Exercices : Suites Géométriques

Correction :

Pour cet exercice, nous allons appliquer la définition d'une suite géométrique : chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par la raison $q$. La formule de récurrence est $u_{n+1} = q \times u_n$.

1. Cas a. $u_0=8$ et $q=2$

Pour trouver $u_1$, on utilise la relation de récurrence avec $n=0$ :

$$u_1 = q \times u_0 = 2 \times 8 = 16$$

Pour trouver $u_2$, on utilise la relation de récurrence avec $n=1$ :

$$u_2 = q \times u_1 = 2 \times 16 = 32$$

Pour trouver $u_3$, on utilise la relation de récurrence avec $n=2$ :

$$u_3 = q \times u_2 = 2 \times 32 = 64$$

Donc pour le cas a, nous avons : $u_1 = 16$, $u_2 = 32$, et $u_3 = 64$.

2. Cas b. $u_0=8$ et $q=-\dfrac 12$

Pour trouver $u_1$, on utilise la relation de récurrence avec $n=0$ :

$$u_1 = q \times u_0 = -\dfrac 12 \times 8 = -4$$

Pour trouver $u_2$, on utilise la relation de récurrence avec $n=1$ :

$$u_2 = q \times u_1 = -\dfrac 12 \times (-4) = 2$$

Pour trouver $u_3$, on utilise la relation de récurrence avec $n=2$ :

$$u_3 = q \times u_2 = -\dfrac 12 \times 2 = -1$$

Donc pour le cas b, nous avons : $u_1 = -4$, $u_2 = 2$, et $u_3 = -1$.

Correction :

On sait que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=5$, et que $u_2 = 10$. Nous devons trouver $u_3$, $u_1$, et $u_0$.

Pour trouver $u_3$, on utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = q \times u_n$. Ici, avec $n=2$, on a :

$$u_3 = q \times u_2 = 5 \times 10 = 50$$

Pour trouver $u_1$, on utilise encore la relation de récurrence, mais cette fois on va "remonter" dans les indices. On sait que $u_2 = q \times u_1$, donc pour trouver $u_1$, on divise $u_2$ par $q$ :

$$u_1 = \dfrac{u_2}{q} = \dfrac{10}{5} = 2$$

De même, pour trouver $u_0$, on utilise $u_1 = q \times u_0$, donc :

$$u_0 = \dfrac{u_1}{q} = \dfrac{2}{5} = 0,4$$

Ainsi, nous avons déterminé : $u_3 = 50$, $u_1 = 2$, et $u_0 = 0,4$.

Correction :

Pour cet exercice, nous allons utiliser le graphique donné pour déterminer les caractéristiques de la suite géométrique $(u_n)$.

1. Lecture de $u_0$ et de la raison $q$

Sur le graphique, $u_0$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$. On lit graphiquement $u_0 = 4$.

Pour trouver la raison $q$, on peut lire $u_1$ sur le graphique. $u_1$ est l'ordonnée du point d'abscisse $1$. On lit graphiquement $u_1 = 2$.

La raison $q$ est donnée par le rapport de deux termes consécutifs :

$$q = \dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0,5$$

On peut vérifier avec $u_2$. On lit $u_2 = 1$ sur le graphique. Et on a bien $u_2 = u_1 \times q = 2 \times 0,5 = 1$.

Donc, $u_0 = 4$ et $q = 0,5$.

2. Expression de $u_n$ en fonction de $n$

Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, l'expression du terme général $u_n$ est donnée par la formule :

$$u_n = u_0 \times q^n$$

En remplaçant $u_0$ par $4$ et $q$ par $0,5$, on obtient l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour cette suite :

$$u_n = 4 \times (0,5)^n$$

Correction :

Pour cet exercice, nous devons trouver l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$ pour différentes suites géométriques.

1. Cas 1 : $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $5$ et $u_0=2$.

On utilise la formule du terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ :

$$u_n = u_0 \times q^n$$

Ici, $u_0 = 2$ et $q = 5$. En substituant ces valeurs, on obtient :

$$u_n = 2 \times 5^n$$

C'est l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour le premier cas.

2. Cas 2 : Pour tout entier $n \geqslant 0$, $u_{n+1}=3u_n$ et $u_0=4$.

La relation $u_{n+1}=3u_n$ nous indique que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$. On nous donne aussi le premier terme $u_0=4$.

En utilisant la formule du terme général :

$$u_n = u_0 \times q^n$$

Avec $u_0 = 4$ et $q = 3$, on obtient :

$$u_n = 4 \times 3^n$$

C'est l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour le deuxième cas.

Correction :

Pour déterminer le sens de variation d'une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$, nous devons examiner la valeur de la raison $q$ et le signe du premier terme $u_0$.

1. Suite $(a_n)$ définie par $a_n=4\times 2^n$

Ici, le premier terme est $a_0 = 4 \times 2^0 = 4$ et la raison est $q = 2$. Puisque $q = 2 > 1$ et $a_0 = 4 > 0$, la suite $(a_n)$ est strictement croissante.

On peut aussi vérifier en calculant le rapport $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{4 \times 2^{n+1}}{4 \times 2^n} = 2 > 1$. Comme la raison est supérieure à 1 et le premier terme positif, la suite est croissante.

2. Suite $(b_n)$ définie par $b_n=4\times 0,2^n$

Ici, le premier terme est $b_0 = 4 \times 0,2^0 = 4$ et la raison est $q = 0,2$. Puisque $0 < q = 0,2 < 1$ et $b_0 = 4 > 0$, la suite $(b_n)$ est strictement décroissante.

On peut vérifier en calculant le rapport $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{4 \times 0,2^{n+1}}{4 \times 0,2^n} = 0,2 < 1$. Comme la raison est entre 0 et 1 et le premier terme positif, la suite est décroissante.

3. Suite $(c_n)$ définie par $c_n=-4\times 0,2^n$

Ici, le premier terme est $c_0 = -4 \times 0,2^0 = -4$ et la raison est $q = 0,2$. Puisque $0 < q = 0,2 < 1$ et $c_0 = -4 < 0$, la suite $(c_n)$ est strictement croissante.

Dans ce cas, bien que la raison soit inférieure à 1, le premier terme est négatif, ce qui inverse le sens de variation. On peut vérifier : $\dfrac{c_{n+1}}{c_n} = \dfrac{-4 \times 0,2^{n+1}}{-4 \times 0,2^n} = 0,2 < 1$. Cependant, comme les termes sont négatifs, être multiplié par un nombre plus petit que 1 rapproche de 0, donc augmente en valeur absolue, et donc se rapproche de 0 en restant négatif, ce qui signifie que la suite est croissante.

4. Suite $(d_n)$ définie par $d_n=4\times (-0,2)^n$

Ici, le premier terme est $d_0 = 4 \times (-0,2)^0 = 4$ et la raison est $q = -0,2$. Puisque $q = -0,2 < 0$, la suite $(d_n)$ n'est pas monotone. Elle alterne entre des termes positifs et négatifs. Par exemple : $d_0 = 4$, $d_1 = 4 \times (-0,2) = -0,8$, $d_2 = 4 \times (-0,2)^2 = 0,16$, etc.

Correction :

Pour déterminer le sens de variation de ces suites géométriques, nous allons analyser la raison et le premier terme de chaque suite.

1. Suite $(a_n)$ définie par $a_n=\dfrac 3{5^n}$

On peut réécrire $a_n$ sous la forme $a_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$. Ici, le premier terme est $a_0 = \dfrac{3}{5^0} = 3$ et la raison est $q = \dfrac{1}{5} = 0,2$. Puisque $0 < q = \dfrac{1}{5} < 1$ et $a_0 = 3 > 0$, la suite $(a_n)$ est strictement décroissante.

On peut vérifier en calculant le rapport $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{3}{5^{n+1}}}{\frac{3}{5^n}} = \dfrac{5^n}{5^{n+1}} = \dfrac{1}{5} < 1$. Comme la raison est entre 0 et 1 et le premier terme positif, la suite est décroissante.

2. Suite $(b_n)$ définie par $b_n=\dfrac {-2}{7^{n+1}}$

On peut réécrire $b_n$ sous la forme $b_n = \dfrac{-2}{7} \times \left(\dfrac{1}{7}\right)^n$. Ici, le premier terme est $b_0 = \dfrac{-2}{7^{0+1}} = \dfrac{-2}{7}$ et la raison est $q = \dfrac{1}{7}$. Puisque $0 < q = \dfrac{1}{7} < 1$ et $b_0 = \dfrac{-2}{7} < 0$, la suite $(b_n)$ est strictement croissante.

On peut vérifier en calculant le rapport $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{\frac{-2}{7^{n+2}}}{\frac{-2}{7^{n+1}}} = \dfrac{7^{n+1}}{7^{n+2}} = \dfrac{1}{7} < 1$. Comme la raison est entre 0 et 1 et le premier terme négatif, la suite est croissante.

3. Suite $(c_n)$ définie par récurrence $\left\{ \begin{array}{l} c_0 = 5 \\ c_{n+1}=\dfrac 34 c_n \end{array} \right.$

La définition par récurrence $c_{n+1} = \dfrac{3}{4} c_n$ nous indique que $(c_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{3}{4}$. Le premier terme est donné $c_0 = 5$. Puisque $0 < q = \dfrac{3}{4} < 1$ et $c_0 = 5 > 0$, la suite $(c_n)$ est strictement décroissante.

La raison est entre 0 et 1 et le premier terme est positif, donc la suite est décroissante.

Correction :

Pour cet exercice, nous allons analyser une modélisation de population de poissons à l'aide d'une suite géométrique.

1. Déterminer la raison de cette suite.

Soit $(u_n)$ la suite géométrique modélisant la population de poissons, où $n$ représente le nombre d'années après 2019. On a donc $u_0 = 500$ (population en 2019) et $u_1 = 600$ (population en 2020).

Pour une suite géométrique, la raison $q$ est le rapport entre deux termes consécutifs :

$$q = \dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{600}{500} = \dfrac{6}{5} = 1,2$$

La raison de cette suite géométrique est donc $q = 1,2$. Cela signifie que la population augmente de $20\%$ chaque année selon ce modèle.

2. Analyse de la population en 2022.

L'année 2022 correspond à $n = 2022 - 2019 = 3$. Selon le modèle géométrique, le nombre de poissons en 2022 serait $u_3$. Calculons $u_3$ en utilisant la formule du terme général $u_n = u_0 \times q^n$ :

$$u_3 = u_0 \times q^3 = 500 \times (1,2)^3 = 500 \times 1,728 = 864$$

Selon la modélisation, on devrait avoir 864 poissons en 2022.

Le scientifique a compté $761$ poissons en 2022. Comparons cette valeur avec la prédiction du modèle. La différence est de $864 - 761 = 103$ poissons.

L'écart entre la valeur observée (761) et la valeur modélisée (864) est assez important (plus de 100 poissons). Il y a un écart relatif de $\dfrac{864-761}{864} \approx 0,119$, soit environ $12\%$.

Conclusion : La modélisation par une suite géométrique, bien que simple, semble surestimer la population de poissons en 2022. L'écart de 103 poissons est non négligeable. On peut penser que cette modélisation n'est pas parfaitement adaptée à long terme, ou que d'autres facteurs (environnementaux, nourriture, maladies...) influencent la population de poissons et ne sont pas pris en compte par ce modèle purement géométrique.

Correction :

Cet exercice porte sur une suite arithmético-géométrique. Nous allons analyser sa nature et trouver l'expression de son terme général.

1. Nature de la suite $(u_n)$.

a. Suite arithmétique ?

Pour qu'une suite soit arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs doit être constante. Calculons $u_1$ et $u_2$ pour vérifier :

$$u_1 = \dfrac{u_0}{5} + 8 = \dfrac{4}{5} + 8 = \dfrac{4+40}{5} = \dfrac{44}{5} = 8,8$$

$$u_2 = \dfrac{u_1}{5} + 8 = \dfrac{44/5}{5} + 8 = \dfrac{44}{25} + 8 = \dfrac{44+200}{25} = \dfrac{244}{25} = 9,76$$

Calculons la différence entre les premiers termes :

$$u_1 - u_0 = 8,8 - 4 = 4,8$$

$$u_2 - u_1 = 9,76 - 8,8 = 0,96$$

Comme $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$, la différence n'est pas constante. Donc, la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

b. Suite géométrique ?

Pour qu'une suite soit géométrique, le rapport entre deux termes consécutifs doit être constant. Calculons les rapports :

$$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{8,8}{4} = 2,2$$

$$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{9,76}{8,8} = \dfrac{244/25}{44/5} = \dfrac{244}{25} \times \dfrac{5}{44} = \dfrac{244}{5 \times 44} = \dfrac{61}{5 \times 11} = \dfrac{61}{55} \approx 1,109$$

Comme $\dfrac{u_1}{u_0} \neq \dfrac{u_2}{u_1}$, le rapport n'est pas constant. Donc, la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

Conclusion : La suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique. C'est une suite arithmético-géométrique.

2. Étude de la suite $(v_n) = u_n - 10$.

a. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, nous devons vérifier si le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant.

On a $v_n = u_n - 10$, donc $u_n = v_n + 10$. Exprimons $u_{n+1}$ en fonction de $v_n$ en utilisant la relation de récurrence de $(u_n)$ :

$$u_{n+1} = \dfrac{u_n}{5} + 8 = \dfrac{v_n + 10}{5} + 8 = \dfrac{v_n}{5} + \dfrac{10}{5} + 8 = \dfrac{v_n}{5} + 2 + 8 = \dfrac{v_n}{5} + 10$$

D'autre part, par définition de $(v_n)$, on a $v_{n+1} = u_{n+1} - 10$. En substituant l'expression de $u_{n+1}$ que nous venons de trouver :

$$v_{n+1} = u_{n+1} - 10 = \left(\dfrac{v_n}{5} + 10\right) - 10 = \dfrac{v_n}{5}$$

Nous avons trouvé la relation de récurrence pour $(v_n)$ : $v_{n+1} = \dfrac{1}{5} v_n$. C'est une relation de la forme $v_{n+1} = q \times v_n$ avec $q = \dfrac{1}{5}$ constant. Donc, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{5}$.

b. Expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

Pour trouver l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, nous avons besoin du premier terme de la suite $(v_n)$. Calculons $v_0$ :

$$v_0 = u_0 - 10 = 4 - 10 = -6$$

Le premier terme de $(v_n)$ est $v_0 = -6$ et la raison est $q = \dfrac{1}{5}$. L'expression du terme général de $(v_n)$ est donc :

$$v_n = v_0 \times q^n = -6 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$$

Maintenant, exprimons $u_n$ en fonction de $n$. On sait que $v_n = u_n - 10$, donc $u_n = v_n + 10$. En substituant l'expression de $v_n$ :

$$u_n = v_n + 10 = -6 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10$$

L'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est $u_n = 10 - 6 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.

Correction :

Cet exercice porte également sur une suite arithmético-géométrique. Nous allons déterminer sa nature, l'expression de son terme général et sa limite.

1. Nature de la suite $(u_n)$.

a. Suite arithmétique ?

Calculons les premiers termes de la suite pour vérifier si la différence est constante.

$$u_0 = 10$$

$$u_1 = 0,5u_0 + 3 = 0,5 \times 10 + 3 = 5 + 3 = 8$$

$$u_2 = 0,5u_1 + 3 = 0,5 \times 8 + 3 = 4 + 3 = 7$$

Calculons les différences :

$$u_1 - u_0 = 8 - 10 = -2$$

$$u_2 - u_1 = 7 - 8 = -1$$

Comme $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$, la différence n'est pas constante. Donc, $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

b. Suite géométrique ?

Calculons les rapports entre les premiers termes :

$$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} = 0,8$$

$$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{7}{8} = 0,875$$

Comme $\dfrac{u_1}{u_0} \neq \dfrac{u_2}{u_1}$, le rapport n'est pas constant. Donc, $(u_n)$ n'est pas géométrique.

Conclusion : La suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique. C'est une suite arithmético-géométrique.

2. Étude de la suite $(v_n) = u_n - 6$.

a. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.

On a $v_n = u_n - 6$, donc $u_n = v_n + 6$. Exprimons $u_{n+1}$ en fonction de $v_n$ en utilisant la relation de récurrence de $(u_n)$ :

$$u_{n+1} = 0,5u_n + 3 = 0,5(v_n + 6) + 3 = 0,5v_n + 0,5 \times 6 + 3 = 0,5v_n + 3 + 3 = 0,5v_n + 6$$

Par définition, $v_{n+1} = u_{n+1} - 6$. En substituant l'expression de $u_{n+1}$ :

$$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = (0,5v_n + 6) - 6 = 0,5v_n$$

Nous avons la relation de récurrence $v_{n+1} = 0,5v_n$. Donc, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,5 = \dfrac{1}{2}$.

b. Expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

Calculons le premier terme de $(v_n)$ :

$$v_0 = u_0 - 6 = 10 - 6 = 4$$

Le premier terme est $v_0 = 4$ et la raison est $q = 0,5 = \dfrac{1}{2}$. L'expression de $v_n$ est :

$$v_n = v_0 \times q^n = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$

Pour obtenir $u_n$, on utilise $u_n = v_n + 6$ :

$$u_n = v_n + 6 = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 6$$

L'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est $u_n = 6 + 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

c. Limite de la suite $(u_n)$.

Nous devons trouver la limite de $u_n = 6 + 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.

Donc, $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left(6 + 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right) = 6 + 4 \times \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 6 + 4 \times 0 = 6$$

La limite de la suite $(u_n)$ est $6$.

Correction :

Pour cet exercice, nous devons écrire une fonction Python pour déterminer le nombre de mois nécessaires pour que la valeur d'une action, augmentant de $3\%$ par mois, dépasse un certain seuil.

Fonction Python :

Voici une fonction Python utilisant une boucle `while` pour résoudre ce problème :

def seuil_action():
    valeur_action = 57  # Valeur initiale de l'action
    seuil = 200         # Seuil à dépasser
    mois = 0            # Nombre de mois initial

    while valeur_action < seuil:
        valeur_action = valeur_action * (1 + 0.03) # Augmentation de 3%
        mois = mois + 1                             # Incrémenter le nombre de mois

    return mois # Retourner le nombre de mois nécessaires

# Pour utiliser la fonction et afficher le résultat :
nombre_mois = seuil_action()
print(f"Il faut attendre {nombre_mois} mois pour que l'action dépasse 200€.")
                                

Explication du code :

1. Initialisation :

   On initialise `valeur_action` à $57€$, `seuil` à $200€$, et `mois` à $0$.

2. Boucle `while` :

   La boucle `while valeur_action < seuil:` continue tant que la valeur de l'action est inférieure au seuil de $200€$.

3. Augmentation de la valeur :

   `valeur_action = valeur_action * (1 + 0.03)` : À chaque itération (chaque mois), la valeur de l'action est augmentée de $3\%$. Multiplier par $(1 + 0.03) = 1,03$ équivaut à augmenter de $3\%$.

4. Incrémentation du nombre de mois :

   `mois = mois + 1` : On incrémente le compteur de mois à chaque itération de la boucle.

5. Retour de la fonction :

   `return mois` : Une fois que la condition `valeur_action < seuil` n'est plus vraie (c'est-à-dire que la valeur de l'action a dépassé $200€$), la boucle s'arrête et la fonction retourne le nombre total de `mois` écoulés.

6. Affichage du résultat :

   Les lignes après la définition de la fonction permettent d'appeler la fonction et d'afficher le résultat de manière lisible.

Cette fonction calcule itérativement la valeur de l'action mois après mois jusqu'à ce qu'elle dépasse $200€$, et retourne le nombre de mois nécessaires.

Correction :

Pour déterminer si une suite est géométrique, nous devons vérifier si le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant pour tout $n \in \mathbb{N}$. Si c'est le cas, ce rapport est la raison $q$. Le premier terme est obtenu en calculant la valeur de la suite pour $n=0$.

1. Suite $(a_n)$ définie par $a_n=5^{n+2}$

Calculons $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{5^{(n+1)+2}}{5^{n+2}} = \dfrac{5^{n+3}}{5^{n+2}} = 5^{(n+3)-(n+2)} = 5^1 = 5$. Le rapport est constant et égal à $5$. Donc, $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 5$.

Le premier terme est $a_0 = 5^{0+2} = 5^2 = 25$.

2. Suite $(b_n)$ définie par $b_n=\dfrac{-2}{3^{n+1}}$

Calculons $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{\frac{-2}{3^{(n+1)+1}}}{\frac{-2}{3^{n+1}}} = \dfrac{-2}{3^{n+2}} \times \dfrac{3^{n+1}}{-2} = \dfrac{3^{n+1}}{3^{n+2}} = \dfrac{1}{3}$. Le rapport est constant et égal à $\dfrac{1}{3}$. Donc, $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$.

Le premier terme est $b_0 = \dfrac{-2}{3^{0+1}} = \dfrac{-2}{3}$.

3. Suite $(c_n)$ définie par $c_n=\dfrac{(-2)^{3n+1}}{3^{2n}}$

Calculons $\dfrac{c_{n+1}}{c_n} = \dfrac{\frac{(-2)^{3(n+1)+1}}{3^{2(n+1)}}}{\frac{(-2)^{3n+1}}{3^{2n}}} = \dfrac{(-2)^{3n+4}}{3^{2n+2}} \times \dfrac{3^{2n}}{(-2)^{3n+1}} = \dfrac{(-2)^{3n+4}}{(-2)^{3n+1}} \times \dfrac{3^{2n}}{3^{2n+2}} = (-2)^{(3n+4)-(3n+1)} \times 3^{2n-(2n+2)} = (-2)^3 \times 3^{-2} = -8 \times \dfrac{1}{9} = -\dfrac{8}{9}$. Le rapport est constant et égal à $-\dfrac{8}{9}$. Donc, $(c_n)$ est une suite géométrique de raison $q = -\dfrac{8}{9}$.

Le premier terme est $c_0 = \dfrac{(-2)^{3\times 0+1}}{3^{2\times 0}} = \dfrac{(-2)^1}{3^0} = \dfrac{-2}{1} = -2$.

4. Suite $(d_n)$ définie par $d_n=n^2$

Calculons $\dfrac{d_{n+1}}{d_n} = \dfrac{(n+1)^2}{n^2} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}$. Ce rapport n'est pas constant car il dépend de $n$. Donc, $(d_n)$ n'est pas une suite géométrique.

5. Suite $(e_n)$ définie par $e_n=2^n$

Calculons $\dfrac{e_{n+1}}{e_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1)-n} = 2^1 = 2$. Le rapport est constant et égal à $2$. Donc, $(e_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 2$.

Le premier terme est $e_0 = 2^0 = 1$.

6. Suite $(f_n)$ définie par $f_n=2\times 3^{-n}$

Calculons $\dfrac{f_{n+1}}{f_n} = \dfrac{2\times 3^{-(n+1)}}{2\times 3^{-n}} = \dfrac{3^{-n-1}}{3^{-n}} = 3^{(-n-1)-(-n)} = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}$. Le rapport est constant et égal à $\dfrac{1}{3}$. Donc, $(f_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$.

Le premier terme est $f_0 = 2\times 3^{-0} = 2 \times 1 = 2$.

Correction :

Nous allons déterminer si chacune des suites données est géométrique et, le cas échéant, préciser sa raison et son premier terme.

1. Suite $(u_n)$ définie par $u_n=3^n+4^n$

Calculons les premiers termes :

$u_0 = 3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$

$u_1 = 3^1 + 4^1 = 3 + 4 = 7$

$u_2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Calculons les rapports :

$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{7}{2} = 3,5$

$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{25}{7} \approx 3,57$

Comme $\dfrac{u_1}{u_0} \neq \dfrac{u_2}{u_1}$, la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

2. Suite $(v_n)$ définie par $v_n=3^n \times 4^{n+1}$

On peut réécrire $v_n = 4 \times 3^n \times 4^n = 4 \times (3 \times 4)^n = 4 \times 12^n$. C'est de la forme $v_n = v_0 \times q^n$ avec $v_0 = 4$ et $q = 12$. Vérifions en calculant le rapport :

$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{3^{n+1} \times 4^{(n+1)+1}}{3^n \times 4^{n+1}} = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} \times \dfrac{4^{n+2}}{4^{n+1}} = 3^{(n+1)-n} \times 4^{(n+2)-(n+1)} = 3^1 \times 4^1 = 12$. Le rapport est constant et égal à $12$. Donc, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 12$.

Le premier terme est $v_0 = 3^0 \times 4^{0+1} = 1 \times 4^1 = 4$.

3. Suite $(w_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} w_0 = 4 \\ w_{n+1}=\dfrac{w_n}3 \end{array} \right.$

La relation de récurrence $w_{n+1} = \dfrac{1}{3} w_n$ est de la forme $w_{n+1} = q \times w_n$ avec $q = \dfrac{1}{3}$. Donc, $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$.

Le premier terme est donné : $w_0 = 4$.

4. Suite $(x_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} x_0 = 4 \\ x_{n+1}=3+ \dfrac{1}{2}\times x_n \end{array} \right.$

Cette suite est définie par une relation de récurrence $x_{n+1} = \dfrac{1}{2} x_n + 3$. Si c'était une suite géométrique, on devrait avoir $x_{n+1} = q \times x_n$. La présence du terme constant $+3$ indique que ce n'est pas une suite géométrique (sauf si la raison était 1 et le terme constant nul, ce qui n'est pas le cas ici). Vérifions avec les premiers termes :

$x_0 = 4$

$x_1 = 3 + \dfrac{1}{2} x_0 = 3 + \dfrac{1}{2} \times 4 = 3 + 2 = 5$

$x_2 = 3 + \dfrac{1}{2} x_1 = 3 + \dfrac{1}{2} \times 5 = 3 + 2,5 = 5,5$

Calculons les rapports :

$\dfrac{x_1}{x_0} = \dfrac{5}{4} = 1,25$

$\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{5,5}{5} = 1,1$

Comme $\dfrac{x_1}{x_0} \neq \dfrac{x_2}{x_1}$, la suite $(x_n)$ n'est pas géométrique. C'est une suite arithmético-géométrique.

Correction :

Cet exercice porte sur une suite arithmético-géométrique. Nous allons étudier sa nature et la suite auxiliaire $(v_n)$.

1. Nature de la suite $(u_n)$.

a. Suite arithmétique ?

Calculons les premiers termes de la suite $(u_n)$ :

$u_0 = 1$

$u_1 = \dfrac{1}{2}u_0 + 3 = \dfrac{1}{2} \times 1 + 3 = 0,5 + 3 = 3,5$

$u_2 = \dfrac{1}{2}u_1 + 3 = \dfrac{1}{2} \times 3,5 + 3 = 1,75 + 3 = 4,75$

Calculons les différences :

$u_1 - u_0 = 3,5 - 1 = 2,5$

$u_2 - u_1 = 4,75 - 3,5 = 1,25$

Comme $u_1 - u_0 \neq u_2 - u_1$, la différence n'est pas constante. Donc, $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

b. Suite géométrique ?

Calculons les rapports :

$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{3,5}{1} = 3,5$

$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{4,75}{3,5} = \dfrac{475}{350} = \dfrac{19}{14} \approx 1,36$

Comme $\dfrac{u_1}{u_0} \neq \dfrac{u_2}{u_1}$, le rapport n'est pas constant. Donc, $(u_n)$ n'est pas géométrique.

Conclusion : La suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.

On a $v_n = u_n - 6$, donc $u_n = v_n + 6$. Exprimons $u_{n+1}$ en fonction de $v_n$ en utilisant la relation de récurrence de $(u_n)$ :

$$u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 3 = \dfrac{1}{2}(v_n + 6) + 3 = \dfrac{1}{2}v_n + \dfrac{1}{2} \times 6 + 3 = \dfrac{1}{2}v_n + 3 + 3 = \dfrac{1}{2}v_n + 6$$

Par définition, $v_{n+1} = u_{n+1} - 6$. En substituant l'expression de $u_{n+1}$ :

$$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \left(\dfrac{1}{2}v_n + 6\right) - 6 = \dfrac{1}{2}v_n$$

Nous avons la relation de récurrence $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$. Donc, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

3. Expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

Calculons le premier terme de $(v_n)$ :

$$v_0 = u_0 - 6 = 1 - 6 = -5$$

Le premier terme est $v_0 = -5$ et la raison est $q = \dfrac{1}{2}$. L'expression de $v_n$ est :

$$v_n = v_0 \times q^n = -5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$

Pour obtenir $u_n$, on utilise $u_n = v_n + 6$ :

$$u_n = v_n + 6 = -5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 6$$

L'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est $u_n = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Correction :

Pour que trois nombres $a, b, c$ soient des termes consécutifs d'une suite géométrique, le rapport entre termes consécutifs doit être constant, c'est-à-dire $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$, ou encore $b^2 = a \times c$.

1. Nombres 7 ; 14 ; 21.

Calculons les rapports : $\dfrac{14}{7} = 2$ et $\dfrac{21}{14} = \dfrac{3}{2} = 1,5$. Comme $2 \neq 1,5$, les rapports ne sont pas égaux. Donc, 7, 14, 21 ne sont pas des termes consécutifs d'une suite géométrique.

2. Nombres $\dfrac13$ ; 2 ; 12.

Calculons les rapports : $\dfrac{2}{\frac{1}{3}} = 2 \times 3 = 6$ et $\dfrac{12}{2} = 6$. Les rapports sont égaux. Donc, $\dfrac13$, 2, 12 sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q = 6$.

3. Nombres $\dfrac13$ ; $-2$ ; 12.

Calculons les rapports : $\dfrac{-2}{\frac{1}{3}} = -2 \times 3 = -6$ et $\dfrac{12}{-2} = -6$. Les rapports sont égaux. Donc, $\dfrac13$, $-2$, 12 sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q = -6$.

4. Nombres $16$ ; $12$ et $9$.

Calculons les rapports : $\dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} = 0,75$ et $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4} = 0,75$. Les rapports sont égaux. Donc, $16$, $12$, $9$ sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q = \dfrac{3}{4}$.

5. Déterminer $x$ pour que 7; $x$; 63 soient termes consécutifs.

Pour que 7, $x$, 63 soient des termes consécutifs d'une suite géométrique, on doit avoir $x^2 = 7 \times 63$.

Calculons $7 \times 63 = 7 \times (7 \times 9) = 7^2 \times 9 = 7^2 \times 3^2 = (7 \times 3)^2 = 21^2 = 441$.

Donc, $x^2 = 441$. Les solutions sont $x = \sqrt{441} = 21$ ou $x = -\sqrt{441} = -21$.

Il y a donc deux valeurs possibles pour $x$: $x=21$ ou $x=-21$.

Si $x = 21$, la raison est $q = \dfrac{21}{7} = 3$. La suite est 7, 21, 63, ...

Si $x = -21$, la raison est $q = \dfrac{-21}{7} = -3$. La suite est 7, -21, 63, ...

Correction :

Nous allons résoudre chaque question en utilisant les propriétés des suites géométriques.

1. Suite $(u_n)$ géométrique, $u_0=-8$, $q=\dfrac12$. Déterminer $u_{4}$.

On utilise la formule du terme général $u_n = u_0 \times q^n$. Pour $n=4$, on a :

$$u_4 = u_0 \times q^4 = -8 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = -8 \times \dfrac{1}{16} = -\dfrac{8}{16} = -\dfrac{1}{2}$$

Donc, $u_4 = -\dfrac{1}{2}$.

2. Suite $(v_n)$ géométrique, $v_{1}=2$, $v_2=-6$. Déterminer la raison et $v_{0}$.

La raison $q$ est le rapport de deux termes consécutifs : $q = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{-6}{2} = -3$. Donc, la raison est $q = -3$.

Pour trouver $v_0$, on utilise $v_1 = v_0 \times q$, donc $v_0 = \dfrac{v_1}{q} = \dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}$. Donc, $v_0 = -\dfrac{2}{3}$.

3. Suite $(t_n)$ géométrique, $t_2=3$, $t_4=12$. Raison et $t_3$?

On sait que $t_4 = t_2 \times q^{4-2} = t_2 \times q^2$. Donc, $12 = 3 \times q^2$, ce qui donne $q^2 = \dfrac{12}{3} = 4$. Il y a deux valeurs possibles pour $q$: $q = \sqrt{4} = 2$ ou $q = -\sqrt{4} = -2$.

Pour $t_3$, on a $t_3 = t_2 \times q$. Si $q = 2$, $t_3 = t_2 \times 2 = 3 \times 2 = 6$. Si $q = -2$, $t_3 = t_2 \times (-2) = 3 \times (-2) = -6$.

Donc, il y a deux possibilités : soit la raison est $2$ et $t_3 = 6$, soit la raison est $-2$ et $t_3 = -6$.

4. Suite $(w_n)$ géométrique, $q=0.1$, $w_{4}=2$. Déterminer $w_{0}$.

On utilise la formule $w_n = w_0 \times q^n$, donc $w_4 = w_0 \times q^4$. On a $w_4 = 2$ et $q = 0.1 = \dfrac{1}{10}$.

$$2 = w_0 \times (0.1)^4 = w_0 \times \left(\dfrac{1}{10}\right)^4 = w_0 \times \dfrac{1}{10000}$$

Donc, $w_0 = 2 \times 10000 = 20000$. Ainsi, $w_0 = 20000$.

5. Suite $(a_n)$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} a_0 = 4 \\ a_{n+1}=a_n- \dfrac{2}{3}\times a_n \end{array} \right.$ Est-elle géométrique?

On peut réécrire la relation de récurrence : $a_{n+1} = a_n - \dfrac{2}{3}a_n = \left(1 - \dfrac{2}{3}\right)a_n = \dfrac{1}{3}a_n$. C'est une relation de la forme $a_{n+1} = q \times a_n$ avec $q = \dfrac{1}{3}$ constant. Donc, la suite $(a_n)$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$.

6. Suite $(b_n)$ géométrique de raison $4$. Exprimer $b_n$ en fonction de $b_1$.

On sait que $b_n = b_0 \times q^n$ et $b_1 = b_0 \times q^1 = b_0 \times q$. On veut exprimer $b_n$ en fonction de $b_1$.

On a $b_0 = \dfrac{b_1}{q}$. En substituant dans l'expression de $b_n$ :

$$b_n = b_0 \times q^n = \dfrac{b_1}{q} \times q^n = b_1 \times \dfrac{q^n}{q} = b_1 \times q^{n-1}$$

Ici, $q = 4$. Donc, $b_n = b_1 \times 4^{n-1}$.

L'expression de $b_n$ en fonction de $b_1$ est $b_n = b_1 \times 4^{n-1}$ pour $n \geqslant 1$. (Pour $n=1$, on a $b_1 = b_1 \times 4^{1-1} = b_1 \times 4^0 = b_1 \times 1 = b_1$, ce qui est correct.)