Exercices : Sens de variation d'une suite

Correction :

Pour étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac n{n+1}$, nous allons comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de leur différence $u_{n+1} - u_n$.

Calculons d'abord l'expression de $u_{n+1}$ : $$u_{n+1} = \dfrac{n+1}{(n+1)+1} = \dfrac{n+1}{n+2}$$

Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$$

Comme $u_{n+1} - u_n > 0$, on a $u_{n+1} > u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Correction :

Pour étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n + \dfrac{1}{n}$ pour $n \ge 1$, nous allons comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$.

Calculons d'abord l'expression de $u_{n+1}$ : $$u_{n+1} = (n+1) + \dfrac{1}{n+1}$$

Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = 1 - \dfrac{1}{n(n+1)} > 0$$

Car pour $n \ge 1$, $0 < \dfrac{1}{n(n+1)} \le \dfrac{1}{2}$.

Comme $u_{n+1} - u_n > 0$, on a $u_{n+1} > u_n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement croissante pour $n \ge 1$.

Correction :

1. Cas a. : $u_n = \dfrac{3}{2^n}$

Méthode 1 : Comparaison de $u_{n+1} - u_n$

On calcule : $$u_{n+1} - u_n = -\dfrac{3}{2^{n+1}} < 0$$

Conclusion (cas a.) : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Méthode 2 : Comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

On calcule : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{2} < 1$$

Conclusion (cas a.) : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

2. Cas b. : $u_n = \dfrac{n}{3^n}$

Méthode 1 : Comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

On calcule : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{3n}$$

Pour $n \ge 1$, $\dfrac{n+1}{3n} \le 1$.

Conclusion (cas b.) : La suite est décroissante à partir du rang 1.

Méthode 2 : Comparaison de $u_{n+1} - u_n$

On calcule : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1 - 2n}{3^{n+1}}$$

Pour $n \ge 1$, $u_{n+1} - u_n < 0$. Pour $n = 0$, $u_{1} - u_0 > 0$.

Conclusion (cas b.) : La suite $(u_n)$ est croissante puis strictement décroissante à partir du rang $n=1$.

Correction :

1. Étude avec $u_{n+1} - u_n$ :

On calcule : $$u_{n+1} - u_n = -\dfrac{1}{3} < 0$$

Conclusion (méthode 1) : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

2. Étude avec la fonction associée :

La fonction associée $f(x) = 5 - \dfrac{x}{3}$ a pour dérivée $f'(x) = -\dfrac{1}{3} < 0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $[0; +\infty[$.

Conclusion (méthode 2) : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Correction :

1. Étude avec $u_{n+1} - u_n$ :

On calcule : $$u_{n+1} - u_n = 4n - 5$$

Pour $n \ge 2$, $4n - 5 \ge 0$. Pour $n \le 1$, $4n - 5 < 0$.

Conclusion (méthode 1) : La suite $(u_n)$ est décroissante jusqu'au rang 1, puis croissante à partir du rang 2.

2. Étude avec la fonction associée :

La fonction associée $f(x) = 2x^2 - 7x - 2$ a pour dérivée $f'(x) = 4x - 7$.

La dérivée s'annule en $x = \dfrac{7}{4} = 1.75$. Donc variations autour de $n=2$.

Conclusion (méthode 2) : La suite $(u_n)$ est décroissante jusqu'au rang $n=2$, puis croissante à partir du rang $n=2$.

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons calculer et analyser le signe de la différence entre deux termes consécutifs, $u_{n+1} - u_n$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n(1-3u_n)$ pour exprimer cette différence en fonction de $u_n$ uniquement : $$u_{n+1} - u_n = u_n(1-3u_n) - u_n$$

Pour simplifier l'expression, on factorise par $u_n$: $$u_{n+1} - u_n = u_n \times [(1-3u_n) - 1] = -3u_n^2$$

Ainsi, nous obtenons une expression simplifiée pour la différence : $$u_{n+1} - u_n = -3u_n^2$$

Un carré est toujours positif ou nul, donc $u_n^2 \ge 0$. Multiplié par $-3$, on a $-3u_n^2 \le 0$.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n \le 0$. Par définition, cela signifie que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est décroissante.

Conseil : Pour les suites définies par récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$, calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et essayer de factoriser pour obtenir une expression dont le signe est facile à étudier en fonction de $u_n$.

Correction :

Pour étudier le sens de variation de cette suite dont les termes sont strictement positifs, nous allons comparer le rapport de deux termes consécutifs avec 1 : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Calculons ce rapport en remplaçant $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\frac{n+2}{2^{n+1}}}{\frac{n+1}{2^n}}$$

Pour simplifier cette fraction complexe, on multiplie la fraction du numérateur par l'inverse de la fraction du dénominateur : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+2}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{n+1} = \dfrac{n+2}{n+1} \times \dfrac{2^n}{2^{n+1}}$$

On réarrange les termes pour simplifier les puissances de 2 : $\dfrac{2^n}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2}$. Donc : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+2}{n+1} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{n+2}{2(n+1)} = \dfrac{n+2}{2n+2}$$

Pour comparer $\dfrac{n+2}{2n+2}$ avec 1, nous comparons le numérateur et le dénominateur, c'est-à-dire $n+2$ et $2n+2$.

Calculons la différence entre le numérateur et le dénominateur : $(n+2) - (2n+2) = n+2 - 2n - 2 = -n$.

Pour tout entier naturel $n \ge 0$, on a $-n \le 0$, donc $n+2 \le 2n+2$, ce qui implique $\dfrac{n+2}{2n+2} \le 1$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$. Comme $u_n > 0$, on déduit en multipliant par $u_n$ (qui est positif) que $u_{n+1} \le u_n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est décroissante.

Conseil : Lorsque la suite est définie par une fraction avec des factorielles ou des puissances, il est souvent plus simple d'étudier le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et de le comparer à 1.

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons calculer la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.

On remplace $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+2} - \dfrac{2n+1}{n+2} = \dfrac{2n+3}{n+3} - \dfrac{2n+1}{n+2}$$

Pour pouvoir soustraire ces fractions, nous les réduisons au même dénominateur, qui est $(n+3)(n+2)$ : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{(2n+3)(n+2)}{(n+3)(n+2)} - \dfrac{(2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)} = \dfrac{(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}$$

Développons le numérateur pour simplifier l'expression : $$(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3) = (2n^2 + 4n + 3n + 6) - (2n^2 + 6n + n + 3) = 3$$

Après simplification du numérateur, la différence devient : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{3}{(n+2)(n+3)}$$

Pour tout entier naturel $n$, on a $n+2 > 0$ et $n+3 > 0$, donc leur produit $(n+2)(n+3) > 0$. Le numérateur est $3 > 0$. Donc le quotient est strictement positif : $\dfrac{3}{(n+2)(n+3)} > 0$.

Ainsi $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout entier naturel $n$, ce qui signifie $u_{n+1} > u_n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Conseil : Pour les suites définies comme des fractions rationnelles de $n$, la méthode de la différence $u_{n+1} - u_n$ est souvent efficace. Pensez à réduire au même dénominateur et à simplifier le numérateur.

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons comparer $u_{n+1}$ et $u_n$. Pour simplifier l'expression de $u_n$ qui contient une différence de racines carrées, nous utilisons l'expression conjuguée.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ : $$u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$

Après transformation, on a $u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ et de même $u_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}$.

Maintenant, comparons les dénominateurs de $u_n$ et $u_{n+1}$: $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ et $\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}$.

Comme $n+2 > n$, on a $\sqrt{n+2} > \sqrt{n}$. De plus $\sqrt{n+1}$ est un terme commun aux deux dénominateurs.

En ajoutant $\sqrt{n+1}$ de chaque côté de l'inégalité $\sqrt{n+2} > \sqrt{n}$, on obtient : $\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} > \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$.

Le dénominateur de $u_{n+1}$ est donc plus grand que celui de $u_n$. Comme le numérateur est le même (égal à 1) et positif, et que les dénominateurs sont positifs, si le dénominateur augmente, la fraction diminue.

Donc $\dfrac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} < \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$, ce qui se traduit par $u_{n+1} < u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Conseil : Face à une expression avec des racines carrées, penser à utiliser l'expression conjuguée pour simplifier et comparer les termes de la suite.

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons calculer la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.

On utilise la relation de récurrence : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2} u_n + 1 - u_n = \dfrac{2 - u_n}{2}$$

Le signe de $u_{n+1} - u_n$ dépend donc du signe du numérateur $2 - u_n$.

Pour déterminer le signe de $2 - u_n$, nous devons savoir si $u_n$ est supérieur ou inférieur à 2. Ici, on peut faire un raisonnement par récurrence ou un raisonnement direct.

On observe que si $u_n > 2$, alors $2 - u_n < 0$, donc $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 - u_n}{2} < 0$, ce qui signifierait que la suite est décroissante et reste au-dessus de 2.

Montrons que si le premier terme $u_0 > 2$, alors tous les termes suivants restent supérieurs à 2. Supposons que pour un certain rang $n$, on ait $u_n > 2$. Alors, en multipliant par $\dfrac{1}{2}$ (nombre positif qui conserve le sens de l'inégalité), on obtient $\dfrac{1}{2} u_n > \dfrac{1}{2} \times 2 = 1$. Puis, en ajoutant 1 à chaque membre, on a $\dfrac{1}{2} u_n + 1 > 1 + 1 = 2$. Donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 1 > 2$.

Comme le premier terme $u_0 = 5 > 2$, par un raisonnement par récurrence (ou simplement par itération de l'argument précédent), on a $u_n > 2$ pour tout $n \ge 0$.

Sachant que $u_n > 2$, on a $2 - u_n < 0$, et donc $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2 - u_n}{2} < 0$. Par conséquent, $u_{n+1} < u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Conseil : Pour les suites définies par une relation affine de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$, étudier la différence $u_{n+1} - u_n$ permet souvent de relier le sens de variation au signe d'une expression en fonction de $u_n$. Dans ce cas, il est utile d'étudier la position de $u_n$ par rapport à une valeur particulière (ici 2).

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons calculer la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.

On calcule cette différence en remplaçant $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions en fonction de $n$: $$u_{n+1} - u_n = [(n+1)^2 - 6(n+1) + 8] - [n^2 - 6n + 8] = 2n - 5$$

On étudie le signe de la différence $2n-5$ en résolvant l'inéquation $2n - 5 \ge 0$.

On a $2n - 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2n \ge 5 \Leftrightarrow n \ge \dfrac{5}{2} = 2.5$.

Comme $n$ est un entier naturel, on distingue deux cas :

- Si $n \ge 3$ (car $n$ est entier et $n \ge 2.5$), alors $2n - 5 \ge 0$, donc $u_{n+1} - u_n \ge 0$, et la suite est croissante à partir du rang 3.

- Si $n \le 2$ (entier), par exemple pour $n=0, 1, 2$, alors $2n - 5 \le 2 \times 2 - 5 = -1 < 0$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$, et la suite est décroissante jusqu'au rang 2.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est décroissante jusqu'au rang $n=2$ et croissante à partir du rang $n=3$.

Conseil : Pour étudier le signe de $u_{n+1} - u_n = 2n - 5$ qui dépend de $n$, on résout l'inéquation $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour déterminer à partir de quel rang la suite devient croissante ou décroissante.

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons comparer $u_{n+1}$ et $u_n$. Comme les termes sont positifs (car racine carrée), on peut comparer les carrés $u_{n+1}^2$ et $u_n^2$ ou comparer directement $u_{n+1}$ et $u_n$. Optons pour la comparaison directe.

Supposons que pour un certain rang $n$, on ait $u_n \le u_{n+1}$. Alors, comme la fonction $x \mapsto 2x+3$ est croissante, on a $2u_n + 3 \le 2u_{n+1} + 3$.

Comme la fonction racine carrée est croissante sur $[0; +\infty[$, en appliquant la racine carrée à chaque membre, on conserve l'inégalité : $\sqrt{2u_n + 3} \le \sqrt{2u_{n+1} + 3}$, ce qui s'écrit en utilisant la relation de récurrence : $u_{n+1} \le u_{n+2}$.

Ainsi, si la propriété $u_n \le u_{n+1}$ est vraie pour un rang $n$, alors elle est encore vraie au rang suivant $n+1$. La propriété est donc héréditaire.

Il reste à vérifier l'initialisation, c'est-à-dire vérifier que la propriété est vraie au rang de départ $n=0$. Comparons $u_0$ et $u_1$. On a $u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt{2u_0 + 3} = \sqrt{2 \times 1 + 3} = \sqrt{5}$.

Comme $\sqrt{5} \approx 2.236 > 1 = u_0$, on a bien $u_1 \ge u_0$. La propriété est initialisée.

Par le principe de récurrence, la propriété $u_n \le u_{n+1}$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est croissante.

Conseil : Pour les suites définies par récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$ avec une fonction $f$ croissante, on peut souvent montrer la monotonie par un raisonnement direct basé sur la croissance de $f$ et une initialisation.

Correction :

Pour la suite $u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}$, il est difficile d'étudier directement le signe de $u_{n+1} - u_n$ de façon générale à cause du terme $\cos(n)$ qui change de signe.

En calculant les premiers termes de la suite, on observe que la suite n'est ni croissante, ni décroissante sur les premiers rangs. Par exemple, $u_1 = \cos(1) \approx 0.54 > u_2 = \dfrac{\cos(2)}{2} \approx -0.208$, ce qui suggère une décroissance, mais ensuite $u_3 = \dfrac{\cos(3)}{3} \approx -0.33 < u_4 = \dfrac{\cos(4)}{4} \approx -0.16$, ce qui suggère une croissance.

Pour montrer qu'une suite n'est pas monotone, il suffit de montrer qu'il existe des indices $n$ pour lesquels $u_{n+1} - u_n > 0$ et d'autres indices pour lesquels $u_{n+1} - u_n < 0$. C'est ce que suggèrent les premiers termes.

Conseil : Pour montrer qu'une suite n'est pas monotone, il suffit de calculer quelques termes pour observer des variations de sens, ou de montrer que la différence $u_{n+1}-u_n$ change de signe.

Correction :

Pour étudier le sens de variation, nous allons calculer la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.

On utilise la relation de récurrence : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n}{1+u_n^2} - u_n = \dfrac{-u_n^3}{1+u_n^2}$$

Pour étudier le signe de $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-u_n^3}{1+u_n^2}$, nous analysons le signe du numérateur et du dénominateur.

Pour le dénominateur $1+u_n^2$, comme un carré est toujours positif ou nul, on a $u_n^2 \ge 0$, donc $1+u_n^2 \ge 1 > 0$. Le dénominateur est toujours strictement positif.

Pour le numérateur, on a $-u_n^3 = -(u_n)^3$. Le signe de $-u_n^3$ est opposé au signe de $u_n^3$, et donc opposé au signe de $u_n$ si $u_n$ est un nombre réel.

Comme le premier terme est $u_0 = 1 > 0$, on peut montrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs. En effet, si $u_n > 0$, alors $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n^2} > 0$ car numérateur et dénominateur sont positifs.

Comme $u_n > 0$, on a $-u_n^3 < 0$. Et comme $1+u_n^2 > 0$, le quotient est strictement négatif : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-u_n^3}{1+u_n^2} < 0$ pour tout entier naturel $n$.

Donc $u_{n+1} < u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Conseil : Pour étudier le signe d'une fraction, étudier séparément le signe du numérateur et du dénominateur. Ici, le signe de $u_{n+1} - u_n$ dépend du signe de $u_n$. Il faut donc parfois étudier le signe des termes de la suite par récurrence.

Correction :

Pour étudier le sens de variation de cette suite dont les termes sont strictement positifs, nous allons comparer le rapport de deux termes consécutifs avec 1 : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

On calcule le rapport en remplaçant $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac{n!}{2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{2 \times 2^n}{2^n} \times \dfrac{n!}{n! \times (n+1)} = \dfrac{2}{n+1}$$

On simplifie le rapport et on obtient : $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2}{n+1}$$

Maintenant, nous comparons $\dfrac{2}{n+1}$ avec 1 pour différentes valeurs de l'entier naturel $n$ :

- Pour $n = 0$, on a $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{2}{0+1} = 2 > 1$. Donc $u_1 > u_0$. La suite est croissante entre $u_0$ et $u_1$.

- Pour $n = 1$, on a $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{2}{1+1} = \dfrac{2}{2} = 1$. Donc $u_2 = u_1$. La suite est constante entre $u_1$ et $u_2$.

- Pour $n \ge 2$, on a $n+1 \ge 3$, donc $\dfrac{2}{n+1} \le \dfrac{2}{3} < 1$. Donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, et en multipliant par $u_n > 0$, on obtient $u_{n+1} < u_n$. La suite est strictement décroissante à partir du rang 2.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est croissante de $u_0$ à $u_1$, constante de $u_1$ à $u_2$, puis strictement décroissante à partir du rang $n=2$.

Conseil : Pour étudier le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et le comparer à 1, il faut parfois distinguer des cas selon les valeurs de $n$, surtout quand l'expression du rapport dépend de $n$. Ici, la comparaison avec 1 dépend de la position de $n+1$ par rapport à 2.