, car le chiffre des unités est $5$.
• Divisible par 9 ? Oui, car la somme des chiffres $5+8+5 = 18$ est divisible par $9$.
• Divisible par 10 ? Non, car le chiffre des unités n'est pas $0$.

c) Pour $1260$ :

• Divisible par 2 ? Oui, car le chiffre des unités est $0$, qui est pair.
• Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $1+2+6+0 = 9$ est divisible par $3$.
• Divisible par 5 ? Oui, car le chiffre des unités est $0$.
• Divisible par 9 ? Oui, car la somme des chiffres $1+2+6+0 = 9$ est divisible par $9$.
• Divisible par 10 ? Oui, car le chiffre des unités est $0$.

d) Pour $976$ :

• Divisible par 2 ? Oui, car le chiffre des unités est $6$, qui est pair.
• Divisible par 3 ? Non, car la somme des chiffres $9+7+6 = 22$ n'est pas divisible par $3$.
• Divisible par 5 ? Non, car le chiffre des unités n'est ni $0$ ni $5$.
• Divisible par 9 ? Non, car la somme des chiffres $9+7+6 = 22$ n'est pas divisible par $9$.
• Divisible par 10 ? Non, car le chiffre des unités n'est pas $0$.

e) Pour $333$ :

• Divisible par 2 ? Non, car le chiffre des unités est $3$, qui est impair.
• Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $3+3+3 = 9$ est divisible par $3$.
• Divisible par 5 ? Non, car le chiffre des unités n'est ni $0$ ni $5$.
• Divisible par 9 ? Oui, car la somme des chiffres $3+3+3 = 9$ est divisible par $9$.
• Divisible par 10 ? Non, car le chiffre des unités n'est pas $0$.

Correction :

a) Pour $24$ : Nous cherchons les paires de nombres entiers positifs dont le produit est $24$. Les diviseurs de $24$ sont : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. On peut les trouver en testant tous les entiers de $1$ à $\sqrt{24} \approx 4.9$.

• $1 \times 24 = 24$
• $2 \times 12 = 24$
• $3 \times 8 = 24$
• $4 \times 6 = 24$

b) Pour $36$ : Nous cherchons les paires de nombres entiers positifs dont le produit est $36$. Les diviseurs de $36$ sont : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. On peut les trouver en testant tous les entiers de $1$ à $\sqrt{36} = 6$.

• $1 \times 36 = 36$
• $2 \times 18 = 36$
• $3 \times 12 = 36$
• $4 \times 9 = 36$
• $6 \times 6 = 36$

c) Pour $48$ : Nous cherchons les paires de nombres entiers positifs dont le produit est $48$. Les diviseurs de $48$ sont : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$. On peut les trouver en testant tous les entiers de $1$ à $\sqrt{48} \approx 6.9$.

• $1 \times 48 = 48$
• $2 \times 24 = 48$
• $3 \times 16 = 48$
• $4 \times 12 = 48$
• $6 \times 8 = 48$

Correction :

a) Montrons que si $a|b$ et $a|c$, alors $a|(b+c)$. Si $a$ divise $b$, alors il existe un entier $q_1$ tel que $b = aq_1$. Si $a$ divise $c$, alors il existe un entier $q_2$ tel que $c = aq_2$. Alors, $b+c = aq_1 + aq_2 = a(q_1 + q_2)$. Puisque $q_1 + q_2$ est un entier, $b+c$ est un multiple de $a$. Donc, $\boxed{a \text{ divise } b+c}$.

b) Montrons que si $a|b$ et $a|c$, alors $a|(b-c)$. Si $a$ divise $b$, alors il existe un entier $q_1$ tel que $b = aq_1$. Si $a$ divise $c$, alors il existe un entier $q_2$ tel que $c = aq_2$. Alors, $b-c = aq_1 - aq_2 = a(q_1 - q_2)$. Puisque $q_1 - q_2$ est un entier, $b-c$ est un multiple de $a$. Donc, $\boxed{a \text{ divise } b-c}$.

c) Montrons que si $a|b$, alors pour tout entier $k$, $a|(kb)$. Si $a$ divise $b$, alors il existe un entier $q$ tel que $b = aq$. Alors, $kb = k(aq) = a(kq)$. Puisque $kq$ est un entier, $kb$ est un multiple de $a$. Donc, $\boxed{a \text{ divise } kb}$.

Correction :

a) Si un nombre entier est divisible par 4, est-il nécessairement divisible par 2 ? Oui. Si un nombre $n$ est divisible par 4, alors il existe un entier $q$ tel que $n = 4q$. On peut écrire $n = 2 \times (2q)$. Puisque $2q$ est un entier, $n$ est divisible par 2. Donc, $\boxed{\text{Oui}}$.

b) Si un nombre entier est divisible par 2, est-il nécessairement divisible par 4 ? Non. Contre-exemple : Le nombre 6 est divisible par 2 ($6 = 2 \times 3$), mais n'est pas divisible par 4. Donc, $\boxed{\text{Non}}$.

c) Si un nombre entier est divisible par 6 et par 4, est-il nécessairement divisible par 24 ? Non. Contre-exemple : Le nombre 12 est divisible par 6 ($12 = 6 \times 2$) et par 4 ($12 = 4 \times 3$), mais n'est pas divisible par 24. Donc, $\boxed{\text{Non}}$.

d) Si un nombre entier est divisible par 6 et par 4, est-il nécessairement divisible par 12 ? Oui. Si un nombre $n$ est divisible par 6, alors il est divisible par 2 et par 3. Si un nombre $n$ est divisible par 4, alors il est divisible par 2 et par 2. Donc, si $n$ est divisible par 6 et par 4, il est divisible par 2, 2 et 3. En regroupant les facteurs premiers, $n$ est divisible par $2 \times 2 \times 3 = 12$. Donc, $\boxed{\text{Oui}}$.

Correction :

Soient $m$ et $n$ deux multiples de 5. Par définition, il existe des entiers $k_1$ et $k_2$ tels que $m = 5k_1$ et $n = 5k_2$. Considérons la somme $m + n = 5k_1 + 5k_2 = 5(k_1 + k_2)$. Puisque $k_1 + k_2$ est un entier, $m + n$ est un multiple de 5. Donc, $\boxed{\text{la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5}}$.

**Généralisation :** La somme de deux multiples d'un entier $d$ est un multiple de $d$. Soient $m$ et $n$ deux multiples de $d$. Il existe des entiers $q_1$ et $q_2$ tels que $m = dq_1$ et $n = dq_2$. Alors, $m + n = dq_1 + dq_2 = d(q_1 + q_2)$. Puisque $q_1 + q_2$ est un entier, $m + n$ est un multiple de $d$. Donc, $\boxed{\text{la somme de deux multiples d'un entier } d \text{ est un multiple de } d}$.

Correction :

Si $a$ est un multiple de 3, alors il existe un entier $k_1$ tel que $a = 3k_1$. Si $b$ est un multiple de 7, alors il existe un entier $k_2$ tel que $b = 7k_2$. Considérons le produit $ab = (3k_1)(7k_2) = (3 \times 7)(k_1k_2) = 21(k_1k_2)$. Puisque $k_1k_2$ est un entier, $ab$ est un multiple de 21. Donc, $\boxed{\text{le produit } ab \text{ est un multiple de } 21}$.

Correction :

Soit $n$ un entier quelconque. Les trois entiers consécutifs suivant $n$ sont $n+1$ et $n+2$. Considérons leur somme : $S = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$. Puisque $n+1$ est un entier, $S$ est un multiple de 3. Donc, $\boxed{\text{la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3}}$.

Correction :

a) Soit $p$ un nombre pair et $i$ un nombre impair. Il existe des entiers $k_1$ et $k_2$ tels que $p = 2k_1$ et $i = 2k_2 + 1$. La somme $p + i = 2k_1 + (2k_2 + 1) = 2(k_1 + k_2) + 1$. Puisque $k_1 + k_2$ est un entier, $p+i$ est de la forme $2K + 1$, donc $\boxed{\text{impair}}$.

b) Le produit $p \times i = (2k_1)(2k_2 + 1) = 2k_1(2k_2 + 1) = 2[k_1(2k_2 + 1)]$. Puisque $k_1(2k_2 + 1)$ est un entier, $p \times i$ est de la forme $2K$, donc $\boxed{\text{pair}}$.

c) Soient $i_1$ et $i_2$ deux nombres impairs. Il existe des entiers $k_1$ et $k_2$ tels que $i_1 = 2k_1 + 1$ et $i_2 = 2k_2 + 1$. Le produit $i_1 \times i_2 = (2k_1 + 1)(2k_2 + 1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$. Puisque $2k_1k_2 + k_1 + k_2$ est un entier, $i_1 \times i_2$ est de la forme $2K + 1$, donc $\boxed{\text{impair}}$.

Correction :

Soit $i$ un nombre impair. Alors il existe un entier $k$ tel que $i = 2k + 1$. Considérons le carré de $i$ : $i^2 = (2k + 1)^2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. Puisque $2k^2 + 2k$ est un entier, $i^2$ est de la forme $2K + 1$, donc $\boxed{\text{impair}}$.

Correction :

Soit $i$ un nombre impair. Alors il existe un entier $k$ tel que $i = 2k + 1$. Considérons le cube de $i$ : $i^3 = (2k + 1)^3 = (2k + 1)(2k + 1)^2 = (2k + 1)(4k^2 + 4k + 1)$. En développant, $i^3 = 8k^3 + 8k^2 + 2k + 4k^2 + 4k + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$. Puisque $4k^3 + 6k^2 + 3k$ est un entier, $i^3$ est de la forme $2K + 1$, donc $\boxed{\text{impair}}$.

Autre méthode (plus rapide) : Nous savons (exercice précédent) que le carré d'un nombre impair est impair. Le cube d'un nombre impair est le produit de son carré (impair) par le nombre impair lui-même. Le produit de deux nombres impairs étant impair (exercice précédent), le cube d'un nombre impair est donc impair.

Correction :

Soit $n$ un multiple de 6. Alors il existe un entier $k$ tel que $n = 6k$. On peut écrire $n = 6k = (3 \times 2)k = 3(2k)$. Puisque $2k$ est un entier, $n$ est un multiple de 3. Donc, $\boxed{\text{tout multiple de 6 est un multiple de 3}}$.

Inverse : L'inverse n'est pas vrai. Un multiple de 3 n'est pas nécessairement un multiple de 6. Contre-exemple : 3 est un multiple de 3 ($3 = 3 \times 1$), mais 3 n'est pas un multiple de 6. Donc, $\boxed{\text{l'inverse n'est pas vrai}}$.

Correction :

Pour déterminer les diviseurs communs de 30 et 45, nous listons d'abord les diviseurs de chaque nombre.

Diviseurs de 30 : $\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$

Diviseurs de 45 : $\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$

Les diviseurs communs de 30 et 45 sont les nombres qui apparaissent dans les deux listes : $\{1, 3, 5, 15\}$.

Le plus grand diviseur commun (PGCD) est le plus grand nombre de cet ensemble : $\boxed{15}$.

Correction :

Les cinq premiers multiples positifs de 4 sont : $\{4, 8, 12, 16, 20\}$.

Les cinq premiers multiples positifs de 6 sont : $\{6, 12, 18, 24, 30\}$.

Le multiple commun parmi ces listes est le nombre qui apparaît dans les deux listes : $\{12\}$.

Le plus petit multiple commun (PPCM) parmi ces listes est donc $\boxed{12}$.

Note : En réalité, 12 est le plus petit multiple commun de 4 et 6, et il est unique.

Correction :

a) Vrai. Si un nombre est divisible par 2 et par 5, alors il est divisible par le produit de 2 et 5 car 2 et 5 sont premiers entre eux. $2 \times 5 = 10$. Donc, $\boxed{\text{Vrai}}$.

b) Vrai. Si un nombre est divisible par 3 et par 4, alors il est divisible par le produit de 3 et 4 car 3 et 4 sont premiers entre eux. $3 \times 4 = 12$. Donc, $\boxed{\text{Vrai}}$.

c) Faux. Contre-exemple : 6 est divisible par 2 et par 3, mais 6 n'est pas divisible par 9. Donc, $\boxed{\text{Faux}}$.

d) Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 4 et par 6, mais 12 n'est pas divisible par 24. Donc, $\boxed{\text{Faux}}$.

Correction :

On sait que dans la division euclidienne de $a$ par $b$, on a $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$. Ici, $a = 125$ et $q = 7$. Donc $125 = 7b + r$ avec $0 \leq r < b$.

a) Le reste $r$ doit être inférieur au diviseur $b$. Nous ne connaissons pas encore $b$, mais nous pouvons exprimer $r$ en fonction de $b$ ou utiliser les informations disponibles pour contraindre $r$. De $125 = 7b + r$, on a $r = 125 - 7b$. Puisque $r \geq 0$, $125 - 7b \geq 0$, donc $125 \geq 7b$, soit $b \leq \frac{125}{7} \approx 17.86$. Puisque $r < b$, on a $125 - 7b < b$, donc $125 < 8b$, soit $b > \frac{125}{8} = 15.625$. Donc $15.625 < b \leq 17.86$. Comme $b$ est un entier, les valeurs possibles pour $b$ sont 16 et 17.

b) Si $b = 16$, alors $125 = 7 \times 16 + r = 112 + r$, donc $r = 125 - 112 = 13$. On a bien $0 \leq 13 < 16$. Si $b = 17$, alors $125 = 7 \times 17 + r = 119 + r$, donc $r = 125 - 119 = 6$. On a bien $0 \leq 6 < 17$.

Les restes possibles sont donc $13$ (pour $b=16$) et $6$ (pour $b=17$).

Les valeurs possibles de $b$ sont $\boxed{16 \text{ et } 17}$. Pour $b=16$, le reste est $\boxed{13}$. Pour $b=17$, le reste est $\boxed{6}$.

Correction :

a) Pour $16 = 2^4$. Les diviseurs de $16$ sont de la forme $2^k$ avec $0 \leq k \leq 4$. Les valeurs possibles de $k$ sont $\{0, 1, 2, 3, 4\}$. Il y a donc $\boxed{5}$ diviseurs. ( $\{1, 2, 4, 8, 16\}$ )

b) Pour $25 = 5^2$. Les diviseurs de $25$ sont de la forme $5^k$ avec $0 \leq k \leq 2$. Les valeurs possibles de $k$ sont $\{0, 1, 2\}$. Il y a donc $\boxed{3}$ diviseurs. ( $\{1, 5, 25\}$ )

c) Pour $36 = 6^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2$. Les diviseurs de $36$ sont de la forme $2^a \times 3^b$ avec $0 \leq a \leq 2$ et $0 \leq b \leq 2$. Pour $a$, il y a 3 choix, et pour $b$, il y a 3 choix. Le nombre total de diviseurs est $3 \times 3 = \boxed{9}$. ( $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ )

d) Pour $p^2$ où $p$ est premier. Les diviseurs sont de la forme $p^k$ avec $0 \leq k \leq 2$. Les valeurs possibles de $k$ sont $\{0, 1, 2\}$. Il y a donc $\boxed{3}$ diviseurs. ( $\{1, p, p^2\}$ )

e) Pour $p^n$ où $p$ est premier et $n$ entier positif. Les diviseurs sont de la forme $p^k$ avec $0 \leq k \leq n$. Les valeurs possibles de $k$ sont $\{0, 1, \dots, n\}$. Il y a donc $\boxed{n+1}$ diviseurs. ( $\{1, p, p^2, \dots, p^n\}$ )

Correction :

a) La dimension des dalles carrées doit diviser à la fois la longueur et la largeur de la salle de bain pour qu'il n'y ait pas de découpe. Donc, la dimension des dalles doit être un diviseur commun de 240 et 150. Diviseurs de 240 : $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240\}$ Diviseurs de 150 : $\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150\}$ Diviseurs communs : $\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$. Les dimensions possibles des dalles carrées (en cm) sont les diviseurs communs de 240 et 150 : $\boxed{\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \text{ cm}}$.

b) La dimension maximale possible est le PGCD de 240 et 150, qui est 30 cm. Nombre de dalles dans la longueur : $\frac{240}{30} = 8$. Nombre de dalles dans la largeur : $\frac{150}{30} = 5$. Nombre total de dalles nécessaires : $8 \times 5 = 40$. Avec des dalles de dimension maximale, il faudra $\boxed{40}$ dalles.

Correction :

a) Si $a$ est un diviseur de $b$, alors il existe un entier $k_1$ tel que $b = k_1a$. Si $b$ est un diviseur de $c$, alors il existe un entier $k_2$ tel que $c = k_2b$. En substituant $b = k_1a$ dans l'expression de $c$, on obtient $c = k_2(k_1a) = (k_1k_2)a$. Puisque $k_1k_2$ est un entier, $c$ est un multiple de $a$, donc $\boxed{a \text{ est un diviseur de } c}$.

b) Si $a$ est un diviseur de $b$, alors il existe un entier $k$ tel que $b = ka$. Considérons $nb$. Alors $nb = n(ka) = (nk)a$. Puisque $nk$ est un entier, $nb$ est un multiple de $a$, donc $\boxed{a \text{ est un diviseur de } nb}$.

Correction :

a) Le nombre de groupes doit diviser à la fois le nombre de garçons (72) et le nombre de filles (48) pour former des groupes égaux et utiliser tous les inscrits. On cherche le nombre maximal de groupes, donc le PGCD de 72 et 48. Diviseurs de 72 : $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$ Diviseurs de 48 : $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$ Diviseurs communs : $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ Le PGCD de 72 et 48 est 24. Le nombre maximal de groupes qu'il peut former est $\boxed{24}$.

b) Dans le cas de 24 groupes : Nombre de garçons par groupe : $\frac{72}{24} = 3$. Nombre de filles par groupe : $\frac{48}{24} = 2$. Il y aura $\boxed{3 \text{ garçons et } 2 \text{ filles par groupe}}$.

Correction :

Soit $N$ un entier. On peut écrire $N = 100D + U$, où $D$ est un entier représentant les centaines et plus, et $U$ est le nombre formé par les deux derniers chiffres (unités et dizaines), donc $0 \leq U \leq 99$. On sait que 100 est divisible par 4 ($100 = 4 \times 25$). Donc $100D = 4 \times 25D$ est divisible par 4 pour tout entier $D$.

Si $U$ est divisible par 4, alors $U = 4k$ pour un certain entier $k$. Alors $N = 100D + U = 4 \times 25D + 4k = 4(25D + k)$. Puisque $25D + k$ est un entier, $N$ est divisible par 4. Réciproquement, si $N$ est divisible par 4, alors $N = 4m$ pour un certain entier $m$. On a $4m = 100D + U = 4 \times 25D + U$. Donc $U = 4m - 4 \times 25D = 4(m - 25D)$. Puisque $m - 25D$ est un entier, $U$ est divisible par 4.

Donc, $\boxed{N \text{ est divisible par 4 si et seulement si } U \text{ est divisible par 4}}$.

Correction :

a) Pour 126 :

Divisible par 2 ? Oui, car il se termine par 6 (chiffre pair).

Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $1+2+6=9$ est divisible par 3.

Divisible par 5 ? Non, car il ne se termine ni par 0 ni par 5.

b) Pour 455 :

Divisible par 2 ? Non, car il se termine par 5 (chiffre impair).

Divisible par 3 ? Non, car la somme des chiffres $4+5+5=14$ n'est pas divisible par 3.

Divisible par 5 ? Oui, car il se termine par 5.

c) Pour 732 :

Divisible par 2 ? Oui, car il se termine par 2 (chiffre pair).

Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $7+3+2=12$ est divisible par 3.

Divisible par 5 ? Non, car il ne se termine ni par 0 ni par 5.

d) Pour 915 :

Divisible par 2 ? Non, car il se termine par 5 (chiffre impair).

Divisible par 3 ? Oui, car la somme des chiffres $9+1+5=15$ est divisible par 3.

Divisible par 5 ? Oui, car il se termine par 5.

e) Pour 238 :

Divisible par 2 ? Oui, car il se termine par 8 (chiffre pair).

Divisible par 3 ? Non, car la somme des chiffres $2+3+8=13$ n'est pas divisible par 3.

Divisible par 5 ? Non, car il ne se termine ni par 0 ni par 5.

Correction :

Oui. Si un nombre entier $n$ est pair, alors il est divisible par 2. Donc, il existe un entier $k_1$ tel que $n = 2k_1$. Si un nombre entier $n$ est multiple de 3, alors il est divisible par 3. Donc, il existe un entier $k_2$ tel que $n = 3k_2$. Puisque $n$ est divisible par 2 et par 3, et que 2 et 3 sont premiers entre eux, alors $n$ est divisible par le produit $2 \times 3 = 6$. Donc, $\boxed{\text{oui, il est nécessairement multiple de 6}}$.

Autre justification : Puisque $n = 2k_1$ et $n$ est divisible par 3, alors $2k_1$ est divisible par 3. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, $k_1$ doit être divisible par 3. Donc, il existe un entier $k_3$ tel que $k_1 = 3k_3$. En substituant $k_1 = 3k_3$ dans $n = 2k_1$, on obtient $n = 2(3k_3) = 6k_3$. Puisque $k_3$ est un entier, $n$ est un multiple de 6.

Correction :

Soient $a_1$ et $a_2$ les deux entiers positifs. Lors de la division par $b$, on a : $a_1 = bq_1 + 7$ avec $0 \leq 7 < b$ $a_2 = bq_2 + 13$ avec $0 \leq 13 < b$ La somme $a_1 + a_2 = (bq_1 + 7) + (bq_2 + 13) = b(q_1 + q_2) + 20$. Le reste de la division euclidienne de $a_1 + a_2$ par $b$ est 3, donc : $a_1 + a_2 = bq_3 + 3$ avec $0 \leq 3 < b$.

On a donc $b(q_1 + q_2) + 20 = bq_3 + 3$. $20 - 3 = bq_3 - b(q_1 + q_2) = b(q_3 - q_1 - q_2)$. $17 = b(q_3 - q_1 - q_2)$. Cela signifie que $b$ est un diviseur de 17. Comme 17 est premier, les diviseurs positifs de 17 sont 1 et 17. Puisque les restes sont 7 et 13, le diviseur $b$ doit être supérieur à 13. Donc $b > 13$. Parmi les diviseurs de 17 (1 et 17), seul 17 est supérieur à 13.

Donc, $\boxed{b = 17}$. Vérification : $b=17 > 13 > 7 > 3 \geq 0$. Les conditions sur les restes sont bien satisfaites.

Correction :

a) Le k-ième terme de la suite des multiples de 7 positifs est $7k$. Le 10ème terme est pour $k=10$, donc $7 \times 10 = \boxed{70}$.

b) Le n-ième terme de cette suite est $\boxed{7n}$.

c) La somme des 10 premiers termes est $S_{10} = 7 \times 1 + 7 \times 2 + \dots + 7 \times 10 = 7(1 + 2 + \dots + 10)$. Puisque $1 + 2 + \dots + 10$ est un entier (c'est la somme des 10 premiers entiers positifs), $S_{10}$ est un multiple de 7. Donc, $\boxed{\text{oui, la somme des 10 premiers termes est un multiple de 7}}$.

d) La somme des n premiers termes est $S_n = 7 \times 1 + 7 \times 2 + \dots + 7 \times n = 7(1 + 2 + \dots + n)$. Puisque $1 + 2 + \dots + n$ est un entier (c'est la somme des n premiers entiers positifs), $S_n$ est un multiple de 7. Donc, $\boxed{\text{oui, la somme des n premiers termes est un multiple de 7}}$.

Correction :

**Algorithme :**
Fonction DivisionEuclidienne(a, b) :
Initialiser quotient = 0
Initialiser reste = a
Tant que reste $\geq$ b :
     reste = reste - b
     quotient = quotient + 1
Retourner quotient, reste
Fin Fonction

En pseudo-code :
Début
     Entrer a, b
     quotient $\leftarrow$ 0
     reste $\leftarrow$ a
     Tant que reste $\geq$ b faire
         reste $\leftarrow$ reste - b
         quotient $\leftarrow$ quotient + 1
     Fin Tant que
     Afficher quotient, reste
Fin

Cet algorithme effectue des soustractions successives de $b$ à $a$ jusqu'à ce que le reste soit inférieur à $b$. Le nombre de soustractions effectuées donne le quotient.

Correction :

Si un nombre est multiple de 9, alors il est nécessairement multiple de 3. Oui. Si $n$ est un multiple de 9, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 9k$. On peut écrire $n = (3 \times 3)k = 3(3k)$. Puisque $3k$ est un entier, $n$ est un multiple de 3. Donc, $\boxed{\text{Oui}}$.

Si un nombre est multiple de 3, est-il nécessairement multiple de 9 ? Non. Contre-exemple : 6 est un multiple de 3 ($6 = 3 \times 2$), mais 6 n'est pas un multiple de 9. Donc, $\boxed{\text{Non}}$.

Correction :

On veut utiliser le moins de cartons possibles, ce qui signifie qu'on veut maximiser le nombre de bouteilles par carton, tout en ayant le même nombre de bouteilles de chaque type par carton. Le nombre de cartons utilisés doit être un diviseur commun de 154 et 231. Pour minimiser le nombre de cartons, on doit maximiser le nombre de bouteilles par carton, donc chercher le PGCD de 154 et 231.

Diviseurs de 154 : $\{1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154\}$ Diviseurs de 231 : $\{1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231\}$ Diviseurs communs : $\{1, 7, 11, 77\}$ Le PGCD de 154 et 231 est 77.

a) Le nombre de cartons utilisés est le PGCD, donc $\boxed{77 \text{ cartons}}$.

b) Nombre de bouteilles de jus de pomme par carton : $\frac{154}{77} = 2$. Nombre de bouteilles de jus d'orange par carton : $\frac{231}{77} = 3$. Il y aura $\boxed{2 \text{ bouteilles de jus de pomme et } 3 \text{ bouteilles de jus d'orange par carton}}$.

Correction :

Soit $N$ un entier. On peut écrire $N = 10D + u$, où $D$ est un entier représentant les dizaines et plus, et $u$ est le chiffre des unités, donc $0 \leq u \leq 9$. Si le chiffre des unités est 0, alors $u = 0$. Donc $N = 10D + 0 = 10D$. Puisque $D$ est un entier, $N$ est un multiple de 10, donc divisible par 10.

Réciproquement, si $N$ est divisible par 10, alors il existe un entier $k$ tel que $N = 10k$. On effectue la division euclidienne de $N$ par 10. On a $N = 10q + r$ avec $0 \leq r < 10$. Puisque $N = 10k$, on a $10k = 10q + r$. Donc $r = 10k - 10q = 10(k - q)$. Puisque $0 \leq r < 10$ et $r = 10(k - q)$, la seule possibilité est $r = 0$ (car si $k-q \neq 0$, alors $|r| \geq 10$, ce qui contredit $r < 10$). Donc $r = 0$, et le chiffre des unités est $0$.

Ainsi, $\boxed{N \text{ est divisible par 10 si et seulement si son chiffre des unités est } 0}$.

Correction :

On veut utiliser le maximum d'étagères possibles, ce qui signifie qu'on cherche le plus grand nombre d'étagères qui peut diviser à la fois le nombre de romans (336) et le nombre de BD (280). On cherche donc le PGCD de 336 et 280. Diviseurs de 336 : ... Diviseurs de 280 : ... Utilisons l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD de 336 et 280. $336 = 1 \times 280 + 56$ $280 = 5 \times 56 + 0$ Le dernier reste non nul est 56. Donc PGCD(336, 280) = 56.

a) Le nombre maximal d'étagères utilisées est le PGCD, donc $\boxed{56 \text{ étagères}}$.

b) Nombre de romans par étagère : $\frac{336}{56} = 6$. Nombre de BD par étagère : $\frac{280}{56} = 5$. Il y aura $\boxed{6 \text{ romans et } 5 \text{ BD par étagère}}$.