Probabilités Conditionnelles, Indépendance et Probabilités Totales - Exercices

Correction :

Pour calculer la probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$, nous utilisons la propriété fondamentale des probabilités : la somme des probabilités d'un événement et de son contraire est toujours égale à 1.

Mathématiquement, cela s'écrit : $P(A) + P(\overline{A}) = 1$

Nous connaissons la probabilité de l'événement A, qui est $P(A) = 0.7$. Nous voulons trouver $P(\overline{A})$.

En réarrangeant la formule, nous obtenons : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

En substituant la valeur de $P(A)$ : $P(\overline{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$

Ainsi, la probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ est de 0.3.

Correction :

Dans cette urne, il y a un total de $7 + 3 = 10$ boules.

Probabilité de tirer une boule rouge :

Soit R l'événement "tirer une boule rouge". Le nombre de boules rouges est de 7.

La probabilité de tirer une boule rouge est donnée par le ratio du nombre de boules rouges au nombre total de boules : $P(R) = \frac{\text{Nombre de boules rouges}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{7}{10} = 0.7$

Probabilité de tirer une boule verte :

Soit V l'événement "tirer une boule verte". Le nombre de boules vertes est de 3.

La probabilité de tirer une boule verte est donnée par le ratio du nombre de boules vertes au nombre total de boules : $P(V) = \frac{\text{Nombre de boules vertes}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{3}{10} = 0.3$

On peut vérifier que la somme des probabilités de tirer une boule rouge ou une boule verte est $P(R) + P(V) = 0.7 + 0.3 = 1$, ce qui est normal car il n'y a que des boules rouges et vertes dans l'urne.

Correction :

Pour déterminer si les événements P et S sont indépendants, nous devons vérifier si $P(P \cap S) = P(P) \times P(S)$.

Probabilités individuelles :

- Probabilité d'obtenir Pile avec une pièce de monnaie équilibrée : $P(P) = \frac{1}{2}$ (car il y a deux faces équiprobables : Pile et Face).

- Probabilité d'obtenir un 6 avec un dé équilibré à six faces : $P(S) = \frac{1}{6}$ (car il y a six faces équiprobables numérotées de 1 à 6).

Indépendance :

Le résultat du lancer de la pièce de monnaie n'a aucune influence sur le résultat du lancer du dé. Ces deux événements sont donc intuitivement indépendants.

Pour confirmer mathématiquement, calculons la probabilité de l'événement "Obtenir Pile et obtenir un 6", qui est $P(P \cap S)$.

Puisque les événements sont indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités : $P(P \cap S) = P(P) \times P(S) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

Vérifions la condition d'indépendance : $P(P) \times P(S) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. Et nous avons trouvé que $P(P \cap S) = \frac{1}{12}$.

Comme $P(P \cap S) = P(P) \times P(S)$, les événements P et S sont bien indépendants.

La probabilité de l'événement "Obtenir Pile et obtenir un 6" est donc $\frac{1}{12}$.

Correction :

Soient M l'événement "la personne est malade" et T+ l'événement "le test est positif". Nous voulons calculer la probabilité $P(T+)$ que le test soit positif.

Nous utilisons la formule des probabilités totales, car nous avons une partition de la population en deux groupes : les personnes malades (M) et les personnes non malades ($\overline{M}$).

Nous avons les probabilités suivantes :

- Probabilité d'être malade : $P(M) = 0.05$ (5% de la population).

- Probabilité de ne pas être malade : $P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.05 = 0.95$.

- Probabilité d'un test positif sachant que la personne est malade (vrai positif) : $P(T+|M) = 0.90$.

- Probabilité d'un test positif sachant que la personne n'est pas malade (faux positif) : $P(T+|\overline{M}) = 0.02$.

La formule des probabilités totales pour calculer $P(T+)$ est : $P(T+) = P(T+|M)P(M) + P(T+|\overline{M})P(\overline{M})$

En substituant les valeurs : $P(T+) = (0.90 \times 0.05) + (0.02 \times 0.95)$ $P(T+) = 0.045 + 0.019 = 0.064$

Donc, la probabilité que le test soit positif est de 0.064, soit 6.4%.

Correction :

Soient R1 l'événement "tirer un jeton rouge au premier tirage" et B2 l'événement "tirer un jeton bleu au second tirage". Nous voulons calculer la probabilité $P(R1 \cap B2)$.

Nous utilisons la formule des probabilités conditionnelles : $P(R1 \cap B2) = P(R1) \times P(B2|R1)$.

Probabilité de tirer un jeton rouge au premier tirage :

Au départ, il y a 4 jetons rouges et 6 jetons bleus, soit un total de 10 jetons.

La probabilité de tirer un jeton rouge au premier tirage est : $P(R1) = \frac{\text{Nombre de jetons rouges}}{\text{Nombre total de jetons}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Probabilité de tirer un jeton bleu au second tirage sachant que le premier était rouge :

Si on a tiré un jeton rouge au premier tirage sans remise, il reste alors 3 jetons rouges et 6 jetons bleus dans la boîte, soit un total de 9 jetons.

La probabilité de tirer un jeton bleu au second tirage, sachant que le premier était rouge, est : $P(B2|R1) = \frac{\text{Nombre de jetons bleus restants}}{\text{Nombre total de jetons restants}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Probabilité de tirer un jeton rouge puis un jeton bleu :

En utilisant la formule des probabilités conditionnelles : $P(R1 \cap B2) = P(R1) \times P(B2|R1) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$

Ainsi, la probabilité de tirer un jeton rouge au premier tirage et un jeton bleu au second tirage est de $\frac{4}{15}$.

Correction :

Pour déterminer si les événements A et B sont indépendants, nous devons vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Probabilité de l'événement A :

L'événement A est "Le résultat du premier lancer est un nombre pair". Les nombres pairs sur un dé à six faces sont {2, 4, 6}. Il y a 3 résultats favorables sur 6 possibles.

$P(A) = \frac{\text{Nombre de résultats pairs}}{\text{Nombre total de résultats}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Probabilité de l'événement B :

L'événement B est "La somme des résultats des deux lancers est supérieure ou égale à 9". Listons les paires (lancer 1, lancer 2) dont la somme est $\geq 9$:

(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Paires sommant à 9 : (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) - 4 paires

Paires sommant à 10 : (4, 6), (5, 5), (6, 4) - 3 paires

Paires sommant à 11 : (5, 6), (6, 5) - 2 paires

Paires sommant à 12 : (6, 6) - 1 paire

Total de paires dont la somme est $\geq 9$ : $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ paires.

Le nombre total de résultats possibles pour deux lancers est $6 \times 6 = 36$.

$P(B) = \frac{\text{Nombre de paires dont la somme est } \geq 9}{\text{Nombre total de paires}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Probabilité de l'événement $A \cap B$ :

$A \cap B$ est l'événement "Le résultat du premier lancer est pair ET la somme des résultats des deux lancers est supérieure ou égale à 9". Nous devons compter parmi les 10 paires favorables à B, celles où le premier lancer est pair.

Paires sommant à 9, premier lancer pair : (4, 5), (6, 3) - 2 paires

Paires sommant à 10, premier lancer pair : (4, 6), (6, 4) - 2 paires

Paires sommant à 11, premier lancer pair : (6, 5) - 1 paire

Paires sommant à 12, premier lancer pair : (6, 6) - 1 paire

Total de paires favorables à $A \cap B$ : $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ paires.

$P(A \cap B) = \frac{\text{Nombre de paires favorables à } A \cap B}{\text{Nombre total de paires}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Vérification de l'indépendance :

Calculons $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{36}$

Comparons $P(A \cap B) = \frac{1}{6} = \frac{6}{36}$ avec $P(A) \times P(B) = \frac{5}{36}$.

Puisque $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \neq \frac{5}{36} = P(A) \times P(B)$, les événements A et B ne sont pas indépendants. Ils sont dépendants.

Correction :

Soient M1, M2, M3 les événements "le stylo est produit par la machine M1, M2, M3" respectivement, et D l'événement "le stylo est défectueux". Nous voulons calculer la probabilité $P(D)$ que le stylo soit défectueux.

Nous utilisons la formule des probabilités totales car les machines M1, M2, M3 forment une partition de la production totale.

Nous avons les probabilités suivantes :

- Proportions de production : $P(M1) = 0.20$, $P(M2) = 0.30$, $P(M3) = 0.50$. (Notez que $P(M1) + P(M2) + P(M3) = 0.20 + 0.30 + 0.50 = 1$).

- Pourcentages de stylos défectueux par machine : $P(D|M1) = 0.05$, $P(D|M2) = 0.04$, $P(D|M3) = 0.02$.

La formule des probabilités totales pour calculer $P(D)$ est : $P(D) = P(D|M1)P(M1) + P(D|M2)P(M2) + P(D|M3)P(M3)$

En substituant les valeurs : $P(D) = (0.05 \times 0.20) + (0.04 \times 0.30) + (0.02 \times 0.50)$ $P(D) = 0.010 + 0.012 + 0.010 = 0.032$

Donc, la probabilité qu'un stylo choisi au hasard dans la production totale soit défectueux est de 0.032, soit 3.2%.

Correction :

Soient F l'événement "l'habitant est une femme" et D l'événement "l'habitant est daltonien". Nous voulons calculer la probabilité $P(F|D)$ que l'habitant soit une femme sachant qu'il est daltonien.

Nous utilisons la formule de Bayes : $P(F|D) = \frac{P(D|F)P(F)}{P(D)}$.

Nous avons besoin de calculer $P(D)$ en utilisant la formule des probabilités totales.

Probabilités données :

- Proportion de femmes : $P(F) = 0.60$.

- Proportion d'hommes : $P(\overline{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0.60 = 0.40$.

- Proportion de femmes daltoniennes : $P(D|F) = 0.05$.

- Proportion d'hommes daltoniens : $P(D|\overline{F}) = 0.02$.

Calcul de $P(D)$ (probabilité d'être daltonien) avec la formule des probabilités totales : $P(D) = P(D|F)P(F) + P(D|\overline{F})P(\overline{F})$ $P(D) = (0.05 \times 0.60) + (0.02 \times 0.40) = 0.030 + 0.008 = 0.038$

Calcul de $P(F|D)$ avec la formule de Bayes : $P(F|D) = \frac{P(D|F)P(F)}{P(D)} = \frac{0.05 \times 0.60}{0.038} = \frac{0.030}{0.038} = \frac{30}{38} = \frac{15}{19}$

$P(F|D) = \frac{15}{19} \approx 0.7895$

Donc, sachant que l'habitant choisi est daltonien, la probabilité que ce soit une femme est d'environ 0.7895, soit 78.95%.

Correction :

Pour vérifier si les événements R et V sont indépendants, nous devons comparer $P(R \cap V)$ avec $P(R) \times P(V)$.

Probabilité de l'événement R :

L'événement R est "Tirer une carte rouge (cœur ou carreau)". Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 cœurs et 8 carreaux, soit 16 cartes rouges.

$P(R) = \frac{\text{Nombre de cartes rouges}}{\text{Nombre total de cartes}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Probabilité de l'événement V :

L'événement V est "Tirer un valet". Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 valets (un de chaque couleur : cœur, carreau, trèfle, pique).

$P(V) = \frac{\text{Nombre de valets}}{\text{Nombre total de cartes}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$

Probabilité de l'événement $R \cap V$ :

$R \cap V$ est l'événement "Tirer une carte rouge ET un valet". Les valets rouges sont le valet de cœur et le valet de carreau. Il y a 2 valets rouges.

$P(R \cap V) = \frac{\text{Nombre de valets rouges}}{\text{Nombre total de cartes}} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

Vérification de l'indépendance :

Calculons $P(R) \times P(V) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$

Comparons $P(R \cap V) = \frac{1}{16}$ avec $P(R) \times P(V) = \frac{1}{16}$.

Puisque $P(R \cap V) = P(R) \times P(V) = \frac{1}{16}$, les événements R et V sont indépendants.

Correction :

Soient U1 l'événement "choisir l'urne 1" et U2 l'événement "choisir l'urne 2". Soit R l'événement "tirer une boule rouge". Nous voulons calculer la probabilité $P(R)$.

Nous utilisons la formule des probabilités totales car le choix de l'urne (U1 ou U2) forme une partition de l'univers des choix possibles.

Probabilités de choisir chaque urne :

On choisit une urne au hasard, donc $P(U1) = \frac{1}{2}$ et $P(U2) = \frac{1}{2}$. (Notez que $P(U1) + P(U2) = 1$).

Probabilités de tirer une boule rouge dans chaque urne :

- Dans l'urne 1 (5 rouges et 3 noires, total 8 boules) : $P(R|U1) = \frac{\text{Nombre de boules rouges dans l'urne 1}}{\text{Nombre total de boules dans l'urne 1}} = \frac{5}{8}$.

- Dans l'urne 2 (2 rouges et 6 noires, total 8 boules) : $P(R|U2) = \frac{\text{Nombre de boules rouges dans l'urne 2}}{\text{Nombre total de boules dans l'urne 2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Application de la formule des probabilités totales : $P(R) = P(R|U1)P(U1) + P(R|U2)P(U2)$ $P(R) = (\frac{5}{8} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{5}{16} + \frac{1}{8}$

Pour additionner ces fractions, mettons-les au même dénominateur (16) : $\frac{1}{8} = \frac{2}{16}$. $P(R) = \frac{5}{16} + \frac{2}{16} = \frac{5+2}{16} = \frac{7}{16}$

Donc, la probabilité de tirer une boule rouge est de $\frac{7}{16}$.

Correction :

Soient A l'événement "choisir l'itinéraire A" et B l'événement "choisir l'itinéraire B". Soit R l'événement "arriver en retard". Nous voulons calculer la probabilité $P(R)$.

Nous utilisons la formule des probabilités totales car le choix de l'itinéraire (A ou B) forme une partition de l'ensemble des itinéraires possibles.

Probabilités de choisir chaque itinéraire :

$P(A) = 0.7$ et $P(B) = 0.3$. (Notez que $P(A) + P(B) = 0.7 + 0.3 = 1$).

Probabilités d'arriver en retard pour chaque itinéraire :

- Si l'itinéraire A est choisi, la probabilité d'arriver en retard est $P(R|A) = 0.2$.

- Si l'itinéraire B est choisi, la probabilité d'arriver en retard est $P(R|B) = 0.1$.

Application de la formule des probabilités totales : $P(R) = P(R|A)P(A) + P(R|B)P(B)$ $P(R) = (0.2 \times 0.7) + (0.1 \times 0.3) = 0.14 + 0.03 = 0.17$

Donc, la probabilité que cette personne arrive en retard à son travail est de 0.17, soit 17%.

Correction :

Intuitivement et logiquement :

Les événements B ("L'équipe marque un but") et V ("L'équipe remporte le match") ne sont pas indépendants. Marquer un but augmente fortement la probabilité de remporter le match. Inversement, ne pas marquer de but diminue les chances de victoire.

Si B et V étaient indépendants, cela signifierait que le fait de savoir si l'équipe a marqué un but ou non ne changerait pas la probabilité qu'elle remporte le match. Or, ce n'est clairement pas le cas dans le football.

Justification mathématique (conceptuelle) :

Pour que B et V soient indépendants, il faudrait que $P(V|B) = P(V)$. C'est-à-dire, la probabilité de remporter le match sachant que l'équipe a marqué un but devrait être égale à la probabilité de remporter le match sans aucune information sur les buts marqués.

En réalité, $P(V|B) > P(V)$. La probabilité de gagner le match sachant que l'équipe a marqué un but est significativement plus élevée que la probabilité de gagner le match en général. Marquer un but est un facteur qui favorise la victoire.

Influence de marquer un but sur la victoire :

Oui, marquer un but influence fortement la probabilité de remporter le match. L'événement B (marquer un but) fournit une information importante qui modifie notre évaluation de la probabilité de l'événement V (remporter le match).

En conclusion, les événements B et V ne sont pas indépendants. Ils sont positivement corrélés : la réalisation de B augmente la probabilité de réalisation de V.

Correction :

Nous avons déjà calculé dans l'Exercice 6 la probabilité que le test soit positif, $P(T+) = 0.064$. Nous voulons maintenant calculer la probabilité qu'une personne soit réellement malade sachant que son test est positif, c'est-à-dire $P(M|T+)$.

Nous utilisons la formule de Bayes : $P(M|T+) = \frac{P(T+|M)P(M)}{P(T+)}$.

Nous avons déjà toutes les valeurs nécessaires :

- Prévalence de la maladie : $P(M) = 0.05$.

- Sensibilité du test : $P(T+|M) = 0.90$.

- Probabilité d'un test positif (calculée en Exercice 6) : $P(T+) = 0.064$.

Application de la formule de Bayes : $P(M|T+) = \frac{P(T+|M)P(M)}{P(T+)} = \frac{0.90 \times 0.05}{0.064} = \frac{0.045}{0.064} = \frac{45}{64}$

$P(M|T+) = \frac{45}{64} \approx 0.7031$

Donc, si le test est positif, la probabilité que la personne soit réellement malade est d'environ 0.7031, soit 70.31%.

Comparaison avec la prévalence :

La prévalence de la maladie dans la population est de 5% ($P(M) = 0.05$). Cependant, si le test est positif, la probabilité d'être malade monte à environ 70.31%. Bien que le test soit positif, il y a une probabilité non négligeable (environ 29.69%) que la personne ne soit pas malade (faux positif).

Ce résultat souligne l'importance de comprendre que même avec un test sensible et spécifique, un test positif ne signifie pas nécessairement que la personne est malade, surtout si la maladie est rare dans la population. La probabilité post-test (70.31% dans ce cas) est bien supérieure à la probabilité pré-test (prévalence de 5%), mais elle n'est pas de 100%.

Correction :

Intuitivement et logiquement :

Les événements "Pluie" et "Nuages" ne sont pas indépendants. La présence de nuages augmente fortement la probabilité qu'il pleuve. La pluie est souvent causée par des formations nuageuses spécifiques.

Si "Pluie" et "Nuages" étaient indépendants, cela signifierait que la présence ou l'absence de nuages n'affecterait pas la probabilité de pluie. Or, l'expérience quotidienne et les connaissances météorologiques nous disent le contraire.

Justification mathématique (conceptuelle) :

Pour que "Pluie" et "Nuages" soient indépendants, il faudrait que $P(\text{Pluie}|\text{Nuages}) = P(\text{Pluie})$. C'est-à-dire, la probabilité qu'il pleuve sachant que le ciel est nuageux devrait être égale à la probabilité qu'il pleuve sans aucune information sur la présence de nuages.

En réalité, $P(\text{Pluie}|\text{Nuages}) > P(\text{Pluie})$. La probabilité de pluie est plus élevée les jours nuageux que les jours sans nuages. Les nuages sont un indicateur de conditions météorologiques propices à la pluie.

Influence des nuages sur la pluie :

Oui, la présence de nuages influence fortement la probabilité qu'il pleuve. L'événement "Nuages" fournit une information qui modifie notre évaluation de la probabilité de l'événement "Pluie".

En conclusion, les événements "Pluie" et "Nuages" ne sont pas indépendants. Ils sont positivement corrélés : la présence de nuages augmente la probabilité de pluie.

Correction :

Soient V l'événement "l'élève utilise un vélo pour venir au lycée" et R l'événement "l'élève arrive en retard". Nous voulons calculer la probabilité $P(R)$.

Nous utilisons la formule des probabilités totales car le mode de transport (vélo ou non-vélo) forme une partition de l'ensemble des élèves.

Probabilités liées au mode de transport :

- Proportion d'élèves venant à vélo : $P(V) = 0.50$.

- Proportion d'élèves ne venant pas à vélo : $P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0.50 = 0.50$.

Probabilités d'arriver en retard selon le mode de transport :

- Probabilité d'arriver en retard si l'élève vient à vélo : $P(R|V) = 0.10$.

- Probabilité d'arriver en retard si l'élève ne vient pas à vélo : $P(R|\overline{V}) = 0.05$.

Application de la formule des probabilités totales : $P(R) = P(R|V)P(V) + P(R|\overline{V})P(\overline{V})$ $P(R) = (0.10 \times 0.50) + (0.05 \times 0.50) = 0.050 + 0.025 = 0.075$

Donc, la probabilité qu'un élève choisi au hasard arrive en retard est de 0.075, soit 7.5%.

Arbre pondéré :

Nous pouvons représenter cette situation avec un arbre pondéré. La première branche représente le choix du mode de transport (Vélo ou Non-Vélo) avec les probabilités $P(V)$ et $P(\overline{V})$. La seconde branche, partant de chaque issue de la première branche, représente l'arrivée en retard ou non, avec les probabilités conditionnelles $P(R|V)$, $P(\overline{R}|V)$, $P(R|\overline{V})$, et $P(\overline{R}|\overline{V})$.

L'arbre se construit ainsi :

- Départ : Point initial

- Première bifurcation : - Branche vers V (Vélo) avec probabilité 0.50 - Branche vers $\overline{V}$ (Non-Vélo) avec probabilité 0.50

- Deuxième bifurcation à partir de V : - Branche vers R (Retard) avec probabilité 0.10 - Branche vers $\overline{R}$ (Non-Retard) avec probabilité 0.90 ($1-0.10$)

- Deuxième bifurcation à partir de $\overline{V}$ : - Branche vers R (Retard) avec probabilité 0.05 - Branche vers $\overline{R}$ (Non-Retard) avec probabilité 0.95 ($1-0.05$)

Pour trouver $P(R)$, on additionne les probabilités des chemins menant à R : - Chemin V puis R : $P(V \cap R) = P(V) \times P(R|V) = 0.50 \times 0.10 = 0.050$ - Chemin $\overline{V}$ puis R : $P(\overline{V} \cap R) = P(\overline{V}) \times P(R|\overline{V}) = 0.50 \times 0.05 = 0.025$ $P(R) = P(V \cap R) + P(\overline{V} \cap R) = 0.050 + 0.025 = 0.075$

Correction :

Soient S1 l'événement "le joueur choisit la Stratégie 1" et S2 l'événement "le joueur choisit la Stratégie 2". Soit G l'événement "le joueur gagne". Nous voulons calculer la probabilité $P(G)$.

Nous utilisons la formule des probabilités totales car le choix de la stratégie (S1 ou S2) forme une partition de l'ensemble des stratégies possibles.

Probabilités de choisir chaque stratégie :

$P(S1) = 0.6$ et $P(S2) = 0.4$. (Notez que $P(S1) + P(S2) = 0.6 + 0.4 = 1$).

Probabilités de gagner pour chaque stratégie :

- Si la Stratégie 1 est choisie, la probabilité de gagner est $P(G|S1) = 0.3$.

- Si la Stratégie 2 est choisie, la probabilité de gagner est $P(G|S2) = 0.5$.

Application de la formule des probabilités totales : $P(G) = P(G|S1)P(S1) + P(G|S2)P(S2)$ $P(G) = (0.3 \times 0.6) + (0.5 \times 0.4) = 0.18 + 0.20 = 0.38$

Donc, la probabilité que le joueur gagne à ce jeu est de 0.38, soit 38%.

Correction :

Soient M l'événement "le patient a la maladie M" et T+ l'événement "le test est positif". Nous voulons calculer la probabilité $P(M|T+)$ que le patient ait réellement la maladie M sachant que le test est positif.

Nous utilisons la formule de Bayes : $P(M|T+) = \frac{P(T+|M)P(M)}{P(T+)}$.

Nous devons calculer $P(T+)$ en utilisant la formule des probabilités totales.

Probabilités données :

- Probabilité d'avoir la maladie M (prévalence) : $P(M) = 0.1$.

- Probabilité de ne pas avoir la maladie M : $P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.1 = 0.9$.

- Probabilité d'un test positif si le patient a la maladie (sensibilité) : $P(T+|M) = 0.8$.

- Probabilité d'un test positif si le patient n'a pas la maladie (faux positif) : $P(T+|\overline{M}) = 0.03$.

Calcul de $P(T+)$ (probabilité d'un test positif) avec la formule des probabilités totales : $P(T+) = P(T+|M)P(M) + P(T+|\overline{M})P(\overline{M})$ $P(T+) = (0.8 \times 0.1) + (0.03 \times 0.9) = 0.08 + 0.027 = 0.107$

Calcul de $P(M|T+)$ avec la formule de Bayes : $P(M|T+) = \frac{P(T+|M)P(M)}{P(T+)} = \frac{0.8 \times 0.1}{0.107} = \frac{0.08}{0.107} = \frac{80}{107}$

$P(M|T+) = \frac{80}{107} \approx 0.7477$

Donc, si le test du patient est positif, la probabilité que le patient ait réellement la maladie M est d'environ 0.7477, soit 74.77%.

Correction :

Intuitivement et logiquement :

Les événements V ("L'automobiliste dépasse la vitesse limite") et A ("L'automobiliste a un accident de la route") ne sont pas indépendants. Dépasser la vitesse limite augmente considérablement le risque d'accident. La vitesse excessive est un facteur majeur contribuant aux accidents de la route.

Si V et A étaient indépendants, cela voudrait dire que le fait de dépasser la vitesse limite n'aurait aucun impact sur la probabilité d'avoir un accident, ce qui est contraire à la logique et aux statistiques de sécurité routière.

Justification mathématique (conceptuelle) :

Pour que V et A soient indépendants, il faudrait que $P(A|V) = P(A)$. C'est-à-dire, la probabilité d'avoir un accident sachant que l'automobiliste dépasse la vitesse limite devrait être égale à la probabilité d'avoir un accident sans aucune information sur la vitesse.

En réalité, $P(A|V) > P(A)$. La probabilité d'avoir un accident est beaucoup plus élevée pour les automobilistes qui dépassent régulièrement les vitesses limites que pour ceux qui respectent les limitations. Dépasser la vitesse est un comportement à risque qui augmente la probabilité d'accident.

Influence du dépassement de la vitesse sur les accidents :

Oui, le fait de dépasser la vitesse limite influence fortement la probabilité d'avoir un accident. L'événement V (dépassement de vitesse) est un facteur de risque pour l'événement A (accident).

En conclusion, les événements V et A ne sont pas indépendants. Ils sont positivement corrélés : le dépassement de la vitesse limite augmente la probabilité d'accident. Les campagnes de sécurité routière insistent d'ailleurs sur le lien entre vitesse et risque d'accident, ce qui confirme cette dépendance.