Exercices : Limites de Suites

Correction :

Pour déterminer les limites de ces suites, nous allons utiliser les règles sur les opérations de limites et les formes indéterminées.

1. Cas a : $u_n = n^2 - 3n + 1$

On a une forme polynomiale. Pour déterminer la limite quand $n \to +\infty$, on factorise par le terme dominant, ici $n^2$ :

$$u_n = n^2 \left(1 - \dfrac{3n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}\right) = n^2 \left(1 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)$$

On sait que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) = 1 - 0 + 0 = 1$.

De plus, $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$. Par produit, on a :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} n^2 \left(1 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) = +\infty \times 1 = +\infty$$

Donc, la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

2. Cas b : $v_n = \dfrac{2n+1}{n+3}$

On a une forme de quotient. En $+\infty$, on a une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. Pour lever l'indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant, ici $n$ :

$$v_n = \dfrac{n\left(2 + \dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1 + \dfrac{3}{n}\right)} = \dfrac{2 + \dfrac{1}{n}}{1 + \dfrac{3}{n}}$$

On sait que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} \left(2 + \dfrac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2$ et $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{3}{n}\right) = 1 + 0 = 1$.

Par quotient, on a :

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2 + \dfrac{1}{n}}{1 + \dfrac{3}{n}} = \dfrac{2}{1} = 2$$

Donc, la suite $(v_n)$ converge vers $2$.

Conclusion :

a. $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

b. $\lim_{n \to +\infty} v_n = 2$.

Correction :

Pour cet exercice, nous allons utiliser les limites des suites géométriques de la forme $q^n$ en fonction de la valeur de la raison $q$.

1. Cas a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$

Ici, la raison est $q = \dfrac{3}{4}$. Comme $-1 < \dfrac{3}{4} < 1$, on sait que la limite d'une suite géométrique de raison $q$ telle que $-1 < q < 1$ est $0$. Donc :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 0$$

La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

2. Cas b : $v_n = 5 \times (2)^n$

Ici, la raison est $q = 2$. Comme $q = 2 > 1$, on sait que la limite d'une suite géométrique de raison $q > 1$ est $+\infty$. De plus, on multiplie par un facteur positif $5$. Donc :

$$\lim_{n \to +\infty} (2)^n = +\infty$$

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} 5 \times (2)^n = 5 \times (+\infty) = +\infty$$

La suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

3. Cas c : $w_n = -2 \times (-3)^n$

Ici, la raison est $q = -3$. Comme $q = -3 \leq -1$, la suite géométrique $(-3)^n$ n'a pas de limite. Par conséquent, la suite $(w_n) = -2 \times (-3)^n$ n'a pas non plus de limite. Elle diverge sans limite particulière.

Conclusion :

a. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

b. $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

c. La suite $(w_n)$ n'a pas de limite (diverge sans limite).

Correction :

Nous devons déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{3n^2 - 2n + 1}{5n^2 + n - 3}$.

Lorsque $n \to +\infty$, on a une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$. Pour lever cette indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré, qui est $n^2$ dans les deux cas.

$$u_n = \dfrac{n^2\left(3 - \dfrac{2n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(5 + \dfrac{n}{n^2} - \dfrac{3}{n^2}\right)} = \dfrac{3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{5 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^2}}$$

Maintenant, étudions les limites des termes simplifiés lorsque $n \to +\infty$ :

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n} = 0$$

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$$

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n^2} = 0$$

Donc, on a :

$$\lim_{n \to +\infty} \left(3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) = 3 - 0 + 0 = 3$$

$$\lim_{n \to +\infty} \left(5 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^2}\right) = 5 + 0 - 0 = 5$$

Par opération sur les quotients de limites, on obtient :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{5 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^2}} = \dfrac{3}{5}$$

Conclusion :

La limite de la suite $(u_n)$ est $\dfrac{3}{5}$. La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac{3}{5}$.

Correction :

On veut déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.

Quand $n \to +\infty$, on a une forme indéterminée du type $\infty - \infty$. Pour lever cette indétermination, on utilise la technique de la quantité conjuguée. On multiplie et divise par l'expression conjuguée de $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$, qui est $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ :

$$u_n = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \times \dfrac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$

Maintenant, étudions la limite du dénominateur lorsque $n \to +\infty$ :

$$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+1} = +\infty$$

$$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$

Donc, par somme :

$$\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = +\infty$$

Comme le numérateur est constant et égal à $1$, et que le dénominateur tend vers $+\infty$, la limite du quotient est $0$ :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$$

Conclusion :

La limite de la suite $(u_n)$ est $0$. La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Correction :

On veut déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}$.

Pour cet exercice, on va utiliser le théorème des gendarmes. On sait que pour tout $n$, $-1 \leq \cos(n) \leq 1$. On peut donc encadrer la suite $u_n$ :

Pour $n > 0$, on divise chaque terme de l'inégalité par $n$ (qui est positif, donc l'ordre ne change pas) :

$$\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\cos(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}$$

On considère les deux suites qui encadrent $(u_n)$ : $v_n = \dfrac{-1}{n}$ et $w_n = \dfrac{1}{n}$. Calculons leurs limites :

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n} = 0$$

$$\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$$

Puisque les limites de $(v_n)$ et $(w_n)$ sont les mêmes et valent $0$, d'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ a aussi pour limite $0$ :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$$

Conclusion :

La limite de la suite $(u_n)$ est $0$. La suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Correction :

On veut déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{2^n + 3^n}{3^n}$.

Pour déterminer la limite, on peut simplifier l'expression de $u_n$ en divisant chaque terme du numérateur par $3^n$ :

$$u_n = \dfrac{2^n}{3^n} + \dfrac{3^n}{3^n} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 1$$

Maintenant, étudions la limite de chaque terme quand $n \to +\infty$. On a une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$. Comme $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$, on sait que $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$. De plus, la limite d'une constante est la constante elle-même, donc $\lim_{n \to +\infty} 1 = 1$.

Par somme de limites, on a :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n + 1\right) = \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + \lim_{n \to +\infty} 1 = 0 + 1 = 1$$

Conclusion :

La limite de la suite $(u_n)$ est $1$. La suite $(u_n)$ converge vers $1$.

Correction :

On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$. On admet que cette suite converge et on veut déterminer sa limite.

Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors lorsque $n \to +\infty$, $u_n \to l$ et $u_{n+1} \to l$. On peut donc écrire la relation de récurrence en termes de limites :

$$\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}u_n + 3\right)$$

En remplaçant les limites par $l$, on obtient l'équation :

$$l = \dfrac{1}{2}l + 3$$

Maintenant, il faut résoudre cette équation pour trouver la valeur de $l$. On isole $l$ :

$$l - \dfrac{1}{2}l = 3$$

$$\dfrac{1}{2}l = 3$$

$$l = 3 \times 2 = 6$$

Ainsi, si la suite $(u_n)$ converge, sa limite est $l = 6$.

Pour confirmer que la suite converge effectivement, on pourrait étudier les variations de la suite et montrer qu'elle est majorée ou minorée (par exemple, on peut montrer que $u_n < 6$ pour tout $n$ et que la suite est croissante, ce qui impliquerait la convergence vers une limite inférieure ou égale à 6).

Conclusion :

En admettant que la suite $(u_n)$ converge, sa limite est $6$.