Entraînez-vous sur les lois de probabilités et les variables aléatoires avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Ici, vous trouverez une série d'exercices conçus pour vous aider à maîtriser les concepts de loi de probabilité et de variables aléatoires. Ces exercices sont essentiels pour la compréhension des probabilités en Terminale Spécialité Maths.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les lois de probabilité et les variables aléatoires avant de démarrer les exercices. Une bonne compréhension de ces rappels est cruciale pour aborder les exercices avec confiance !
Imaginez une expérience aléatoire, comme lancer un dé. Une variable aléatoire, c'est comme une machine qui prend chaque résultat possible de cette expérience (par exemple, chaque face du dé) et lui attribue un nombre. C'est une façon de traduire le hasard en valeurs numériques que l'on peut analyser.
L'ensemble de tous les nombres que cette variable aléatoire peut prendre est appelé l'univers des valeurs.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire, c'est son mode d'emploi ! Elle nous dit comment les probabilités sont réparties sur les différentes valeurs que peut prendre la variable. Pour chaque valeur possible, elle précise la probabilité que la variable prenne exactement cette valeur.
On représente souvent une loi de probabilité sous forme de tableau, avec deux lignes : une pour les valeurs possibles, et une autre pour les probabilités correspondantes :
| Valeurs $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $...$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| Probabilités $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $...$ | $p_n$ |
La somme de toutes les probabilités doit toujours être égale à 1 : $\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i) = p_1 + p_2 + ... + p_n = 1$.
Ces trois outils permettent de décrire et de quantifier le comportement d'une variable aléatoire.
L'espérance mathématique $E(X)$ est la valeur moyenne que l'on peut attendre de $X$ si on répète l'expérience un grand nombre de fois. C'est une sorte de "centre de gravité" de la loi de probabilité. Elle se calcule avec la formule : $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$$
La variance $Var(X)$ mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance. Plus la variance est élevée, plus les valeurs de $X$ sont étalées. Elle se calcule avec : $$Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2$$
L'écart-type $\sigma(X)$ est simplement la racine carrée de la variance : $$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$$ C'est aussi une mesure de dispersion, mais exprimée dans la même unité que $X$, ce qui la rend souvent plus facile à interpréter que la variance.
Un jeu est dit équitable si, en moyenne, il n'y a ni gain ni perte pour le joueur ou l'organisateur. Mathématiquement, cela se traduit par une espérance de gain algébrique nulle : $E(X) = 0$. Dans un jeu équitable, sur le long terme, les gains et les pertes tendent à s'équilibrer.
Prêt à mettre ces rappels en pratique ? Les exercices vous attendent !
Une urne contient trente boules numérotées de $1$ à $30$. On tire au hasard une boule.
Si le numéro de la boule est compris entre $1$ et $15$, on gagne $2$ euros, s'il est compris entre $16$ et $27$, on gagne $10$ euros. Sinon on gagne $50 $ euros. On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain à chaque boule tirée au sort.
1. Quelles sont les valeurs possibles prises par $X$ ?
2. Établir le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.
Dans une entreprise, il y a $500$ employés. La tableau de répartition des salaires est le suivant.
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le salaire perçu
par un employé tiré au sort dans l'entreprise.
| Salaire en euro | $1600$ | $2000$ | $2500$ | $3000$ |
|---|---|---|---|---|
| Nombres de personnes | $300$ | $150$ | $45$ | $5$ |
1. Quelles sont les valeurs possibles prises par $Y$ ?
2. Dresser un tableau donnant la loi de probabilité de $Y$.
Ilona a écrit chacun des mots « \textit{Rien ne sert de courir, il faut partir à point} » (morale de Jean de la Fontaine) sur des cartons qu'elle met dans l'urne.
Elle tire au hasard un carton.
On considère la variable aléatoire $N$ qui associe à chaque issue le nombre de lettres du mot écrit sur le carton. Déterminer la loi de probabilité de $N$.
On lance deux dés équilibrés à $4$ faces numérotées de $1$ à $4$. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancer associes la valeur du plus grand numéro obtenu sur les deux dés.
Déterminer la loi de probabilités de $X$.
Une variable aléatoire peut prendre les valeurs $-120$ ; $0$ ; $150$ ; $300$ ; et $1000$. Définir par une phrase et donner les issues possibles des évènements suivants.
1. $\left\lbrace X = 150 \right\rbrace$
2. $\left\lbrace X = 10 \right\rbrace$
3. $\left\lbrace X > 100 \right\rbrace$
4. $\left\lbrace X >300 \right\rbrace$
5. $\left\lbrace X \geqslant 300 \right\rbrace$
6. $\left\lbrace X \leqslant 0 \right\rbrace$
On lance $15$ fois de suite un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de « 6 » obtenu sur les $15$ lancers.
Utiliser une notation pour écrire les probabilités des évènements suivants :
1. Le dé est tombé cinq fois sur « 6 »
2. Le dé est tombé au moins une fois sur « 6 »
3. Le dé est tombé au plus trois fois sur « 6 »
4. Le dé est tombé plus de dix fois sur « 6 »
La loi de probabilité de $X$ est donnée par la tableau :
| $x_i$ | $0$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0,1$ | $0,15$ | $0,16$ | $0,45$ | $0,14$ |
Déterminer les probabilités suivantes :
1. $\left\lbrace X = 5 \right\rbrace$
2. $\left\lbrace X \leqslant 5 \right\rbrace$
3. $\left\lbrace X > 5 \right\rbrace$
4. $\left\lbrace X \geqslant 2 \right\rbrace$
5. $\left\lbrace X = 0 \right\rbrace$
6. $\left\lbrace 0 < X < 5 \right\rbrace$
$X$ est une variable aléatoire prenant les valeurs $-1$ ; $0$ ; et $1$ telle que : $P(X=1) = P(X=0)$ et $P(X=-1)=3\times P(X=1)$.
1. Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer $P(X>0)$
Pour traverser le couloir du deuxième étage du lycée, Ibrahim met cinq minutes. Il sait que si, lors de cette traversée, il rencontre un ami, il parlera avec lui deux minutes.
Il y a deux salles devant lesquelles il peut retrouver un ami et la probabilité qu'il rencontre un devant une salle est de $0,3$. Ces rencontres sont indépendantes.
$X$ est la variable aléatoire donnant le temps de traversée du couloir en minute.
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Une urne contient $n\geqslant 10$ boules indiscernables au toucher dont cinq sont rouges, deux sont vertes et les autres sont jaunes.
On tire au hasard une boule dans l'urne. Si celle-ci est vert, on gagne $3$ euros, si elle est jaune on gagne $5$ euros, sinon on perd $2 $ euros. $X$ est la variable aléatoire associant le gain algébrique au jeu.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ (les probabilités seront écrites en fonction de $n$)
2. Comment faut-il choisir $n$ pour que la probabilité de gagner de l'argent soit supérieur ou égale a $0,6$ ?
La loi de probabilité de $X$ est donnée par la tableau :
| $x_i$ | $-2$ | $1$ | $11$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ |
1. En utilisant la définition du cours, calculer l'espérance de $X$.
2. Vérifier le résultat avec la calculatrice.
On considère un jeu de hasard. la variable aléatoire $X$ donnant le gain (mise comprise) a une loi de probabilité résumé dans le tableau ci-dessous.
| $x_i$ | $-5$ | $-2$ | $0$ | $50$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0,4$ | $0,3$ | $0,28$ | $0,02$ |
1. En utilisant la définition du cours, calculer $E(X)$.
2. Interpréter ce résultat.
3. Ce jeu est-il équitable ?
Alice mise $3 $ euros puis lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. Elle gagne une valeur en euros égales au double du numéro affiché par le dé. Quel montant peut-elle espérer gagner (ou perdre) en moyenne si elle joue un très grand nombre de parties à ce jeu ?
Un jeu consiste à lancer deux dés tétraédriques dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$. Après un lancer, on fait la somme des numéros des faces. La mises de départ est $m $ euros ($m$ étant un nombre réel positif). Puis :
1. On gagne $10 $ euros si on obtient un résultat supérieur ou égal à $6$.
2. On gagne $20 $ euros si on obtient un résultat inférieur à $4$.
3. On gagne rien sinon.
1. Pour cette question, on prend $m=5$. $X$ est la variable aléatoire donnant le gain algébrique du jeu.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Déterminer $E(X)$. Ce jeu est-il à l'avantage du joueur ou de l'organisateur ?
2. Pour quelle valeur de $m$ le jeu est-il équitable ?
$X$ est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est
donnée dans le tableau ci-contre :
| $x_i$ | $-100$ | $5$ | $10$ | $20$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $p$ | $\dots$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\frac{1}{5}$ |
1. Si $p=0,2$, calculer l'espérance de $X$.
2. Calculer $p$ pour que l'espérance de $X$ soit égale à $4$.
La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :
| $x_i$ | $-2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{4}{10}$ |
1. En utilisant la définition du cours, calculer $E(X)$.
2. En utilisant les définitions du cours, calculer la variance de $X$ et en déduire l'écart-type de $X$.
3. Vérifier les résultats à l'aide de la calculatrice.
Pour chacune des variables aléatoires suivantes dont on donne la loi de probabilité à l'aide d'un tableau, déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type ( si besoin on arrondira les résultats à $0,01$ près).
1.
| $x_i$ | $-4$ | $0$ | $9$ | $25$ |
|---|---|---|---|---|
| $p$ | $0,5$ | $0,2$ | $0,2$ | $0,1$ |
2.
| $x_i$ | $-25$ | $-3$ | $5$ | $100$ |
|---|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $0,3$ | $0,2$ |
3.
| $x_i$ | $-5$ | $0$ | $4$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| $p$ | $0,42$ | $0,38$ | $0,15$ | $0,05$ |
Une roue est partagée en $10$ secteurs angulaires égaux dont $5$ sont colorés en rouge, $3$ en vert et $2$ en jaune. On tourne la roue et elle s'arrête au hasard sur un secteur angulaire. Si celui-ci est vert, on gagne $5 $ euros, s'il est jaune on gagne $20 $ euros et s'il est rouge on perd $4 $ euros. $X$ est la variable aléatoire donnant le gain algébrique de ce jeu.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer $E(X)$, $Var(X)$ et $\sigma(X)$ à l'aide des formules du cours.
3. Interpréter la valeur de $E(X)$.
Un entreprise compte $100$ salariés. La tableau de répartitions des salaires est le suivant.
| Salaire (en euros) | $1550$ | $1750$ | $2200$ | $3000$ |
|---|---|---|---|---|
| Nb de personnes | $40$ | $35$ | $24$ | $1$ |
Le directeur prend au hasard le bulletin de salaire de
l'un de ses employés. On note $X$ la variable aléatoire
donnant le salaire perçu par un employé tiré au sort.
1. Calculer $E(X)$.
2. Le directeur décide d'augmenter tous les salaires de $10$ euros. Que devient l'espérance.
3. Finalement au lieu de l'augmenter de $10 $ euros, il décide de les augmenter de $2\%$. Comment évolue l'espérance ?
1. La fonction Alea() renvoie un nombre réel aléatoire entre $0$ et $1$ exclu.
2. Pour tous les programmes python, le module random est importé et la commande random.random() renvoie un nombre aléatoire entre $0$ et $1$ exclu.
$Y$ est un variable aléatoire donnant un gain à un jeu. Sa loi de probabilité est donnée dans le tableau ci dessous.
| $y_i$ | $-5$ | $0$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(Y=y_i)$ | $0,80$ | $0,12$ | $0,08$ |
On souhaite construire une simulation de la variable aléatoire $Y$.
1. Compléter le tableau suivant donnant un découplage de $[0;1]$
permettant de satisfaire aux probabilités
| $y_i$ | $-5$ | $0$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(Y=y_i)$ | Entre $0$ et $0,80$ inclus | Entre $0,80$ et $0,92$ inclus | Entre $0,92$ et $1$ exclus |
2. Compléter l'algorithme ci-dessus permettant d'obtenir une
valeur prise par la variable aléatoire $Y$.
import random
def simulation_Y():
aleat = random.random()
if aleat <= 0.8:
return -5
elif aleat <= 0.92:
return 0
else:
return 4
# Exemple d'utilisation
valeur_y = simulation_Y()
print(valeur_y)
Un valeur prise par une variable aléatoire $X$ est obtenue
avec le programme suivant . Donner la loi de probabilité de $X$ et calculer
son espérance.
import random
alea = random.random()
if alea <= 0.72 :
print("-8")
elif alea <= 0.95 :
print("50")
else:
print("80")
Une entreprise fabrique des centrifugeuses. Son service
de qualité à relevé le nombre d'années entières (donc arrondi) écoulées avant la première panne pour chacune des centrifugeuses d'un échantillon. Ces données on permis de donner des estimations des probabilités pour ces durées avant la première panne.
Christian a écrit le programme ci-contre permettant de simuler le nombre d'années entières avant la première panne pour une centrifugeuse. Si le programme affiche « $2$ ans », cela signifie qu'une centrifugeuse a fonctionné $2$ ans (entier) avant la première panne.
import random
alea=random.random()
if alea <= 1/6:
print("2 ans")
elif alea <= 0.5:
print("4 ans")
else:
print("5ans")
1. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'années entières écoulées avant la première panne. Donner la loi de probabilité de $X$.
2. Est-il vrai qu'une centrifugeuse tombera en panne avant $7$ ans ?
3. Quelle est la durée moyenne avant qu'une centrifugeuse ne tombe en panne ?